高考数学一轮复习练案（47理）第七章立体几何第六讲空间向量及其运算（理）练习（含解析）新人教版

[练案47理]第六讲空间向量及其运算(理)A组基础巩固一、选择题1．(2021·枣阳市第一中学月考)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(C)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不对[解析]因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β不平行，也不垂直．故选C．2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列式子中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的是(C)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.故选C．3．(2020·广西桂林一中期中)若a＝(2,3，m)，b＝(2n,6,8)，且a，b为共线向量，则m＋n的值为(C)A．7 B．eq\f(5,2)C．6 D．8[解析]由a、b共线得eq\f(2,2n)＝eq\f(3,6)＝eq\f(m,8)，解得m＝4，n＝2，∴m＋n＝6，故选C．4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(C)A．(3,0,0) B．(0,3,0)C．(0,0,3) D．(0,0，－3)[解析]设P点坐标为(0,0，a)，则由题意知1＋4＋(1－a)2＝4＋4＋(2－a)2，解得a＝3，∴P点坐标为(0,0,3)，故选C．5．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(D)A．－2 B．－eq\f(14,3)C．eq\f(14,5) D．2[解析]a－λb＝(－2＋λ，1－2λ，3－λ)，由a⊥(a－λb)知a·(a－λb)＝－2(－2＋λ)＋(1－2λ)＋3(3－λ)＝0，∴λ＝2，故选D.6．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为(C)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，所以coseq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,3\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°.故选C．7．(2021·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为(C)A．a2 B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2 D．eq\f(\r(3),4)a2[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.故选C．8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0.))令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)．单位法向量为：±eq\f(n,|n|)＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).9．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(D)A．eq\f(62,7) B．eq\f(63,7)C．eq\f(64,7) D．eq\f(65,7)[解析]显然a与b不共线，如果a，b，c三向量共面，则c＝xa＋yb，即x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(7,5，λ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))选D.10．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(B)A．(1，－1,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))[解析]对于选项A，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0；对于选项B，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4，\f(1,2)))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4，\f(1,2)))·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝0.故选B.11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A①(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2②eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0③向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°④BD1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)A．1 B．2C．3 D．4[解析]平行六面体的棱长均为a，则由题意知(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up6(→)))2＋(eq\o(AB,\s\up6(→)))2＋(eq\o(AD,\s\up6(→)))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝6a2，2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2[(eq\o(AB,\s\up6(→)))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AD,\s\up6(→)))2]＝6a2，∴(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AC,\s\up6(→)))2，①正确；∵eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→)))2－(eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝0，②正确；∵eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))，cos〈eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))－\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AA1,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))－\o(AA1,\s\up6(→))|·|\o(AA1,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)，∴eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，③错；∵eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，记BD1与AC所成角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(BD1,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))2－\o(AB,\s\up6(→))2,\r(\o(AA1,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))2)·\r(\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))2))＝eq\f(\r(6),6)，④错；故选B.12．(2020·重庆月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论错误的是(C)A．PB∥平面AMCB．PB⊥ADC．AM＝CMD．PB与AM所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)[解析]如图，连接MN，易知MN∥PB，由线面平行的判定定理得PB∥面AMC，A正确．取AD的中点O，连PO、BO，由题意易知PO、OA、OB两两垂直，如图建立空间直角坐标系，且设AB＝2，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2,0,0)·(0，eq\r(3)，－eq\r(3))＝0，∴PB⊥AD，B正确．又|MA|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝3，|MC|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))2＋(0－eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝6，∴MA≠MC，∴C错；cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AM,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))|·|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(3,2),\r(6)×\r(3))＝－eq\f(\r(2),4)，∴PB与AM所成角的余弦值为eq\f(\r(2),4)，D正确．故选C．二、填空题13．(2021·竹溪县第二高级中学月考)如图，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.(用a，b，c表示)[解析]因为eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.14．已知三点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时，Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).[解析]设Q(x，y，z)，由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，则有Q(λ，λ，2λ)，eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ).eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)，根据二次函数的性质可得当λ＝eq\f(4,3)时，取得最小值，此时Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).三、解答题15．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥平面A1BD[证明]解法一：取BC的中点O，连接AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1的中点O1，以O为原点，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则B(1,0，0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，eq\r(3))，A(0,0，eq\r(3))，B1(1,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1,2，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,1,0)．则n⊥eq\o(BA1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＋\r(3)z＝0，,－2x＋y＝0，))令x＝1，则y＝2，z＝－eq\r(3).故n＝(1,2，－eq\r(3))为平面A1BD的一个法向量，而eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,2，－eq\r(3))，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝n，即eq\o(AB1,\s\up6(→))∥n，∴AB1⊥平面A1BD.解法二：设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→)).令eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一组基底，则eq\o(BA1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a－c，m＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))a＋μb＋λc，eq\o(AB1,\s\up6(→))·m＝(a－c)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))a＋μb＋λc))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))－2μ－4λeq\o(AB1,\s\up6(→))⊥m，结论得证．解法三：基向量的取法同上．∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(a－c)·(a＋c)＝|a|2－|c|2＝0，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(a－c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))＝eq\f(1,2)|a|2＋a·b－eq\f(1,2)a·c－b·c＝0，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥BD，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，由直线和平面垂直的判定定理，知AB1⊥平面A1BD.B组能力提升1．(2020·河南九师联盟联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(D)A．若α⊥β，m⊂α，n∥β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m∥α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β[解析]A中，若α⊥β，m⊂α，n∥β，则m，n也有可能平行，故A错；B中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥β，n∥α，但m，n可能异面、平行，故B错；C中，若m⊥n，m∥α，n⊂β，则α，β可能平行或相交，故C错；D中，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，即D正确．故选D.2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线AB1与C1BA．eq\f(1,2) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[解析]以BC的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝2，则B(－1,0,0)，则C1(1,0,2)，故eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)．又B1(－1,0,2)，A(0，eq\r(3)，0)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，2)，则异面直线AB1与C1B所成角的余弦值为cosθ＝eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(2)·2\r(2))＝eq\f(1,4)，故选C．3．(2021·广东汕头模拟)如图，三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝DB＝DC＝1，BC＝eq\r(2)，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为(A)A．eq\f(\r(15),6) B．eq\f(\r(15),2)C．eq\f(\r(5),6) D．0[解析]取BC的中点O，连接DO，AO，∵BD＝DC，∴DO⊥BC，又平面DBC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，从而DO⊥OA，又AB＝AC，∴AO⊥BC，如图建立空间直角坐标系，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)))，