高中数学《复数的四则运算》复习教案与课后作业

《7.2复数的四则运算》复习教案

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

【基础知识拓展】

复数模的两个重要性质

⑴||Zi|—|Z21|W|Zi±&|W］Zi|+阂］

⑵।zj+为r+1Zi-Zi12=21©r+21z2r.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)复数与向量---对应.()

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.()

(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.()

(4)两个共帆虚数的差为纯虚数.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)计算：(3+5i)+(3-4i)=.

(2)(5—6i)+(—2—2i)—(3+3i)=.

—►-A

(3)已知向量0Z对应的复数为2—3i,向量或对应的复数为3-4i,则向量

—►

Z/对应的复数为.

答案(l)6+i(2)-lli(3)l-i

【核心素养形成】

题型一复数的加、减运算

例1计算:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)；

(2)(—7i+5)—(9—8i)+(3—2i).

［解］(1)原式=(3—4—3)+(—5—1—4)i=-4—10i.

(2)原式=(5-9+3)+(—7+8—2)i=-1—i.

【解题技巧】

复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行

加、减运算.在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部.这种运算类似

于初中的合并同类项.

【跟踪训练】

计算:(1)(l+2i)+(—2+i)+(—2—i)+(1—2i)；

(2)(i2+i)+|i|+(l+i).

解(1)原式=(-l+3i)+(-2-i)+(l-2i)=(-3+2i)+(l-2i)=-

(2)原式=(—l+D+JO+J+d+i)：—l+i+l+(l+i)=l+2i.

题型二复数加、减运算的几何意义

例2已知四边形口是复平面内的平行四边形，且4B,C三点对应的

复数分别是l+3i,—i,2+i,求点〃对应的复数.

［解］解法一：设点〃对应的复数为x+yi(x,y@R),

则D(x,y).

又由已知得4(1,3),8(0,-1),。(2,1),

・"C中点为他，2),劭中点为住2T.

3_%

2=2'

•••平行四边形对角线互相平分，

2=口

z2

x=3,

,V

,*ly=5.

即点〃对应的复数为3+5i.

解法二：设点〃对应的复数为x+yi(x,yeR).

—►

则应对应的复数为(x+yi)-(l+3i)=(x—1)+(y-3)i,

-A

又比对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i.

―►-A

由已知得49=8。，...(x—l)+(y—3)i=2+2i,

［jr—1=2,fx=3,

•(-3=2,4=5,

即点〃对应的复数为3+5i.

［条件探究］若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为l+3i,-

i,2+i,求第四个顶点对应的复数.

解设l+3i,—i,2+i对应4B,C三点，〃为第四个顶点，则①当四边

形4腼是平行四边形时，点〃对应的复数是3+5i.②当四边形48%是平行四

边形时，点〃对应的复数为l—3i.③当四边形/〃a'是平行四边形时，点〃对应

的复数为一1+i.

【解题技巧】

(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标

运算或向量运算.

(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.

(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可

能.

【跟踪训练】

-A

已知复平面内平行四边形4比〃［点对应的复数为2+i,向量物对应的复

—►

数为l+2i,向量比对应的复数为3—i,求：

(1)点G〃对应的复数；

(2)平行四边形48⑦的面积.

-A-►

解(1)因为向量历1对应的复数为l+2i,向量比对应的复数为3—i,

—►

所以向量小对应的复数为(3—i)—(l+2i)=2-3i.

—►—►-►

又OC=OA+AC,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4—2i.

-A-►—A-►

因为所以向量力次寸应的复数为3—i,即49=(3,-1),

设。(x,y),则4>=(x—2,y—1)=(3,—1),

x-2=3,x=5,

所以＜解得

y—1=-1,y=0.

所以点〃对应的复数为5.

⑵因为胡•BC=\BA\\BC\cosB,

BA•BC3—2__1__亚

所以cosB—

y[5Xy/lO~5y[2~1。

\BA\\BC\

….77A/2

所以sinB=i-=八

54210

f-7、历

所以S=\BA\|^C|sin^=V5x7i0X^-=7.

所以平行四边形/四的面积为7.

题型三复数加、减运算的几何意义的应用

例3已知|z1|=⑶=|ZLZ2I=1,求Iw+zzl.

[解]解法一：设Zi=a+6i,z2=c+di(a,b,c,dWR),

=|zi—z|

'：\zl\=\z2\2=1,

'.a+l)=c+d=\,①

(a—c)"+(A—4'=1.②

由①②得2ac+2bd=\.

/.Iz,+z21=7(a+c『+(6+df

=\lc2+If+di+2ac+2bd=y[3.

解法二：设。为坐标原点，z”%,©+Z2对应的点分别为4B,C.

:|©|=|z?|=|ZLZZI=1,.,.△而8是边长为1的正三角形，

.•.四边形"I"是一个内角为60°,边长为1的菱形，且|©+Z2|是菱形的

较长的对角线％的长，

=I

|Zt+z2\OC\

=y/\OA\2+\AC\2-2\OA\Udcosl20°=小.

【解题技巧】

掌握以下常用结论：

在复平面内，Z”Z2对应的点为4,B,Z1+Z2对应的点为C,。为坐标原点,

则四边形OACB-.

①为平行四边形；

②若|©+Z2|=|ZLA|,则四边形如％为矩形；

③若。=口，则四边形以"为菱形；

④若Izj=IZ21且|zi+z21=|Zi—al,则四边形OAGB为正方形.

【跟踪训练】

若复数z满足|z+i|+|z—i|=2,求|z+i+l|的最小值.

解解法一：设复数一i,i,—(l+i)在复平面内对应的点分别为Z,4,

Z.如图，

因为|z+i|+|z—i|=2,团=2,

所以复数z对应的点Z的集合为线段Z%.

问题转化为：动点Z在线段ZZ上移动，求的最小值，由图可知因团

为最小值且最小值为1.

解法二：设2=*+力(*，HR).

因为|z+i|+|z—i|=2,

所以—4+(y+1)?+^//+(y—1)2=2,

又山2+(了+1)2=2—yjx20,

所以0W^//+(y-l)2<2,

因为\/*+(y+l『=2-I)2,

所以两边平方可得1—而二斤，

即(1—2=f+(y—1)、且0W1—y^2.

所以x=0且一1则z=yi(-1WZD.

所以Iz+i+11=11+(y+1)iI=^/l2+(y+l)2^l,

等号在y=—1即z=-i时成立.

所以|z+i+l|的最小值为1.

【课堂达标训练】

1.复数Zi=3+i,Z2=l—i,则©—Z2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析•.•©—z2=(3+i)—(l—i)=2+2i,—在复平面内对应的点位

于第一象限.

2.已知口=3,且z+3i是纯虚数，则，等于()

A.-3iB.3i

C.±3iD.4i

答案A

解析设z=x+yi(x,yGR),由z+3i=*+(y+3)i为纯虚数，得x=0,

且后一3,又|z|=</+_/=3=3,.,.y=3,z=3i,z=-3i.故选A.

—>―>■

3.非零复数Zi,Z2分别对应复平面内的向量。4,0B,若|zi+z21=I©一

切,则()

―>■-A—>—>

A.OA=OBB.\OA\=\OB\

-A-A-A-A

C.OALOBD.OA,08共线

答案C

—*---»-->—>

解析如图，由向量的加法及减法法则可知，OC=OA+0B,BA=0A-

—>—>-A

OB.由复数加法及减法的几何意义可知，|;+z2]对应0。的模，|zi—Z21对应64

的模.又|©+Z2|=|ZLA],所以四边形十％是矩形，则04,。尻

4.复数z满足z—(1—i)=2i,则z等于()

A.1+iB.-1-i

C.-1+iD.1-i

答案A

解析z=2i+(l—i)=l+i.故选A.

5.如图所示，平行四边形勿纪的顶点0,A,C分别对应复数0,3+2i,-

2+4i.求：

(1)向量从网•应的复数.

(2)向量。对应的复数.

―►

⑶向量位对应的复数.

解⑴因为加=一勿，所以向量4阳应的复数为一3一2匚

(2)因为。=如一比；所以向量。对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-

(3)因为如=的+宓，所以向量施对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=l+

6i.

《7.2.1复数的加、减运算及其几何意义》课后作业

基础巩固训练

一、选择题

1.设©=3—4i,z2=-2+3i,则©—Z2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析Zj一为=（3—4i）—（―2+3i）=5—7i,在复平面内©—zZ对应点的坐

标为（5,-7）,位于第四象限.

2.在复平面内，复数6+5i,—2+3i对应的点分别为4B,若。为线段

4?的中点，则点C对应的复数是（）

A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i

答案C

解析两个复数对应的点的坐标分别为4（6,5）,8（—2,3）,则其中点的坐

标为C（2,4）,故其对应的复数为2+4i.

3.在平行四边形4版中，对角线47与如相交于点。，若向量物，破寸应

的复数分别是3+i,—l+3i,则。7对应的复数是（）

A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4—2i

答案D

解析在平行四边形5中，⑺=物=十一仍=3+i—（―l+3i）=4—2i.

4.设勿WR,复数z=（2序+3i）+（m一/i）+（―1+2就），若z为纯虚数，

则勿等于（）

13

A.-1B.3C.-D.-1或3

答案C

解析z=（2/+/一1）+（―/+2加+3）i为纯虚数,

2序+/-1=0,

则《解得z»=1.

[—疡+2/»+3W0,

5.设复数z满足|z—3—4i|=l,则|z|的最大值是()

A.3B.4C.5D.6

答案D

解析因为|z—3—4i|=l,所以复数z所对应点在以⑶4)为圆心，1为半

径的圆上，由几何性质得以的最大值是止7+1=6.

6.A,8分别是复数z”Zz在复平面内对应的点，。是原点，若|©+z2|=|zi

一司，则仍一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

答案B

解析根据复数加减法的几何意义知，以复数今在复平面内对应的向量

-A-A

04,06为邻边作平行四边形，•••|zi+z2|=|©—Z2|,...该四边形的对角线相等，

.•.此平行四边形为矩形，二△力仍是直角三角形.

二、填空题

7.在复平面上复数一l+i,0,3+2i所对应的点分别是4B,C,则平行四

边形48口的对角线劭的长为.

答案

—>—A—>

解析3/对应的复数为一l+i,8c对应的复数为3+2i,8〃对应的复数

为一l+i+3+2i=2+3i,.•.劭的长为|2+3r=声两=471

8.实数满足Zi=y+xi,Z2=yi—%且©—Z2=2,则W的值是.

答案1

解析zl—z2=y+xi—yi+x=(%+y)+(^―y)i.

x+y=2,x=1,

,.,©一%=2,."J'.xy=1.

IA—y=0,ly=l»

9.设f(z)=z—3i+|z|,若Zi=-2+4i,Z2=5—i,则f(zi+z2)=.

答案3+3^/2

解析因为©+z2=—2+4i+5—i=3+3i,所以A^+z2)=(3+3i)—3i

+13+3i|=3+^32+3~=3+3^2.

三、解答题

10.已知复数z满足|z|+z=l+3i,求z.

解设z=x+yi(x,yeR),则|z|=-^x+y.

又Iz|+z=l+3i,

所以d^+J+x+yiul+Bi,

[\lx+y+x=1,f-¥=-4,

由复数相等得“解得。

〔尸3,〔尸3,

所以z=-4+3i.所以z=—4—3i.

能力提升训练

1.已知复平面上的四个点4,B,C,。构成平行四边形，顶点4B,。对应

复数一5一2i,-4+5i,2,求点〃对应的复数.

解分三种情况：

-A-A

①当84=CDA^,z—Zn=zn—z(；

所以Zi)=zA—zB-\-zc=(—5—2i)—(—4+5i)+2=1—7i.

即点〃对应的复数为l—7i.

—►―►

②当物时，ZA—ZB=Zc—ZD,

所以zD=z(­zzj+Zu=2—(―5—2i)+(—4+5i)=3+7i.

―►―►

③当时，Z—Z,(=Zn—Zn,

所以zD=zB—zc+zA=(­4+5i)—2+(—5—2i)=—ll+3i.

故点〃对应的复数为1—7i或3+7i或一ll+3i.

2.设©=l+2ai,z2=a—i(aGR),A—{z\|z—Z||<A/2},B={z\\z-

Z21W2镉},已知4A6=0,求a的取值范围.

解Vzi=l+2ai,z2=a—i,|z—Zi|<y[2,

即|z—(1+2ai)I<^/2,Iz—Z2IW2y

即Iz—(a—i)IW2斓，

由复数减法及模的几何意义知，集合力是以(1,2司)为圆心，蛆为半径的圆

的内部的点对应的复数，集合6是以(a,—1)为圆心，2小为半径的圆周及其内

部的点所对应的复数，若则两圆圆心距大于或等于半径和，即

______________g

^(l-a)2+(2a+l)223地，解得aW-2或心三

0

《7.2.2复数的乘、除运算》复习教案

【基础知识拓展】

虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：

i""=i；i4n+2=-l；i4n+3=-i；i4,,=l.

说明：(1)上述公式说明i的事具有周期性，且最小正周期是4.

(2)〃可推广到整数集.

(3)4A(AWZ)是i的周期.

⑷与i有关的几个结论：

,..,,.,1+i1-i

(l+i)2=2i,1—i)2=—2i,-~?=i,7^=—i.

l—il+i

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打"J"，错误的打"义”)

(1)若复数©=l+2i,Z=3—i,则复数z0的虚部为5.()

(2)若Zi，z2GC,且Z：+Z；=O,则ZI=Z2=0.()

⑶两个共胡复数的积为实数.()

答案⑴V(2)X(3)V

2.做一做

(1)复数备=.

⑵复平面内，复数z=k"(i为虚数单位)的共轿复数对应的点位于第

象限.

⑶复数2T的共短复数是—

33

答案(1)5—？(2)四(3)2-i

【核心素养形成】

题型一复数的乘、除运算

3+2i3-2i

例1(1)复数)

2-3i2+3i

A.0B.2C.-2iD.2i

⑵若复数©=4+29i,Z2=6+9i,其中i是虚数单位，则复数(©—㈤i

的实部为

［解析］⑴解法-昔一曷

(3+2i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i)

~~(2-3i)(2+3i)~~

6+13i-6-6+13i+626i

=------------------------=---=9i

4+913

3+2i3~2ii(2-3i)~i(2+3i)

解法二:2-3i-2+3i=2-3i2+3i-=i+i=2i.

(2)(z,-^)i=［(4+29i)一(6+9i)］i=(-2+20i)i=-20-2i,

A(z-z2)i的实部为一20.

［答案］(DD⑵-20

【解题技巧】

(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把

i,化为一1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式，再把分母实

数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共挽复数，若分母是纯虚数，则只需同

时乘以i).

(2)实数集中的乘法公式、累的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立.

【跟踪训练】

计算：⑴(—2+3i)>(l+2i)；

(2)(2-i)(-l+5i)(3-4i)+2i.

版G向十一2+3i(―2+3i)(l—2i)

解(1)原式i+2j(l+2i)(l-2i)

(—2+6)+(3+4)i4,7

=+L

l2+2255

(2)原式=(3+lli)(3—4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.

题型二在复数范围内解一元二次方程

例2在复数范围内解下列方程.

(1)27+6=0；

(2)/+矛+4=0.

［解］(1)由2/+6=0,得f=-3.

因为(/i)2=(一/i)2=-3,

所以方程2V+6=0的根为*=土木i.

(2)配方，得(矛+；)=—牛，

所以A-+1=±-^i,

所以原方程的根为x=一J土卑i.

乙乙

【解题技巧】

实系数一元二次方程a/+6x+c=0(a,b,c@R,aWO)在复数范围内定有

两个根：

(1)/>0,方程有两个不相等的实数根起2=—出土g.

2aLa

(2)4=0,方程有两个相等的实数根荀,2=一幺

乙a

b\l—zi-

(3)zl<0,方程有一对共辗虚根引2=一”土七一i.

乙a乙a

【跟踪训练】

在复数范围内解方程2*+4X+15=0.

13

解配方，得（8+1）2=一万,

所以x+l=±*-i,

乙

所以原方程的根为X=-1土尊i.

乙

题型三复数in的周期性运算

例3计算：⑴之冬+雀卜°；

(1-1)U+U

(2)l+i+i2+i3+-+i2019.

解⑴卷+(系卜=等+管卜=i(】+D+即=-f+

(-i)10,0=-l+i-l=i-2.

(2)解法一：Viz,+i,,+l+i,,+2+i,,+3=0,

.,.l+i+i2+i3+-+i2019=l+i+i2+i:,+(i4+i5+i6+i7)+(i8+i9+i1<)+

i1,)+-+(i2016+i20,7+i2018+i2019)=l+i+i2+i3=0.

-1—1-20201—1•505X41-1

解法二:i+i+i2+-+i20,9=T^7=0-

1-i1-i

【解题技巧】

i"（AsN*）的性质

根据复数乘法法则，容易得到i的〃次基的计算法则，即〃GN*时，遭=1,

产』，「=—1,严一i,其中i-，「=86*）.

另外，i"'+i"'+i+i""+2+i4"+3=0.

【跟踪训练】

1—i

⑴当Z=-J"时，/+滑+1的值等于（)

A.1B.-1C.iD.-i

罟）+丑噜的值为

⑵计算

1y3—y2i

答案⑴D⑵-1+i

-2i

解析1,

2

.•.?00+Z+l=(-i)50+(-i)25+l=[(-i)T5+(-i)+l=-l-i+l=

-i.

⑵原式』中m+243一m=一

+i.

【课堂达标训练】

1.复数i(2—i)=()

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.—1—2i

答案A

解析i(2—i)=2i—i?=l+2i.故选A.

9

2.复数[一等于()

1—i

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

答案A

22(l+i)誓~D=l+i.故选A.

解析

乙

2

工a)

+i一

3

案

答+

a5-

Q3

解

析4-+

1-i55154T

4.方程7系+1=0的根为.

答案x=土田i

解析7/+1=0,整理得/因为惇｝=卜亭»>=—/所以7/

+1=0的根为x=±)-i.

5.把复数z的共枕复数记作z,已知iz=4+3i,求二.

7

__4+3i

解由]2=4+31,得2=-:-=3—4i,所以z=3+4i.

1

z3+4i(3+4i]—7+24i

所”=3_4i=(3-4i)(3+4i)=—25—,

《7.2.2复数的乘、除运算》课后作业

基础巩固训练

一、选择题

1.若复数z满足zi=l+i,则z的共也复数是()

A.-1-iB.1+i

C.—1+iD.1-i

答案B

解析解法一：设复数z=a+6i(a,Z?GR),则zi=(a+6i)i=-6+ai=l

1[•

+i,得a=l,b=—l,则z=l—i,所以z=l+i.解法二：复数(1

+i)(―i)=1—i,则z的共甄复数，=l+i.

2.已知复数z满足z(l+i)=—i,则|z|=()

A.1B.半C.1D.^2

乙乙

答案B

解析因为=二^二所以口=芈.

1+1(1十1)(1—1)ZZ

3.复数z”Z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且©=3+2i,则

Z0=()

A.12+13iB.13+12i

C.-13iD.13i

答案D

解析因为复数z,=3+2i在复平面内对应的点关于直线尸x对称的点表

示的复数z?=2+3i,所以Z0=（3+2i）（2+3i）=13i.故选D.

2

4.在复平面内，复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

__2,.32(3+i).3+i._34.

解析复数-3-i+1-(3-i)(3+i)1-51-551其在复平面

上对应的点位于第四象限.

5.已知不=l-bi,其中a,8是实数，i是虚数单位，则|a—历|=（）

A.3B.2C.5D.A/5

答案D

a=l+b9

解析a=(l-6i)(l+i)=l+6+(l—b)i,由复数相等可知

1—6=0,

a=2,

/.Ia—bi|=、1#+方=邓.

6-设复数,”在复平面内的对应点关于虚轴对称，若K-2i,嵋的

虚部为（）

3344

上C

---一-1

5B.55D.5

答案D

解析因为Z1,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1=1—2i,所以Z2

Z2―l_2i-(l+2i)2—(-3+4i)34.

=-l-2i,7=l-2i=(l-2i)(l+2i)=5=5-51所以其虚部为

4

5'