高中数学-《等差数列》教学设计学情分析教材分析课后反思

《等差数列》教学设计

教学

情境设计和学习任务学生活动设计意图

环节

上节课我们学习了数列。在日常生活倾听课堂引入

中，哈雷彗星、气温变化、存款利息

导课等等这些大家以后会接触得比较多的

明标实际计算问题，都需要用到有关数列

的知识来解决。今天我们就先学习一

类特殊的数列，展示本节课目标。

由学生观察分析并得出答案：观察分析，发表各自的意见引向课题

在现实生活中，我们经常这样数展示学习目

数，从开始，每隔数一次，可以得到标

数列：，，，…

在过去的三百多年的时间里人们

记录下了观察到哈雷彗星的时间：

16821758183419101986（）你

能预测下一次的时间吗？

通常情况下，从地面到10公里的

高空，气温随时间的变化存在一定规

律：

12345••・・9

2821158.2

.55

你能结合规律估算珠穆朗玛峰峰

顶的温度吗？

自主

我国现行储蓄制度规定银行支付

合作

存款利息的方式为单利，即不把利息

加入本金计算下一期的利息。按照单

利计算本利和的公式是：本利和本金

X（利率X寸期）.例如，按活期存入

元钱，年利率是。那么按照单利，年

内各年末的本利和分别是：

年初本年末本利和

时间

金（元）（元）

第年

第年

第年

第年

第年

引出本节课学习内容，教师展示本节

课学习目标

思考:同学们观察一下上面的这三个观察分析并得出答案：通过分析，激

数列：引导学生观察相邻两项间发学生学习

，，，，，...①的关系，得到：的探究知识

,,,②对于数列①，从第项起，的兴趣，引导

，，，，，(§)每一项与前一项的差都等于揭示数列的

76；共性特点。

看这些数列有什么共同特点呢？对于数列②，从第项起，

每一项与前一项的差都等于

自主~6.5；

合作对于数列③，从第项起，

每一项与前一项的差都等于

72；

后学生归纳和概括出，以上

三个数列从第项起，每一项与

前一项的差都等于同一个常数

(即：每个都具有相邻两项差

为同一个常数的特点)。

［等差数列的概念］学生认真阅读课本相关概念，通过学生自

对于以上几组数列我们称它们为等差找出关键字。己阅读课本，

数列。请同学们根据我们刚才分析等找出关键字，

差数列的特征，尝试着给等差数列下提高学生的

个定义：阅读水平和

等差数列：一般地，如果一个数列思维概括能

从第项起，每一项与它的前一项的差力,学会抓重

等于同一个常数，那么这个数列就叫点。

做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差

通常用字母表示。那么对于以上三组

等差数列，它们的公差依次是，，…

展示判断下列数列是不是等差数列由学生回答，如何判定，公差让学生巩固

质疑(4)13572468为多少等差数列的

(5)5555555..定义

(6)3X4X5X6X7X..

⑵、那么，如果任意给了一个等差数引导学生根据等差数列的定引导学生进

列的首项卬和公差，它的通项公式是义进行归纳：行理性分析

与推导，从而

什么呢？a2-a}=d,

得出公式。

(〃-1)个等式广2

%一/=L

所以出="1+”'

/

4

思考：那么通项公式到底如何表达%=%+d,进一步的分

呢？。3=%+。=（q+。）+d=。+2,折

%=%+d=（/+2d）+〃=Q+?d.

得出通项公式：由此我们可以猜想得思考，并发表各自的意见。让学生有自

点评出：以4为首项，为公差的等差数列主思考的时

提升｛《,｝的通项公式为空。

an=q

也就是说，只要我们知道了等差数列

的首项q和公差，那么这个等差数列

的通项4就可以表示出来了。

例、⑴求等差数列，，，…的第项.让两个学生分别对这两小题加让学生参与

⑵是不是等差数列，，，…的项？以分析。课堂。

如果是，是第几项？

分析：解：⑴由田,,,得

⑴要求出第几项，可以利用通项公式

a20=8+(21-l)x(-3)=-49

求出来。首项知道了，还需要知道的⑵由q,(),得这个数列的

是该等差数列的公差，由公差的定义

通项公式为

可以求出公差；

a=-5-4(〃-1)=-An-1,由

⑵这个问题可以看成是上面那个问题n

题意知，本题是要回答是否存

的一个逆问题。要判断这个数是不是

在正整数，使得成立。

数列中的项，就是要看它是否满足该

解这个关于的方程，得，

数列的通项公式，并且需要注意的是，

即是这个数列的第项。

项数是否有意义。

例题评述：从该例题中可以看出，等聆听教师点评通过教师点

训练差数列的通项公式其实就是一个关于评，提高学生

巩固%、为、、(独立的量有个)的方程；对关键问题

另外，要懂得利用通项公式来判断所的认知水平。

给的数是不是数列中的项，当判断是

第几项的项数时还应看求出的项数是

否为正整数，如果不是正整数，那么

它就不是数列中的项。

例.梯子最高一级宽33cm,最低一级解：根据题意，建立等差学以致用，将

宽110cm,中间还有10级，各级的宽数列模型所学知识应

度成等差数列，计算中间各级的宽度。用到具体生

活中去，加深

对概念的理

解。

例题评述：这是等差数列用于解决实聆听教师点评通过教师点

际问题的一个简单应用，要学会从实评，提高学生

际问题中抽象出等差数列模型，用等对关键问题

差数列的知识解决实际问题。的认知水平。

尝试用三种数学语言总结本节课语言以学习小组为单位，在学习小学生自己小

总结本节课所学知识组中，各自归纳自己对这堂课结，使学生对

本节主要内容为：的收获，后由小组代表总结归自己所学知

总结①等差数列定义：即%-=d(A纳。识有更深刻

测评②等差数列通项公式：4=的认识

a}+(/?-V)d(2)

推导出公式：an=am+(n-m)d

在等差数列中：作业是课堂

1.已知a4=10,a7=19,求al和d的延续，除了

检验学生对

本节课知识

的理解程度，

2.已知a3=9,a9=3,求al2还在于引导

总结

学生对本课

测评

知识的进一

步探究，让学

生在更大的

深度与广度

之间进行思

考。

《等差数列》学情分析

知识方面：学生已学习了函数.数列等有关基础知识，并且高二

学生的抽象逻辑推理能力基本形成，能在教师的引导下独立地解决问

题。学生基础知识比较扎实.思维较活跃，学生层次差异不大，能

够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题,

深入研究问题。

能力方面：虽说学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对

数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的

技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体

会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,

但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同

时思维的严密性及过程书写还有待加强。因此在教学过程中精心设计

几个问题，让学生在类比的基础上理解数列通项公式的原理，特别注

意启发引导教学。

《等差数列》效果分析

通过本节课教学学生通过生活的实例探究出等差数列定义，养成

探索发现、提出问题的习惯，让学生知道等差数列，了解等差数列定

义，掌握求通项公式的关键步骤。重点是借助实例了解等差数列的特

征，；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建

模”的思想方法并能运用。培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；

激发了学生的求知欲，对课堂新知充满浓厚的兴趣，从而积极主动的

去思考问题；渗透类比的数学思想。

自主学习阶段独学体现学生的自主探究，合作交流培养学生合作

精神，有效的解决本课难点，通过展示汇报环节教师有效的追问引起

学生的注意，让学生认识到这两个条件的重要性。而类比的思想方法，

则能够完善解题步骤，升华知识体系，从而突破重点内容。

通过例题的算-猜-证，既考察了数列基本知识，又考验了学生的

归纳猜想能力，最后检验了学生对数列通项公式推导过程的掌握程度,

让学生既进一步体会数列中的方程思想，又规范了解题过程，起到了

示范的效果，错例分析和巩固训练提升了学生对知识的理解和应用，

最后的小结与达标检测，要求学生自主完成PPT上的三道题目。之后

找学生交流思路和答案，并针对其出现问题进行点拨和纠正，让学生

通过自评互评，能够更加清晰本节课的所学和不足，此过程中小组合

作答疑解惑，教师点拨，可规范解题步骤，最终做到堂堂清。

《等差数列》教材分析

《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节

的内容。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，

而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数

思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内

容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列

的两种方法一一通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步

深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的

依据。

本节课教学在知识与技能目标上理解并掌握等差数列的概念；了解等

差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想

方法并能运用。培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函

数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学

生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解

决问题的能力。在过程与方法上在教学过程中我采用讨论式、启发式

的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。在学生的情感态度与价值观

上，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精

神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。让学生

进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善

于观察的学习习惯。

1.（2020为春市质量监测（Z1））等差数列｛4｝中，S是它的前〃项和，

4+a=10,$=54,则该数列的公差，为（）

A.2B.3

C.4D.6

a,+d+a+2d—10,

解析：选c.由题意，知《,6X5解得，

68+--(/=54,

乙9

选C.

2.（2020•重庆市七校联合考试）在等差数列｛4｝中，若a+&5+备+

a+句1=55,S=3,则2等于（）

解析：选C.设数列｛4｝的公差为d,因为数列｛a｝是等差数列，所以

3.）+&5+&+及+3u=5a7=55,所以&=11,又W=3,所以

fdr,-Q\+611,Q\1,

CFU—Q解得力—9所以@5=7.

—3^i।3d-3,Yd—2,

3.（2019•高考全国卷HD记S为等差数列｛2｝的前〃项和.若且=5,

国=13,贝（J510=・

解析：通解：设等差数列｛2｝的公差为小则由题意，得

[£i\+2d-—5,o.\——1,

|a+6d=13,解得|d=2,一r10X9

所以SO=1OX1+F-X2=1OO.

乙

优解：由题意，得公差"=；(&-&)=2,所以44=&+</=7,所

_10(a+a^o)

以Sco=o=5(a+&)=100.

答案：100

等差数列教学反思

本节课是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容,

属于新授课，课堂教学采取“激、学、导、练”教学模式，分为创设

情境，提出问题；自主合作，解决问题；展示汇报，反馈点拨；巩固

训练，课堂提升；课堂小结，达标检测五个环节，课堂教学设计符合

学生认知规律，整个流程清晰完整。反思本节课教学可以从以下两个

方面来总结：

—.成功之处：

1.教学设计首先从生活实际出发引入数学问题的探究，展示学习

目标，并借助哈雷彗星，珠穆朗玛峰温差激发学生学习兴趣，渗透类

比思想解决问题，通过学生自主学习-独学与小组合作学习探究等差

数列的定义和通项公式，注重了等差数列定义的归纳和通项公式的推

导过程，既突出了本节重点内容，也突破难点。其次通过学生的展示

汇报，教师的针对性点拨，不停的追问，剖析等差数列的定义，等差

数列后一项与前一项之差为同一个常数，了解了累加法和归纳法的原

理，使知识得到迁移应用。个别例题由学生进行尝试分析，在独立思

考的基础上与他人合作、交流，修正错误，优化解题方法，完善解题

步骤。充分发挥学生动脑，动手能力，参与课堂学习，积极思考能力，

对典型例题进行变式训练，延伸拓展，使学生进一步巩固本考点知识

应用的主要题型，强化解题方法，规范解题步骤。通过学生练习，展

示修正，最后总结解题方法与规律，升华提高。最后对本节知识进行

达标检测，限时完成，以此来强化落实对本节知识、方法的理解、应

用，提高了学生解决问题的能力。

2.多媒体辅助教学，有利于学生自主化学习，展现了教学的开放

性与交互性，使资源利用最大化，另一方面，突破了传统教学模式中

的单一教育资源，大大提高学生的学习兴趣和学习效率。

二.不足之处：

本节课教学