2021届河北省联盟高考二模 数学(含答案)

2021届河北省名校联盟高考二模数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三四总分

得分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

------------------一、选择题（共8题，每题5分，共40分）

1.已知复数z满足z(3+4i)=i,则2=

A.4-3iB.----iC.-+-iD.---i

252525252525

2.已知集合4={x|(广2)(x-4)W0},所{x||*|(勿＞0)},若B^A,则山的最大值为

A.1B.2C.3D.4

3.某公司为了改进管理模式,决定对销售员实行目标管理,即给销售员确定一个具体的月销售目标，目标是

否合适，将直接影响公司的效益和发展,如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心；目标

过低,不利于挖掘销售员的工作潜力.现该公司统计了100名职工某月的销售额,制成如图所示的频率分布

直方图,则使65%的员工都能够完成的销售额指标是

A.7.5万元B.8万元C.7.6万元D.7.7万元

4.为了提高出行效率,避免打车困难的情况，越来越多的人选择乘坐网约车.已知甲、乙、丙三人某天早上

上班通过某平台打车的概率分别为且三人互不影响，那么甲、乙、丙3人中至少有2人通过该平台打

车的概率为

A.iB.-C.-D.-

351030

5.《九章算术•商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,其一为鳖席.”如图1所示

的长方体用平面////斜切一分为二,得到两个一模一样的三棱柱,该三棱柱就叫堑堵.如图2所示的堑堵

中，A（=i,吩4,AB=5,制=2,M为a'的中点，则异面直线4c与4犷所成角的余弦值为

D.叵

6.已知二项展开式《六|）’=的+为矛+为学+绚『+&"+为/则由+2a2+3为+4&+5a5=

A.|B.3C.|D.5

7.已知直线片之广8与曲线，立）二1-『8相切，则6a的最小值是

A.2-B.I-C.--D.2e

eee

8.已知点尸是椭圆C:^+，=1（a>6>0）的左焦点,以0,㈤（0〈水6）,直线PF交。于A,夕两点,若己尸均是线

段4?的三等分点，则和F圆，的离心率为

.更

ABCD

3-T-T-T

评卷人得分

二、多选题（共4题，每题5.0分，共20分）

9.已知e">e",则下列不等式成立的有

1々1〃2021、,2021

A.a<bB.3"^>1C.a>bD.lg(a-Z?)<1

10.已知。为坐标原点，凡凡分别是离心率为9的双曲线后的左、右焦点,P为双曲线上任一点,如平分

NA咫且耳•~PD=0,OD\=4,则

A.£的标准方程为心落1B.后的渐近线方程为x±2万0

4

D.若直线PF\与双曲线£的另一支交于点瓶N

C.点夕到两条渐近线的距离之积为当

为局/的中点,则以­4月

4

11.已知向量次,OB,击均为单位向量,且满足市+2而+2沆=0,则下列结论中正确的是

A.若比'的中点为〃，则|前月B.N6%为钝角

4

C.\BC\=yJ15D.OA^BC

12.已知函数f（x）=asin3A+sin（（。〉0,aGR）,若/,（x）的最小正周期为n,且对任意*GR,均有

Ax）》/'（即），则下列结论中正确的是

试卷第2页，总5页

A.若所磊则a=±^

B.若AA(>+|)=3,则a=±2V2

C.函数X/*(x)+|f(x)|在区间(府,刖+9)上一定不存在零点

D.若函数尸f(x)-21f(x)|在(施-,,Ab-，)上单调递减,则。〈手

424

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人得分

------------------三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.已知cos（。一£）△,贝sin（2〃一2）二.

336

14.写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为1的圆的标准方程.

15.已知底面为正方形的四棱锥尸/腼的五个顶点在同一个球面上,PD1BC,*2,Pg,小火,则四棱锥

AABCD外接球的体积为.

16.已知函数g（,x）=x-2x-a,若方程f（x）=g（x）有4个不同的实根小，及,题,葡（汨—＜汨），则

a（xi+的-司）的取值范围是.

评卷人得分

四、解答题（共6题，每题12分，共72分）

17.已知数列｛4｝的各项均为正数,数列｛a｝的前n项和为S,2S=（77+1）a„m=3.

（1）求数列｛a｝的通项公式；

⑵设4=（扣,+1）2也求数列｛4｝的前n项和L.

18.已知平面四边形4比。中，//+NG480。，陷3.

⑴若心6,心3,8=4,求BD\

（2）若/叱120°,△?!比■的面积为W,求四边形/颇周长的最大值.

19.某省高考改革新方案中,语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在政治、历史、地理、物理、化

学、生物6个学科中自主选择3个科目参加等级性考试，称为“3+3”模式.为了解数学能力对选考物理的

影响,某中学随机调查了该校的200名高三学生,调查结果如下表.

数学能力优秀R好中等合格不合格

人数5248503020

选考物理

463425105

人数

将数学能力在中等以下（不包括中等）的学生评价为数学能力较弱；否则,评价为数学能力不弱.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2X2列联表,并通过计算判断是否有99.9%的把握认为是否选

考物理与数学能力有关；

不选考选考公

物理物理

数学能力

不弱

数学能力

较弱

试卷第4页，总5页

合计

(2)以样本估计总体，以频率估计概率,从全省高三学生中随机抽取3人,记抽取的3人中选考物理的人数为

X求才的分布列与数学期望.

n(ad-bc')2

­,其中n=a+t^c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pgk)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

20.如图，在多面体ABCDEF中,四边形4碗是正方形,DF//BC,ABLAC,4反1_平面ABC,AB=A(=2,

(1)求证:平面BCDFV平面BEF-,

(2)求二面角上8户i1的余弦值.

21.已知圆/+/=17与抛物线。:y=2勿(0>0)在x轴下方的交点为A,与抛物线。的准线在x轴上方的交点

为8,且点A,6关于直线产x对称.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若点也”是抛物线。上与点A不重合的两个动点,且AMLAN,求点A到直线树的距离最大时,直线觇'的

方程.

22.已知函数f(x)=^T+lnx(aGR).

X

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数g(x)=有两个极值点,求实数a的取值范围.

参考答案

1.D

【解析】通解设好射历(a,6GR),贝ij(行历)(3+4i)=(3z46)+(4/38)i=i,由复数相等得［广。：*二°：解

(4a+3b=1,

得f}'则d9故Z=2一Q故选D.

Ii-______025252525

(0-25，

优解由z(3+4i)=i,得中上=,■⑷)空巴=土三］所以z=土一二i故选D.

3+4i(3+4i)(3-4i)252525'2525

【备注】无

2.B

【解析】由(x+2)(片4)<0,得-2Wx<4,.,.a{x|-2Wx<4},由|x|〈/〃(m>0),得-〃忘xWm,・,•庐{x|-

(-m>-2,

mWxW血.又隹4m<4,得0</〃W2,故勿的最大值为2.故选B.

(m>0,

【备注】无

3.A

【解析】由频率分布直方图可知,销售额在区间［7.5,10.5］上的频率为0.25+0.23+0.17=0.65,因此使65%

的员工都能够完成的销售额指标为7.5万元.故选A.

【备注】无

4.D

【解析】记甲、乙、丙通过该平台打车分别为事件4日以则尸储)=条尸(。］/(。=|,所以甲、乙、丙3人

中至少有2人通过该平台打车的概率

P-PkA•B,C)+P(A•B•。+-04•B・O+P(A•B,0=尸(4)••a(C)+P(4)•尸(B)•一(。+―(4)•尸(0

•尸(。+心)•P(JB)•P(O=-X-X(l--)4x(1-i)X-+(l-i)x-x-+-x-x-=—.故选D.

23523523523530

【备注】无

5.A

【解析】取而G的中点£连接AiE,EC,则A.E//AM,找到异面直线4。与4"所成的角,通过解三角形,求出异

面直线4。与4"所成角的余弦值.

如图,取的中点£连接EC,则A.E//AM,即异面直线4c与⑷/所成的角或其补角,在

RtZ\4G£中,4#57=V13,在Rt△员7c中，EO722+22=2正,在RtZ\/£C中,4田\国,在比中,

由余弦定理得,cosNE4c吟答等=黑*=白故异面直线4c与4V所成角的余弦值为三选A.

2V13XV131313

【备注】无

6.C

【解析】将题干中式子的两边同时求导可得，5x]]4)4=ai+2a2户3a3『+4四/+5纳•令尸1,得

ai+2a2+3匈+4由+5a5=|.

【备注】无

7.A

【解析】由f(x)=l-『e'得r(%)=-l-e;则raxo,Mx)单调递减,故直线片a*+方与曲线f(x)只有一个切

点，设切点为P(-1-力1),则曲线f(x)在点P处的切线方程为厂1+计e-),即产-(1+b)武(L

l)e'+l,所以a=-(l+ef),加(广l)e'+l,则b-sr(^-1)e'+l+l+e-^er+2.设g(。=绮+2,则g'(。=(t+l)e'，易知

g{t)在(-8,-1)上单调递减,在(-1,+8)上单调递增,所以当片-1时,点t)取得最小值,为2-i即b-a的最

小值为2T

【备注】无

8.C

【解析】如图,不妨设点占在第三象限,尸'是椭圆C的右焦点,连接AF),

显然0P是AFF'A的中位线，.•/6」x轴.易求得上，作班」x轴,垂足为

a

",•••4FO咯丛FB'B,：.\BB'\=\6P|=i|jr|=^(故点6的坐标是(-2c,4),将点8的坐标代入椭圆方程得

22a2a

与+*1，；♦与+/1，即4芯==1,解得即椭圆C的离心率为色

a24a2a24a2455

【备注】无

9.BC

【解析】由e">e",得a>b,当炉2,b=~l时，工=故选项A不正确；,:力b,：・a~b>0,又产3,在R上单调

递增，二3」">3°=1,故选项B正确；•.•尸¥必在R上单调递增，Qb,：4必>)。2：故选项c正确；当天101,占1

时，lg(a-Z?)=2>l,故选项D不正确.

【备注】无

10.BCD

22

【解析】不妨设尸为双曲线6邑一匕=1(a>0,核0)的右支上一点,延长PF2,A〃交于点Q,易知|所|=|%.根

据双曲线的定义得，I历H%=2a,从而|QE|=2a,在△尸磁中，勿为其中位线，故⑷=行4,由£=手，得

a2

c=2y[5,所以62=c2-a=4,所以双曲线£的标准方程为三-竺=1,渐近线方程为尸土除即x±2产0,所以A不

1642

正确,B正确；设P(用,％),则点尸到两条渐近线的距离之积为号普•玲普=过婪=警，所以C正确；设

Vl+4V1+455

依物⑸，^”),因为小"在双曲线后上，所以三-¥=1①，,一生1②，①一②并整理得，❷=

164164yi+yz

迫1也,即空=迫1也,所以七.九』,所以D正确.故选BCD.

x1-x22yx^x24

【备注】无

11.ABD

【解析】由于况的中点为D,所以赤+沅=2说,于是成+4而=0,即前=-；就,而成为单位向量,所以

而I故A正确;^OA+2OB+2OC=0得而4-OC=--OA,于是|赤+无产」,因此1+1+2而•OC=-,则

42__________________44

OB-OC=-^<0,所以N6%为钝角，故B正确；质|=|说一而|=Jl+l-2x(-1)=季故C错误；由

OA+2OB+2OC=0^OA=-2OB~2OC,所以52•OB=(-2OB-2OC)-OB=~2~2^C-OB.OA-OC=(~2OB-

2OC)•OC=-2-2OC•OB,于是万？•BC=04•(OC-OB)=OA-OC-OA-OB=0,则工？1砥故D正确.

【备注】无

12.BD

【解析】f(x)=asin3A+sin(3户2)=asin3产cos出产•sin(3广。)，其中cos^=-7==,sin

2Vaz+1

<t>-1-I—,依题意可得3=空=2,于是f(x)-y/a2+Isin(2A+。)，其中cossin十.因为

F(x)2F(XO),即F(x)在产Xo处取得最小值，所以2蜀+0二2女五-^(^GZ),所以。=2左五-1-2x()(4£Z).当选二-

襄时，。二2女冗+?(A£Z),因此cos(P=-=^===-^sin0=7==="，解得折-£故A选项错误；因为

123vaz+l2vaz+l23

/(Ai)+^)-'Ja2+Isin(2xo+n+<4=7a2+lsin(2x()+<Z,)=-Va2+lsin(2An-^)=Va2+1=3,所以a?+l=9,解

得，±2或，故B选项正确；由于『(*)在尸的处取得最小值,且周期为n,所以当xG(蜀,蜀+》时，Ax)<0,

因此*/'J)+"(x)|=0,因此*f(x)+"(x)|在区间(加,%0+=)上有无数个零点，故C选项错误；由于f(x)在

mo处取得最小值,且周期为n,所以『(蜀-§=0,当xC(X。-日,它学时，f(x)单调递增,且f(x)〉0,于是当

xG(刖-芋,X(r?)时,'(x)-2"(x)|=-f(x)单调递减，而当XG(蜀-?,所?)时，f(x)单调递减，且F(x)>0,于

是当xe(x°T成5)时,尸F(x)-2"(x)|=-f(x)单调递增，故刖-¥〈刖-6W的T即4e丹，故D选项正确.

244224

【备注】无

13.--

9

【解析】V(2"2)-2(T)W，；.sin(2"1)=sinR+2(T)]=cos2(，9=2一(

6326233399

【备注】无

14.(『??+(尸》2=](答案不唯一)

【解析】因为该圆截两坐标轴所得的弦长相等,所以可设圆心坐标为(见加，由圆的半径为1,可得㈤<1,所

以可取樗,则圆的标准方程为(尸尹+(£)2=1.

【备注】无

【解析】由题意知BCLDC,BCLPD,所以5cL平面PCD,而at平面ABCD,则平面故〃_平面ABCD.由条件知

cd=pd+pd,所以PCLPD.

如图,取切的中点G,连接AC,BD,交于点0,则。为正方形48(力的中心，

过点G作平面a次的垂线,则点。在该垂线上,所以。为四棱锥产力及力外接球的球心.由于JctV2,所以四

棱锥片46切外接球的体积为(企)3=9.

33

【备注】无

16.(0,1)

【解析】作出f(x),g(x)的大致图象如图所示,

由f(x),g(x)的图象都关于直线x=\对称可得由+&=2,1〈吊<2,由/'(X3)=g(x3)得上=据-2&-a,a=xl-2xT

43-2

,所以3(/+入4-上3)二日(2-才3)=-以+4据-4矛3+1.设h{x)=~x+4A-2-4A+1(KX2),则hf(A)=~3X+8X-4=-{X~

*3-2

2)(3尸2)>0,所以力(x)在(1,2)上单调递增，。(由+*「彳3)的取值范围是(0,1).

【备注】无

17.解：⑴因为2s=(加1)&,

所以2S+]=(m2)&汁1,

两式相减得2al+i=(z?+2)a+1(加1)

整理得H=(加Da”

即考=&,所以｛a｝为常数列.

n+lnn

所以区=?=3,

n1

所以a方3n.

⑵由⑴得，6.=(*,+1)2心=(加1)X8；

所以7=2X8+3义8+4X8+…+31)X8",

87>2X82+3X83+4X8“+…+〃X8"+(z?+l)X8叫

两式相减得,-7北=16+(82+83+…+8”)-(粗1)X8户

=16+此丝-(加1)X8"”,

1-8

所以刀=_胃+3丝

4949

【解析】本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.

（1）利用a与S的关系化简、整理得到皿=电,进而可得｛&｝为常数列，结合为=3可得&=3〃；（2）由（1）得

n+1nn

a=（加D•&,由通项公式的结构特征,运用错位相减法可求得数列｛zu的前〃项和。

【备注】无

18.解：⑴在△?（初中，由余弦定理得cos/片亭等.

2X3X6

在△及力中，由余弦定理得cosN伉父当空.

2X3X4

因为N4+N京180°,

所以cosZ/4+cosZ6-0,

32+62-BD2,32+42-BD2_

即nrl-----------1---------Un,

2X3X62X3X4

得浙国.

⑵由题意知打“年X3X4仅当=第，得4庐6.

在△4%；中，由余弦定理得4/=32+62-2X3X6Xcos120°=63,

所以1俏3近.

令AD=x,CD=y,在△/!如中，由余弦定理得（3b）2=¥+丁-2灯•cos60°=（广y）?-

3灯，

则（炉■02=63+3xyW63+3X（等了,所以色要W63,

所以户工6«,当且仅当产尸3g时等号成立.

所以四边形力时周长的最大值为9+6/7.

【解析】本题考查的知识是“掌握余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题”.

（1）先在△/劭和a85中分别利用余弦定理,得到cosN/f和cosNC再利用N/+/代180°得到

cosZ/1+cosZ^O,即可求得物;（2）先根据已知及三角形的面积公式得到AB,再利用余弦定理求得AC,然后

令AD=x,CAy,并利用余弦定理得到63=（x+y）2-3x%最后利用基本不等式求得x+代6币,即可得解.

【备注】无

19.解：（1）根据题意填写的2X2列联表如下.

不选考选考人J

合计

物理物理

数学能力

45105150

不弱

数学能力

351550

较弱

合计80120200

/=200X（45X15-35X105）^25>10

80X120X150X50

所以有99.9卿J把握认为是否选考物理与数学能力有关.

（2）由题意知,这200名学生中选考物理的人所占的频率为黑=|,所以估计从全省高三学生中随机抽取1

人,此人选考物理的概率为|.

才的所有可能取值为0,1,2,3.

且p（庐o）=cgx（|）°x（1-|）3噎，

产（加1）吗X

A^3)X(1)3X(1-1)°^,

X的分布列为

/0123

,8365427

125125125125

数学期望=0X—+1X—+2X—+3X—_9

125125125125一5'

【解析】本题考查数学建模能力、运算求解能力和创新能力.

（1）先根据题意补全2X2列联表,然后计算下,对照临界值表即可得解；（2）列举出力的所有可能取值,分别

求出每个取值对应的概率,列出分布列,利用数学期望的公式求解即可.

【备注】无

20.解：⑴因为DF//BC,力士平面ABC,所以"W平面ABC,

在正方形ACDE中,DE//AC,庞仁平面ABC,所以〃平面ABC.

因为DECD六D,所以平面比波〃平面ABC.

因为4EL平面ABC,所以/IE1平面DEF.

因为比平面DEF,所以AELEF.

因为熊〃弘所以分」必

由题意知，游2,E六D*0则虑=E#+请,所以EFVDF.

因为CDCD2D,所以阮L平面BCDF.

又比平面BEF,所以平面a"_1_平面BEF.

⑵因为ABLAC,/2平面ABC,所以以4为原点，以AB,AC,小所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标

系，如图所示,则

4(0,0,0),8(2,0,0),以0,0,2),/(1,1,2),则布=(2,0,0),秒=(-1,1,2),布=(-2,0,2).

设m=(xi,71,Z1)为平面45c"的法向量,则

［小丝=。'即（…争—n取力=2,则m=（0,2,-1）为平面力防的一个法向量.

（0-BF=0,（.'xi+7i+Zzi=5

设e=（四,%,a）为平面比尸的法向量，则

作竺=0唧j-2X2+2^2=0取「1,则—i,1）为平面顺的一个法向量,

{n2-BF=0,卜工2+丫2+"2-5

所以COS<^1,姮〉==-3一等

|n1|-|n2|V5XV35

由图可知,二面角止止£为锐二面角，所以二面角止册£的余弦值为

【解析】本题考查运算求解能力、空间想象能力和逻辑思维能力.

【备注】无

21.解：⑴将广行代入Ay=17,得产土J17耳所以

由点48关于直线片不对称,可得力117号技)，

将A的坐标代入抛物线。的方程得9=2。/7号得p=8,

所以抛物线C的方程为「=16*

⑵由⑴得4(1,-4),

22

设水务力)"噂,及)，直线物V的方程为2时n,

1616

将直线助V的方程代入了=16x得