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文档简介
2021-2022学年黑龙江省大庆三十六中等校联考九年级(上)期
末数学试卷
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1.(3分)下列计算正确的是()
A.a2,a3—c^>B.(-a2)3—a6
C.(ab)2=a2h2D.(a-%)2=a2-h2
2.(3分)在Rt^ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是()
A.已知BC=6,/C=90°
B.已知NC=90°,/A=60°,BC=5
C.已知NC=90°,ZA=ZB
D.已知NC=NB=45°
3.(3分)下列说法正确的是()
A.相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等
B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
C.等弧所对的圆心角相等,所对的弦相等
D.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条直径
5.(3分)如图,A8是河堤横断面的迎水坡,堤高AC=V5,水平距离BC=1,则斜坡48
的坡度为()
A.V3B.—C.30°D.6()。
6.(3分)小刚在解关于x的方程a?+fec+c=O(aWO)时,只抄对了a=2,c=l,解出其
中一个根是x=l.他核对时发现所抄的匕比原方程的力值小1.则原方程的根的情况是
()
A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根
C.有另一个根是x=-lD.有两个相等的实数根
7.(3分)如图,若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA,AB分别相交于C,D
两点,且OC=38£>,则实数4的值为()
8.(3分)若二次函数)=-/+如在-1WXW2时的最大值为3,那么根的值是()
77
A.-4或-B.-26或一C.-4或2V5D.-2g或26
22
9.(3分)如图,已知直线讯交。。于A、B两点,AE是。O的直径,点C为。。上一点,
且AC平分/R1E,过C作C£>J_勿,垂足为。,且。C+D4=12,。。的直径为20,则
AB的长等于()
10.(3分)如图所示,己知二次函数),=/+岳:+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)
两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为O,则下列结论:
①2a+8=0;
②2cV36
③当△ABC是等腰三角形时,〃的值有2个;
④当△BCD是直角三角形时,a=-号.
二、填空题:(每小题3分,共24分)
11.(3分)0.002021用科学记数法表示为2.021X10”,则小的值为.
,3%v4%+1
12.(3分)若关于x的不等式组一…,恰有2个整数解,则a的取值范围为.
13.(3分)将△4BC纸片沿OE按如图的方式折叠.若NC=50°,Zl=85°,则N2等
于_______
14.(3分)如图,在等腰Rt^ABC中,AC=BC=3VL点尸在以斜边A8为直径的半圆上,
M为PC的中点.当点尸沿半圆从点A运动至点8,点M运动的路径长是.
15.(3分)如果数机使关于x的二次函数y=-/+2X+〃L4的函数值恒为负数,且使关于
x的方程(〃L2)/+4X-1=0有实数根,那么所有满足条件的整数〃?的值的和为.
16.(3分)如图,在RtzXABC中,AB=AC=8,点E,F分别是AB,AC的中点,点尸是
1
扇形AEF的弧E尸上任意一点,连接BP,CP,贝叩?P+CP的最小值是
17.(3分)一副三角板如图放置,将三角板4OE绕点A逆时针旋转a(0°<a<90"
使得三角板AOE的一边所在的直线与8c垂直,则a的度数为
18.(3分)如图,在△ABC中,点。是AB边上的一点,且40=38。,连接C。并取C。
的中点E,连接BE,若N4CD=NBED=45°,且CD=6或,则AB的长为.
19.(4分)计算:(it-3.14)°+V^8+2V3tan600-(-2)202u(-)202°.
2
20.(4分)解方程:2-名=涔.
y-r1y—i
21.(5分)如图,正方形A8CD,点E,尸分别在AD,CD上,_SDE=CF,AF与BE相
交于点G.
(1)求证:BE=AF\
(2)若48=4,DE=1,求AG的长.
BC
22.(5分)新冠肺炎期间,各地积极抗疫,建起了方舱医院,如图,某方舱医院内一张长
200。〃,高50。"的病床靠墙摆放,在上方安装空调,高度CE=250aw,下沿EF与墙垂
直,出风口下离墙20a”,空调开启后,挡风板尸G与E夹角成136°,风沿FG方向吹
出,为了病人不受空调风干扰,不能直接吹到病床上,请问空调安装的高度足够吗?为
什么?(参考数据:sin46°心0.72,cos46°g0.69,tan46°—1.04)
23.(6分)为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求,某学校开设了四门校本课程
供学生选择:A.趣味数学;8.博乐阅读;C.快乐英语;。.硬笔书法.某年级共有
100名学生选择了4课程,为了解本年级选择A课程学生的学习情况,从这100名学生
中随机抽取了30名学生进行测试,将他们的成绩(百分制)分成六组,绘制成频数分布
直方图.
(1)已知70Wx〈80这组的数据为:72,73,75,74,79,76,76,则这组数据的中位
数是,众数是;
(2)根据题中信息,估计该年级选择A课程学生成绩在80<x<90的总人数:
(3)该年级每名学生选两门不同的课程,小张同时选择课程A和课程B的概率是多少?
请用列表法或树状图的方法加以说明.
24.(8分)某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售
量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系.
(1)请求出y与x的函数关系式;
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出
200元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元,如何确定该款电动牙刷
25.(7分)定义:如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN
为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段A8的勾股点.已知点M、N是线
段的勾股点,若AM=1,MN=2,则BN=.
(1)如图2,OE是△4BC的中位线,M、N是A8边的勾股点(AM<MN<NB),连接
CM、CN分别交。E于点G、H.求证:G、H是线段QE的勾股点.
(2)如图3,C,£>是线段A3的勾股点(ACVBOVC。),以CD为直径画。0,P在。0
上,AC=CP,连接用,PB,若NA=2/8,求NB的度数.
两点
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)ZVIOB的面积为;
(3)直接写出不等式丘+6>半的解集
(4)点P在x的负半轴上,当△雨。为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
27.(9分)如图1,△ABC内接于。O,N8AC的平分线A。交。。于点£),交BC于点E,
过点D作DF//BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:MBDEsXADB;
(2)试判断直线。尸与。。的位置关系,并说明理由;
(8,0),B(0,6),CD=5,抛物线-竽x+c(aWO)过B,C两点,动点M从
点。开始以每秒5个单位长度的速度沿Q-A-BfC的方向运动到达C点后停止运动.动
点N从点0以每秒4个单位长度的速度沿0C方向运动,到达C点后,立即返回,向
C。方向运动,到达0点后,又立即返回,依此在线段0C上反复运动,当点用停止运
动时,点N也停止运动,设运动时间为f.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点。的坐标;
(3)当点M,N同时开始运动时,若以点M,D,C为顶点的三角形与以点B,O,N
为顶点的三角形相似,求r的值;
(4)过点。与x轴平行的直线,交抛物线的对称轴于点Q,将线段沿过点8的直线
翻折,点A的对称点为A,,求HQ+QV+EW的最小值.
2021-2022学年黑龙江省大庆三十六中等校联考九年级(上)期
末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(每小题3分,共30分)
1.(3分)下列计算正确的是()
A.a2,a3=a6B.(-a2)3=i?6
C.Cab)2—a2b2D.(a-b)2—a2-b1
【解答】解:A、J./:/,故此选项错误;
B、(-“2)3=”6,故此选项错误;
C、(ah)2=a2b2,正确;
D、(tz-b)2—a2-2ab+b1,故此选项错误;
故选:C.
2.(3分)在RtZ\ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是()
A.已知8c=6,/C=90°
B.已知NC=90°,NA=60°,BC=5
C.已知NC=90°,ZA=ZB
D.已知/C=NB=45°
【解答】解:•••选项C、。缺少边的条件,A缺少锐角的条件,
,不能解直角三角形,
选项B中,由/A的正弦可求出AB,再根据直角三角形的性质可求出N2,然后由勾股
定理或/A的正切函数可求出AC.
故选:B.
3.(3分)下列说法正确的是()
A.相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等
B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
C.等弧所对的圆心角相等,所对的弦相等
D.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条直径
【解答】解:A.图1
如图1,圆心角NA08=圆心角NC。。,但是您M前,弦ABW弦C£>,故本选项不符
合题意;
如图2,直径A8和弦CQ,AB平分CD,但是A8和CD不垂直,故本选项不符合题意;
C.等弧所对的圆心角相等,所对的弦也相等,故本选项符合题意;
D.圆是轴对称图形,对称轴是直径所在的直线(对称轴是直线,不是线段),故本选项
不符合题意:
故选:C.
4.(3分)下列图形中,ZX/IBC与不一定相似的是()
【解答】解:4、当EF与BC不平行时,△ABC与△DE尸不一定相似,故本选项正确;
B、由NABC=NEFC,NACB=NECF可以判定凡故本选项错误;
C、由圆周角定理推知又由对顶角相等得到NAC8=NEED,可以判定aABC
s^DEF,故本选项错误;
。、由圆周角定理得到:ZACB=90°,所以根据N4CB=NCDB,ZABC=ZCBD,可
以判定△ABCs/XOEF,故本选项错误;
故选:A.
5.(3分)如图,AB是河堤横断面的迎水坡,堤高AC=V5,水平距离5c=1,则斜坡A8
A.V3B.—C.30°D.60°
【解答】解:由题意可得:NACB=90°,则斜坡AB的坡度为:箓=彳=«.
故选:A.
6.(3分)小刚在解关于x的方程aW+bx+c=0(a#0)时,只抄对了a=2,c=1,解出其
中一个根是x=1.他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1.则原方程的根的情况是
()
A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根
C.有另一个根是x=-lD.有两个相等的实数根
【解答】解:根据题意得x=l为方程2/+法+1=0的一个根,
设此方程的另一根为f,则1+/=-故lX/另,
解得f=;,b=-3,
即所抄的6的值为-3,
所以原方程的〃的值为-2,
则原方程为Zr2-2x+l=0,
因为A=(-2)2-4X2=-4<0,
所以原方程没有实数解.
故选:A.
7.(3分)如图,若双曲线)口右与边长为5的等边△AOB的边OA,A3分别相交于C,D
两点,且OC=33O,则实数Z的值为()
7
Bx
A.2V3B.-V3C.-V3D.1
24
【解答】解:(方法一)过点。作CE_LO3于点E,过点。作。凡LO8于点E则
ZOEC=ZBFD=90°,
V/\AOB是等边三角形,
.•./COE=N£>2F=60°,
:.AOECsgFD,
;.0E:BF=OC-.BD,
':OC=3BD,
;.0E=3BF,
设BF=x,贝U0E=3x,
,CE=V3OE=3V3x,DF=曲BF=回,
:.C(3x,3岳),OF=OB-BF=5-x,
:.D(5-x,6x),
•.•点C和点。在反比例函数图象上,
"=3XX3V5X=(5-x)x岳,
解得:x=0(舍)或x=粉,
(方法二)过点C作CELOB于点E,过点D作DFLOB于点F,
•.♦△AOB是等边三角形,
:.ZC0E^ZB=6Q°,
设BD=2n,则OC=3BO=6〃,
-1
,0E=今。C=3n,CE=g0E=2次〃,
...点C的坐标为(3”,2V3n),
同类可得,BF=*BD=n,DF=^3DF=V3n,
:.OF=OB-BF=5-n,
...点。的坐标为(5-”,V3n),
:点C和点。都在反比例函数图象上,
.•.3〃义2旧”=(5-n)xV3n,
解得:n=i,
3
3-
.•.点C的坐标为(;,2
2
.,33与_9点
••k—2Xv2V3—彳*
(方法三)过点C作CEJ_OB于点£,过点。作J_OB于点E则N0EC=N8U>=
90°,
:△A03是等边三角形,
:.ZCOE=ZDBF=60°,
:•△OECs/\BFD,
:.OE:BF=OC:BD=OC:BD=3,
・・,点。在反比例函数图象上,
k
设C(。,一),
a
k
:一
♦OE=a,CE=a,
:.DF=\CE=上,即点D的纵坐标为二,
33a3a
k
/.点D(3a——),
f3a
/.OF=3a,
:.BF=OB-OF=5-3cb
OE=3BF,
••61~~3(5—3a),
解得:a=I,
.,.CE=OEtan60°=|V3,即点C的坐标为(],-73),
•7_33仄_9二
♦♦K—2X2V3=彳•
故选:C.
8.(3分)若二次函数y=-f+,nr在-1WXW2时的最大值为3,那么〃?的值是()
77
A.-4或-B.-2b或-C・-4或2次D.-2遮或2遮
22
【解答】解:,.•>=-7+以内,
・・・抛物线开口向下,抛物线的对称轴为直线x=-田F=?,
①当/4-1,即时,当x=-l时,函数最大值为3,
-1-m=3,
解得:m=-4;
771
②当]22,即机24时,当x=2时,函数最大值为3,
-4+2/=3,
解得:m=(舍去).
③当-IV与<2,即-2<机<4时,当犬=鄂寸,函数最大值为3,
.m2m2a
..一丁+彳=3,
解得,〃=2值或加=-2次(舍去),
综上所述,机=-4或机=2遮,
故选:C.
9.(3分)如图,已知直线孙交。。于4、B两点,AE是。0的直径,点C为。0上一点,
且AC平分/B4E,过C作CDJ_Rb垂足为。,且OC+D4=12,。。的直径为20,则
4B的长等于()
A.8B.12C.16D.18
【解答】解:连接OC,过。作。凡LAB,垂足为凡
♦:OA=OC,
:.ZOCA=ZOACf
TAC平分
:.ZDAC=ZCAO,
:.ZDAC=ZOCA9
J.PB//OC,
VCD1ZM,
AZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,
・・・四边形DCOF为矩形,
:・OC=FD,OF=CD.
VDC+DA=12,
设AD=x,则。/=CD=12-x,
・・・。。的直径为20,
:.DF=OC=\Of
:.AF=10-X9
在RtZ\AOb中,由勾股定理得A/+。产=042.
即(10-X)2+(12-X)2=1()2,
解得Xl=4,X2=18.
・・・。。=12-%大于0,故x=18舍去,
/.x=4,
,4。=4,”=10-4=6,
OFLAB,由垂径定理知,F为48的中点,
:.AB=2AF=\2.
故选:B.
10.(3分)如图所示,已知二次函数),=〃/+法+。的图象与x轴交于A(-1,0),8(3,0)
两点,与),轴的正半轴交于点C,顶点为。,则下列结论:
①2a+6=0;
②2c<36
③当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个;
④当△BC。是直角三角形时,。=一冬
【解答】解:•.•二次函数y=a?+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
对称轴为直线x=-/=1,
:.b=-2a,
,2〃+。=0,故①正确,
当x=-1时,0=〃-b+c,
•\a+2a+c=0,
c=-3m
:.2c=3h,故②错误;
,二次函数y=o%2-2以-3a,(a<0)
.•.点C(0,-3a),
当BC=AB时,4=V9+9a2,
当AC=BA时,4=Vl+9a2,
.715
••"=一"T'
...当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个,故③正确;
,二次函数>=依2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,
二顶点£>(〉-4a),
:.BD2=4+16a2,BC2=9+9a2,CD2^cr+l,
若NB£>C=9(T,可得BC2=B£>2+C£>2,
9+9〃2=4+16a2+a2+1,
.__V2
••a-2―,
若NDCB=90°,可得3£>2=C£)2+8C2,
4+16J=9+9/+/+1,
-1,
.•.当△BCD是直角三角形时,a=-1或一乎,故④错误.
故选:B.
二、填空题:(每小题3分,共24分)
11.(3分)0.002021用科学记数法表示为2.021义10%则一的值为-3.
【解答】解:0.002021用科学记数法表示为2.021X10-3,则根的值为-3.
故答案为:-3.
r3x<4x4-1
12.(3分)若关于x的不等式组~…,恰有2个整数解,则a的取值范围为0
(%-a<0---
VqW1.
【解答】解:解不等式3xW4x+l,得:尤2-1,
解不等式x-〃V0,得:x<a,
则不等式组的解集为-1WxVm
•.•不等式组的整数解有2个,
.,.0<aWl,
故答案为:0<aWl.
13.(3分)将△ABC纸片沿OE按如图的方式折叠.若NC=50°,Zl=85°,则N2等
于15°.
;.N3+/4=/4+/B=/4'+NB'=180°-ZC=130°,
VZ1+Z2+Z3+Z4+Z4/+ZB'=360°,Zl=85°,
.,.Z2=360°-85°-2X130°=15°,
故答案为:15°.
14.(3分)如图,在等腰RtZ\A2C中,AC=BC=3VI,点尸在以斜边A3为直径的半圆上,
3
M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点8,点M运动的路径长是0.
-2
【解答】解:取AB中点O,连接OP,OC,取OC中点。,连接A/D,
':AB=y/2AC=6,
:.0PAB=3,
13
:.MD=^0P=当
3
由题意可知,点M的运动路径是以点。为圆心,为万半径的半圆,
:.MD=10P=|,
122
・・・点M的运动路径长=1X27TX1=17T,
故答案为:|K.
15.(3分)如果数〃?使关于x的二次函数y=-/+2X+〃L4的函数值恒为负数,且使关于
工的方程(机-2)f+4》-1=0有实数根,那么所有满足条件的整数”的值的和为0.
【解答】解:•.•关于x的二次函数y=-7+2x+m-4的函数值恒为负数的条件为△=4+4
5-4)<0.
解得mV3,
当机=2时,关于x的方程("-2)/+4x-1=0可化为4x-1=0,该方程有实数根,
当时,关于x的方程(机-2)/+4x-1=0有实数根的条件是△=16+4(〃?-2)
20,
解得加2-2且加W2,
综上所述,-2W/?2V3,
・•・整数机的取值为:-2、-1、0、1、2,则其和为:-2-1+0+1+2=0.
故答案为:0.
16.(3分)如图,在RtZXABC中,AB=AC=S,点、E,F分别是A3,AC的中点,点尸是
1
扇形A即的弧箱上任意一点,连接8P,CP,贝的最小值是2旧.
AC
【解答】解:在48上取一点了,使得AT=2,连接PT,M,CT,
VM=4.AT=2,AB=8,
・•・*=”•AB,
,PAAB
AT-PA
*:ZPAT=ZPAB9
1•△B4Ts△§”,
.PTAP1
••PB~AB~2
1
:.PT=,B,
1
:.-PB+CP=CP+PT,
2
■:PC+PT》TC,
在REDACT中,vzcAr=90°,AT=2,AC=8,
:.CT=y/AT2+AC2=2V17,
1—
:.-PB+PC^2\)fl7,
2
1
:.~PB+PC的最小值为2g,
故答案为:2g.
17.(3分)一副三角板如图放置,将三角板AOE绕点A逆时针旋转a(00<a<90°),
使得三角板AQE的一边所在的直线与BC垂直,则a的度数为15°或60°.
【解答】解:分情况讨论:
①当。E_LBC时,180°-60°-45°=75°,;.£(=90°-ZBAD=15°;
②当AZ)_L8C时,a=90°-ZC=90°-30°=60°.
故答案为:15°或60°
18.(3分)如图,在△ABC中,点。是AB边上的一点,且AO=38£>,连接CD并取CD
的中点E,连接BE,若NACD=NBED=45°,且C£>=6近,则AB的长为4V13.
【解答】解:如图,取4。中点F,连接EF,过点。作。GLEF于G,DHLBE于H,
.\AD=3BD=3a,A3=4Q,
•・•点E为C。中点,点尸为AO中点,以>=6近,
,。尸=|〃,EF//AC,DE=3立,
:.ZFED=ZACD=45°,
VZBED=45°,
:./FED=/BED,ZFEB=90°,
VDG1EF,DHLBE,
・•・四边形是矩形,DG=DH,
・・・四边形OGE”是正方形,
:.DE=V2DG=3V2,DH//EF,
:・DG=DH=3,
*:DH//EF,
:・/BDH=/DFG,
:•△BDHs^DFG,
.BDBH
••—•)
DFDG
aBH
•=~T~,
2a3
:.BH=2,
:.BD=7BH2+、“2=74^9=V13,
.\Afi=4V13,
故答案为:4g.
三、解答题:(共66分)
19.(4分)计算:(n-3.14)°+'g+26tan60°-(-2)202u(~)2020.
2
【解答】解:原式=1+(-2)+2V5xg-(-2)2020X(-)2020X(-2)
2
=1-2+6-(-2x1)2020X(-2)
=1-2+6-IX(-2)
--1-2+6+2
=7.
20.(4分)解方程:2-景=高.
【解答】解:去分母得:2(y+1)(y-1)-2y(y-1)=3(y+l),
整理得:2尸-2-2『+2y=3y+3,
解得:y--5,
经检验y=-5是分式方程的解.
21.(5分)如图,正方形4BCD,点E,尸分别在AD,CD上,且。E=CF,A尸与8E相
交于点G.
(1)求证:BE=AF;
(2)若AB=4,DE=\,求4G的长.
【解答】(1)证明::四边形ABCD是正方形,
.,.ZBAE=Z4DF=90°,AB=AO=C£),
■:DE=CF,
:.AE=DFf
AB=AD
在△A4E和AA。/中,,284E=乙4。?,
AE=DF
:./\BAE^/\ADF(SAS),
:.BE=AF;
(2)解:由(1)得:△3AE四△AOR
・・・NEBA=/FAD,
:.ZGAE+ZAEG=90°,
AZAGE=90°,
\'AB=4,DE=1,
:.AE=3,
22
:.BE=y/AB^AE=4+32=5,
_—11
在RtZkABE中,T8XA£:=^8EXAG,
22
•人心4x312
•MC=-=-5-
22.(5分)新冠肺炎期间,各地积极抗疫,建起了方舱医院,如图,某方舱医院内一张长
200cm,高50c〃?的病床靠墙摆放,在上方安装空调,高度CE=250cm,下沿EF与墙垂
直,出风口/离墙20”?,空调开启后,挡风板FG与E夹角成136°,风沿FG方向吹
出,为了病人不受空调风干扰,不能直接吹到病床上,请问空调安装的高度足够吗?为
什么?(参考数据:sin46°-0.72,cos46°-0.69,tan46°-1.04)
【解答】解:空调安装的高度足够.理由如下:
如图,延长FG交直线AO于点”,过下作FOLA。于点O,
则/O=E£>=250-50=200(cm),A0=200-20=180(cm),/HFO=136°-90°=
46°.
H0
•.•在RtZXFH。中,tan46°=苦,
.•.HO=FOXtan46°弋200XL04=208>180,
:.HO>AO,
...空调安装的高度足够.
23.(6分)为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求,某学校开设了四门校本课程
供学生选择:A.趣味数学;艮博乐阅读;C.快乐英语;D.硬笔书法.某年级共有
10()名学生选择了A课程,为了解本年级选择A课程学生的学习情况,从这100名学生
中随机抽取了30名学生进行测试,将他们的成绩(百分制)分成六组,绘制成频数分布
直方图.
(1)已知70WxV80这组的数据为:72,73,75,74,79,76,76,则这组数据的中位
数是75,众数是76;
(2)根据题中信息,估计该年级选择A课程学生成绩在80Wx<90的总人数;
(3)该年级每名学生选两门不同的课程,小张同时选择课程A和课程B的概率是多少?
请用列表法或树状图的方法加以说明.
【解答】解:(1)把70Wx<80这组的数据排序为:72,73,74,75,76,76,79,
则这组数据的中位数是75,众数是76,
故答案为:7576;
(2)观察频数分布直方图,抽取的30名学生成绩在80Wx<90范围内的共有9人,所
9
占比例为云,
30
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80«90范围内的总人数为100X
30(人);
(3)画树状图如图所示:
开始
ABCD
A\/WA\A\
BCDACDABDABC
由树状图可知,等可能的结果共有12种,小张同时选择课程A和课程8的情况共有2
种,
小张同时选择课程A和课程B的概率是Z=
126
24.(8分)某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售
量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系.
(1)请求出y与x的函数关系式;
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出
200元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元,如何确定该款电动牙刷
的销售单价?
【解答】解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
将(30,100),(35,50)代入y=kx+h,
zr30fc+b=100
fE"l35k+b=50'
解得仁志,
.,.y与x的函数关系式为y=-lOx+400;
(2)设该款电动牙刷每天的销售利润为w元,
由题意得w=(x-20),y
=(x-20)(-lOx+400)
=-10/+600x-8000
=-10(x-30)2+1000,
V-10<0,
...当x=30时,w有最大值,卬最大值为1000.
答:该款电动牙刷销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1000元;
(3)设捐款后每天剩余利润为z元,
由题意可得z=-10?+600A-8000-200
=-10?+600x-8200,
令z=550,即-10?+600x-8200=550,
-10(x2-60A+900)=-250,
x2-60^+900=25,
解得xi=25,%2=35,
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图,
由图象可得:当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元,且不高于35元时,可保证
捐款后每天剩余利润不低于550元.
25.(7分)定义:如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN
为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股点.已知点M、N是线
段AB的勾股点,若AM=1,MN=2,则BN=_花或值
(1)如图2,OE是△ABC的中位线,M,N是A8边的勾股点(AM〈MN<NB),连接
CM,CN分别交OE于点G、H.求证:G、,是线段力E的勾股点.
(2)如图3,C,£>是线段A8的勾股点(AC<BD<C£>),以CQ为直径画0。,P在。0
上,AC=CP,连接外,PB,若NA=2NB,求NB的度数.
:.BN=7AM2+“N2=V1T4=b或BN=>JMN2-AM2=V4^T=遮,
的长为4或W;
故答案为:遍或g;
:.DE//AB,CD=AD,CE=BE,
:.CG=GM,CH=HN,
:.DG=^AM,GH=EH=&BN,
N是AB边的勾股点(AMVMNVNB),
:.BN2=MN2+AM2,
J.-BN2=序,
444
Ill
(-BN)2=(-MN)2+(-AM)2,
222
:.EH2^GH2+DG2,
;.G、H是线段QE的勾股点;
(2)如图3,连接
图3
':AC=PC,
:.ZA=ZAPC,
:./PC£)=2NA,
VC,。是线段AB的勾股点,
:.AC2+BD2=CD2,
:.PC2+BD2^CD2,
•••CD是。。的直径,
:.ZCPD=90a,
PC2+PD2=CD1,
:.PD=BD,
:.NPDC=2NB,
,/ZA=2ZB,
:.ZPDC^ZA,
在RtZXPCD中,VZPCD+ZPDC=90°,
:.2ZA+ZA=90Q,
解得/A=30°,
则NB=:N4=15°.
26.(9分)已知一次函数与反比例函数产?的图象交于A(-3,2)、B(1,〃)
两点
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)Z\AOB的面积为8;
(3)直接写出不等式fcr+b>苗的解集04<1或犬<-3;
(4)点尸在x的负半轴上,当△方。为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
【解答】解:(1)I♦反比例函数y=/经过点A(-3,2),
•-6,
:点8(1,〃)在反比例函数图象上,
••n—6.
把A,B的坐标代入、=匕+从贝解得
一次函数的解析式为y=--4,反比例函数的解析式为)=一]:
(2)如图设直线AB交y轴于C,则C(0,-4),
11
SMOB=S^OCA+S^OCB=2X4X3+2x4X1=8,
故答案为8;
(3)观察函数图象知,"+b>?的解集为OVxVl或xV-3,
故答案为0<x<l或x<-3;
(4)由题意0A=V22+32=V13,
当AO=AP时,可得Pi(-6,0),
当OA=OP时,可得P2(-V13,0),P4(V13)0)(舍去),
当B4=PO时,过点A作AJ_Lx轴于J.设OP3=P3A=X,
在RtZ\A/P3中,则有f=22+(3-x)2,
解得广景
13
*••P3(—0),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-限,0)或(一今,0)或(-6,0).
27.(9分)如图1,△A8C内接于。0,/8AC的平分线A4交。O于点。,交BC于点E,
过点D作DF//BC,交AB的延长线于点F.
(1)求证:△BDEs^ADB;
(2)试判断直线。F与。。的位置关系,并说明理由;
(3)如图2,条件不变,若8C恰好是的直径,且A8=6,AC=8,求。尸的长.
【解答】(1)证明:平分/BAC,
:.ZBAD=ZDAC,
':ZDAC=ZDBC,
:./DBC=NBAD,
;NBDE=ZADB,
:ABDEsAADB;
(2)相切.
理由:如图1,连接0D,
':ZBAD=ZDAC,
:.BD=CD,
:.OD±BC,
,JDF//BC,
:.OD±DF,
...OF与。。相切;
(3)如图2,过点B作于点”,连接。£),
则NB/〃)=90°,
是直径,
:.ZBAC=90°,
:.NBHD=NBAC,
,:NBDH=NC,
:.△BDHsABCA,
•_BHB_D_
••—,
BABC
•・・AB=6,AC=8,
:.BC=y)AB2-^AC2=10,
:.08=00=5,
:.BD=yJOB2+0D2=5V2,
.BH_5V2
••———»
610
:.BH=3号,
:.DH=y/BD2-BH2=4V2,AH=yJAB2-BH2=372,
:.AD=AH+DH=7V2,
•rOF与OO相切,
:.4FDB=4FAD,
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