四川省南充市2024-2025学年高二数学下学期第二次月考试题理含解析

Page19Page19（时间：120分钟；总分150分）一､选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1.若，则（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】依据基本初等函数的导数公式可推断.【详解】由，所以函数是常函数，.故选：D.2.若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（）A.2i B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】依据复数的除法运算求出，再依据复数的概念可得结果.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为.故选：D3.函数：的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的导函数，令导函数大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围，即为函数的单调递增区间．【详解】由函数得：，令即，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选C．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查对基础学问的理解与应用，属于简洁题．4.已知条件p：，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】由命题q可得出，进而结合充分不必要条件的概念即可推断.【详解】条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，所以须要满足，因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件，故选：A5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的最大值是A. B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用基本不等式以及椭圆的定义，求出最值即可．【详解】解：若椭圆的方程知其长半轴的长为，则因为（当且仅当时取“”故选：B．【点睛】本题考查基本不等式的应用，椭圆的定义的应用，考查计算实力，属于基础题．6.用数学归纳法证明不等式(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（）A.增加了一项B.增加了两项，C.增加了两项，，又削减了一项D.增加了一项，又削减了一项【答案】C【解析】【分析】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.【详解】n＝k时，左边为＋＋…＋，①n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②比较①②可知C正确.故选：C7.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减C.函数处取得极大值 D.函数在处取得微小值【答案】C【解析】【分析】依据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可推断A,B的结论;依据函数的极值点和函数的导数的关系可推断、的结论．【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；依据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；依据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得微小值，故正确，故选：8.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A.192种 B.216种 C.240种 D.288种【答案】B【解析】【详解】分类探讨，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，依据加法原理可得结论．解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，依据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．9.七巧板被誉为“东方模板”，是我国古代劳动人民宏大独创之一，由五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丢一粒种子，则种子落入黑色部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设小正方形边长1，求阴影部分的面积和大正方形的面积，利用古典概型即可计算.【详解】设小正方形边长1，可得黑色平行四边形底为，高；黑色等腰直角三角形直角边为2，斜边，大正方形边长，所以落入黑色部分.故选：C.10.某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面，点B到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以O为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意建立合适平面直角坐标系，设出抛物线的方程，依据的坐标求解出抛物线的方程，由的横坐标可计算出的纵坐标，结合长度可求解出的高度.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记且垂足为，在轴上的投影点为，设抛物线方程为，由题意可知：，所以，所以，代入抛物线方程可知，所以，所以抛物线方程为，又因为，所以，所以，所以，所以的高度为，故选：B.11.设函数，其中，存在，使得成立，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将转化为两动点的距离的平方，从而求得的最小值，进而得到的值，由此得关于的方程即可得解.【详解】依题意，函数可视为动点与动点之间距离的平方，动点在函数上，动点在直线上，则转化为求直线上的动点到曲线的距离的平方，由得，令解得，此时，所以曲线上的点到直线的距离最小，距离为，则动点到动点距离平方的最小值为，则，又存在使得成立，则，此时直线，为垂足，，解得，故选：A.12.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出、、，比较、、的大小关系，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，当时，；当时，.所以，函数的增区间为，减区间为.因为，，，因为，则，则，故.故选：A.二､填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】【分析】依据题意，设须要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，依次分析四个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】依据题意，设须要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有种.故答案为：48．【点睛】本题考查排列学问的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．14.已知复数满足，则(为虚数单位)的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】由复数的几何意义画出图形，数形结合得答案【详解】∵，∴z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，的几何意义为圆上的点到的距离，如图，∴的最小值为，故答案为：1.15.如图，，是双曲线：（，）的左右焦点，过的直线与圆相切，切点为，且交双曲线的右支于点，若，，则双曲线的离心率______.【答案】【解析】【分析】连接，过作的平行线，依据向量关系以及双曲线的定义，用分别表示出，利用勾股定理，即可求得，则离心率得解.【详解】连接，过作，由，则易知，，，，，所以在中，，整理得，所以双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及齐次式的构造，属经典基础题.16.已知函数，若对随意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______________.【答案】【解析】【分析】设，利用的单调性和奇偶性，将不等式转化为，然后换元转化为恒成立，最终转化为在上，函数的图象在函数的图象的上方，即可求解.【详解】设，则，∴为奇函数，又∵，∴在上单调递增，由已知得，则，∴，∴，即，又∵，∴，令，则，则转化为在上，函数的图象在函数的图象的上方，设的切点为且过原点的方程为，将原点代入求得，即切线方程为，则，即实数的取值范围为.故答案为：.三､解答题（共70分）17.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程与曲线的一般方程；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A，B两点，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）对于曲线消参数即可得出一般方程；对于直线利用和差公式绽开，代入，即可求解；（2）利用参数方程的几何意义即可求解.【小问1详解】依题意，∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的一般方程为．∵直线的极坐标方程为，∴．∵，．∴直线的直角坐标方程为．【小问2详解】由（1）知，点在直线上，∴直线的参数方程为（为参数），代入得，．设，是上述方程两根，∴，，．∴．18.已知函数在处有极值.（1）求实数的值；（2）求函数在上的最值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，依据题意列出方程，求得的值，可得答案.（2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案.【小问1详解】，，解得，则，若，则；若，则或,即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：【小问2详解】由（1）知，，，若，则；若，则或,在上单调递增，在上单调递减,又，.19.某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满足程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满足程度打分，依据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满足度打分不低于分的人数；（2）若接受分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解状况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.【答案】（1），680人（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中全部小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再估计出满足度打分不低于分的人数；（2）首先求出打分在和内人数，再用列举法列出全部可能结果，最终依据古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知，，解得.该校学生满足度打分不低于分的人数为.【小问2详解】由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，

抽取的人接受分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人.

设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，

则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本领件有：，，共种.

其中两人都在内的可能结果为，

则这人至少有一人打分在的概率.20.如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，，（1）求证：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.【小问1详解】证明：取中点，连接，因为是正三角形，所以，因为平面平面平面，平面平面所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.【小问2详解】连接交于，取中点，连接，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，又因为四边形是菱形，所以，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，，令平面的法向量为，设二面角的大小为，.所以二面角的正弦值为.21.已知椭圆上点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，留意探讨斜率不存在的状况.【小问1详解】由题意可得，，又因为椭圆中，所以，，，故椭圆的方程为.【小问2详解】当直线斜率存在时，设，，直线方程为，联立得，，即，所以，，因为，所以，又因为，所以，即，所以，因为，所以，即，当直线斜率不存时，设，，，且，所以，解得，又因为在椭圆上，则，所以，，所以，综上的取值范围为.22.已知函数，．（1）探讨的单调性；（2）若，当时，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据求导公式和运算法则可得，分类探讨当、、、时的单调性即可；（2）由和对数的运算性质变形可得，利用分析法证明