新人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量及其线性运算培优练习题

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

学习指导核心素养

1.经历由平面向量推广到空间向量的过1数.学抽象：空间向量的基本概念.

程，了解空间向量的概念.2.直观想象、数学运算：空间向量的线

2.经历由平面向量的运算及其法则推广性运算.

到空间向量的过程.3.逻辑推理：共线向量及共面向量的判

3.掌握空间向量的线性运算.定.

必备知识—附圜

知识点一空间向量的有关概念

(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

⑵长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.

’①几何表示法：空间向量用有向线段

表示.

(3)表示法：4②字母表示法：用字母表示，若向量0的

起点是A,终点是3,则向量a也可以记

、作通，其模记为回或曲W.

(4)几类特殊向量

特殊向量定义表示法

零向量长度为9的向量0

单位向量模为1_的向量⑷=1或常1=1

与Q长度相等而方向相反的

相反向量-Q

向量，叫做。的相反向量

共线向量表示若干空间向量的有向a//b^AB//CD

或平行向量线段所在的直线互相平行

或重合

相等向量方向相同且模相等的向量a=b或屈=CD

微点拨--------------------------------

(1)零向量的长度为0,并规定零向量的方向是任意的.有向线段的起点A和

终点3重合时，AB=0.

(2)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度.根据实际情况，“:1”可以

是1米，也可以是1毫米等.

♦即时训练

1.(多选)下列命题中为真命题的是()

A.向量箱与函的长度相等

B.将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量

解析：选AD.对于选项B,其终点构成一个球面，所以B为假命题；对于选

项C,空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段,

所以C为假命题；易知A,D为真命题.故选AD.

2.如图，分别以长方体A3CO—A®CO的顶点为起点和终点

的向量中:

A

⑴试写出与向量显相等的所有向量;A

(2)试写出向量筋’的所有相反向量.

解：(1)与向量显相等的所有向量(除它自身之外)有福'，DC及庆7.

(2)向量筋，的相反向量有前1,CC,UD.

知识点二空间向量的线性运算

、-A-Ar-y-4-.

名称代数形式几何形式超导律

OB=O\+AB交换律：

加法

=a+bQ+方=/+Q；

结合律：

(1

CA-&€YOL

减法a+S+c)=(a+5)

=a-b+c

当时，Aa=

2>0结合律：

XOA=PQ；必《1)=如)。；

数乘当A<0时，Aa=卜FH'G分配律：

+〃)。=〃

AOA=MN；(22a+a,

%(a+b)=Xa+劝

当2=0时，Aa=0

EIT]如图，在平行六面体ABCD—AiBGOi中，设44i=a,

AB=b,AD=c,N,P分别是BC,C1D1的中点，试用a,b,cA

表示以下各向量：

—►

(1)A>；(2)AiN.

【解】(1)因为P是。。i的中点，所以办=A4i+A1D1+D1P=a+疝

11—1

+2=a+c+/AB=a+c+1b.

(2)因为N是8C的中点，所以4N=4A+AB+BN=-a+b+^BC=

1-1

——ci+&+2AZ)=——a+8+]c.

II题技巧------------------------------

空间向量线性运算的技巧

(1)向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键，灵活

应用相反向量可使向量间首尾相接.

⑵利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意

和向量的方向，必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果.

(3)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则或平行四边形

法则将目标向量转化为已知向量.

<跟踪训练如图所示，在长方体ABCD-AIBGDI中，0

为AC的中点.

―►

(1)化简：AiO—；AB—；AD=；

(2)用AB,AD,AA\表示OG,则OG=.

解析：(1)AiOABAD=4O-gAC^AiO-AO=AiA.

(2)<9Ci-OC+CG=；ABAD+4A.

答案：⑴AAi⑵3ABAD+/L4i

知识点三空间向量的共线与共面

(1)共线、共面向量

共线(平行)向量共面向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线平行于同一个平面的向

定义

互相平行或重合量，叫做共面向量

如果两个向量a/不共线，

那么向量P与向量a,b共

充要对任意两个空间向量a,伙方别)，a//b的

面的充要条件是存在唯一

条件充要条件是存在实数九使“=笈

的有序实数对(x，y)，使2

=xa+yZ>

(2)直线/的方向向量

如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量”，则对于°

直线/上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件

可知，存在实数人使得/=痴.我们把与向量。平行的非零向量称为直线/的

方向向量.

阳点拨--------------------------------

(1)0与空间任意向量。都是共线向量.

(2)共线向量定理中的/不可去掉，否则实数2可能不唯一.

(3)任意两个空间向量必共面，但任意三个空间向量不一定共面.

EI2]如图，在平行六面体ABC。一A1BGO1中，M是以______算

-

ADi的中点，N是8。的中点，试判断而V与OC是否共线.京力C

AB

【解】由题意可知M,N分别是ADi,3。的中点，四

边形ABC。为平行四边形，连接AC(图略)，则N为AC的中点.

—►—►

所以加=AN-AM=|ACAD}=|(AC-AD\)=1D?C,所以

MN与加共线.

[I题技巧------------------------------

(1)判断两个非零向量共线的方法

判断两个非零向量％分是否共线，就是寻找是否存在一个非零实数卷使。

=劝成立.要充分运用空间向量的运算法则，结合图形得出。=劝，从而判断出

a,8共线.

(2)证明空间三点P,A,B共线的方法

①画=XPB(AGR).

②对空间任一点。，OP=总+tAB(/eR).

③对空间任一点。，OP—xOA+yOB(x+y=l).

＜跟踪训练已知空间向量a,小且魂=a+2b,BC=一5。+64CD

=7a—2b,则一定共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

解析：选A.由题意可得前=BC+CD=2a+4瓦则筋=2AB,则A,

B,。三点共线；AC=AB+BC=-4a+8b,不存在实数2满足值=AAC,

则A,B,C三点不共线；

不存在实数/满足比=^CD,则8,C,。三点不共线;

不存在实数％满足金=沅，则A,C,。三点不共线.故选A.

《关键能力三更E3)

考点一由空间向量的线性运算求参数

题⑶已知正方形ABC。，P是平面ABC。外的一点，点P在平面A8CO上

的射影恰好是正方形ABCD的中心0,。是CO的中点，求下列各式中x,y的

值：

(1)02=PQ+xPC+yM；

⑵或=xP0+yPQ+PD.

【解】⑴如图所示，0Q=6+PQ,由向量加法运算的平

行四边形法则可得历=g(PC+或),故由=-\PC-

两,所以的=0P+PQ=PQPC.

所以x=-g,y=~2-

(2)因为无+或=2的，所以a=2历一反：①，同理无=2照-PD

②，将②代入①得成=PD+2P0-2PQ,

所以x=2,y=—2.

II题技巧------------------------------

运用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量的线性表示,

再根据对应向量的系数相等，求出X,y.

＜跟踪训练如图所示，在平行六面体ABC。-

—►

2

中，。为AC的中点.设E是棱。。1上的点，且场=gDDi,

若反？=xAB+yAD+zAAi,试求实数x,y,z的值.

解:EO=AO—AE=2(AB+A。)—AD—§AA\=5AB—/AD—§

一，112

AA\,所以x=],y=-2，z=­g-

考点二空间向量的共面问题

EO]已知A,B,C三点不共线，。是平面ABC外的任意一点.若次=

|(OA+OB+0C),试判断向量中,PB,PC是否共面，并判断点P是否

在平面ABC内.

【解】向量戌,PB,PC共面且点尸在平面ABC内.理由如下：

因为次+OB+0C=3和,所以为-OP=@-OB)+(0>-0C)

=BP+CP.

即成=而+CP=一丽-PC.

所以向量成,PB,PC共面.

因为戌,PB,PC有共同的起点尸，且A,B,C三点不共线，

所以P,A,B,C共面，

即点P在平面ABC内.

[I题技巧---------------------------------

证明空间三向量共面或四点共面的方法

(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性

组合，即若p=xa+y£>,则向量p,a,力共面.

(2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点0,有罚=xOA+yOB

+zOC且x+y+z=l成立，则P,A,B,C四点共面.

《跟踪训练已知向量a,b,c不共面，且p=3a+2)+c,m=a-b+c,

n=a+b—c,试判断p,机，〃是否共面.

解：设p=xm+y口,

即3a+2b+c=x(a—b+c)+y(a+b-c)=(x+y)a+(—x+y)b+(x—y)c.

(x+y=3,

因为叫b,c不共面，所以j-x+y=2,

[x—y=l,

而此方程组无解，所以p不能用，*〃表示，即p,in,〃不共面.

«课堂巩固三自测

1.下列说法正确的是（)）

A.若⑷〈步则a<b

B.若a,）为相反向量，则a+Z>=0

C.空间内两平行向量相等

D.四边形ABCD中，AB-AD=DB

解析：选D.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向

量的和为0,不是0,B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向

量不一定具备，C错；D正确.

2.在四棱锥。一A3C。中，底面A3CO是平行四边形，设近=a,OB=

b,OC=c,则由）可表示为（）

A.a~\~c——bB.a-\~2b——c

C.c~\-b—aD.a~\~c—2b

解析：选D.如图，在四棱锥。一ABC。中，底面ABC。是Q

平行四边形，则筋=丽+BC.又丽=苏-OB=a—b

BC=OC—OB=c—b,所以BD=Q+C—2b.故选D.

3.设et,e2是空间中两个不共线的向量，已知命=ei+ke2,BC=5ei+

4e2,DC=-ei-2e2,且A,B,。三点共线，则实数左=.

解析：因为屐）=AB+BC+CD=7ei+（A+6）e2,且A,B,。三点共线,

所以设A£>=xAB,即7e1+(%+6)e2=xe\+xkez,故(7—x)ei=—(Z+6—xk)ei.又

7-0,7,

ei,02不共线，所以《，一，'，、解得J故％的值为1.

/+6—Ax=O,[k=1,

答案：1

4.如图，在正方体ABCD-A\B\C\D\中，E是上底面4cl隽上弁】

的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的向量./f

-

(1)AB+BC+CG；

(2)AA\+1AS+|Ab.

解：⑴蕊+BC+CCi=AC\.

-A-A-A-A-A-A-►

(2)A4+1AB+；AD=A4+义(AB+AD)=A4i

+1(DiCi+AiD\)=AAi+；AiCi=A4i+A\E=AE.向量AG,AE如

图

课后达标一检[测

[A基础达标]

1.下列命题中正确的是()

A.若a与。共线，方与c共线，则。与c共线

B.向量a,4c共面，即它们所在的直线共面

C.若两个非零空间向量油与①满足感+CD=0,则活//CD

D.若a〃A,则存在唯一的实数九使”=劝

解析：选C.A中，若6-0,则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义

是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C

中，因为卷+CD=0,所以筋=-CD,所以油与前共线，故脑//CD

正确；D中，若5=0,aWO,则不存在唯一的实数人使。=劝.

2.如图所示，在四棱柱的上底面ABC。中，AB=DC,则下列向量相等

的是()

A.AD与西B.OA与反

C.AC与历D.DO与丽

解析：选D.根据题意可知四边形ABC。是平行四边形，AD与无，0A与

0C为相反向量，AC与踮方向不同，DO与施是相等向量.

3.已知空间四边形ABCD,连接80,设M,N分别是BC,C。的中点，

则浓-AB+AD=()

A.|DBB.3MN

C.3NMD.2MN

解析：选B.因为M,N分别是BC,CO的中点，所以MN〃/，JL

BD,所以届VBD,所以而-AB+AD=MN+(AD-AB)=W+

BD=疚+2W=?>MN.故选B.

4.在三棱锥P—ABC中，M为雨的中点,N在BC上，且BN=2NC,则()

A.MN=~\PA+|PB+|PC

B.MN=-1PA-^PBPC

C.MN=；PA.—1PB+|PC

D.W=-1M+|PB-|PC

解析：选A.如图，连接MB,MN.因为疚=MB+BN,MBP

=MP+丽=-1PA+PB,57V=|BC=j(PC-PB),

i211B

所以质=-2PA+PB+?(PC-PB)=一2PA+^PB+

IPC.故选A.

5.（多选）如图，在长方体ABC。一AiBCiOi中，下列各式运

算结果为BD\的是（）

A.AiOi—AiA—AB

B.BC+BBi-LhCi

C.Ab-AB-DD\

D.BiDi—A^A+Db\

解析：选AB.A中，4力1一/4一拔—油=防1；B中，反:+丽।一而।

=BC\+C?D\=Bb\-,C中，M）-AB-Db\=Bb-DD\=Bb-BB\=B^D^Bb\-,

D中，8苗1一初+防1=筋+筋1+而产防1+筋1W防।.故选AB.

6.（多选）已知正方体ABC。-4B1CQ1中，ACi的中点为0,则下列互为相

反向量的是（）

A.EI+历与丽+死

B.为一定与痂一历1

C.OA]—0A^0C~0C\

口.次1+为+虎+沆＞与晶|+历1+比1+应＞1

解析：选ACD.A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相

反向量；D中是一对相反向量.

7.已知空间中任意四个点A,B,C,D,则及+CD-CB=.

解析：方法一：DA+CD-CB=（CD+DA）-CB=CA-CB=丽.

方法二：DA+CD-CB=DA+（CD-CB）=DA+BD=BA.

答案：BA

8.如图所示，在三棱柱A8C-AEC中，AC与Hb是向量，AB与

防，是向量.（填“相等”或“相反”）

AAr

解析：由相等向量与相反向量的定义知：流与是相等向量，协与防’

是相反向量.

答案：相等相反

9.已知A,B,C三点共线，则对空间任一点。，存在三个不为。的实数九

m,n,使2。4-\-mOB-\-nOC=0,那么2+加+〃的值为.

解析：因为A,B,C三点共线，所以存在唯一实数攵使初=庆，

即为-OA=k(OC-OA),

所以(左一1)/+OB-kOC=0.又2为+mOB+nOC=0，令％=1,

m=1,n=­k,则2+m+〃=0・

答案：0

10.如图所示，已知四边形A8CD是空间四边形，E,“分别A

是边AB,A0的中点，F,G分别是边C8,CD上的点，且不=

|狗，%=|亦.求证：四边形是梯形.'

证明：因为E,H分别是AB,A。的中点，

所以由BD(CD-CB)=J[|cG-|cF'j=撩(CG-CF)=弓

乙乙乙、乙乙/I3

FG,

3

所以由//FGSL\EH|=w\FG\^\FG|.

又尸不在直线上，

所以四边形EFGH是梯形.

[B能力提升]

11.若空间中四点。，A,B,P满足罚=mOA+nOB,其中机+〃=1,

则()

A.尸七直线45

B.P阵直线AB

C.点尸可能在直线AB上，也可能不在直线AB上

D.点Pe直线A8,且AP=PB

解析：选A.因为m+〃=1,所以〃7=1—〃，所以QP=(1—ii)OA+〃0B,

即次-0A=〃(乃-0A),即协^nAB,所以能与协共线.又协，AB

有公共起点A,所以尸，A,8三点在同一直线上，即Pd直线AB,但AP与AB

不一定相等.

12.(多选)下列条件中，点P与A,B,。三点一定共面的是()

A.PC=|M+|

B.OP=10A+]OB+10C

C.OP=0\+OB+0C

D.OP+0A+OB+0C=0

解析：选AB.对于A:因为比-OP=；(04-OP)+|(OB-0P),

所以花-OP0AOP+1OB0P,所以|OPOP-0P

=|0A+|OB-OC=0,故反=；苏+|加，故A,B,C共线，故

P,A,B,C共面；或由亚=g成十|而得也,PB,PC为共面向量，故

P,A,B,C共面；对于B:|+|+|=1,故P,A,B,C共面；对于C,D,

显然不满足，故C,D错误.故选AB.

13.如图，。为△ABC所在平面外一点,M为的中点，若历

=AAM与花=10A+108+10C同时成立，则实数2的值

为.

解析：0G=OA+AG=0A+AAM=OA+](AB+AC)

]JJ

=OA+彳｛OB-OA+OC-OA)=(1-2)04