2021-2022学年初中数学讲义-全等三角形方法课之角平分线模型

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之角平

分线模型（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端

点重合），且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出

如下几个结论：①△AEDgZkDFB；②SWOBCIX^

AF=2DF,贝ijBG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤NBGE的大小为定值.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

试题分析：①•二ABCD为菱形，.•.AB=AD,：AB=BD,...△ABD为等边三角形，

.*.ZA=ZBDF=60°,又：AE=DF,AD=BD,AAAED^ADFB,故本选项正确；

②；/BGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°=ZBCD,即NBGD+ZBCD=180°,

.•.点B、C、D、G四点共圆，.INBGC=NBDC=60。，ZDGC=ZDBC=60°,

...NBGC=/DGC=60。，过点C作CMJ_GB于M,CNJLGD于N（如图1）,则

△CBM^ACDN（AAS）,.,.S四边修BCDG=S四边彩CMGN.SHa®cMGN=2SACMG,ZCGM=60°,

CM=

SmCMGN=2SACMG=2X

82♦♦♦♦♦♦♦xg2CGx

项错误；

③过点F作FP〃AE于P点（如图2）,；AF=2FD,，FP：AE=DF：DA=1：3,VAE=DF,

AB=AD,；.BE=2AE,；.FP：BE=FP：：6,

：FP〃AE,；.PF〃BE,AFG：BG=FP：BE=1：6,即BG=6GF,故本选项正确；

④当点E,F分别是AB,AD中点时（如图3）,由（1）知，△ABD,△BDC为等边三

角形，•••点E,F分别是AB,AD中点，.,.ZBDE=ZDBG=30°,，DG=BG,在△GDC

与△BGC中，：DG=BG,CG=CG,CD=CB,AAGDC^ABGC,AZDCG=ZBCG,

ACHIBD,即CG_LBD,故本选项错误；

⑤•.•/BGE=NBDG+NDBF=NBDG+NGDF=60。，为定值，故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B.

考点：四边形综合题.

2.如图，中，ZACB=90°,AABC的角平分线A。、BE相交于点尸，过户作

尸/FA。交8c的延长线于点P，交AC于点H,则下列结论：①乙m5=135°;②

=③A/7+B£>=45；④S四边形=其中正确的个数是（）

【答案】B

【分析】

根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可.

【详解】

解：：在△ABC中，ZACB=90°,

.\ZCAB+ZABC=90°

：AD、BE分别平分NBAC、ZABC,

・・・NBAD」NCA8,NABE」/ABC

22

・•・NBAD+NABE=；ZCAB+1ZABC=1(ZCAB+ZABC)=45°

AZAPB=180°-(ZBAD+ZABE)=135。，故①正确;

・・・ZBPD=45°,

又・・・PF_LAD,

・•・ZFPB=90°+45°=135°

・•・ZAPB=ZFPB

又YNABP二NFBP

BP=BP

.,.△ABP^AFBP(ASA)

・・・NBAP=NBFP,AB=AB,PA=PF,故②正确；

在小APH与小FPD中

*.•ZAPH=ZFPD=90°

ZPAH=ZBAP=ZBFP

PA=PF

.,.△APH^AFPD(ASA),

AAH=FD,

又〈AB=FB

・・・AB=FD+BD=AH+BD,故③正确；

连接HD,ED,

VAAPH^AFPD,△ABP^AFBP

,•SJPH=SAFPD»S4ABp=SAFRP»PH=PD,

ZHPD=90°,

・・・ZHDP=ZDHP=45°=ZBPD

・・・HD〃EP,

••°AEPH~°"PD

•二S四边形A8DE=^^ARP+ScBDP+^AEP+^EPD

=S&ABP+⑸八即+S4EPH)+S四口

~S^ABP+S.APH+SAPBD

=S4ABP+S、FPD+S“尸80

=S+SJBP

=2S.ABP

故④错误,

正确的有①②③，

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS.

ASA、HL,注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等.

3.如图，AA8C中，ZACB=135°,CDLAB,垂足为。，若AD=6,BD=20,则C£>

的长为（）

【答案】D

【分析】

做MCD,\BCD分别关于AC,BC的对称图形MCE,\BCF延长AE,BF交于点G,连接

CG,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算.

【详解】

做AACD,\BCD分别关于AC,BC的轴对称图形AACE,ABCE延长AE,交于点G,连

接CG,如图：

MCE,ABCF是MCD,ABCD的对称三角形

AE=AD=6,BF=BD=20,CE=CD=CF

ZAEC=ZADC,ZBFC=ZBDC,ACE=ZACD,ZBCF=ZBCD

,：CDLAB

：.ZADC=ZBDC=ZAEC=ZBFC=90°

又：NACB=135°

ZACE+ZBCF=\35°

ZECF=360°-135°-135°=90°

二四边形CEG尸是正方形

设CD=CF=GF=CE=GE=x,在RrAGAB中：AG2+BG2=AB2BP：

222

（X+6）+（20+X）=26解得：x,=4,X2=-30（舍）

...CO的长为4.

【点睛】

本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键.

4.已知:如图,80为△A8C的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,

过E作EF_LA8,F为垂足.下列结论：①△A3。丝△E3C；②NBCE+N8CQ=180。；

@AD=AEt@BA+BC=2BF.其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.D.①②®©

【答案】D

【分析】

根据SAS证△ABD丝△EBC,可得NBCE=/BDA,结合/BCD=/BDC可得①②正

确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得/DCE=NDAE,即AE=EC,由AD=

EC,即可得③正确；过E作EG_LBC于G点，证明RlABEG丝RtABEF和

RtACEG^RtAAEF,得到BG=BF和AF=CG,利用线段和差即可得到④正确.

【详解】

解：①：BD为AABC的角平分线，

；./ABD=NCBD,

BD=BC

.,.在△ABD和^EBC中，＜ZABD=ZCBD,

BE=BA

AAABD^AEBC(SAS),①正确；

②：BD为△ABC的角平分线，BD=BC,BE=BA,

ZBCD=ZBDC=ZBAE=ZBEA,

VAABD^AEBC,

NBCE=/BDA,

ZBCE+ZBCD=ZBDA+ZBDC=180°,②正确；

@VZBCE=ZBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,ZBCD

=/BEA,

，NDCE=NDAE,

/.△ACE为等腰三角形，

；.AE=EC,

VAABD^AEBC,

AAD=EC,

.,.AD=AE.③正确；

④过E作EGJ_BC于G点，

：E是NABC的角平分线BD上的点，且EF_LAB,

；.EF=EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）,

\BE=BE

在RtABEG和RtABEF中，4

EF-EG

.".RIABEG丝RSBEF(HL),

BG=BF,

\AE=CE

'：在RtACEG和RtAAFE中，｛

EF=EG

：.RtACEGRtAAEF(HL),

，AF=CG,

，BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,④正确.

故选D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形

的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等利熟练运用全等三角形对应角、对应边相等

的性质是解题的关键.

二、填空题

5.如图，在A4BC中，NBAC、N3C4的角平分线相交于点/,①若4=40。，则/4/C=

,②若Zfi=35。，BC^A1+AC,贝!J/BAC=.

【答案】110°70°

【分析】

①先根据三角形内角和求出/BAC+/BCA=140。，再根据角平分线的定义求出

ZIAC+ZICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；

②在BC上取CD=AC,连接BLDI,利用SAS证明△ACI与小DCI全等，可得AI=DL

NCAI=/CDL再根据BC=AI+AC求出AI=BD,从而可得BD=DL由三角形外角的性

质可得NCDI=2NDBI,再根据角平分线的定义即可求出/CDI=ZABC,又

NBAC=2NCAI,代入数据进行计算即可求解；

【详解】

①；4=40°,

.,.ZBAC+ZBCA=140°,

VAkCI分别是NBAC、N8C4的角平分线，

・・・ZIAC+ZICA=y(ZBAC+ZBCA)=70°,

.*.ZAIC=180o-70°=110°；

②如图1,在BC上取CD二AC,连接BI、DI,

VCI平分NACB,

/.ZACI=ZBCI,

在^ACI^ADCI中，

AC=CD

<ZACI=NBC1,

Cl=CI

.,.△ACI^ADCI(SAS),

AAI=DI,ZCAI=ZCDI,

■:BGAI+AC,

ABD=AI,

・・・BD=DL

AZIBD=ZBID,

...ZCDI=ZIBD+ZBID=2ZIBD,

XVAhCI分别是NBAC、NACB的平分线，

・・・BI是NABC的平分线，

AZABC=2ZIBD,ZBAC=2ZCAL

AZCDI=ZABC,

・・・ZBAC=2ZCAI=2ZCDI=2ZABC,

VZABC=35°,

・・・ZBAC=35°x2=70°.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全

等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点.

6.已知，△ABC中，N8AC=120。，4。平分NB4C,ZBDC=60°,AB=2,AC=3,

则AD的长是.

AB

【答案】5

【分析】

过D作，DE1AC,E»F_LA8交A3延长线于凡然后根据全等三角形的性质和30P角

直角三角形的性质即可求解.

【详解】

过。作，DE1AC,交43延长线于F,

D

平分Za4C,DE1AC,DF±AB,

：.DE=DF，/DEC=NDFB=90。=NDEA,

,/ZBAC+ZBDC+ZDCE+ZDBA=360o,

N54C=120。，NBDC=60°,

：.ZDCE+ZDBA^180°,

"：ZDBF+ZDBA=180°,

:.ZDCE=ZDBF,

在ADEC和中,

ZDCE=/DBF

</DEC=/DFB

DE=DB

：.ADE&△。尸B(A4S),

:・CE=BF,

在心△QE4和心△。必中，

JDE=DF

\DA=DA，

・・・Rt/\DEA^/\DFA(HL),

J.AE=AFf

,:AE=AC-CE,AF=AB+BFf

：.AC-CE=AB+BFf

：.CE+BF=AC-AB=lf

：.CE=BF=-

2f

：.AF=AB+BF=-

2f

丁AD平分N8AC,

・・・ZD/1B=-ZBAC=60°,

2

・・・ZADF=1S00-ZDAB-ZDFB=30°,

・・・AD=2AF=5.

【点睛】

此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形.

7.如图，BP平分NABC,PD1BC,E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一

定能得其余结论的有①/ABC+/EPF=180。；②/BEP=/PFC；③PE=PF；(4)

2BD=BF+BE,.

【答案】由(1)、(2)、(4)可以推出其它三个.

【分析】

根据角平分线的性质定理、HL证明直角三角形全等、AAS证明三角形全等、同角的补

角相等即可解答.

【详解】

解：由(1)可以推出其它三个；由(4)可以推出其它三个；由(2)可以推出其它三个.

如图：过点P作PMLAB于点M.

(一)增加条件①NABC+NEPF=I8O°时：

,/ZABC+ZEPF=180',ZPFC+ZBFP=180°,

.".ZBEP+ZBFP=180°,ZBEP=ZPFC,即②成立，

VZBEP+ZPEM=180°,

；.NDFP=NMEP,

：BP平分/ABC,PD1BC,PMXAB

PD=PM,

XVZPME=ZPDF=90°,

ARtAPME^RtAPDF,

；.ME=DF,PE=PF.即③成立，

BP=BP,

PMB^RtAPDB(HL),

；.BM=BD,

VBD=BF-DF,BM=BE+EM,ME=DF,

，2BD=BD+BM=(BF-DF)+(BE+EM)=BF-DF+BE+EM=BF+BE,即2BD=BF+BE,

故④正确.

(二)增加条件④23£>=3R+3E时，

：BP平分NABC,PD1BC,PMXAB

PD=PM,

又：NPMB=NPDB=90°,BP=BP

ARtAPMB丝RsPDB,

；.BM=BD,

VBD=BF-DF,BM=BE+EM,2BD=BF+BE,

BD+BM=2BD,即BF-DF+BE+EM=BF+BE

；.ME=DF,

同（一）方法即可证明RSPME丝母△PDF,从而证得①、②、③正确；

（三）添加条件②NBEP=/PFC时，方法同（一）中即可证明RSPME也RSPDF,从

而证得其它结论正确；

（四）如果添加③PE=PF,当点F在下图F的位置时，其它三项不正确.

本题重点考查角平分线的性质和三角形全等的证明，解题关键是熟练掌握三角形全等的

证明方法.

8.如图，AA8C的外角NAC。的平分线CP与内角NA8C的平分线8尸交于点尸，若

N3PC=50°,NCAP=.

【答案】40°

【分析】

过点P作PFLAB于F,PM_LAC于M,PNLCD于N,根据三角形的外角性质和内角

和定理，得到NBAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出

ZCAP=ZFAP,即可得到答案.

【详解】

解：过点P作PF_LAB于F,PM_LAC于M,PN_LCD于N,如图：

TCP平分NACD,

AZACP=ZPCD=x,PM=PN,

ZACD=2x,

TBP平分NABC,

・・・NABP=NPBC,PF=PM=PN,

VZBPC=50°,

:.ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=x-50°,

ZABC=2(x-50°),

.・・ABAC=ZACD-ZABC=2x-2(x-50°)=100°,

JZMC=180°-100°=80°,

在RtAAPF和RtAAPM中，

VPF=PM,AP为公共边，

ARtAAPF^RtAAPM(HL),

/.ZFAP=ZCAP,

ZCAP=-x80°=40°；

2

故答案为：40°；

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角

形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出NE4C=80。是

关键.

9.如图所示，的外角NA8的平分线CP与NABC的平分线相交于点P,若

ZBPC=36°,贝!J/C4P=.

A

P

【答案】54°

【分析】

如图(见解析)，设NCBP=x,从而可得NABC=2x,先根据三角形的外角性质可求出

ZBAC=72°,再根据角平分线的性质可得PM=PN,PM=PE,从而可得PN=PE,

然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得=最后根据平角的定义

即可得.

【详解】

如图，过点P分别作于点M,于点N,PE,AC于点E,

设NCBP=x,则ZA8C=2x,

•rZBPC=36。，

ZJDCP=NCBP+ZBPC=x+36°,

CP是ZAC。的平分线，

/.ZACD=2ZDCP=2x+72°,

ABAC=ZACD-ZABC=2x+72°-2x=72°,

•.•3P是ZA8C的平分线，PMA.BD,PN±BA,

:.PM=PN,

同理可得：PM=PE,

:.PN=PE,

=\PN=PE

在和油八4"中，，

[PA=PA

RtAATVP二Rt从EP(HL),

:"PAN=/PAE,即NQ4N=NC4P,

又・・・N^W+NC4P+/B4C=180。,

.•.2NC4P+720=180。，

解得NC4P=54。，

故答案为：54°.

N

A

【点睛】

本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与

性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键.

10.如图，四边形ABCD中"=2N8=120。，AB=AD,E为BC上一点,连接AE,

BE=2,8=7,若4NaAE+NBC£>=120。，则线段CE的长为.

【答案】13

【分析】

如下图，先构造并证明AAAffiMAWD,从而得出A4cM三AACV,再根据

4NB4E+NBC£)=120。可推导出AC=CE,最后在RtAACM中求解.

【详解】

解析：连接AC,过点A作于点M,ANLCD于点、N,

■.■ZADC=2AB=\2Q°,

:.ZADN=ZB=6O°,

-,-AB=AD,ZAMB=ZAND=9Q°,

AAMB=^AND,

.\AM=ANfBM=DN,

...R2CM三RtAACN

：.ZACB=ZACD,CM=CN.

设ZBA£=a,则264万。=60。+2，

•/4ZBAE+/BCD=120°

/.ZACE=60°-2a.

:.ZCAE=6O0+a

AC=CE.

^EM=af贝ij8M=DV=2+a,CM=CN=9+a

AC=CE=9+2a,AM=«(2+a),

在RfAACM中，由勾股定理得4M2+CA/2=

解得a=2.

:.CE=13.

【点睛】

本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用

4N3AE+N8C£>=120。进行角度转化，得到边AC=CE.

三、解答题

11.如图，在AABC中，AB=AC,ZA=1(X)°,8。是ZABC的平分线，延长8。至点E,

DE=AD，试求NEC4的度数.

【答案】400

【分析】

在BC上截取=连接。尸，通过证明AAB睦AF3£>(SAS),可得

“打。=180。-/4=80。，再通过证明A£>CE&ADCF(&1S),即可求得

ZECA=ZDCB=4O0

【详解】

解：如图，在8c上截取8尸=他，连接。尸，

QB。是NABC的平分线,

:.ZABD=NFBD,

在△ABD和AFBD中,

AB=FB,

，4ABD=NFBD,

BD=BD,

:.AABD^/\FBD（SAS）,

:.ZBFD^ZA,AD=DF,

：.DE=DF,

.♦./OFC=180。—NA=80。，

又•.•ZABC=ZACB=40。，:.ZFDC=60°,

NEDC=N/M）8=180°-NAB。-NA=60°,

：.ZEDC=ZFDC,

在A£）CE和A£>CF中，

DE=DF,

-2EDC=ZFDC,

DC=DC,

:.ADCE^/\DCF（SAS）,

故NEC4=NOCB=40°.

【点睛】

本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.

12.如图，AABC的外角NDAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD_LAB于

D,PE_LAC于E.

(1)求证：BD=CE；

(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长.

D

/

B乙---------------J—2

【答案】(1)证明见解析；(2)2

【分析】

(1)连接BP、CP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得8P=CP,

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=EP,然后利用证明RtABDP

和RtDCEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

(2)利用“HL”证明RtAADP和RtDAEP全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=AE,

再根据A3、AC的长度表示出A。、CE,然后解方程即可.

【详解】

(1)证明：连接研、CP,

•.•点尸在BC的垂直平分线上，

；.BP=CP,

是ND4C的平分线，

\DP=EP,

在RtABDP和RiDCEP中，

\BP=CP

\DP=EP，

\RtDBDP@RtDCEP(HL),

BD=CE；

(2)解:在RtAADP和RtDAEP中，

|AP=AP

|z)P=EP'

\RtDADP@RtDAEP(HL),

.\AD=AE,

•/AB=6cm,AC=1Oan,

\6+AD=10-AEf

即6+AO=10-AI),

解得AD=2cm.

D

A

，E

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端

点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角

形是解题的关键.

13.已知：如图，AC//BD,AE,8E分别平分NC48和ZABD,点E在CD上.用等

式表示线段AB、AC、BZ）三者之间的数量关系，并证明.

C

【分析】

延长AE,交BD的延长线于点F,先证明AB=BF,进而证明aACE丝△FDE,得到AC=DF,

问题得证.

【详解】

解：延长AE,交BD的延长线于点E

AC//BD,

：.ZF=ZCAF,

,/AE平分NC4B,

NCAF=NBAF,

.,.NF=NBAF,

AB=BF,

•・,8后平分/45/，

・・・AE=EF,

VZF=ZCAF,ZAEC=ZFED,

.,.△ACE^AFDE,

AAC=DF,

，AB=BF=BD+DF=BD+AC.

F

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线

构造等腰三角形和全等三角形是解题关键.

14.如图1,在AABC中，AF,8E分别是N8AC和ZA8C的角平分线，A尸和BE相交

于D点.

（1）求证：平分ZAC8；

（2）如图2,过尸作FPJ_AC于点P,连接P£>,若ZAC8=45。，NPDF=6750,求证：

PD=CP；

(3)如图3,若2NBAF+3NABE=18()。，求证：BE-BF=AB-AE.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】

（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K,根据角平分线的定义可证得

DG=DH=DK,从而根据角平分线的判定定理可证得结论；

（2）作。S_LAC,DTLBC,在AC上取一点Q,使422力=/以*,通过证明

ASQD^TFD和△QDPQ4FDP得到NPDC=ZPCD=22.5°,从而根据等角对等边判断即

可：

（3）延长AB至M,使BM=BF,连接FM,通过证明△AF84AFM得到AC=AM,

再结合C£=£B即可得出结论.

【详解】

（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K,

VAF,8E分别是N8AC和NA8C的角平分线，

:.DG=DH=DK,

平分NAC5；

(2)证明：如图，作E>S，AC,DTA.BC,在AC上取一点Q,使NQDP=NFDP.

CD平分NACB,

.・・DS=DT,

*.<ZQDP=/FDP=67.5°,ZACB=45°,

...NQDF+ZACB=135。+45°=180°,

在四边形QW<中，ZCeD+ZDFC=180°,

又•:ZDFT+ZDFC=\^P,

/CQD=ZDFT,

在ASQD和△7FD中，

ZCQD=ZDFT

DS=DT

/DSQ=/DTF=90。

：.ASQD^ATFD,

：.QD=FD,

在△QQP和"OP中

QD=FD

«ZQDP=NFDP

DP=DP

1./XQDW4FDP,

/QPD=NFPD=45。

又,//QPD=/PCD+ZPDC,ZPCD=22.5°,

APDC=ZPCD=22.5°,

:.CP=PD：

(3)证明：延长AB至M,使BM=BF,连接

VAF,班•分别是NBAC和NABC的角平分线，

2Z^4F+2ZABE+ZC=180°，

XV2ZBAF+3ZABE=180°,

,ZC=ZABE=NCBE,

・•・CE=EB,

*：BM=BF,

=ZABE=NCBE=NC,

在△AbC和中，

NC=NBMF

•ZCAF=NBAF,

AF=AF

二・AAFC^/^AFM,

・•・AC=AM,

，AE+CE=AB+BM,

:.AE+BE=AB+BF,

:.BE-BF=AB-AE.

【点睛】

本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的

性质构造辅助线是解题关键.

15.(1)如图L射线OP平分NMOM在射线OM,ON上分别截取线段04,OB,

使04=05,在射线OP上任取一点O,连接AO,BD.求证：AD=BD.

(2)如图2,在KfAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,CD平分NAC8,求证：BC

=AC+AD.

(3)如图3,在四边形A50E中，AB=9,DE=1,BD=69C为3。边中点，若AC

平分NA4£,EC平分NAED,ZACE=120°,求A£的值.

MC

图1图2图3

【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13

【分析】

(1)由题意易得然后易证△A。。丝△BOD,进而问题可求证；

(2)在BC上截取CE=C4,连接OE,由题意易得乙4co=NECO,N8=30。，则有

△AC。丝△EC。，然后可得/A=NCEZ)=60。，则根据三角形外角的性质可得

NEDB=NB=30。,然后可得£>E=BE,进而问题可求证；

(3)在AE上分别截取AF^AB,EG=ED,连接CF、CG,同理(2)可证△ABC^/XAFC,

△CDEBACGE,则有N4CB=N4CF,NDCE=NGCE,然后可得NACF+NGCE=60°,

进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解.

【详解】

证明：(1)I•射线0P平分NMON,

NAOD^NBOD,

VOD=OD,OA=OB,

.♦.△AO。丝△BOO(SAS),

：.AD=BD.

(2)在BC上截取CE=C4,连接。E,如图所示：

VZACB=90°,ZA=60°,CD平分NAC8,

；.NACD=/ECD,Zfi=30°,

,:CD=CD,

.♦.△4CD畛△ECD(SAS),

AZA=ZCED=60°,AD=DE,

'：ZB+ZEDB=ZCED,

:.NEDB=/B=30°,

:.DE=BE,

：.AD=BE,

'：BC=CE+BE,

：.BC=AC+AD.

(3)在AE上分别截取4F=AB=9,EG=Eg,连接CF、CG,如图所示:

同理（1）（2）可得：△ABCgZXAFC,△CDE^/\CGE,

：.ZACB=ZACF,ZDCE=ZGCE,BC=CF,CD=CG,DE=GE=\,

为8。边中点，

:.BC=CD=CF=CG=3,

"：ZACE=\20°,

：./ACB+NOCE=60。，

ZACF+ZGCE=60°,

NFCG=60。,

...△CFG是等边三角形，

：.FG=CF=CG=3,

：.AE=4尸+尸G+GE=9+3+1=13.

【点睛】

本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及

等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等.

16.（特例感知）

（1）如图（1）,48c是。。的圆周角,8C为直径,80平分ZABC交。。于点。，8=3,

BD=4,求点。到直线A8的距离.

（类比迁移）（2）如图（2）,NABC是。。的圆周角，8c为。。的弦，80平分NA3C

交于点。，过点。作DE_L8C,垂足为点E,探索线段AB,BE,BC之间的数量

关系，并说明理由.

（问题解决）（3）如图（3）,四边形A8C0为G）O的内接四边形，ZABC=90°,BI）

平分ZABC,BD=7>/2»AB=6,求AABC的内心与外心之间的距离.

【分析】

(1)如图①中，作£>F_LAB于F,OE_L8C于E.理由面积法求出。E,再利用角平

分线的性质定理可得。尸=DE解决问题；

(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE.只要证明ADEAwADEC(ASA),推出AF=CE,

RtABDF=RtABDE(HL),推出A尸=8E即可解决问题；

(3)如图③，过点。作DFLBA,交&4的延长线于点F,DE1BC,交BC于点、E,

连接4C,作△ABC4ABC的内切圆，圆心为M,N为切点，连接MN,OM.由(1)

(2)可知，四边形5EDF是正方形,8。是对角线.由切线长定理可知：A7V=6+?-8=4,

推出ON=5-4=1,由面积法可知内切圆半径为2,在RtAOMN中，理由勾股定理即可解

决问题；

【详解】

解：(1)如图①中，作。F_LA5于F,DE，BC于E.

图①

Q8Q平分ZABC,DF±AB,DE1.BC,

:.DF=DE,

•：8c是直径，

/.ZBDC=90°,

：.BC=yjBDr+CD2="2+32=5,

•・•L・BC・DE=L・BD.DC,

22

/.DE=y,

：.DF=DE=—

5

故答案为1?2

(2)如图②中，结论:AB+BC=2BE.

图②

理由：作84于尸，连接AD,DC.

QB。平分DELBC,DFLBA,

:.DF=DE,/DFB=NDEB=9Q。,

vZABC+ZADC=180°,ZABC+ZEDF=iSO°,

:,ZADC=ZEDF,

:"FDA=4CDE,

・・・NDE4=NOEC=90。，

:.ADFA^ADEC(ASA),

:.AF=CE,

•;BD=BD,DF=DE,

RtABDF?RtABDE(HL),

:.BF=BE,

:.AB+BC=BF—AF+BE+CE=2BE.

(3)如图③，过点。作DFLBA,交8A的延长线于点F,DE1BC,交BC于点、E,

连接AC，作△ABCZkABC的内切圆，圆心为M,N为切点，连接MN,0M.由(1)

(2)可知，四边形BE。尸是正方形，8D是对角线.

图③

•••正方形BEDF的边长为7,

由（2）可知：BC=2BE—AB=8,

AC=^+82=10-

由切线长定理可知：AN=6+l；-8=4,

.-.ON=5-4=\,

设内切圆的半径为r,

则Lxrxl0+，xrx6+!xrx8=」x6x8

2222

解得〃=2、

即MV=2,

在RtAOMN中，OM=ylMN，+ON!=&+广=石.

故答案为逐.

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，

解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造

全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

17.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0,。），点8的坐标SO）且a,b满足

-12a+36+—4=0.

(1)求A、8两点的坐标；

(2)如图(1),点C为x轴负半轴一动点，OC<OB,8。LAC于。，交y轴于点E,

求证：OD平分NCDB.

(3)如图(2),点尸为AB的中点，点G为x正半轴点5右侧的一动点，过点尸作FG

的垂线可，交y轴的负半轴于点V,那么当点G的位置不断变化时，SAAM-SAFBC的

值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.

【答案】(1)40,6),8(6,0)；(2)证明见解析；(3)不变化，5i-1〃=9.

【分析】

(1)由非负性可求”，匕的值，即可求A、B两点的坐标：

(2)过点。作于M,ONLAC”根据全等三角形的判定和性质解答即

可；

(3)由于点尸是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接。凡得出

OF=BF.NBFO=/GFH,进而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角

形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可.

【详解】

解：(1)*.*cr—12z+36+|a—4—0

(4—6)"+|iz—Z>|=0,

[a-6=0

\八，即a=。=6.

[”一/?=0

A(0,6),8(6,0).

(2)如图，过点。作班)于M,ONLAC于N,

根据题意可知Z4C0+ZC4O900.

VBD1AC,

:.ZBCD+NCBE=90。,

:.NCAO=/CBE.

:4(0,6),5(6,0),

OA=OB=6.

ZCAO=ZEBO

在△4OC和△BQE中，,OA=OB

/AOC=4OE=90。

/.^AOC=„BOE(ASA).

•**OE=OC,AC=BE,S4Aoe=SJOE•

：.-AC-ON^-BEOM,

22

OM=ON,

...点。一定在NCDB的角平分线上，

即O力平分/CDB.

(3)如图，连接。凡

・・・“108是等腰直角三角形且点尸为AB的中点，

AOF1AB,OF=FB,。/平分NAO8.

:.AOFB=AOFH+AHFB=^Q.

又•：FG1FH,

：.ZHFG=ZBFG+AHFB=90°,

:.NOFH=NBFG.

VZFOB=-ZAOB=45°,

2

:./FOH=/FOB+/HOB=45。+90。=135°.

又丁ZFBG=180°-ZABO=180°-45°=135°,

:.NFOH=NFBG.

ZOFH=NBFG

在△FO"和△m6中＜OF=BF,

ZFOH=ZFBG

：.AFOH^FBGCASA).

・q=q

,*J&FOH°&FBG，

,.S：-SJBG=S.AFITSF.OH=S.F0A=—5,®=/X5OA-OB=-X6X6=9.

故不发生变化，且邑”H-S/BG=9.

【点睛】

本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和

判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正

确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

18.已知：A£>是的角平分线，且

(1)如图1,求证：AB=AC；

(2)如图2,ZABC=30°,点E在AD上，连接CE并延长交AB于点E,BG交CA

的延长线于点G,且ZABG=NAb,连接尸G.

①求证：ZAFG=ZAFC；

②若SAABG：SA“CF=2:3,且AG=2,求AC的长.

【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②6.

【分析】

(1)用4sA证明即得AB=AC；

(2)①证明△BAG丝ZkCAE可得AG=A£,再用SAS证明△EG丝即得

ZAFG=ZAFC；

②过尸作FK_LAG于K,由工.。：S&ACF=2:3,可得S&CAE•S^ACF=2:3，

S△用「：5%仃=1：3,而AR4G四△%£,故S△*G㈠揖〃=卜3,即得AG:AC=1:3,

根据AG=2,可求AC=6.

【详解】

解：(1)证明：・.・">是AABC的角平分线，

：.ZBAD=ZCAD,

・・・AD1BC,

.\ZADB=ZADCf

在△ABQ和△AC。中，

ZBAD=ZCAD

<AD=AD,

ZADB=ZADC

:.^ABD^ACD（ASA）f

:,AB=AC；

（2）®-,-AB=ACfZABC=30°,AD1BC,

/.ZBAD=ZC4D=60°,

/.z^R4G=60°=ZC4Z）,

在ARAG和VC4E中，

ZBAG=ZCAE

<48=4。,

NABG=ZACE

:.Z\BAG^A,CAE（ASA）,

AG=AE,

在△EAG和△EAE中，

AG=AE

<NGAF=NEAF,

AF=AF

/.△MG^AE4£（SAS）,

・•.ZAFG=ZAFC；

②过/作FK_LAG于K,如图：

c

由①知：△84Gg/kC4£,

•*S^ABG-SFACF=2:3，

•,^AC4£:S^ACF=2：3,

*#•S4FAE：§4ACF=1：3，

由①知：4Gg/XEAE,

-S^FAG:S&ACF=1：3,

・・・（；AG.FK）:（gAC/K）=l:3,

/.AG:AC=l:3f

QAG=2,

AC=6.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的

相关知识.

19.如图，已知在四边形ABCD中，8。是ZA3C的平分线，AD=CD.2求证：

ZA+ZC=180°.

【答案】见解析

【分析】

方法一,在8c上截取BE,使的=他，连接DE,由角平分线的定义可得ZABC=4DBC,

根据全等三角形的判定可证△ABD和△E8D全等，再根据全等三角形的性质可得

ZA=ZBED，AD=DE,由AO=C。等量代换可得。E=DC,继而可得NC=N£)EC,

由于NB瓦)+NOEC=180。，可证NA+NC=180。；

方法2,延长B4到点E,使BE=8C,由角平分线的定义可得=4啰C,根据

全等三角形的判定可证△£»£)和AC3£>全等，继而可得/E=/C,DC=DE.由

AD=CD,可得DE=AD，继而求得NE=44£>,由N£W+N8A£>=180。，继而可

得/84D+NC=180°；

方法3,作力ELBC于点E,DEJ_54交84的延长线于点F,由角平分线的定义可得，

由DEA.BA,可得NF=/£>EB=90。，根据全等三角形的判定可证AFBD和

△EBD全等，继而可得DF=DE,再根据HL定理可得可证N84r)+NC=180。.

【详解】

解：方法1截长如图，在8c上截取8E,使跖=4?,

连接DE,

因为80是NABC的平分线,

所以ZABC=NDBC.

在△ABD和中,

AB=EB

因为■NABD=NDBC

BD=BD

所以AABE)=△£»/),

所以NA=NB£D，AD=DE.

因为">=C£>,

所以DE=DC,

所以NC=NDEC.

因为NBED+/DEC=180°,

所以NA+NC=180°.

方法2补短

如图，延长54到点E,使8E=5C.

因为80是ZABC的平分线,

所以ZABD=NDBC

在aEB短和ACB£>中，

BC=BE

因为，NEBD=NDBC,

BD=BD

所以AEBD^GCBD,

所以/E=NC,DC=DE.

因为A£)=CD,

所以OE=AD，

所以N£=NE4£).

因为NE4