【新教材教案】4.3.1等比数列的概念

4.3.1等比数列的概念（1）

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的

概念

数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，

又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。

学生在己学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的

推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培

养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A理解等比数列及等比中项的概念.1.数学抽象：等比数列的定义

B.掌握等比数列的通项公式，能运用公式2.逻辑推理：等比数列通项公式的推导

解决相关问题.3.数学运算：等比数列的运用

4.数学建模：等比数列的函数特征

重点难点

重点：等比数列及等比中项的概念

难点：等比数列的函数特征及综合运用

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、新知探究

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一

项的差都等于同一个常数”。类比等差数列的研究思路和方法，从运

算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：

9,9223，…,910；①

1OO,1OO2,1OO3,...,1OO10;②

5,52,53,...,510.③

2.《庄子・天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一通过与等差数列进

尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的行类比，引导学生通过

长度依次是观察、分析、归纳出等

111ii④比数列的定义。发展学

2'4'8'16‘32’-J

生数学抽象、数学运算、

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过

数学建模的核心素养。

分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生

的后代个数依次是

2,4,8,16,32,64,...⑤

4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r,那么按照复利，他

5年内每年末得到的本利和分别是

a(l+r),a(l+r)2,a(l+r)3,a(l+r)4,a(l+r)5⑥

如果用｛a｝表示数列①，那么有生=9,2=9,…%=9

naia2a9

其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。

探究1类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以

上数列的取值规律？你发现了什么规律？

等差数列的概念

文字如果一个数列从第一项起，每一

语言项与它的______的差都等于

__________,那么这个数列就叫

做等差数列，这个—叫做等差

数列的公差，公差通常用字母—

表示

符号

为常数，

语言

2；前一项；同一个常数；常数；1

探究2类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽

象出等比数列的概念吗？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等

比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然qK0).符号语言：

&J=q(jiN2,n€N").

an-l

探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我

们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？

等差数列等比数列

由三个数a,A,6组成最简单由三个数a,G,b组成等

的等差数列，这时，4叫做Q比数列，那么G叫做a与b的通过与等差数列中

与b的等差中项.根据等差数等比中项.此时，G2=ab.

项性质的类比，获得等

列定义可知，24=a+b.

1.下列数列为等比数列的是()比数列中项的性质。发

A.m,m2,m3,m4,...展学生逻辑推理、数学

222

B.24^6'8,...抽象和数学建模的核心

C.q—1,(q-I)2,(q-1>,(^―I)4,...

素养。

「1111

-L-*•—，—1，—q9—4，.••

aaa'cr

6242

解析：当机时，均不是等比数列；

D=0,q=lA,C-7Z7^7^,

42乙

所以B不是等比数列.

2.方程5x+4=0的两根的等比中项是()

A.|B.±2C.±\[5D.2

B解析：设方程的两根分别为Xl,X2,由根与系数的关系，得X1X2

=4,两根的等比中项为土，\GiG=±2.

探究3.你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

设一个等差数列的首项为由,公差为d,根据等差数列的定义，可得

a九+1一0n一d

612二d,Cig。2=d,6X4CL^~d,...

丁-_At£a?=Q]+d,

。3—a2+4=(。]+d)+d=。1+2d,

。4—CI3+d=(Q]+2d)+d—。]+3d,...

归纳可得册=a1+(n-1)d(n>2)

当n=1时，上式为a1=%+(1—V)d=a「这就是说,上式当时也成

立。

因此，首项为由,公差为d的等差数列｛厮｝的通项公式为an=%+(«-

1)d

请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列

如何推导通项公式？

设一个等比数列&｝的为q,根据等比数列的定义，可得

an+l=an'q

所以%=q,

=。2q=(Q]q)q=a1q2,

CI4—。3勺=(0]勺2)q——

归纳可得Q九="T(nN2)

又Qi=aiq°=ciiqiT,这就是说，当n=l时，上式也成立。

因此，首项为的,公比为q的等比数列｛。九｝的通项公式为

n-1

an=«iQ

探究4.在等差数列中，公差d40的等差数列可以与相应的一次函数

建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相

应的函数建立类似的联系？

71-1

an=aiQ=到”

当q>0且q丰,时，/(%)=—qx(x£R)

当x=ri时,f(n)=放qn(nGN*)

即指数型函数f(x)=kax

(为k,a常数，k大0,a>0且a41)构成一个等比数列｛k&i｝,

/(I)=ka,/(2)=ka2,…，/(n)=kan,•••

通过典型例题，加深

其首项为ka,公比为a

学生对等比数列及其函

探究5：类比指数函数的性质，你能说说公比q>0的等比数列的单

数特征的理解。发展学

调性吗？

生逻辑推理，直观想象、

/(%)=q■qX(xGR)

数学抽象和数学运算的

核心素。

0<q<1q>1q=l

指数函iky=q》的单调性单谓递减单调递增

等比数列%=q"的单调性单调递减单调递增不变

%>0

单调递减单调递增不变

等比数列0n=QiqnT的

单调性

%<0

单调递增单调递减不变

二、典例解析

例1.若等比数列｛&J的第4项和第6项分别为48和12,求｛a"的第

5项.

分析：等比数列｛an｝由唯一确定，可利用条件列出关于的方程(组)，

进行求解。

解法1：由。4=48,a6=12,得

(%q3=48,①)

s

1arq=12.②)

②的两边分别除以①的两边，得q2.解得q=：或/

把0~代入①，得的=384.

44

此时as=a1q=384x(1)=24.

把q=—~代入①，得%——384.

通过典型例题，加深

此时a=aq4=384x(―1)4=—24.

51学生对等比数列综合运

因此｛&J的第5项是24或一24.用能力。发展学生逻辑

解法2:因为是。4与。6的等比中项，所以说=。4。6=48义推理，直观想象、数学

12=576.抽象和数学运算的核心

所以附=±7^元=±24.素

因此，｛a九｝的第5项是24或-24.

例2已知等比数列｛七｝的公比为q,试用｛a打｝的第TH项%n表示册.

解：由题意，得。M二。1口加一1,①

n1

an=a1q~.②

②的两边分别除以①的两边，得久已呀皿

am

nm

所以an=amq~.

1.在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)

都是它的前一项与后一项的等比中项.

2.等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.

跟踪训练1在等比数列｛斯｝中，

⑴若“2=4,45=一求斯；

(2)右。2+々5=18,”3+。6=9,=1,求77.

解：设等比数列｛。“｝的首项为0,公比为/

〃2=〃iq=4,

(1)由题意可知，1

=一亍

••q=~。1=-8,

斯=aiq"-1=-8X2)4-".

(2)•.,〃3+〃6=(。2+。5)4，即9=18q,

・"=5，

由aiq+aiq4=18得ct\=32,

由a”=aiq"-i=l知"=6.

例3.数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，

第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和

等于132,求这个数列.

分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方

程组求解.

解:设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为意，

—,80,80+d,80+2d,

q

f-+(80+d)=136,

于是得hoq

(80+2d)=132.

解方程组，得或［Q=i

(d=16Q=-64

所以这个数列是20,40,80,96,112,或180,120,80,16,-48.

跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数

歹U，并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和

是12,求这四个数.

解法1：设这四个数依次为a—d,a,a+d,3^,

a

于是得卜d+a16,解方程组，得｛::或｛:9

所以当。=4,1=4时，所求的四个数为0,4,8,16；

当。=9,d=—6时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法2：设这四个数依次为四-a,匕a,aq,

qq

(2a,,

~a+aq=l6,(a=8fa=3

于是得qa解方程组，得:/或._1

-+a=12.lq-Z-3,

Iq

所以当4=8,q=2时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a=3,q=；时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

三、达标检测

1.已知｛斯｝是等比数列，(71=4,公比4=：,则45=()

通过练习巩固本节所

A-4B-1C-2D-1学知识，通过学生解决

问题，发展学生的数学

A解析：：等比数列的通项公式劣=刃0皿，

运算、逻辑推理、直观

Xq4=4X(，4=(,故选A.

想象、数学建模的核心

2.设°"=(—则数列｛。“｝是()

素养。

A.等比数列B.等差数列

C.递增数列D.递减数列

A解析：由已知数列a“=(-l)"(”cM)的前5项为-1,1,一1,1,一

1,

明显数列｛斯｝不是等差数列，也不是单调递增数列，

也不是单调递减数列，排除BCD.

(

又当"22,“GM时，—=/"^-1=~1为常数，

故数列｛%｝是等比数列.故选A.

3.若各项均为正数的等比数列｛斯｝满足43=341+242,则公比q=

()

A.1B.2C.3D.4

C解析：因为.3=3ai+2a2,所以aiq2=3ai+2ai%又ai#0,

所