任务4.1 频率特性讲解

项目四

控制系统的频域分析4.0概述

时域分析信号不只和时间有关，还和频率有关；则信号随着不同频率是如何变化？x(t)=50*sin(2*pi*50*t)+100*sin(2*pi*120*t);

时域分析时域内要解微分方程，而频域内变成了求解代数方程；系统响应性能不满足工程要求时，如何调整系统？系统无法解析建模时，不能研究系统性能？时间、频率和幅度的三维坐标

频域分析频域分析：以输入信号的频率为变量，在频域内研究系统结构参数与性能关系的一种方法。系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来；无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向。频域分析的优点：可由微分方程或传递函数求得，也易于实验分析;可方便设计出能有效抑制噪声的系统。教学重点：频率特性的基本概念，表达方法，频率特性的绘制，系统稳定性的判断及相对稳定性的衡量。教学难点：开环幅相频率特性图的画法，闭环频率特性的求法，频率特性和时间响应的关系1、理解频率特性的概念；熟练掌握Nyquist图和Bode图的一般绘制方法；熟记典型环节的频率特性曲线。2、熟练运用Nyquist判据判断系统的稳定性；熟练运用Bode图分析系统性能。3、掌握闭环频率特性的概念，频域中的性能指标，稳定裕度的概念。4、了解最小相位系统与非最小相位系统的概念；并能用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。5、掌握用频率特性实验法辩识系统的传递函数。教学目的：任务4.1频率特性

系统的频率特性指系统在正弦信号作用下系统的稳态响应的振幅、相位与所输入正弦信号频率之间的依赖关系。一、频率特性的概念

设系统结构如图所示，由劳斯判据知当系统稳定。K0＜K＜30

给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率Ar=5ω=1【FZ1】曲线如下:

给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率Ar=5ω=2曲线如下:

给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率Ar=5ω=3曲线如下:

给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率Ar=5ω=5曲线如下:

给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率Ar=5ω=10曲线如下:

结论：给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输出是与输入同频率的正弦信号，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。

对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和y(t)，系统的传递函数为G(s)。式中，为极点。一般系统正弦信号作用下的稳态输入输出

若：则：拉氏反变换为：

若系统稳定，则极点都在s左半平面。当，即稳态时：式中，分别为：

而式中：Rm

、Ym分别为输入、输出信号的幅值。

上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移动了。和 都是频率的函数。正弦输入曲线频率响应曲线定义1：

系统或环节对正弦输入信号的稳态响应与输入函数之比为频率特性。x=Asinωt

G(s)y(t)

A是幅值，ω是角频率.稳态响应，是频率的函数。二、频率特性的定义

由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。定义2：线性定常系统的输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，定义为系统的频率特性，即从数学意义上，频率特性与传递函数存在下列简单的关系或者幅角形式频率特性一般是复变函数，所以可以表示为指数形式

记，称为幅频特性，，称为相频特性。频率特性也可以表示为代数形式

还可将写成复数形式，即

这里和分别称为系统的实频特性和虚频特性。

对于一般线性定常系统，在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量也是一个同频率的正弦信号。据此，在控制理论中，可得到更具有明显物理意义的频率特性定义。

幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：

线性定常系统在正弦输入作用下，输出量的稳态分量的复相量与输入正弦信号的复相量之比，定义为系统的频率特性，即定义3：实验测定频率特性

用频率或超低频信号发生器，作为输入信号加在系统的输入端，当系统稳定后，同时记录系统输入和输出数据。找到在此刻频率下的幅值比和相位差。然后改变ω，逐一记录B、A(ω)和φ(ω)，就获得了频率特性。

直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y记录仪上显示或。φ方法①方法②

频率特性的性质①

与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全确定。

②

频率特性是一种稳态响应。

系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法直接观察到这种稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量（从全解的形式中理解）总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、动态性能、稳态性能等。系统微分方程的全解＝齐次通解+稳态特解这个稳态特解就是稳态分量，即频率特性定义中要用到的量。③

系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。当输入量频率

改变，则输出、输入量的幅值之比A（

）和它们的相位移

（

）也随之改变。所以A（

）和

（

）都是

的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。④

实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减。所以，可将实际系统看成一个“低通”滤波器。⑤

频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。⑥

频率特性有明确的物理意义，可以用实验的手段准确地得到系统的频率响应，当系统传递函数未知时，可以通过测量频率响应来推导系统的传递函数；⑦频率特性正好是线性系统的富立叶变换。

微分方程频率特性传递函数脉冲函数线性定常系统的数学模型

到此，我们给全了线性定常系统数学模型的三大表示体系。实频特性虚频特性幅频特性相频特性三、频率特性的几种表示方法1、频率特性的数学表示极坐标系（一）解析表示（二）图示（几何）表示1、极坐标图——Nyquist图（又叫幅相频率特性、或奈奎斯特图，简称奈氏图）2、对数坐标图——Bode图（伯德图）3、复合坐标图——Nichocls图（尼柯尔斯图，或尼氏图），一般用于闭环系统频率特性分析。三、频率特性的几种表示方法它是在复平面上用一条曲线表示由时的频率特性。即用矢量的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。四、频率特性的图像（1）极坐标图（乃奎斯特图或简称乃氏图）

极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以w为参变量画出幅值与相位之间的关系。注意：这个图表示的是G(jw)平面，而不是s平面。

乃氏图的优点：它可以在一张图上描绘出整个频域的频率响应。

不足：计算非常繁琐；不直观，无法明显地看出每个零点和极点的影响；增添了新的零点或极点时，只能重新计算；看不出ω的变化速度。由于幅频特性是w的偶函数，而相频特性是w的奇函数，所以当w从0→∞的频率特性曲线和w从－∞→0的频率特性曲线是对称于实轴的。

极坐标图（乃氏图）为偶函数；为奇函数。

………………极坐标图（乃氏图）的绘制（1）基本法（幅值与相角法）作表格在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。表1

幅相表………………

（3）找特殊点找到几个特殊点绘制大致图形若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原理，做出全频段的幅像特性图。

（2）求实部、虚部（实部虚部法）分别计算的实部和虚部，在复平面上找到相应点，用光滑曲线连起来。

对数幅相图又称为尼氏图，对数幅相图采用直角坐标系，其中取幅频特性的对数为纵坐标，单位为分贝（dB），线性分度，取相频特性做横坐标单位为度（），线性分度，对数幅相图是以频率为参变量的。一般用于闭环系统频率特性分析中。

（2）对数幅相图(Nichols)退出

对数幅频特性曲线以频率为横坐标，并采用对数分度；纵坐标表示对数幅频特性的函数，单位为分贝（dB），线性分度，对数相频特性曲线的横坐标与对数幅频特性曲线相同；纵坐标表示相频特性的函数值单位为度（）线性分度，对数幅频特性和对数相频特性组成的对数坐标图，称之为伯德图，简称伯氏图。（3）对数坐标图【伯德（Bode）图】

Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。波德图坐标的分度横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w

的对数值logw

进行线性分度的。但为了便于观察仍标以w

的值，因此对w

而言是非线性刻度。w

每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w

的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。（3）对数坐标图【伯德（Bode）图】

对数相频特性的纵轴是线性分度：对数幅频特性的纵轴按下式线性分度:半对数坐标系。

对数分度方法：ω110100100010000…lgω

0

1

2

3

4

…ω123456789

10lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1

对数幅频特性曲线L(

)

由于w以对数分度，所以零频率点在－∞处。

纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以L(w)=20logA(w)表示。其单位为分贝(dB)。直接将20logA(w)值标注在纵坐标上。

相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。

一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。

当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益=20log(幅值)

幅值A(w)1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000对数幅值20lgA(w)02468101520406080幅值A(w)1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001对数幅值20lgA(w)0-2-4-6-8-10