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文档简介
[练案47理]第六讲空间向量及其运算(理)A组基础巩固一、选择题1.(2021·枣阳市第一中学月考)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则(C)A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不对[解析]因为n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,所以α,β不平行,也不垂直.故选C.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AA1,\s\up6(→))=c,则下列式子中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的是(C)A.-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+c B.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b-cC.-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b-c D.-eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+c[解析]eq\o(B1M,\s\up6(→))=eq\o(B1B,\s\up6(→))+eq\o(BM,\s\up6(→))=-c+eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))=-c+eq\f(1,2)(b-a)=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b-c.故选C.3.(2020·广西桂林一中期中)若a=(2,3,m),b=(2n,6,8),且a,b为共线向量,则m+n的值为(C)A.7 B.eq\f(5,2)C.6 D.8[解析]由a、b共线得eq\f(2,2n)=eq\f(3,6)=eq\f(m,8),解得m=4,n=2,∴m+n=6,故选C.4.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|,则P点坐标为(C)A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0,-3)[解析]设P点坐标为(0,0,a),则由题意知1+4+(1-a)2=4+4+(2-a)2,解得a=3,∴P点坐标为(0,0,3),故选C.5.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(D)A.-2 B.-eq\f(14,3)C.eq\f(14,5) D.2[解析]a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),由a⊥(a-λb)知a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1-2λ)+3(3-λ)=0,∴λ=2,故选D.6.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为(C)A.30° B.45°C.60° D.90°[解析]由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))=(0,3,3),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),所以coseq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)=eq\f(3,3\r(2)×\r(2))=eq\f(1,2).所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°.故选C.7.(2021·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为(C)A.a2 B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2 D.eq\f(\r(3),4)a2[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))=eq\f(1,4)(a2cos60°+a2cos60°)=eq\f(1,4)a2.故选C.8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3)))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,1,0),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,0,1),设平面ABC的一个法向量n=(x,y,z),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+y=0,,-x+z=0.))令x=1,则y=1,z=1,∴n=(1,1,1).单位法向量为:±eq\f(n,|n|)=±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))).9.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于(D)A.eq\f(62,7) B.eq\f(63,7)C.eq\f(64,7) D.eq\f(65,7)[解析]显然a与b不共线,如果a,b,c三向量共面,则c=xa+yb,即x(2,-1,3)+y(-1,4,-2)=(7,5,λ),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-y=7,,-x+4y=5,,3x-2y=λ,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(33,7),,y=\f(17,7),,λ=\f(65,7).))选D.10.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(B)A.(1,-1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,3,\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-3,\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,3,-\f(3,2)))[解析]对于选项A,eq\o(PA,\s\up6(→))=(1,0,1),则eq\o(PA,\s\up6(→))·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0;对于选项B,eq\o(PA,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-4,\f(1,2))),则eq\o(PA,\s\up6(→))·n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-4,\f(1,2)))·(3,1,2)=0,验证可知C、D均不满足eq\o(PA,\s\up6(→))·n=0.故选B.11.如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A①(eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))2=2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2②eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→)))=0③向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°④BD1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)A.1 B.2C.3 D.4[解析]平行六面体的棱长均为a,则由题意知(eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))2=(eq\o(AA1,\s\up6(→)))2+(eq\o(AB,\s\up6(→)))2+(eq\o(AD,\s\up6(→)))2+2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))+2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))=6a2,2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2=2(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))2=2[(eq\o(AB,\s\up6(→)))2+2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))+(eq\o(AD,\s\up6(→)))2]=6a2,∴(eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))2=2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2,①正确;∵eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→)))=(eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→)))=eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))+(eq\o(AB,\s\up6(→)))2-(eq\o(AD,\s\up6(→)))2=0,②正确;∵eq\o(B1C,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AA1,\s\up6(→)),cos〈eq\o(B1C,\s\up6(→)),eq\o(AA1,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(AD,\s\up6(→))-\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AA1,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))-\o(AA1,\s\up6(→))|·|\o(AA1,\s\up6(→))|)=-eq\f(1,2),∴eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°,③错;∵eq\o(BD1,\s\up6(→))=eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)),记BD1与AC所成角为θ,则cosθ=eq\f(|\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(BD1,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)=eq\f(\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))+\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))+\o(AD,\s\up6(→))2-\o(AB,\s\up6(→))2,\r(\o(AA1,\s\up6(→))+\o(AD,\s\up6(→))-\o(AB,\s\up6(→))2)·\r(\o(AD,\s\up6(→))+\o(AB,\s\up6(→))2))=eq\f(\r(6),6),④错;故选B.12.(2020·重庆月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是菱形,且∠BAD=60°,M为棱PD的中点,N为菱形ABCD的中心,下列结论错误的是(C)A.PB∥平面AMCB.PB⊥ADC.AM=CMD.PB与AM所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)[解析]如图,连接MN,易知MN∥PB,由线面平行的判定定理得PB∥面AMC,A正确.取AD的中点O,连PO、BO,由题意易知PO、OA、OB两两垂直,如图建立空间直角坐标系,且设AB=2,则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=(-2,0,0)·(0,eq\r(3),-eq\r(3))=0,∴PB⊥AD,B正确.又|MA|2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)-1))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2=3,|MC|2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)+2))2+(0-eq\r(3))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2=6,∴MA≠MC,∴C错;cos〈eq\o(PB,\s\up6(→)),eq\o(AM,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AM,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))|·|\o(AM,\s\up6(→))|)=eq\f(-\f(3,2),\r(6)×\r(3))=-eq\f(\r(2),4),∴PB与AM所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4),D正确.故选C.二、填空题13.(2021·竹溪县第二高级中学月考)如图,空间四边形OABC中,eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则eq\o(MN,\s\up6(→))等于-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c.(用a,b,c表示)[解析]因为eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\o(ON,\s\up6(→))-eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→)))-eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(b+c)-eq\f(2,3)a=-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c.14.已知三点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时,Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(4,3),\f(8,3))).[解析]设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得eq\o(OQ,\s\up6(→))=λeq\o(OP,\s\up6(→)),则有Q(λ,λ,2λ),eq\o(QA,\s\up6(→))=(1-λ,2-λ,3-2λ),eq\o(QB,\s\up6(→))=(2-λ,1-λ,2-2λ).eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)·(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质可得当λ=eq\f(4,3)时,取得最小值,此时Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(4,3),\f(8,3))).三、解答题15.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求证:AB1⊥平面A1BD[证明]解法一:取BC的中点O,连接AO.∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1∴AO⊥平面BCC1B1,取B1C1的中点O1,以O为原点,eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OO1,\s\up6(→)),eq\o(OA,\s\up6(→))的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,eq\r(3)),A(0,0,eq\r(3)),B1(1,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),eq\o(BA1,\s\up6(→))=(-1,2,eq\r(3)),eq\o(BD,\s\up6(→))=(-2,1,0).则n⊥eq\o(BA1,\s\up6(→)),n⊥eq\o(BD,\s\up6(→)),故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))=0,,n·\o(BD,\s\up6(→))=0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+2y+\r(3)z=0,,-2x+y=0,))令x=1,则y=2,z=-eq\r(3).故n=(1,2,-eq\r(3))为平面A1BD的一个法向量,而eq\o(AB1,\s\up6(→))=(1,2,-eq\r(3)),∴eq\o(AB1,\s\up6(→))=n,即eq\o(AB1,\s\up6(→))∥n,∴AB1⊥平面A1BD.解法二:设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m=λeq\o(BA1,\s\up6(→))+μeq\o(BD,\s\up6(→)).令eq\o(BB1,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,eq\o(BA,\s\up6(→))=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,以它们为空间的一组基底,则eq\o(BA1,\s\up6(→))=a+c,eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(1,2)a+b,eq\o(AB1,\s\up6(→))=a-c,m=λeq\o(BA1,\s\up6(→))+μeq\o(BD,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ+\f(1,2)μ))a+μb+λc,eq\o(AB1,\s\up6(→))·m=(a-c)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ+\f(1,2)μ))a+μb+λc))=4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ+\f(1,2)μ))-2μ-4λeq\o(AB1,\s\up6(→))⊥m,结论得证.解法三:基向量的取法同上.∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BA1,\s\up6(→))=(a-c)·(a+c)=|a|2-|c|2=0,eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=(a-c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a+b))=eq\f(1,2)|a|2+a·b-eq\f(1,2)a·c-b·c=0,∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(BA1,\s\up6(→)),eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥BD,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD,由直线和平面垂直的判定定理,知AB1⊥平面A1BD.B组能力提升1.(2020·河南九师联盟联考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(D)A.若α⊥β,m⊂α,n∥β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m∥α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β[解析]A中,若α⊥β,m⊂α,n∥β,则m,n也有可能平行,故A错;B中,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥β,n∥α,但m,n可能异面、平行,故B错;C中,若m⊥n,m∥α,n⊂β,则α,β可能平行或相交,故C错;D中,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n∥β,所以α⊥β,即D正确.故选D.2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,则异面直线AB1与C1BA.eq\f(1,2) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)[解析]以BC的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=2,则B(-1,0,0),则C1(1,0,2),故eq\o(BC1,\s\up6(→))=(2,0,2).又B1(-1,0,2),A(0,eq\r(3),0),eq\o(AB1,\s\up6(→))=(-1,-eq\r(3),2),则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为cosθ=eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)=eq\f(2,2\r(2)·2\r(2))=eq\f(1,4),故选C.3.(2021·广东汕头模拟)如图,三棱锥D-ABC中,AB=AC=DB=DC=1,BC=eq\r(2),平面DBC⊥平面ABC,M,N分别为DA和DC的中点,则异面直线CM与BN所成角的余弦值为(A)A.eq\f(\r(15),6) B.eq\f(\r(15),2)C.eq\f(\r(5),6) D.0[解析]取BC的中点O,连接DO,AO,∵BD=DC,∴DO⊥BC,又平面DBC⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC,从而DO⊥OA,又AB=AC,∴AO⊥BC,如图建立空间直角坐标系,则eq\o(CM,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(2),2),\f(\r(2),4),\f(\r(2),4))),
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