2023-2024学年江西省景德镇市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省景德镇市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知m为实数，若复数z=(m2−4)+(m+2)i为纯虚数，则复数z的虚部为A.2 B.−2i C.4 D.−4i2.已知向量a=(−1,3),b=(2,4)，则2aA.(6,8) B.(−4,2) C.(−6,12) D.(4,18)3.若α为第三象限角，且sinα=−13，则tanα=(

)A.22 B.−22 C.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB=2π3，南北距离AB的长大约603m，则该月牙泉的面积约为(

)

A.572m2 B.1448m2 C.5.如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE=2EO，则ED=(

)

A.13AD−23AB B.26.已知α为钝角，β为锐角，且sinα=45，sinβ=1213，则cosA.−7 B.7 C.−7657.棣莫弗公式(cosx+i⋅sinx)n=cos(nx)+i⋅sin(nx)(其中iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知sinα+cosα=355,α∈(0,π4),A.−11525 B.−1125二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z是2−i2+i的共轭复数，则(

)A.z−=35+45i 10.已知m=(2,−3),n=(2,1)，则下列说法正确的有A.(m−2n)⊥n

B.m与n可以作为一组基底向量

C.cos〈m11.已知α，β均为锐角，2cosα=sin(α+β)，则下列说法正确的是(

)A.若β=π6，则α=π3 B.若α+2β=π2，则sinβ=12

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(1,−1)，b=(−2,t)，若a与b共线，则t=______．13.已知θ∈(3π4,π)，tan2θ=−4tan(θ+π4)14.在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，D，E为边BC上两点，且∠DAE=45°，则AD⋅AE的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=5(1−i)1+2i+2+i,i为虚数单位．

(1)求|z|；

(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，求实数16.(本小题15分)

已知向量k=(1,−2),j=(1,λ)．

(1)若k⋅j=−5，求实数λ的值以及k在j方向上的投影数量；

(2)若f(x)=j217.(本小题15分)

函数f(x)=sinωxcosωx+cos2ωx，ω>0，函数f(x)的最小正周期为π．

(1)求函数f(x)的递增区间；

(2)将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到函数g(x)的图像，再将函数g(x)的图像上烡有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数ℎ(x)的图像，求函数ℎ(x)在18.(本小题17分)

请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

①(a+c)(sinA−sinC)+(b−a)sinB=0；

②2sinB−sinA=2sinCcosA；

③ccos(π2−A)=3asin(C+5π2)．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若_____．

(1)求角C19.(本小题17分)

在△ABC中，已知tanA+tanB=3(tanAtanB−1)．

(1)求C；

(2)设AB=3，点P为△ABC外接圆O上的一个动点；

(i)求PA⋅PB的取值范围；

(ii)若CO答案解析1.【答案】C

【解析】解：由z=(m2−4)+(m+2)i为纯虚数，

则m2−4=0m+2≠0，解得m=2．

∴复数z的虚部为m+2=4．

故选：C【解析】解：因为a=(−1,3),b=(2,4)，

所以2a−b=2(−1,3)−(2,4)=(−4,2)．

故选：【解析】解：因为α为第三象限角，且sinα=−13，

所以cosα=−1−sin2α=−223，

【解析】解：设三角形ABC的外接圆半径为r，则2r=ABsin2π3=60332=120，所以r=60，

因为月牙内弧所对的圆心角为2π−2×2π3=2π3，所以内弧的弧长为l=60×2π3=40π，

所以弓形的面积为S【解析】解：ED=AD−AE=AD−136.【答案】D

【解析】解：∵α为钝角，β为锐角，且sinα=45，sinβ=1213，

∴cosα=−35，cosβ=513，

∴cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−35)⋅513+45⋅12【解析】解：由题意，(cosπ3+i⋅sinπ3)2=cos2π3+i【解析】解：因为β∈(π4,π2)，sin(β−π4)=35，

所以β−π4∈(0,π4)，cos(β−π4)=45，

于是sin2(β−π4)=2sin(β−π4)cos(β−π4)=24【解析】解：2−i2+i=(2−i)2(2+i)(2−i)=35−45i，

又复数z是2−i2+i的共轭复数，则z=35+45i，故A错误；|z|=【解析】解：对于A，(m−2n)⋅n=m⋅n−2|n|2=4−3−2×5=−9≠0，即m−2n与n不垂直，故A错误；

对于B，因为2×1−(−3)×2=8≠0，所以m，n不共线，故m与n可以作为一组基底向量，故B正确；

对于C，cos〈m,n〉=m⋅n【解析】解：对于A选项，若β=π6，

由2cosα=sin(α+β)得，2cosα=sin(α+π6)=sinαcosπ6+cosαsinπ6=32sinα+12cosα，

即32cosα=32sinα⇒tanα=3，

又α为锐角，所以α=π3，故A正确；

对于B选项，若α+2β=π2，则α=π2−2β，

由2cosα=sin(α+β)得，2cos(π2−2β)=sin(π2−2β+β)，

所以2sin2β=cosβ=4sinβcosβ，

因为β为锐角，cosβ≠0，

故sinβ=14，故B错误；

对于D选项，由2cosα=sin(α+β)，得2cosα=sinαcosβ+cosαsinβ⇒tanα=2−sinβcosβ=2−sinβ1−【解析】解：根据题意，a=(1,−1)，b=(−2,t)，

若a与b共线，则有(−1)×(−2)=t，即t=2．

故答案为：2．

13.【答案】【解析】解：因为tan2θ=−4tan(θ+π4)，

则2tanθ1−tan2θ=−4(tanθ+tanπ4)1−tanθ⋅tanπ4=−4(tanθ+1)1−tanθ，

显然1−tanθ≠0，可得tanθ1+tanθ=−2(tanθ+1)，

整理得2tan2θ+5tanθ+2=0，解得【解析】解：设∠DAB=θ，则∠BDA=3π4−θ，

由正弦定理可得：ABsin(3π4−θ)=ADsinπ4，所以AD=2sin(3π4−θ)15.【答案】解：(1)根据题意，可得z=5(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+(2+i)=5(−1−3i)1−4i2+2+i=−1−3i+2+i=1−2i．

所以|z|=12+(−2)2=5；

(2)由(1)得z=1−2i，因为z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，【解析】(1)根据复数的四则运算法则，化简得到z=1−2i，然后根据复数的模的公式求出|z|的值；

(2)根据“实系数一元二次方程有一对共轭的虚数根”，建立关于m、n的等式，进而计算出m、n的值．

16.【答案】解：(1)因为k=(1,−2)，j=(1,λ)，

所以k⋅j=1−2λ=−5，解得λ=3；

则j=(1,3)，所以k在j方向上的投影数量为k⋅j|j|=−512+32=−102；

【解析】(1)由数量积的坐标表示式计算即得λ的值；利用投影向量的定义式计算即得；

(2)由题中条件，将不等式整理得到一元二次不等式在R上恒成立，只需求解Δ≤0即得．

17.【答案】解：(1)f(x)=sinωxcosωx+cos2ω=sinωx⋅cosωx+1+cos2ωx2=12sin2ωx+12cos2ωx+12=22sin(2ωx+π4)+12，

函数f(x)的最小正周期为π，所以2π2ω=π，所以ω=1．

所以f(x)=22sin(2x+π4)+12．

令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，

即【解析】(1)直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间；

(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，再结合函数的定义域求出函数的值域．

18.【答案】解：(1)选择①，(a+c)(sinA−sinC)+(b−a)sinB=0，

由正弦定理，(a+c)(a−c)+(b−a)b=0，即a2+b2−c2=ab，

由余弦定理，cosC=a2+b2−c22ab=12，

因为0<C<π，故C=π3；

选择②，2sinB−sinA=2sinCcosA，因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，

则2(sinAcosC+sinCcosA)−sinA=2sinCcosA，整理得，sinA(2cosC−1)=0，

因为0<A<π，sinA>0，故cosC=12，因为0<C<π，

故C=π3；

选择③，由ccos(π2−A)=3asin(C+5π2)可得，csinA=3acosC，

由正弦定理得，sinCsinA=3sinAcosC，

因为0<A<π，sinA>0，故tanC=【解析】(1)分别选择①，②，③，利用正弦定理和余弦定理边角互化，借助于三角形内角和与诱导公式化简，最后通过观察三角函数图象即可求出角C；

(2)利用正弦定理化边为角表示，把三角形的周长整理成关于内角的正弦型函数，结合正弦函数的图象即可求得三角形周长的范围．19.【答案】解：(1)因为tanA+tanB=3(tanAtanB−1)，

所以tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAatnB=3(tanAtanB−1)1−tanAtanB=−3，

在三角形ABC中，tan(A+B)=tan(π−C)=−tanC，

所以tanC=3，又C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)如图所示，以AB中点D为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，

则圆心O在y轴上，不妨设O(0,y0)，y0≥0，

则A(−32,0)，B(32,0)，

由正弦定理，可得外接圆半径r=12×ABsinC=12×332=1，

由|OA|=1，得(0+32)