第2课时 用样本平均数估计总体平均数

第2课时用样本平均数估计总体平均数教学设计课题用样本平均数估计总体平均数授课人素养目标1.能根据频数分布表利用组中值计算加权平均数．2.掌握利用计算器计算加权平均数的方法．3.体会用样本平均数估计总体平均数的思想与方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识教学重点能根据频数分布表利用组中值应用公式计算加权平均数．教学难点能根据频数分布表利用组中值应用公式计算加权平均数.教学活动教学步骤师生活动活动一：设置疑问，导入新课设计意图通过置疑的方式吸引学生注意力，激发对新知识的渴望【置疑导入】在上一课时我们都知道了在已知确切的原始数据情况下如何求平均数，但有时我们不知道确切的原始数据，只知道原始数据在一个范围内，比如下面这个问题：某校调查了50名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示：这里给定的时间是一个范围，不知道原始数据，如何求该校50名学生平均每人在一周内做家务所用时间呢？这一课时我们就一起探讨解决这类问题.【教学建议】让学生发表自己的见解，思考如何选取数据，并用对应数据计算平均数，为本节课的学习做好铺垫.活动二：问题探究，引出新知设计意图通过提问的方式引发学生思考，在计算过程中巩固利用组中值求加权平均数的方法.探究点1利用组中值求加权平均数(教材P114探究)为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，得到下表．这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少(结果取整数)？说明：我们解决这类问题需要引入组中值的概念．即：数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如，小组1≤x＜21的组中值为eq\f(1＋21,2)＝11.解答前提问：上述问题中每组的“数据”是什么？每组数据的权是什么？答：每组的“数据”是各组的组中值，每组数据的权是频数.【教学建议】学生独立思考问题，这一部分比较简单，可看作是对加权平均数的计算方法的巩固练习．教师注意引导学生认识到：由于原始数据未知，求出的加权平均数是一个近似的估计值.教学步骤师生活动设计意图通过对具体问题的分析得到用样本平均数估计总体平均数的一般解题思路，感受用样本估计总体的合理性和必要性.写出该问题的解答过程.解：这天5路公共汽车平均每班的载客量是解答后提问：(1)你认为上面得到的“平均数”是精确值吗？为什么？答：上面得到的“平均数”不是精确值．因为我们不知道原始数据，组中值只能近似地代表本小组数据的一般水平，所以利用组中值以及频数求得的加权平均数是一个近似的估计值.(2)用组中值求加权平均数类似于哪种表现形式？答：类似于多个数据重复出现时求平均数.归纳总结：根据频数分布表或频数分布直方图求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权.试一试：解答活动一中的问题．(该校50名学生平均每人在一周内做家务所用时间)【对应训练】1.若一组数据的范围是35～65，则这组数据的组中值为(C)A.35B．45C．50D．652.教材P115练习第2题.探究点2用样本平均数估计总体平均数例1(教材P115例3)某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡．它们的使用寿命如表所示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？解：根据上表，可以得出各小组的组中值，于是x＝eq\f(800×5＋1200×10＋1600×12＋2000×17＋2400×6,50)＝1672(h)，即样本平均数为1672h．因此，可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1672h.解答后提问：(1)这批灯泡的平均使用寿命可以用全面调查的方法考察吗？为什么？答：不可以．因为对考察对象带有破坏性，只能通过抽样调查，利用部分灯泡的平均使用寿命估计这批灯泡的平均使用寿命．即用样本平均数估计总体平均数.(2)为什么这50只灯泡的使用寿命可以代表这一批灯泡的使用寿命？答：因为抽样调查是随机的，具有代表性.【对应训练】1.教材P116练习.2.某部队为测量一批新制造的炮弹的杀伤半径，从中随机抽查了50枚【教学建议】教师通过问题串的形式引导学生得出权及加权平均数的基本概念．教学过程中要注意告知学生：权能够反映数据的相对重要程度，权的改变会影响这组数据的平均水平.【教学建议】学生思考问题的同时回忆随机抽样调查的内容，教师提醒学生：一般可以由样本的统计量特征估计总体具有相同的统计量特征．就平均数而言，先计算样本中数据的平均数，由此可估计总体数据的平均数与之相同.教学步骤师生活动炮弹，它们的杀伤半径(单位：m)如下表：这批炮弹的平均杀伤半径是多少米？解：由表可得出各组数据的组中值分别是30，50，70，90，则这50枚炮弹的平均杀伤半径为eq\f(30×8＋50×12＋70×25＋90×5,50)＝60.8(m).故估计这批炮弹的平均杀伤半径大约是60.8m.活动三：知识运用，巩固提升设计意图加深学生对求解组中值与用样本平均数估计总体平均数的理解与运用.例2教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示我国八年级学生平均每天的睡眠时间在9～10h的比例为19.4%.某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间(单位：h)进行了调查，将数据整理后绘制成下表．该样本中学生平均每天的睡眠时间在9～10h的比例高于全国的这项数据，达到了22%.(1)求表格中n的值；(2)若该校八年级共有400名学生，试估计该校八年级学生平均每天的睡眠时间.解：(1)n＝50×22%＝11.(2)m＝50－1－5－24－11＝9，各组的组中值分别为5.5，6.5，7.5，8.5，9.5，则抽取的50名学生平均每天的睡眠时间是eq\f(1,50)×(5.5×1＋6.5×5＋7.5×9＋8.5×24＋9.5×11)＝8.28(h).故估计该校八年级学生平均每天的睡眠时间大约为8.28h.【对应训练】某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间(单位：h)的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表.(2)估计该校学生目前每周劳动时间的平均数；(3)请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准(时间取整数小时)，并用学过的统计学知识说明其合理性.解：(1)解析：由题意得a＝100－30－19－18－12＝21.故答案为21.【教学建议】学生独立思考并解答问题，教师应提醒学生注意在求频数分布表或频数分布直方图中的平均数时组中值的求法，这里未直接给出.教学步骤师生活动(2)eq\f(1×21＋2×30＋3×19＋4×18＋5×12,100)＝2.7(h)，所以估计该校学生目前每周劳动时间的平均数大约为2.7h．(3)(答案不唯一，言之有理即可)制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．从平均数看，标准可以定为3h．理由：平均数为2.7h，说明该校学生目前每周劳动时间的平均水平为2.7h，把合格标准定为3h，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：在频数分布表和频数分布直方图中怎样求组中值？在抽样调查得到样本数据后，你如何处理样本数据并估计总体数据的集中趋势？【知识结构】【作业布置】1.教材P121习题20.1第3，6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计20.1.1平均数第2课时用样本平均数估计总体平均数1.组中值的概念2.用样本平均数估计总体平均数教学反思本节课通过创设情境并复习抽样调查导入，引发学生对于实际问题数学化的思考，并通过大量生活实例的研究加深了学生对于求组中值和用样本平均数估计总体平均数的理解，让学生体会用样本估计总体的思想，感受样本代表性的意义，从而形成良好的数学思维习惯和应用意识.解题方法：(1)求频数分布表中的加权平均数时，在对一组数据分组后，常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，然后运用加权平均数计算公式计算频数分布表中数据的平均数．(2)样本具有代表性时，可用样本的平均数估计总体的平均数．例1为了了解某学校八年级学生每周体育锻炼时间的情况，随机抽查了该年级的部分学生，对其每周锻炼时间t(单位：h)进行统计，根据统计数据绘制成图①和图②两个不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：(1)本次共抽取学生60人，并将图①补充完整；(2)求出这组数据的平均数；(3)若该校八年级共有学生1800人，估计该校八年级每周体育锻炼时间为3h的学生有多少人？解：(1)解析：由扇形统计图知，2h所对应的人数所占的百分比为eq\f(90°,360°)×100%＝25%，所以本次共抽取的学生人数为15÷25%＝60.故答案为60.3h所对应的人数为60－(10＋15＋10＋5)＝20，补全条形统计图如图①所示．(2)平均数为eq\f(1×10＋2×15＋3×20＋4×10＋5×5,60)＝2.75(h)．(3)估计该校八年级每周体育锻炼时间为3h的学生有1800×eq\f(20,60)＝600(人)．例2某校为响应“传承屈原文化，弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香城市建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：阅读时间/min30≤x＜6060≤x＜9090≤x＜120120≤x＜150组中值4575105135频数(人数)620104请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：(1)扇形统计图中，120～150min时间段对应扇形的圆心角的度数是36°，a＝25；(2)请将表格补充完整；(3)请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．解：(1)解析：120～150min时间段对应扇形的圆心角的度数是360°×10%＝36°，本次调查的学生有4÷10%＝40(人)．因为a%＝eq\f(40－6－20－4,40)×100%＝25%，所以a的值是25.故答案为36，25.(2)解析：30≤x＜60时间段的组中值为(30＋60)÷2＝45，90≤x＜120时间段的频数为40－6－20－4＝10.故答案为45，10.(3)eq\f(45×6＋75×20＋105×10＋135×4,40)＝84(min)．答：估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间大约为84min.

例1某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学识、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图①是甲、乙测试成绩的条形统计图．(1)分别求出甲、乙两人的三项成绩之和，并指出会录用谁；(2)将甲、乙两人的三项测试成绩按照扇形统计图(图②)中各项所占之比分别计算出两人的综合成绩，并判断是否会改变(1)的录用结果．分析：(1)分别把甲、乙两人的三项成绩相加并比较即可；(2)分别计算出甲、乙两人的三项成绩的加权平均数并比较即可．解：(1)由题意得，甲三项成绩之和为9＋5＋9＝23(分)，乙三项成绩之和为8＋9＋5＝22(分)．因为23＞22，所以会录用甲．(2)由题意得，甲三项成绩的加权平均数为9×eq\f(120,360)＋5×eq\f(360－120－60,360)＋9×eq\f(60,360)＝3＋2.5＋1.5＝7(分)，乙三项成绩的加权平均数为8×eq\f(120,360)＋9×eq\f(360－120－60,360)＋5×eq\f(60,360)＝eq\f(8,3)＋4.5＋eq\f(5,6)＝8(分)．因为7＜8，所以会录用乙，所以会改变(1)的录用结果．例2中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩都不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取其中200名学生的海选比赛成绩(总分100分)作为样本进行整理，得到成绩统计表与扇形统计图如下：请根据所给信息解答下列问题：(1)填空：a＝50，b＝15，θ＝72°；(2)若把统计表每组中各个成绩用这组数据的组中值代替，请估计抽取的200名学生成绩的平均数；(3)规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成