2023-2024学年北京市朝阳区八年级下学期期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市朝阳区八年级下学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中，是最简二次根式的是(

)A.5 B.8 C.12.下列计算正确的是(

)A.2+3=5 B.3.在▵ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断∠A=90∘的是(

)A.a=3,b=4,c=5 B.a=6,b=5,c=4

C.a=2,b=2,c=4.如图，AB/​/CD，AD,BC相交于点O，下列两个三角形的面积不一定相等的是(

)

A.▵ABC和▵ABD B.▵ACD和▵BCD

C.▵AOC和▵BOD D.▵AOB和△COD5.在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后，一定不发生变化的统计量是(

)A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差6.满足下列条件的四边形一定是正方形的是(

)A.对角线互相平分的四边形 B.有三个角是直角的四边形

C.有一组邻边相等的平行四边形 D.对角线相等的菱形7.下列函数的图象是由正比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的是(

)A.y=2x+1 B.y=2x+2 C.y=2x−1 D.y=2x−28.我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形ABCD的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形ABCD的面积为y，AC的长度为x，则下列图象中，可以表示y与x的函数关系的图象大致是(

)

A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.若3−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

．10.写出一个图象经过第二、三、四象限的一次函数表达式

．11.下表是某校排球队队员的年龄分布，该排球队队员的平均年龄是

岁．年龄/岁12131415频数113312.如图，DE是▵ABC的中位线，若▵ABC的周长为10，则▵ADE的周长为

．

13.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BEC=

 ∘．

14.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘,∠A=30∘,AB=4，P为射线AB上一点，若▵ACP是等腰三角形，则AP的长为15.直线y=kx+3k−2k≠0一定经过一个定点，这个定点的坐标是

．16.如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示．若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为

．

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：27−18.(本小题8分)

已知a=2，求代数式a+19.(本小题8分)如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE并延长至点F，使EF=EO，连接AF,BF．求证：四边形AFBO是菱形．

20.(本小题8分)数学课上老师提出一个命题：如果四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形．下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程．证明：因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC,AB=CD．又因为BEFC也是平行四边形，所以BC=EF,BE=CF．所以AD=EF,AB+BE=DC+CF．即AE=DF．所以四边形AEFD是平行四边形．讨论后大家发现这个证明过程存在问题(1)请说明该同学证明中出现的问题；(2)给出正确的证明．21.(本小题8分)如图；在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx与y=6−x的图象交于点A．(1)若点A的横坐标为2，求k的值；(2)若关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解，直接写出k的取值范围．22.(本小题8分)某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：a.16名学生的编号与身高：编号①②③④⑤⑥⑦⑧身高161162162164165165165166编号⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯身高166167168168170172172175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75mnc.分组方案：

甲组队员编号乙组队员编号方案一①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯方案二①③⑤⑦⑨⑪⑬⑮②④⑥⑧⑩⑫⑭⑯方案三①③⑤⑦⑩⑫⑭⑯②④⑥⑧⑨⑪⑬⑮方案四①④⑤⑧⑨⑫⑬⑯②③⑥⑦⑩⑪⑭⑮(1)写出表中m，n的值；(2)按照方案一分成的两组中，学生身高更整齐的是_

(填“甲组”或“乙组”)；(3)如果分成的两组学生的平均身高接近，且身高的方差也接近，则认为这两组学生的身高整体接近，在演出时舞台呈现效果更好．在这四个分组方案中，舞台呈现效果最好的是方案(填“一”“二”“三”或“四”)．23.(本小题8分)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度OD；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a，芦苇高出水面的部分CD=nn<a，则水池的深度ODOD=b可以通过公式b=24.(本小题8分)如图，E为正方形ABCD内部一点，且AE=AB，BE的延长线交CD于点F．(1)求证：∠CBF=1(2)作FG⊥AB于点G，交AE于点H，用等式表示线段AH,BG,FH的数量关系，并证明．25.(本小题8分)如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：时间(t/s)12345678水位高度(ℎ/cm)2465.755.5

3

根据以上信息，解决下列问题：(1)描出以表中各组已知对应值为坐标的点；

(2)当t= _s时，杯中水位最高，是

cm；(3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为_______cm/s；(4)求停止注水时t的值；(5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时_s．

答案解析1.【答案】A

【解析】解：A、5B、8C、1D、0.3故选：A．2.【答案】C

【解析】解：A、2和B、3C、2D、10故选：C．3.【答案】C

【解析】解：A、∵a=3,b=4,c=5，∴a∴∠C=90∘，即∠A≠90B、∵a=6,b=5,c=4，∴c∴∠A≠90∘，故C、∵a=2,b=∴c∴∠A=90∘，故D、∵a=1,b=2,c=∴c∴∠B=90∘，即∠A≠90故选：C。4.【答案】D

【解析】解：∵AB/​/CD，∴S∴S∴S根据现有条件无法得到▵AOB和△COD的面积相等，故选：D．5.【答案】B

【解析】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化．故选：B．6.【答案】D

【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意；B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意；故选：D．7.【答案】B

【解析】解：把正比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的函数解析式为y=2x+1故选：B．8.【答案】D

【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E；当E点与B点重合时，AE=2，则x=AC=此时面积最大，且为2×2=4，当A往右方向移动时，AE减小，EC也减小，而x=AC=即随着x由22减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为同理，随着x的增大到22，面积也增大到前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足；故选：D．9.【答案】x≤3

【解析】解：∵∴3−x≥0∴x≤3故答案为：x≤310.【答案】答案不唯一，如y=−x−2

【解析】解：∵一次函数图像过第二、三、四象限，∴k<0，b<0，∴此题答案不唯一，如y=−x−2．故答案为：答案不唯一，如y=−x−2．11.【答案】14

【解析】解：该排球队队员的平均年龄是12+13+14×3+15×38=14(故答案为：14．12.【答案】5

【解析】解：∵DE是▵ABC的中位线，∴DE=1∴▵ADE的周长为AD+DE+AE=1故答案为：5．13.【答案】30

【解析】解：正方形ABCD中，AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA=90∵▵ADE为等边三角形，∴AD=AE=DE,∠EAD=∠AED=∠ADE=60∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠EAD=150∴∠AEB=1同理，∠DEC=15∴∠BEC=∠AED−∠AEB−∠DEC=60故答案为：30．14.【答案】23或6或【解析】解：∵∠C=90∴BC=1由勾股定理得：AC=当AC=AP时，如图，则AP=2当AC=PC时，过点C作CE⊥AB于E，如图；则CE=12AC=由勾股定理得：AE=∴AP=2AE=6；当PC=PA时，则∠PCA=∠A=30∴∠BPC=2∠A=60而∠ABC=90即∠ABC=∠BPC=60∴PC=BC=2，∴△PBC是等边三角形，∴PB=2，∴PA=AB−PB=2；综上，PA的长为23或6或15.【答案】(−3,−2)

【解析】解：y=kx+3k−2变形为y=k(x+3)−2，直线y=kx+3k−2过定点，则与k值无关，∴x+3=0，即x=−3，∴y=−2，即定点坐标为(−3,−2)；故答案为：(−3,−2)．16.【答案】2【解析】解：设小矩形的长为a，宽为b，则大矩形长为2a+b，宽为a+2b，由题意得：(2a+b)(a+2b)−5ab=40，化简得a2∴即小矩形对角线的长为2故答案为：217.【答案】解：=3=3=18.【答案】解：∵a=∴a+=a+=a+a−1=2a−1，当a=2时，原式

【解析】本题考查了二次根式的化简求值，利用二次根式的性质正确化简是解题的关键；先化简二次根式，再代入计算求值即可．19.【答案】证明：∵E为AB的中点，∴EA=EB，又∵EF=EO，∴四边形AFBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴四边形AFBO是菱形．【解析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四边形AFBO是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到OA=OB，由此即可证明四边形AFBO是菱形．20.【答案】(1)解：∵题中并没有指明A、B、E三点共线，C、D、F三点共线，∴由AB+BE=DC+CF并不能得到AE=DF；(2)证明：因为ABCD是平行四边形，所以AD=BC,AD//BC．又因为BEFC也是平行四边形，所以BC=EF,BC//EF．所以AD=EF,AD//EF．所以四边形AEFD是平行四边形．【解析】(1)题中并没有指明A、B、E三点共线，C、D、F三点共线，则无法证明AE=DF；(2)由平行四边形对边相等且平行得到AD=BC,AD//BC，BC=EF,BC//EF，进而得到AD=EF,AD//EF，由此即可证明四边形AEFD是平行四边形．21.【答案】(1)解：当x=2时，y=6−2=4，则A(2,4)；把A的坐标代入y=kx中，得4=2k，即k=2；(2)解：由(1)知，当x=2时，k=2；当x=3时，y=6−3=3，即B3,3把点B坐标代入y=kx中，得3=3k，即k=1；由图知，当1≤k<2时，关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解．故k的取值范围为1≤k<2．【解析】(1)把点A的横坐标为2代入y=6−x中，得A点坐标，把A点坐标代入y=kx中，即可求得k的值；(2)由(1)知，当x=2时，求得k的值为2；当x=3时，可求得k的值；结合图形，当k的值位于这两者之间时，保证关于x的不等式kx<6−x有且只有2个正整数解．22.【答案】(1)解：由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，则m=166+166从表中知，数据165出现的次数最多，故众数n=165；故答案为：166；165；(2)解：甲组中最大与最小数据的差为166−161=5，乙组中最大与最小数据的差为175−166=9，而9>5，表明甲组的数据更接近平均数，即甲组的波动程度更小，学生身高更整齐；故选：甲；(3)解：方案一：甲组平均数为：18乙组的平均数为：1方案二：甲组平均数为：18乙组的平均数为：1方案三：甲组平均数为：18乙组的平均数为：18方案四：甲组平均数为：18乙组的平均数为：18

方案三、四中两组的平均数更接近；而方案三中，甲组最大与最小的差为14，乙组中最大与最小的差为10；方案四中甲组最大与最小的差为11，乙组中最大与最小的差为10；表明方案四中两组的方差更接近，故方案四舞台呈现效果最好；故答案为：四．【解析】(1)由a知，第⑧、⑨号队员是处于中间位置的两个数，由中位数的意义则可求得中位数m的值；找到出现次数最多的即可；(2)根据两组中最大值与最小值的差即可作出判断；(3)分别计算各个方案中每组的平均数，选择平均数最接近的两组，再计算出方案中两个组的最大值与最小值的差，可判断出数据的稳定性，从而作出判断．23.【答案】(1)解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为OC=OD+CD=(x+1)尺，由题意有：OE=OC=(x+1)尺；∵O为AB中点，且AB=1丈=10尺，∴OA=12AB=在Rt▵EAO中，由勾股定理得：AE即x2解得：x=12；即OD=12尺；答：水池的深度OD为12尺；(2)证明：水池深度OD=b，则芦苇高度为OC=OD+CD=b+n，由题意有：OE=OC=b+n；∵O为AB中点，且AB=2a，∴OA=1在Rt▵EAO中，由勾股定理得：AE即b2整理得：b=a表明刘徽解法是正确的．【解析】(1)设水池深度为x尺，则得芦苇高度为(x+1)尺，在Rt▵EAO中，利用勾股定理建立方程即可求解；(2)由水池深度OD=b，则得芦苇高度为OC=OD+CD=b+n，由题意有：OE=OC=b+n；由勾股定理即可得证．24.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，

∴∠ABC=90如图1，作AM⊥BE于M，

图1∵AE=AB，∴∠BAM=∠EAM=1∵∠CB