自动控制第九章课件

9-1线性系统的状态空间描述

9-2线性系统的可控性和可观测性

9-3李雅普诺夫稳定性分析第九章线性系统的状态空间分析与综合经典控制理论

a.特点研究对象：单输入、单输出线性定常系统。解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。非线性系统：相平面法和描述函数法。数学工具：常微分方程、差分方程、拉氏变换、Z变换。

b.局限性不能应用于时变系统、多变量系统。不能揭示系统更为深刻的内部特性。现代控制理论a.特点研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、定常或时变、连续或离散系统。解决方法：状态空间法（时域方法）。数学工具：线性代数、微分方程组、矩阵理论。

b.主要标志1958年，R.E.Kalman采用状态空间法分析系统，提出能控性、能观测性、Kalman滤波理论1961年，庞特里亚金极大值原理。1965年，R.Bellman提出了最优控制的动态规划方法。

现代控制理论以状态空间为基础，解决多输入—多输出、参变量、非线性、高精度、高性能等控制系统的分析和设计问题。最优控制、最佳滤波、系统辩识、自适应控制等都是这一领域的课题。在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间分析方法描述输入－状态—输出诸变量之间的因果关系，不但反映了系统输入—输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结构特征，是一种既适用于单输入—单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和设计。一、系统数学描述的两种基本类型我们研究的系统假定具有若干输入端和输出端如图示。

系统的外部变量：输入向量输出向量系统的内部变量：系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本形式。9-1线性系统的状态空间描述1.系统的外部描述其外部数学描述是：n阶微分方程及对应的传递函数。

微分方程：

传递函数：2.系统的内部描述系统的内部描述即状态空间描述，通常有两个数学方程组成。

二、状态空间描述的几个基本概念1．状态所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况，是系统信息的集合。2．状态变量

状态变量是指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量。3．状态向量

将状态变量视作向量的分量，即称为状态向量

4．状态空间

以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。5．状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。6．输出方程在指定系统输出的情况下，输出与状态变量间的函数关系式。7．状态空间表达式(动态方程)

状态方程与输出方程的组合，又称为动态方程。线性连续系统的状态空间表达式的一般形式为：

为n维向量，为p维向量，为q维向量，A为n×n矩阵，B为n×p矩阵，C为q×n矩阵，D为q×p矩阵。由于A，B，C，D矩阵完整地表征了系统的动态特性，因此有时把一个确定的系统简称为（A，B，C，D）。三、线性定常连续系统状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程，然后选择有关的物理量作为状态变量，从而导出状态空间表达式；二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。

1．根据系统机理建立状态空间表达式

以i(t)作为中间变量，列写该回路的微分方程(1)设状态变量则状态方程为：输出方程为：写成矩阵—向量的形式为：简记为：

(2)设状态变量，写成矩阵—向量的形式为：例

建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块m

的重量已经和弹簧k

的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律即：选择状态变量则：系统的动态方程为系统的结构图如下2．由系统微分方程建立状态空间表达式系统的时域数学模型为输入—输出之间的高阶微分方程，其一般形式为：系统的时域数学模型为状态空间表达式，其形式为：如何由系统的高阶微分方程建立(转化为)系统的状态空间表达式，关键问题是选择系统的状态变量。(1)系统输入量中不含导数项

选取n个状态变量：

状态方程：输出方程：其向量矩阵形式为：

例设系统方程为求状态空间表达式。解设系统的状态方程为输出方程为其向量矩阵形式为：

首先考察三阶系统，其微分方程为选择状态变量：其中，待定系数为：2）微分方程中含有输入信号导数项于是写成矩阵形式系统的状态图系统的微分方程为：选择下列n个状态变量：原则：使状态方程不含u的导数。系统的的状态方程为

输出方程为3．由系统传递函数建立状态空间表达式设系统的传递函数为

应用综合除法有

(1)串联分解的情况系统的状态方程为

输出方程为

其对应的微分方程为：选择一组状态变量为：

动态方程写成向量—矩阵形式为：

A和B具有以上形状时，A阵称为友矩阵，相应的动态方程称为可控标准型。

当时，A，B，C均不变，若我们选择另一组状态变量时，会得到系统的

请注意A，C矩阵的形状特征，对应的动态方程称为可观测标准型。可控标准型与可观测标准型之间存在对偶关系：

(2)

只含单实极点时的情况传递函数可展成部分分式之和：若令状态变量其反变换结果为

展开得

向量-矩阵形式为：若令状态变量满足进行反变换并展开有其向量-矩阵形式为例已知系统传递函数为，试求对角型状态空间表式。解状态空间表达式为：(3)

含重实极点时的情况

设D(s)可分解为传递函数可展成为下列部分分式之和

式中的计算公式（r重极点）：

状态变量的选取方法与之含单实极点时相同，可得出向量-矩阵形式的动态方程。

动态方程：或者

四、线性定常系统的线性变换

对系统进行线性变换，便于揭示系统特性及分析和综合设计，且不会改变系统的性质。1.系统的特征值及其不变性选择不同的状态变量便有不同形式的动态方程，若两组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有确定的关系。(1)等价系统方程

设线性定常系统的动态方程为令，P为非奇异线性变换矩阵，则：经过线性变换后系统的状态方程式为：同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程，对系统进行线性变换的目的是使矩阵规范化，以便揭示系统特性及分析计算。对系统进行线性变换后并不会改变系统原有的性质，故有等价变换之称。

在进行状态空间的线性变换中，需要计算矩阵的逆，简要复习一下逆矩阵的计算。常用的逆矩阵计算方法有计算伴随矩阵法。

计算式：

P-1=adj(P)/|P|其中adj(P)和|P|分别为矩阵P的伴随矩阵和行列式。

伴随矩阵的定义与计算如下：设有矩阵P为则其伴随矩阵为：其中为矩阵P的元素的代数余子式。代数余子式为n

n矩阵P去掉第i行第j列余下的n-1行n-1列的行列式值乘以符号。例计算下述矩阵的逆矩阵。解(1)先计算代数余子式(2)计算伴随矩阵(3)计算行列式值(4)计算逆矩阵例

系统状态空间表达式为线性变换矩阵为求线性变换后系统的状态方程。解(2)系统的特征值系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。

n×n维系统矩阵A的特征值是下列特征方程的根：例求系统系数矩阵的特征值。解

(3)特征值的性质

①A为n×n方阵时，它的特征方程是

的n次代数方程，有且仅有n个特征值。②物理上存在的系统，A为实常数矩阵时，其特征值或为实数，或为共轭复数对。③同一系统进行非奇异线性变换后，其特征值不变。证明如下：为证明线性变换下特性值的不变性，需证明和的特征多项式相同。注意：乘积的行列式等于各行列式的乘积注意到行列式和的乘积等于乘积的行列式，从而这就证明了在线性变换下矩阵A的特征值是不变的。④若A有互异的特征值且向量满足下列方程式：则称为特征值相对应的A的特征向量。2.将状态方程化为对角线规范型(1)矩阵A具有任意形式当矩阵A为任意形式的方阵，且有n个互异实数特征值，则由非奇异变换可将其化为对角阵变换矩阵为其中为矩阵A对应于特征值的特征向量。例将矩阵化为对角形。解矩阵A的特征方程为特征值设对应于的特征向量，则有展开得到故得选取，则，于是同理可以算出对应于时的特征向量故变换后的矩阵A为(2)矩阵A为友矩阵

A阵为友矩阵，且有互异实数特征根。则用范德蒙特矩阵P可以将A对角化。

范德蒙特矩阵例试将下列状态空间模型变换为对角线规范形解

1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为2.变换矩阵P及其逆阵P-1分别为3.计算各矩阵4.系统在新的状态变量下的状态空间模型为(3)矩阵A为任意形式的方阵，若矩阵A具有m重实数特征值，其余为(n-m)个互异实数特征值，但在求解重特征值对应的时，仍有m个独立特征向量，即每个重特征值对应的独立特征向量数恰好等于重特征值的重数。这时就同没有重特征值的情况一样，仍可将矩阵A化为对角阵。如何检验n×n型矩阵A存在m重特征值时，有没有m个独立的特征向量?

由矩阵理论知道，重特征值对应的矩阵中，只有(n-m)个独立方程时，m重特征值对应有m个独立特征向量。例已知系统的状态空间描述为求系统的特征值，特征向量以及对角标准型。解系统的特征值设对应的特征向量为

设对应重特征值的特征向量为可见对应，只有(n-m)=(3-2)=1个独立方程，所以有两个独立的特征向量。令，则同理令，则

所以对应的两个独立特征向量为变换后于是变换后为对角标准型3.将状态方程化为约当规范型(1)矩阵A具有任意形式当矩阵A为任意形式的方阵，具有m重实特征值，其余为(n-m)个互异实特征值，但在求解时，只有一个独立实特征向量，则只能使A化为约当阵J。约当标准形为变换矩阵式中是互异特征根对应的实特征向量，算法同上。是广义特征向量。m行n-m行约当块广义特征向量满足或可写成例化为约当标准型。解令对应的特征向量为，则令对应的广义特征向量为，由，即对于对应的特征向量，有(2)矩阵A为友矩阵设A阵为友矩阵，具有m重实特征值，其余为(n-m)个互异实特征值，但重根只有一个独立的特征向量，则能使A化为约当阵J。变换矩阵为例化为约当标准型。解五、线性定常连续系统状态方程的解建立了系统的数学描述之后，接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题，也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质，如能控性、能观测性、稳定性等。这里主要是讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题，即状态空间模型—状态方程和输出方程的求解问题。1．齐次状态方程的解在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动。齐次状态方程(齐次向量微分方程)为齐次状态方程通常采用幂级数法和拉普拉斯变换法求解。(1)幂级数法设齐次状态方程的解是t的向量幂级数，即式中，都是n维向量，且。将上式代入方程得到令上式等号两端的同幂项系数相等定义则例设某控制系统的状态方程为

试用幂级数法求解该方程。解(2)拉普拉斯变换法将式取拉氏变换，有

给出了的闭合形式。

例设系统状态方程为试用拉氏变换法求解。解

状态方程的解为：

2．状态转移矩阵的运算性质状态转移矩阵具有如下运算性质：(1)

(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)引入非奇异变换后，(10)两种常见的状态转移矩阵例设A为2×2的常数矩阵，对于系统的状态方程试求:(1)系统的状态转移矩阵；

(2)系统矩阵A。解(1)系统齐次方程解为

，因此应有

解方程组得(2)对两边求导，可得到3.非齐次状态方程的解非齐次状态方程当初始条件为的解为当初始条件为的解为

采用积分法证明：两端同左乘

例设系统运动方程为，式中a，b，c均为实数，试求：(1)求系统对角型动态方程；(2)求系统状态转移矩阵；(3)当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。解

(1)求系统对角型动态方程

(2)求系统状态转移矩阵(3)当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解六、传递函数矩阵1．定义初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系称为传递函数矩阵，简称传递矩阵。2．表达式

设系统的动态方程为令初始条件为零，求拉氏变换式则系统传递矩阵表达式为：

其展开式

其中表示第i个输出对第j个输入之间的传递函数。系统的状态空间表达式不具有唯一性，选择不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，但传递函数矩阵是不变的。

例线性定常系统状态空间表达式为求系统的传递函数矩阵。解七、线性离散系统状态空间表达式的建立及其解1．由脉冲传递函数建立动态方程单输入-单输出线性定常离散系统脉冲传递函数的一般形式为上式与连续系统的传递函数在形式上相同，故连续系统动态方程的建立方法可用于离散系统。

采用串联分解，可以得到动态方程为简记为离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与kT时刻的状态及输入之间的关系；其输出方程描述了kT时刻的输出量与kT时刻的状态及输入量之间的关系。2．线性定常连续系统的离散化

无论是采用数字控制装置对连续时间系统作实时控制，还是采用数字计算机分析连续时间系统的运动行为，都会遇到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。这类问题为连续时间系统的时间离散化。线性连续时间系统状态方程离散化的实质是将矩阵微分方程化为矩阵差分方程，它是描述多输入多输出离散时间系统的一种方便的数学模型。

所谓连续线性系统的时间离散化问题，就是基于一定的采样方式和保持方式，由系统的连续时间状态空间描述导出相应的离散时间状态空间描述，并对两者的系数矩阵建立对应的关系式。线性定常连续系统的状态方程为令，则令，则若记

引入新的变量置换积分下限积分上限上式可化简为

离散化的状态方程为离散化的输出方程为式中与连续状态转移矩阵的关系为例试将状态方程离散化解3．线性离散动态方程的解求解离散系统运动的方法主要有z变换法和递推法，前者只适用于线性定常系统，而后者对非线性系统、时变系统都适用，且特别适合计算机计算。下面用递推法求解系统响应。离散系统状态方程为令上式中的可以得到时刻的状态，即对方程系统解为

可控性和可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。可控性：u(t)x(t)可观测性：y(t)x(t)

9-2线性系统的可控性和可观测性例给定系统的状态空间描述

解展开

系统可控、不可观测例桥式电路解取i和作为状态变量,u—输入,—输出。

u只能控制i。

系统不可控，不可观测

一、可控性定义线性连续系统的可控性的定义为：若存在一个无约束的控制向量u(t)，能在有限时间间隔内，将系统任意的初态状态转移到任意终端状态，则称该系统是状态完全可控的，简称系统是可控的或可控系统。二、可观测性定义线性连续系统的状态可观测性的定义为：已知输入u(t)及有限时间间隔内测量到的输出y(t)，能唯一确定初始状态，则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。三、线性定常连续系统的可控性判据1．凯莱—哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式为

则A满足其特征方程，即称之为凯莱—哈密顿定理。推论1.

矩阵A的k(k≥n)次幂，可表为A的(n-1)阶多项式，即：推论2.

矩阵指数可表为A的(n-1)阶多项式，即：2．状态可控性判据的第一种形式（秩判据）设状态方程为终态解为设初始时刻于是有

记为系统可控性矩阵。根据解存在定理，矩阵S的秩为n时，方程组才有解。于是系统状态可控的充分必要条件是

例

设系统状态方程为：

试判别其状态的可控性。解

系统可控

例

设系统状态方程为：试判别其状态的可控性。解显见S矩阵的第二、三行元素绝对值相同系统不可控。3．状态可控性判据的第二种形式当系统矩阵A已化成对角阵或约当阵时，由可控性矩阵能导出更简洁直观的可控性判据。1)A阵为对角阵引例设二阶系数A、b矩阵为其可控性矩阵的行列式为

时系统可控当A有相异特征值时，应存在意为A阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可控。

设n阶系统状态方程为

A为对角阵时的可控性判据又可表为：A为对角阵且元素各异时，输入矩阵B不存在全零行。当A为对角阵且含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可控性矩阵的秩来判断。2)A阵为约当阵又设二阶系数A、b矩阵为可控性矩阵S的行列式为时系统可控，于是要求：即当A阵约当化且相同特征值分布在一个约当块时，只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关的。设n阶系统状态方程为

A阵约当化时的可控性判据又可表为：输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行（与约当块其它行所对应的行允许是全零行）；输入矩阵中与相异特征值所对应的行不是全零行。当A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块时，以上判据不适用，也应根据可控性矩阵的秩来判断。例下列系统是可控的，试自行说明。

例

下列系统是不可控的，试自行说明。

4．可控标准型问题一个单输入系统，如果其A、B阵具有如下标准形式则系统一定可控。

通过验证可控性矩阵的秩即可证明以上结论的正确性。

5．输出可控性概念线性定常系统的状态空间表达式为连续系统的输出可控性定义为：如果存在一个无约束的控制向量，在有限的时间间隔内，使任意给定的初始输出能够转移到任意最终输出，那么称这个系统是输出完全可控的。系统输出可控的充要条件为：当且仅当维输出可控性矩阵的秩等于q时，系统为输出可控的。例

设系统动态方程为试判别其状态的可控性和输出可控性。解

系统状态不可控系统输出可控四、线性定常连续系统的可观测性判据1．状态可观测性判据的第一种形式（秩判据）设多输入-多输出连续系统的动态方程为其输出向量为上式表明，在时间内，根据观测到的输出量y(t)，唯一地确定系统状态向量x(0)的充分和必要条件是x(0)的系数矩阵可逆。记为系统可观测性矩阵

系统可观测的充分必要条件是：或例

设系统动态方程如下，判别系统的可观测性。解系统是可观测的

例设系统动态方程如下，试判别系统的可观测性和可控性。解判别系统的可观测性判别系统的可控性2．状态可观测性判据的第二种形式当系统矩阵A已化成对角阵或约当阵时，由可观测性矩阵能导出更简捷直观的可观测性判据。(1)A为对角阵时的可观测性判据引例设二阶系统动态方程中A

、C分别为

时系统状态可观测，于是要求：当对角阵有相异特征值时，应存在，即只需根据输出矩阵中没有全零列便可判断系统可观测。

以上判断方法可推广到A阵对角化n阶系统。设系统动态方程为状态变量间解耦，输出解为

A为对角阵时可观测判据又可表为：A为对角阵且元素各异时，输出矩阵C不存在全零列。

(2)A为约当阵时的可观测性判据引例设二阶系统动态方程中A

、C分别为只要，系统便可观测，与无关，即为A阵约当化且相同特征值分布在一个约当块内时，只需根据输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列不是全零列，即可判断系统可观测，与输出矩阵中的其它列是否为全零列无关。以上判断方法可推广到A阵对角化n阶系统。设系统动态方程为可观测判据又可表为：输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不是全零列；输出矩阵中与相异特征值所对应的列不是全零列。

例

下列系统可观测例

下列系统不可观测3．可观测标准型问题一个单输入系统，如果其A、C阵具有如下标准形式则系统一定可观测。通过验证可观测矩阵的秩即可证明以上结论的正确性。五、线性离散系统的可控性和可观测性1．线性离散定常系统的可控性判据线性定常离散系统状态可控性定义为：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制序列能使系统从任意初态转移至任意终态，则称该系统状态完全可控，简称可控。线性定常离散系统状态空间表达式为线性定常离散系统状态可控的充分必要条件是可控性矩阵满秩，即。

2．线性离散定常系统的可观测性判据线性离散系统的状态可观测定义为：已知输入向量序列及有限采样周期内测量到的输出向量序列，能唯一确定任意初始状态向量，则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。线性定常离散系统状态可观测的充分必要条件是可观测性矩阵满秩，即

六、可控性与可观测性的对偶关系1.线性系统的对偶关系线性系统1、2如下：输入r维，输出m维，输入m维，输出r维，如果两系统满足如下关系：则称两系统是互为对偶的。2.对偶原理设和是互为对偶的两个系统，若是状态完全可控的(或完全可观的)，则是完全可观的(完全可控的)。利用对偶原理，可以把对系统可控性分析转化为对其对偶系统可观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。例这个系统动态方程为可控标准形，系统可控。其对偶系统

系统完全可观测稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。9-3李雅普诺夫稳定性分析在经典控制理论中给出的稳定性的概念是：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。经典控制理论判稳方法：

劳斯判据、赫尔维茨判据、根轨迹法、奈奎斯特判据、对数频率判据。适用范围：单输入-单输出线性定常系统。经典控制理论的判稳方法无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。在解决这类系统的稳定性方面，最通用的方法还是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性的理论。

1892年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念。提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法(称为间接法)和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数藉以判断稳定性的第二方法(称为直接法)。李雅普诺夫提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。描述系统的稳定性有两种方法：

外部稳定性：通过系统的输入—输出关系来描述系统的稳定性。

内部稳定性：通过零输入下的状态运动的响应来描述系统的稳定性。（本章研究重点）

本章主要讨论系统的内部稳定性（特别是着重介绍在稳定性分析中最为重要和应用最广的李雅普诺夫方法），在研究运动的内部稳定性时，为体现出系统自身结构的特点，常限于研究没有外部输入作用时的系统。也就是说内部稳定性表现为系统的零输入响应，即在输入恒为零时，系统的状态演变的趋势。

李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的更一般性理论，不仅适用于线性定常系统，而且适用于非线性、时变系统。

从工程上来看，系统的李雅普诺夫稳定性是指，在系统的工作过程中，如果受到长时间起作用的初始扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。李雅普诺夫第一法（间接法）：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性。由于间接法需要解系统微分方程，并非易事，所以间接法的应用受到了很大的限制。李雅普诺夫第二法（直接法）：先利用经验和技巧来构造李亚普诺夫函数，再利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性。直接法不需解系统微分方程，给判断系统稳定性带来极大方便，获得广泛应用。一、李雅普诺夫意义下的稳定性设非线性时变系统的状态方程为

设在给定初始条件下，上式有唯一解当时，1.平衡状态及其稳定性李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。由描述的系统中，对所有t总存在则称为系统的平衡状态或平衡点。

若已知状态方程，令，所求得的解X便是平衡状态。例系统方程为：令

可以推出：对于任意孤立的平衡状态总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为：2．李雅普诺夫意义下的稳定性主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题。应用范数表示以平衡状态为圆心，以R为半径的球域时，可以写成。称之为欧几里德范数(欧氏范数)。它等于：它代表向量的长度，即表示状态空间中

点至点之间的距离的尺度。例如：

以向量的范数大小说明系统稳定性的含义。设对应于系统的初始条件可以画出一个球域，即系统的初始状态位于以平衡状态为球心，半径为δ的闭球域内，它的范数为：若能使系统方程的解在的过程中，都位于以为球心，任意规定的半径的闭球域内，即则称该是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性。只要δ与无关，这种平衡状态称为一致稳定的平衡状态。3．渐近稳定性若平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定，并且从球域出发的运动轨迹在时，不仅不会超出之外，而且最终收敛于，则称平衡状态是渐近稳定的。即：若δ与无关，则称平衡状态是一致渐近稳定。

4．大范围内渐近稳定性对所有的状态，即状态空间的所有的点，如果从这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则称平衡状态是大范围渐近稳定（全局稳定）。即：

大范围渐近稳定的必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态。(1)线性系统：如果它是渐近稳定的，必是也是大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。(2)非线性系统：非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。(3)当δ与无关时，则称大范围一致渐近稳定。5．不稳定性不论δ取得得多么小，只要在内有一条轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看域外是否存在其它平衡状态，若存在极限环，则系统仍是李亚普诺夫意义下的稳定。xex0x1x2xe

李雅普诺夫意义下稳定xex0x1x2xe

渐近稳定xex0x1x2xe

全局渐近稳定xex0x1x2xe

不稳定注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过，则认为是稳定的，例如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。二、李雅普诺夫稳定性定理

1892年，A.M.Lyapunov

提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确定由微分方程描述的动力学系统的稳定性。李雅普诺夫第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤，也称为间接法。李雅普诺夫第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用Lyapunov

第二法，可以在不求出状态方程解的条件下确定系统的稳定性。第二法也称为直接法。(一)李雅普诺夫第一法（间接法）李氏第一法是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，又称间接法。它适用于线性定常、线性时变系统及非线性函数可线性化的情况。1．线性定常系统稳定性的特征值判据

系统渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。即

例1试判断系统的稳定性。解

系统的状态是稳定的，其输出必然是稳定的。例2已知系统试判断系统的稳定性。解

2．非线性系统的稳定性分析假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可线性化的情况。此时，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。设非线性系统状态方程：在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：

左式为向量函数的雅可比矩阵令则线性化系统方程为：结论：1)若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与无关。2)若，则非线性系统在处不稳定。3)若，稳定性与有关。必须用其他方法来判定系统的稳定性。当时，则非线性系统在处是李氏意义下的稳定(临界稳定状态)。例设系统状态方程为

试分析系统在平衡处的稳定性。解

求系统的平衡状态，在处将方程线性化，由于得线性化后的方程为原非线性系统在处是不稳定的。同理，在处线性化，得其特征值为，实部为零。因此不能由线性化方程得出原系统在处的稳定性。这种情况要应用李雅普诺夫第二种方法进行判定。(二)李雅普诺夫第二法（直接法）1．标量函数定号性设是向量的标量函数，S是

空间包含原点的封闭有限区域。正定性

标量函数在S域中对所有非零状态总有且，称在S域内是正定的。负定性标量函数在S域中对所有非零有且，称在S域内是负定的。如果是负定的，则一定是正定的。负(正)半定性标量函数在S域中，当时，有，且，则称在S域内负(正)半定。设为负半定，则为正半定。不定性标量函数在S域内可正可负，则称不定。例确定下列标量函数的正定性，已知：

(1)解

(2)解(3)解(4)解(5)解2．二次型函数及其定号性二次型函数是一类重要的标量函数，记其中：P为对称矩阵，。显然满足，检验的定号性是由赛尔维斯特准则判定。(1)当P的各顺序主子行列式均大于零时，即

P为正定矩阵，则正定。

(2)当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即P为负定矩阵，则负定。(3)若主子行列式含有等于零的情况，则为正半定或负半定。(4)不属以上所有情况的不定。

例解李氏第二法是基于若系统的内部能量随时间推移而衰减，则系统最终将达到静止状态这个思想而建立起来的稳定判据。若系统有一个渐近稳定的平衡状态，当系统向这个平衡状态附近运动时，系统储存的能量随时间的推移则应逐渐衰减，直到平衡状态处衰减到最小值。反之，若系统是不稳定的平衡状态，则系统将不断从外界吸收能量，其存储的能量将越来越大。要找到实际系统的能量函数表达式是相当复杂的，为了克服这个困难，李雅普诺夫提出可以虚构一个能量函数，后来便将其称之为李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数一般与和t有关，我们用来表示，如果在李雅普诺夫函数中不显含t，则用表示。在李雅普诺夫第二法中，李氏函数和其对时间的全导数的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则。这种方法不必求解给定系统的状态方程，故称为直接法。3．稳定性定理设系统状态方程：其平衡状态满足，假定状态空间原点作为平衡状态，并设在原点领域存在对x

的连续的一阶偏导数。定理1

若(1)正定；

(2)负定；则原点是渐近稳定的。负定，说明能量随时间连续单调衰减。如果随着有，则在原点处的平衡状态是大范围内的渐近稳定。稳定性定理的几点说明(本节其他定理也同此)

(1)稳定性定理给出的只是渐近稳定性的充分条件，而不是充要条件。即如果能找到满足定理条件的V(x，t)，则系统一定是一致渐近稳定的。但如果找不到这样的V(x，t)，也并不意味着系统是不稳定的，因为很可能还没有找到合适的V(x，t)。(2)对于渐近稳定的平衡状态，具有所需特性的李雅普诺夫函数总是存在的。(3)李雅普诺夫函数的选取并非唯一，由于选取不同的李雅普诺夫函数，会使分析的过程有所不同，但只要能说明系统的稳定性。对稳定性的判断，并不因选取的李雅普诺夫函数不同而有所影响。(5)此定理对于线性系统、非线性系统、定常系统及时变系统都适用，因此它是判定系统稳定性的一个最基本的定理。

对于复杂的系统，要想找到一个合适李雅普诺夫函数可能是十分困难的，至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍。如果选取不当，会导致不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重新选取。例已知系统方程为试分析平衡状态的稳定性。解令，解出平衡状态选取为正定显然是负定的，因此平衡状态点(原点)是渐近稳定的。又由于，则在原点处的平衡状态是在大范围内的渐近稳定。定理2

若(1)正定；

(2)负半定；

(3)在非零状态不恒为零；则原点是渐近稳定的。如果随着有，则在原点处的平衡状态是大范围内的渐近稳定。例已知系统方程为，试分析平衡状态的稳定性。解令，得知原点是唯一的平衡状态。选，则当时，；当时，，

故不定，不能对稳定性作出判断。选，则得故负半定。根据定理2，原点是渐近稳定的，并且是大范围一致渐近稳定。若选，则为负定。因此在原点处的平衡状态是在大范围内的渐近稳定的。例已知系统方程为试分析平衡状态的稳定性。解令，得知原点是唯一的平衡状态。设，则。将原方程代入上式得当任意，时，；当任意，时，。其他x均有，所以是半负定的。又由于，则在原点处的平衡状态是在大范围内的渐近稳定。定理3

若(1)正定；

(2)负半定；

(3)在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。沿状态轨迹能维持，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态而不运行至原点。在这种情况下，系统保持在一个稳定的等幅振荡状态上，是李雅普诺夫意义下的稳定。例已知系统方程为，试分析平衡状态的稳定性。

解由，可知原点是唯一平衡状态。选考虑状态方程则得对所有状态故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。定理4

若(1)正定；

(2)正定；则原点是不稳定的。正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。参考定理2可推论：正定，当正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。

例已知系统方程为，试分析平衡状态的稳定性。解由，可知原点是唯一平衡状态。选，则故正半定根据定理4的推论，系统不稳定。

从以上的分析可知，李氏第二法的步骤为：1)构造一个；2)求，并将状态方程代入；3)判断的定号性；和的符号相反，则渐近稳定；和的符号相同，则不稳定。4)判断非零情况下，是否恒为零。若，成立，则李氏意义下稳定；若仅，成立，则渐近稳定。

(三)线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析设系统状态方程为A为非奇异矩阵，是系统唯一平衡状态。设选取正定二次型函数为李氏函数P是正定实对称矩阵将代入，在已知P是正定的条件下，由渐近稳定性定理可知，只要Q是正定的(即负定)，则系统是大范围一致渐近稳定。定理5

系统大范围渐近稳定的充要条件为：给定一正定实对称矩阵Q

，存在唯一的正定实对称矩阵P使成立，则为系统的一个李氏函数。

说明：1.可以先给定一个正定的P阵，然后验证Q阵是否正定去分析稳定性。但若P阵选取不当，往往会导致Q阵不定，使得判别过程多次重复进行。2.通常在判定的符号特性时，首先指定一个正定的矩阵Q

，然后用塞尔维斯特准则检查满足等式的P是否也是正定的。若选取，由再确定P的各元素尤为方便。3.由定理2可以推知，若系统状态轨迹在非零状态不存在恒为零时，Q阵可取做正半定矩阵，即允许单位矩阵中主对角线上部分元素为零，而解得的P仍应正定。最简单的是

例设系统的状态方程为

试确定该系统的稳定性。解平衡状态是原点。设系统的李氏函数为选定设矩阵P

为2×2

的正定实对称矩阵由有