2022-2023学年广东省东莞市厚街海月学校九年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年广东省东莞市厚街海月学校九年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若方程（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则下列结论正确的是（）A．m≥2 B．m≤2 C．m≤2且m≠1 D．m≠12．（3分）下面图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+34．（3分）如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥35．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3 B．﹣ C． D．﹣26．（3分）关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜ B．m＞ C．m＝ D．m＜﹣7．（3分）若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则2m2+2m+2018的值为（）A．2022 B．2020 C．2018 D．20168．（3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，求该公司5、6两个月营业额的月均增长率．若设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x（）A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100 C．2500（1+x）＝9100 D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝91009．（3分）二次函数y＝x2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣2﹣10124…y…50﹣3﹣4﹣35…则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝510．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共7题，每小题4分，共28分）11．（4分）若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝1，则另一个根为．12．（4分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为，对称轴是直线x＝．13．（4分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，则旋转角的度数是．14．（4分）抛物线y＝x2+x﹣2与x轴的交点坐标为，与y轴交点的坐标为．15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为．16．（4分）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF＝4．三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，满分18分）18．（6分）解方程：（1）x2+3x＝0；（2）．19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根是3，求另一根及m的值．20．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1．四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，满分24分）21．（8分）如图所示，利用一面墙，用40m的篱笆围成一个150m2的矩形ABCD场地．（1）若墙长不限，求矩形ABCD的边AB，BC分别为多少？（2）若墙长13m，利用（1）题的计算结果22．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．23．（8分）如图，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△ADC，连接DB，DE．（1）求证：△ABD为等边三角形；（2）若∠ADC＝30°，AB＝5，DC＝10五、解答题（三）（共2小题，每小题10分，满分20分）24．（10分）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ中PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3）（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标，请说明理由．

2022-2023学年广东省东莞市厚街海月学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，即可进行选择．【解答】解：∵（m﹣1）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣4≠0，解得m≠1，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．2．【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．【解答】解：A．图形不是中心对称图形；B．图形是中心对称图形；C．图形是中心对称图形；D．图形是中心对称图形．故选：A．【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，难度一般．3．【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．【解答】解：将抛物线y＝﹣5x2+7向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+7）2+1，再向下平移8个单位长度，所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）5﹣1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．4．【分析】根据函数图象写出直线y＝1以及上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图象可知，﹣1≤x≤3时．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．5．【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可．【解答】解：由x2﹣3x+4＝0可知，其二次项系数a＝1，由根与系数的关系：x4+x2＝﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率6．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝3有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＝0，解得：m＝，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．7．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝1，再把2m2+2m+2018变形为2（m2+m）+2018，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝7的根，∴m2+m﹣1＝2，即m2+m＝1，∴7m2+2m+2018＝5（m2+m）+2018＝2×5+2018＝2020．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8．【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程．【解答】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为2500[2+（1+x）+（1+x）8]＝9100，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．9．【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则x＝﹣1或x＝3时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程x2+bx+c＝0的解．【解答】解：∵x＝0时，y＝﹣3，y＝﹣8，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣1或x＝4时，y＝0，∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝3的解为x1＝﹣1，x4＝3．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞2，故①错误；∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜4，∴abc＞0，故②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞6；∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，故二次函数y＝ax7+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y＝ax2+bx+c﹣m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax5+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，故﹣m＜2，解得：m＞﹣5，故④正确．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．二、填空题（本大题共7题，每小题4分，共28分）11．【分析】把x＝1代入方程求出c的值，进而求出另一根．【解答】解：把x＝1代入方程得：c＝1，方程为x6﹣1＝0，即x3＝1，开方得：x＝1或x＝﹣7，则另一根为x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．12．【分析】根据顶点式即可写出顶点坐标和对称轴．【解答】解：抛物线y＝3（x﹣1）6+8的顶点坐标为（1，3），故答案为：（1，8），6．【点评】本题考查了抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x＝h．13．【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠BAB′，∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．14．【分析】抛物线与x轴的交点的纵坐标为零；抛物线与y轴交点的横坐标为零．【解答】解：①当y＝0时，由原抛物线方程，得x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1）＝3，解得，x＝﹣2或x＝1，则抛物线y＝x2+x﹣2与x轴的交点坐标为（﹣2，4），0）；②当x＝0时，y＝7+0﹣2＝﹣8，则抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标为（5，﹣2）；故答案为：（﹣2，7），0），﹣2）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．注意抛物线方程y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的联系．15．【分析】根据旋转的性质得出∠CAC1＝60°，AC＝AC1＝，求出∠BAC1＝90°，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB＝，AC＝，∴∠CAC1＝60°，AC＝AC6＝，∵∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝30°+60°＝90°，在Rt△BAC3中，由勾股定理得：BC1＝＝＝4，故答案为：3．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AC1的长度和求出∠BAC1的度数是解此题的关键．16．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：＝45，故答案为：．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．17．【分析】首先证明△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小．【解答】解：连接BD，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；∴△ABD与△BCD为正三角形，∴∠FDB＝∠EAB＝60°，∵AE+CF＝4，DF+CF＝2，∴AE＝DF，∵AB＝BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF，∴∠EBF＝∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，∴边BE上的高为×2，△BEF面积的最小值＝7．故答案为3．【点评】本题考查了二次函数的最值，菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，满分18分）18．【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2+3x＝5，x（x+3）＝0，x＝5或x+3＝0，∴x7＝0，x2＝﹣6；（2），，，，∴．【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是题的关键．19．【分析】设出方程的另一根，利用两根之和求得另一根，然后利用两根之积求得m的值即可．【解答】解：把x＝3代入方程，得9﹣2（m+1）+2m＝8，解得m＝6，把m＝6代入原方程，得x8﹣7x+12＝0，解答x7＝3，x2＝4．所以另一根为4．【点评】此题主要考查了一元二次方程解的意义及根与系数的关系，以及运用解的定义解决相关问题的能力．20．【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1的对应点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C7为所作，点A1的坐标为（0，2）；（2）如图，△A2B2C5为所作．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．四、解答题（二）（共3小题，每小题8分，满分24分）21．【分析】（1）设AB边长为x米，则BC边长为（40﹣2x）米，根据矩形的面积＝长×宽＝150列出方程即可得出答案；（2）根据篱笆长与BC比较大小即可得出答案．【解答】解：（1）设AB边长为x米，则BC边长为（40﹣2x）米，得x（40﹣2x）＝150．解得x7＝15．x1＝5，当x＝5时，40﹣2x＝40﹣2×2＝30；当x＝15时，40﹣2x＝40﹣2×15＝10．∴AB边长为2米，BC边长为30米或AB边长为15米；（2）∵15＞13，∴围法是：AB边长为15米，BC边长为10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．【分析】（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数y＝x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y＝x2+2x﹣3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，6），﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣8；（2）∵当y＝0时，x2+4x﹣3＝0，解得：x8＝﹣3，x2＝3；∴A（1，0），6），∴AB＝4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|＝10，解得：n＝±5，当n＝5时，m5+2m﹣3＝5，解得：m＝﹣4或2，∴P（﹣5，5）（2；当n＝﹣5时，m2+2m﹣5＝﹣5，方程无解，故P（﹣4，2）或（2；【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．23．【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝AB，∠DAB＝60°，可得结论；（2）由旋转的性质和等边三角形的性质可得AB＝DB＝5，∠ADC＝∠ABE＝30°，BE＝DC＝10，由勾股定理可求解．【解答】证明：（1）∵将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△ADC，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形；（2）∵△ABD是等边三角形，∴AB＝DB＝5，∠ABD＝60°，∵将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△ADC，∴∠ADC＝∠ABE＝30°，BE＝DC＝10，∴∠DBE＝90°，∴DE＝＝＝5．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是本题的关键．五、解答题（三）（共2小题，每小题10分，满分20分）24．【分析】（1）经过t秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）结合（1）列出函数关系式，化成顶点是即可．【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，则列方程为：（4﹣t）×2t×＝4，解得t1＝5，t2＝4（舍），答：3秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）设x秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm，列方程为：（5﹣x）2+（8x）2＝55，解得x1＝0（舍），x6＝2，答：2秒后，△PBQ中PQ的长度等于4cm；（3）设面积为Scm2，时间为t，则S＝（5﹣t）×2t×3+5t＝﹣（t﹣）2+，所以当t＝4.5时，面积最大．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用