2024数学高考前冲刺题《立体几何》含答案

黄金冲刺大题03立体几何12024·黑龙江·二模）ABCABC的侧棱长和底面边长均为2M是BC的中点，N-111AB的中点，是BC的中点．P是111(1)证明：MN//平面CP；(2)求点P到直线MN的距离．22024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，,M是侧棱的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD底面ABCD．(1)求三棱锥MABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．32023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱ABCABC中，平面-AACC平面11111,AA12，1B6．(1)设D为AC中点，证明：AC平面ADB；1(2)求平面AAB与平面ACCA夹角的余弦值．111142024·山西晋中·ABCDE中，BCBD6，ECEDECED2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AECD.(1)证明：平面ABE平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．52024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱ABCABC中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点-A1111处，P为棱AB（包含端点）上的动点．11(1)求点P到平面1的距离；(2)若AP平面，求直线1与平面所成角的正弦值的取值范围．62024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知AB∥CD，BAD90，CD2AB，PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面PD//AMC．(1)证明：PM2BM；3(2)若侧面PAB底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角PACB的余弦值．1172024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABGCDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCDAB8m是矩形，，AD4m，EDCF1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GAGB5m，HEHF，平面ABG平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．82024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，ACBC2，ACB120，平面ACDE平面ABC，点F在AB上，且AF2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若EAC60，MN为直线CD，ANAB的公垂线，求的值；AF217(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若tan，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．，使得CD到EF的位置，得到如图所示的92024·安徽·二模）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90几何体．(1)求证：平面ACF平面BDE；1DF(2)点M为上一点，若二面角CAME的余弦值为，求∠MAD．3102024·安徽黄山·AB为圆台下底面圆1的直径，C是圆O上异于,B的点，D是圆1台上底面圆O上的点，且平面DAC平面ABCDADCAC2BC4，E是CD的中点，，，2BF2FD．(1)证明：2//BC；(2)求直线DB与平面AEF所成角的正弦值.112024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台ABCD的下底面边长为22，AB1112AB，M为BC111112中点，已知点P满足AP1AB．ADAA，其中1(1)求证1PAC；32(2)已知平面1与平面ABCD所成角的余弦值为，当时，求直线DP与平面AMC所成角的正弦173值．122024·辽宁·三模）如图，在三棱柱ABCABC中，侧面-ACCAABC,ACAA12底面，11111ABBC3，点E为线段AC的中点.BEC；1(1)求证：AB平面1π(2)若AACABEC，求二面角的余弦值.113132024·广东广州·PABCDABCD是边长为2的菱形，DCP是等边三π角形，DCBPCB，点M，N分别为DP和AB的中点.4(1)求证：MN//平面PBC；ABCD(2)求证：平面PBC平面(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.142024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面；ABCD，底面为直角梯ABCD形，PAD为等边三角形，AD//BC，ADAB，ADAB2BC2．(1)求证：ADPC；(2)点N在棱上运动，求△ADN面积的最小值；PQQC(3)点M为PB的中点，在棱上找一点Q，使得平面BDQ，求的值．152024··模拟预测）OO的轴截面AACC为等腰梯形，AC2AA21B11211,CABBC,PBC的中点.为底面圆周上异于的点，且是线段(1)求证：CP//平面AAB.11(2)求平面AAB与平面CCB夹角的余弦值.11162024·广东深圳·二模）如图，三棱柱ABCABC中，侧面-BBCCABAC底面ABC，且，11111ABAC．11(1)证明：AA平面ABC；1(2)若AABC2，BAC90，求平面ABC与平面ABC夹角的余弦值．1111172024·河北保定·二模）PABCDPCD内存在一条直线EF与AB平行，PA3平面ABCD，直线与平面ABCD所成的角的正切值为，PABC23，CD2AB4.2(1)证明：四边形ABCD是直角梯形.(2)若点E满足PE2ED，求二面角PEFB的正弦值.182024·湖南衡阳·PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆O的内接三角形，E是圆锥母线的中点，POAC4.(1)求证：平面BED平面；(2)设点M在线段PO上，且OM2，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值.192024·湖南岳阳·三模）已知四棱锥PABCD的底面ABCDDAB60PAPC是边长为4的菱形，，，PBPD210，M是线段上的点，且PC4MC．(1)证明：平面BDM；(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值．202024·湖南·二模）如图，直四棱柱ABCD的底面是边长为2的菱形，ABC60,BD平11111面ACD.11(1)求四棱柱ABCD的体积；1111(2)设点D关于平面ACD的对称点为EE和点关于平面E和ACDC111111与平面所成锐二面角的大小.212024·山东济南·二模）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，DABPCB60,CDABPC23PCB平面ABCDF为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PFAD；7(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.4222024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB2BC4，ABC60，E为CD的中点，将VADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE平面ABCE；30(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线与平面ABCE所成的角的正弦值为，求点F到平面DEC的10距离．PABC中，PAPB,ABBC,ABBC6，已知二面角232024·福建·模拟预测）如图，在三棱锥P-AB-C的大小为，PAB.(1)求点P到平面ABC的距离；PABC的体积取得最大值时，求：(2)当三棱锥（Ⅰ）二面角P-AB-C的余弦值；（Ⅱ）直线与平面PAB所成角.242024·浙江杭州·二模）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，DAB60,BC2PQ4ABMPQ∥BC,PDDC,QBMD为BC的中点，．(1)证明：ABQ90；15(2)若多面体ABCDPQ的体积为，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．2252024·浙江嘉兴·二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA平面ABCD,PAQD，BC2AB2PAABC60.(1)证明：平面PCD平面(2)若PQ22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.PABC中，AB4，AC2，CAB60，BCAP.；262024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥(1)证明：平面ACP平面ABC；(2)若PA2，PB4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.BCCDBD4272024·河北沧州·一模）如图，在正三棱锥ABCD中，，点满足APAC，P，过点P作平面分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且AD//，BC//.，四边形PQST总是矩形；(1)证明：(2)若AC4，求四棱锥CPQST体积的最大值.282024·湖北·二模）如图1ABCD中，ABC120，AB4，AEAD，AFAB(0，△PBCDEP．如图2所示，设二面角PEFB的平面角为．沿EF将AEF向上折起得到棱锥95(1)当为何值时，三棱锥PBCD和四棱锥PBDEF的体积之比为？(2)当为何值时，5？0,1，平面PEF与平面PFB的夹角的余弦值为5292024·湖北·模拟预测）空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，πAB1，设直线m与n之间的夹角为，3(1)如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；(2)如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足PQ//，PQn且PQm，（i）求直线m，n与平面的夹角之和；PQd0d1fd，求点到平面距离的最大值关于的函数．（ii）设Pd302024·浙江绍兴·模拟预测）ABCDABCDBAD120.1111392底面与顶面的对角线交点分别为O，O2AB2.，BBDDAA，与底面夹角余弦值为11111137.37(1)证明：1平面ABCD；(2)现将顶面绕OO旋转角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向.此时使得底面与DC的夹角正弦值为1164343，此时求的值(90)；(3)求旋转后AA与BB的夹角余弦值.11黄金冲刺大题03立体几何12024·黑龙江·二模）ABCABC的侧棱长和底面边长均为2M是BC的中点，N-111AB的中点，是BC的中点．P是111(1)证明：MN//平面CP；(2)求点P到直线MN的距离．【答案】(1)证明见解析(2)3AACP的一个法向量为n(x,y,z)，利用空间向量法1）建立如图空间直角坐标系，设平面1证明MNn0即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.AA1，BAC60，而AB1）由题意知，AA1ABABC平面内过点AABC平面，ABC所以，在平面A作y轴，使得ABy轴，建立如图空间直角坐标系，3333则(0,0,0),B(2,0,0),C3,0),A(0,0,B(2,0,2)，得M(,,0),NP(,,2)，1122223313所以AC3,AP(,,0),(,，112222ACP1的一个法向量为n(x,y,z)，设平面nACx3y2z011，所以3,，，令x1，得y3,z则323nAPxy012所以n1(3)(3)1(0，又MN不在平面1内ACP122即MN//平面ACP1；（2）如图，连接PM，由（1）得(0,0,，则2，MN2,PM2，MNPMPM2dPM(2)3所以点P到直线MN的距离为.22024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，,M是侧棱的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD底面ABCD．(1)求三棱锥MABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．1【答案】(1)233(2)．111）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M到平面ABCD的距离为3，进而由锥体体积公式求出答案；2（2BOAD出线面角的正弦值.1）如图所示，取AD的中点O，连接PO．因为PAD是正三角形，所以POAD．又因为平面PAD底面ABCD,PO平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，所以平面ABCD，且PO3．3又因为M是的中点，M到平面ABCD的距离为，2122π△ABC22sin3，313312所以三棱锥MABC的体积为3．2π（2）连接BO,BD，因为BAD，3△BOAD，所以ABD为等边三角形，所以以O为原点，,OB,OPxy所在直线分别为轴，轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P3,A1,0,0,B3,0,C3,0，则3333M,,AM,,PB3,3,BC0所以．2222，设平面PBC的法向量为nx,y,zPBn03y3z0，即x0，取z1，则y1，则，解得BCn02x0n．所以设AM与平面PBC所成角为，33,AMn2233则sincosAM,n．AMn33114114433即AM与平面PBC所成角的正弦值为．1132023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱ABCABC中，平面-AACC平面11111,AA12，1B6．(1)设D为AC中点，证明：AC平面ADB1；(2)求平面AAB与平面ACCA夹角的余弦值．1111【答案】(1)证明见解析；5(2)51）根据等边三角形的性质得出BDAC，根据平面ACCA平面ABC得出BD平面，1A111BDADAC1DACADB1，利用勾股定理得出，从而证明平面；1（2AAB的法向量和平面1A111AAB1A的夹角余弦值．1用向量求平面与平面111）证明：因为D为AC中点，且ABACBC2，BDAC所以在ABC中，有，且BD3，ACCAACCAABCACBD，又平面平面ABC，且平面平面平面ABC,1111所以BD平面1A，1AD11ABDAD，1又平面，则1由1B6，BDAD33，得，1因为AD1，AA12AD3，，所以由勾股定理，得ADBAC1D，1又ACBD，AD,1,平面，所以AC平面ADB；111D（2）如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系可得1(0,0,3),B3,0)，，AA3,AB3,0则，1n(x,y,z)，AAB设平面的法向量为11nAAx3z01y1，令x3，得，由z1，nABx3y0n,所以由（1）知，BD平面1A，11A所以平面AAB的一个法向量为3,0)，1，1A的夹角为1记平面与平面11|nBD|35则cos|n||BD|，5355AAB1A夹角的余弦值为1所以平面与平面．11542024·山西晋中·ABCDE中，BCBD6，ECEDECED2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AECD.(1)证明：平面ABE平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析105(2)351）设平面ABE与直线CD交于点M，使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；（2）证明BE平面CDE，然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.1）设平面ABE与直线CD交于点M，连接ME,MB，则平面ABE与平面CDE的交线为ME，平面ABE与平面BCD的交线为MB，因为AB平行于平面CDE，AB平面ABE，平面ABE和平面CDE的交AEMBAEMBABME.线为ME，所以∥ME．同理，所以四边形ABME是平行四边形，故，∥因为，AEMB，所以CDMB，又BCBD6，所以为棱CD的中点MECEDMCMD，CDMECDAB在CDE中，，所以，由于∥ME，故.而，ABAEAAB,AE，平面ABE，所以CD平面ABE，又平面CDE，所以平面ABE平面CDE.（2）由（1）可知，CD平面ABME，又AM平面ABME，所以CDAM.而点A到直线CD的距离为22，故AM22.在等腰直角三角形CDE中，由ECED2,得CDMCMDME1.在等腰三角形BCD中，由MCMD1，BCBD6，得BM5.在平行四边形ABME中，AEBM5，ABEM1，AM22，EM2AE2AM25由余弦定理得cosMEA，2EMAE55所以cosBME，所以BEBM2EM22BMEMcosBME2.552BM，所以.2ME22222因为BE因为平面ABME平面CDE，平面ABME和平面CDE的交线为ME，BE在平面ABME内.所以BE平面CDE.x,y,z如图，以E为坐标原点，EC,ED,EB分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.2222E0,0,0,C2,0,0,D2,0,B0,0,2,A,,2,F,,1.则224422CD2,2,0,DB2,2,FB,,1.所以4421mCD0210mx,y,z，则1.设平面BCD的法向量为，即11mDB02y2z011则可取12，得m2.22nFB02y2z20nx,y,z4.设平面BDF的法向量为，则，即4222nDB02y2z022．z12n32,2,1取，则mncosmn32105设平面BDF与平面BCD的夹角为，则.102135105所以平面BDF与平面BCD夹角的余弦值为.3552024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱ABCABC中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点-A1111处，P为棱AB（包含端点）上的动点．11(1)求点P到平面1的距离；(2)若AP平面，求直线1与平面所成角的正弦值的取值范围．23913【答案】(1)；2104(2)[,].51OABC1求解即得.（2）由向量共线求出向量AP的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.AO1，ABCOBAC(AOOB3底面为正三角形，且，11）依题意，平面)以O为原点，OB,OC,OA的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，1则O(0,0),(0,0),B(3,0),C0),A(0,3),C(0,3)，11AC(0,3)，BC(3,3)，AA3)，111AB//ABABABCABABCABC平面，1由，平面，平面，则AB11111111即点P到平面ABCAABC的距离等于点到平面的距离，111设(x,y,z)为平面的一个法向量，由nAC3y3z0，取，得1z3ABCn3,，1nBC3x2y3z01|AAn|23239AABCd1因此点到平面的距离1，1|n|1313239所以点P到平面ABC的距离为．113（2）设APAB，，111则APAAAPAAAB3)(0)(,1,3)，111由AP，得AP为平面的一个法向量，设直线BC与平面所成角为，1sin|cosBC,AP|BCAP||5|)51则，1|BC||AP|22325222101令t55tt[4,5]，则，，tt11sin则由252(5t)2(5t)225t2t572157175，2522557()2tt2t3876111175251752105[,]t[4,5][,]57(2[2557(，得，于是),]，)2，则t54t38762516t387652210sin[,]，54210BC].所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是[,15462024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知AB∥CD，BAD90，CD2AB，PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面PD//AMC．(1)证明：PM2BM；3(2)若侧面PAB底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角PACB的余弦值．11【答案】(1)证明见解析；10(2)．10ABEB1）连接BD与AC交于点E，连接EM，由已知得，由线面平行的性质得∥，CDEDEBBM12，即PM2BM根据三角形相似可得EDPM（2AB的中点O底面ABCDPAB中过点M作MFPOAB∥交于点MFOGACPGO于点GF底面ABCDMCF为CM与底面ABCDABCD上过点O作是二面角PACB的平面角，根据条件求解即可1）证明：连接BD与AC交于点E，连接EM，ABEB在EAB与ECD中，∵，∴，AB∥CDCDED由CD2AB，得ED2EB，又∵PD//平面AMC，而平面PBD平面AMCME，PD平面PBD，∴∥，EBBM12∴在△PBD中，，∴PM2BM；EDPM（2）设AB的中点O，在正PAB中，，而侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，且PO平面PAB，∴底面ABCD，在PAB中过点M作MF//PO交AB于点F，∴MF底面ABCD，∴MCF为CM与底面ABCD所成角，MF3，设AB6a，∴CF11MF则MFa，∴CFa，BFa，则在直角梯形ABCD中，，a3而CD12a，则ADa212a5a262a，在底面ABCD上过点O作OGAC于点G，则PGO是二面角PACB的平面角，易得OAa，AC66a，OAACa66a在梯形ABCD中，由，得OGa，OGADOG62aOG10在Rt△POG中，PG30a，∴cosPGO．PG1072024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABGCDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCDAB8m是矩形，，AD4m，EDCF1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GAGB5m，HEHF，平面ABG平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)44(2)131）取面AB,CD的中点M,N，证得平面ADE//平面MNHG，得到AE//GH，再由平面HN4HN，结合ABG//平AG//EH，得到平行四边形AGHE，得到GHAE，求得平面，证得ABCD，即可求解；（2）以点N为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG和平面AGHE的法向量n4)和m3,4)，结合向量的夹角公式，即可求解.1）如图所示，取AB,CD的中点M,NGM,MN,HN，连接，因为GAGB，可得GMAB，又因为平面ABG平面ABCD，且平面ABG平面ABCDABGM，平面，所以GM平面ABCD，同理可得：HN平面ABCD，因为平面ABCD，所以ED//HN，MNHGHN又因为平面，平面MNHG，所以ED//平面MNHG，因为MN//AD，且AD平面MNHGMN，平面MNHG，所以AD//平面MNHG，又因为ADDED，且AD,DE平面ADE，所以平面ADE//平面MNHG，因为平面AEHG与平面ADE和平面MNHG于AE,GH，可得AE//GH，CDHNN又由GM//HN，AB//CD，且ABGMM和，所以平面ABG//平面，因为平面AEHG与平面和平面CDEHF于AG,EH，所以AG//EH，可得四边形AGHE为平行四边形，所以GHAE，因为AEAD2DE242217，所以GH17，AB在直角AMG，可得GMGB2()25243，22在直角梯形GMNH中，可得HN317424，HN平面ABCD，所以点H到平面ABCD的距离为4.因为（2）解：以点N为原点，以NM,NC,NHx,y,z所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，E(0,F(0,G(4,H(0,4)如图所示，则，可得HE(0,HF(0,HG(4,，nHG4xz0设平面BFHG的法向量为n(x,y,z)，则，nHF4y3z0取z4，可得xy3，所以n4)，mHG4ac0设平面AGHE的法向量为m(a,b,c)，则，mHEbc0ab3取c4，可得，所以m3,4)，19161916191613mn4cosm,n则，mn4即平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值.1382024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，ACBC2，ACB120，平面ACDE平面ABC，点F在AB上，且AF2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若EAC60，MN为直线CD，ANAB的公垂线，求的值；AF217(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若tan，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．【答案】(1)证明见解析AN9(2)AF135225(3),851）先通过余弦定理及勾股定理得到CFAC，再根据面面垂直的性质证明；C（2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的坐标运算根据，列方程求解即可；MNAF0217（3）利用向量法求面面角，然后根据tan列不等式求解.1）ABACBC2222ACBCcosACB，AB23，AF2FB，22433132314949432所以AFACCF，CFCACB，CFCACBCACB，94316224AF2，则CFAC，3又因为平面ACDE平面ABC，平面ACDEABC，CFABC平面面，故平面（2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系ACDE；C，由EAC60，可得DCA120，DC2，233C0,0,0,D3,A2,0,0,F,0所以所以233，AF,0CD3，23323ANAF2,,0N22,,0，设，则3233M,0,3MN22,,3，设CMCD，则，2230MNCD00由题知，4，4420MNAF392AN9解得，，故；1313AF13，设B3,0EAC，（3）3,2sinE22cos,0,2sinBE32cos,则，，可取平面ABC的法向量n0,1，nBEsin2sinsincosn,BE则，nBE32cos243cos34sin243cossin43cos2cos，sin21则tan，43cossin272152cos,整理得10cos9cos20，故2，CF22cos,0,2sin，CB3,0，CD,0，32cos2zsin0nCD0记平面CDF的法向量为1x,y,z，则有1，，2y0nCF013可得1sin,cos，2acos2sin0记平面CBD的法向量为2a,b,c，则有2nCB0ab02，n3sin,sin,3cos可得2记平面BCD与平面CFD所成角为，32152coscosn,ncos,，则，123sin23214251546sin2,3sin2,，所以，2552253cos,．故3sin28592024·安徽·二模）将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90，使得CD到EF的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF平面BDE；1(2)点M为上一点，若二面角CAME的余弦值为，求∠MAD．DF【答案】(1)证明见解析(2)MAD4531）根据面面与线面垂直的性质可得BDAF，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；（2MAD，AB1的余弦值，CAME1sincos1sin1cos13建立方程，结合三角恒等变换求出即可.221）由已知得平面ABCD平面，AFAB，平面ABCD平面AB，AF平面，所以AF平面ABCD，又BD平面ABCD，故BDAF，因为ABCD是正方形，所以BDAC，AC，AF平面ACF，ACAFA，所以BD平面ACF，又BD平面BDE，所以平面ACF平面BDE.（2）由（1）知AD，，AB两两垂直，以AD，，AB所在直线分别为，，z轴，建立空间直角坐标系，如图.xy设MAD，AB1，A0Mcos,sin,0C0,1E，，则，，故AMcos,sin,0，AC0,1AE，mx,y,z1，则mAC0，mAM0设平面AMC的法向量为xz01111xsin1ycoszsin，1故，取，则xy0111msin,cos,sin所以nx,y,z，nAE0，nAM20设平面AME的法向量为yz02222xsinycoszcos，则，22故，取xy0222nsin,cos,cos，所以cosm,n1sincos所以，1sin1sincos1sin1cos21cos21由已知得，223729sin70，解得sin21或sin化简得：2sin2（舍去）45，即MAD45.故102024·安徽黄山·AB为圆台下底面圆1的直径，C是圆O上异于,B的点，D是圆1台上底面圆O上的点，且平面DAC平面ABCDADCAC2BC4，E是CD的中点，，，2BF2FD．(1)证明：2//BC；(2)求直线DB与平面AEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析685(2)851）取AC的中点O，根据面面垂直的性质定理，可得DO平面ABC，即可求证2//OO，进1而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.（2）建系，利用向量法，求解法向量,3)与方向向量(3)的夹角，即可求解．121）证明：取AC的中点为O，连接DO，OOOO，，112QDADC，O为AC中点，DOAC，又平面DAC平面ABC，且平面DAC平面ABCACDO，平面DAC,DOABC，DO//OO，DOOO，故四边形DOOO为矩形，平面121212DO//OO，又O，O分别是AC，AB的中点，2111//BC，DO2//BC；（2）C是圆1上异于A，B的点，且AB为圆O的直径，1BCAC1AC，，如图以O为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO3，13,0,0),1,4,0),C(1,0,0),D(0,3)E(,0,)，22设F(x,,z)，(xyz)，(,y,3z)，y14234423由BF2FD，得F(,,)AF(,,)，333333323(3)，AE(,0,)，2n(x,y,z)设平面AEF法向量为，1113243nAE110，取,3)，21则42332nAF111033设直线BD与平面AEF所成角为，668585sin|cosn,DB则1722568585直线BD与平面AEF所成角的正弦值为．12112024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台ABCD的下底面边长为22，AB11AB，M为BC111112中点，已知点P满足AP1AB．AA，其中AD1(1)求证1PAC；323(2)已知平面1与平面ABCD所成角的余弦值为，当时，求直线DP与平面AMC所成角的正弦17值．【答案】(1)证明见解析2413(2)911）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.1）方法一：12ABAB，AAABAAAD222．∵∵∴∴11112212DAADAA111212DPDAAP1ABAD1AA111112ABADDPAC1ABAD1AA1∴1211221ABAD1ABAA1ADAA1121221818410．21PAC∴DPAC，即．1方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有A2,2,0，B2,2,0C2,2,0，，2222D2,2,0，A,,hC,,h，，11222222,hM2,0，，AC22,22,0D,12212232322AP10,22,022,0,0,,0,22,h22223222DA,,h，123223232,322DPDAAP,hh．11221PAC故ACDP0，所以．1（2）设平面ABCD的法向量为n0,1，3232AC，AMCmx,y,z，AM2,22,0,,h设平面的法向量为，112202x22y0AMm则有，即，322322ACm0xyhz01m22h,2h,3令x22h，则．cosm,n33又题意可得，可得h2．78h22h29,2DP2,2,24224．PD,因为，经过计算可得，3，113223m42,22,3的法向量．将h2代入，可得平面AMC1设直线DP与平面AMC所成角的为θ1844241391sincosDP,m．162232899122024·辽宁·三模）如图，在三棱柱ABCABC中，侧面-ACCAABC,ACAA12底面，11111ABBC3，点E为线段AC的中点.BEC；1(1)求证：AB平面1π(2)若AACABEC，求二面角的余弦值.113【答案】(1)证明见详解2(2)21）连接BC，交BC1于点，连接NE，利用线面平行的判定定理证明；N1△AAC为等边三角形，故AEAC，利用面面垂直的性质定理可证得AE底面（2）由已知可知，111ABC，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.BCBC1）连接，交于点，连接NE，N111B因为侧面是平行四边形，1所以N为BC1的中点，又因为点为线段的中点，ACENE//AB所以，11BECBEC，1因为面，NE面11//1.面所以π（2）连接ACAE，，因为1AC，ACAA12，113△AAC为等边三角形，AC2，所以11因为点E为线段AC的中点，AEAC1所以，ACCAACCAABCACAE1A平面因为侧面底面ABC，平面平面，，111111AE1所以底面ABC，过点E在底面ABC内作EFAC，如图以E为坐标原点，分布以，EC，EAx,y,z的方向为轴正方向1建立空间直角坐标系，312E0B,,0C3则，，，12321，EB,,0EC3所以，12BECm的法向量为x,y,z，设平面1mEB则31xy022，令x1，则y3,z2，mEC2y3z01，BECm3,2所以平面的法向量为1n0,1，又因为平面ABE的法向量为22则cosm,n，1342ABEC经观察，二面角的平面角为钝角，12ABEC所以二面角的余弦值为.12132024·广东广州·PABCDABCD是边长为2的菱形，DCP是等边三π角形，DCBPCB，点M，N分别为DP和AB的中点.4(1)求证：MN//平面PBC；ABCD(2)求证：平面PBC平面；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；3(3).31）取中点E，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.PQBC（2）过P作Q.于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.1ME,BEMDPNABME//DC,MEDC中点，得，1）取中点E，连接，由为中点，，因此四边形BEMN为平行四边形，PBC为21又BN//CD,BNCD，则ME//BN,MEBN2PBC,BE平面于是MN//BE，而MN平面，所以MN//平面PBC.π（2）过P作，由，得≌，QCPPQBCQ于点，连接DQDCBPCB,CDPC,QCQC4π则DQCPQC，即，而PQDQ2,PQ2DQ2PQABCD4PD2，2PQDQDQBCQ,DQ,BCABCDPQ，因此，又平面，则平面平面PBC，所以平面PBC平面ABCD.（3）由（2）知，直线QC,QD,QP两两垂直，Q以点为原点，直线QC,QD,QPx,y,z分别为轴建立空间直角坐标系，22则C(2,0),P(0,2),D(0,2,0),M(0,,(2,0)，22CM(2,22,AD(2,0),DP(0,2,2)，22nAD2x0nn(x,y,z)y13，设平面PAD的一个法向量，则，令，得nDP2y2z0|CMn|2sin|cosCM,n设CM与平面PAD所成角为，，|CM||n|3233所以CM与平面PAD所成角的正弦值是.3142024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PAD为等边三角形，AD//BC，ADAB，ADAB2BC2．(1)求证：ADPC；(2)点N在棱上运动，求△ADN面积的最小值；PQQC(3)点M为PB的中点，在棱上找一点Q，使得平面BDQ，求的值．【答案】(1)证明见解析221(2)7(3)41）取AD的中点H，连接，CH，依题意可得四边形ABCH为矩形，即可证明CHAD，再由PHAD，即可证明AD平面PHC，从而得证；CGAG12（2AC交BD于点GMC交BQ于点FGFCF12MK2PQ2MK，最后由即可得解.得到，在PBC中，过点M作MK//PC，即可得到FMCQ1）取AD的中点H，连接，CH，则AH//BC且AHBC，又ADAB，所以四边形ABCH为矩形，所以CHAD，又PAD为等边三角形，PH,CH平面所以PHAD，PHCHH，PHC，所以AD平面PHC，又平面PHC，所以ADPC.（2）连接HN，由AD平面PHC，PHC又HN平面，12所以ADHN，所以SADHNHN，ADH要使△ADN的面积最小，即要使HN最小，当且仅当HNPC时HN取最小值，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PH平面PAD，所以PH平面ABCD，又HC平面ABCD，所以PHHC，CH2在RtHPC中，，PH3，所以PCCH2PH7，2PHCH23221当HNPC时HN，PC772217所以△ADN面积的最小值为.（3）连接AC交BD于点G，连接MC交BQ于点，连接FG，F因为AD//BC且AD2BC2，所以CGB∽AGD，CGBC12所以，AGAD因为平面BDQ，又AM平面，BDQACMGF平面平面，所以GF//AM，CFCG1所以，FMAG2MMK//PC，在PBC中，过点作MKMFPQQC2PQ2MKCQ，即4PQ2MK则有，所以，所以CQCF152024··模拟预测）OO的轴截面AACC为等腰梯形，AC2AA21B11211,CABBC,PBC的中点.为底面圆周上异于的点，且是线段(1)求证：CP//平面AAB.11(2)求平面AAB与平面CCB夹角的余弦值.11【答案】(1)证明见解析1(2)71）取AB的中点H，连接AH,PH1，证明四边形ACPHCP//AH为平行四边形，进而得，即1111可证明；（2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.1）取AB的中点H，连接AH,PH1，如图所示，12因为P为BC的中点，所以//AC,PHAC.1AACCAC//AC,ACAC在等腰梯形中，，1111112AC,HPACACPH所以HP//，所以四边形为平行四边形，111111CP//AHAHAAB,CPAAB平面，1所以所以，又平面11111CP//AAB.1平面1ABBC,2BAC故O,OB2O1x,y,z分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所（2）因为，以直线，22示，AACCAC2AA2AC4，111在等腰梯形中，11ACC2此梯形的高为hAA2113.212因为1AC,AC//AC，113O0,0,0,A2,0,0,A3,B2,0,C2,0,0,C则，211所以1(3),BC(0),AB(0),AB(3).12x2yAAB1m的法向量为x,y,z，则设平面x2y3z3y1m.令，得3CCB1na,b,c，设平面的法向量为abc则令a3，得n(3,3,.2abAAB1CCB1的夹角为，设平面与平面3mn173coscosm,n则.mn737162024·广东深圳·二模）如图，三棱柱ABCABC中，侧面-BBCCABAC底面ABC，且，11111ABAC．11(1)证明：AA平面ABC；1(2)若AABC2，BAC90，求平面ABC与平面ABC夹角的余弦值．1111【答案】(1)证明见解析；15(2).51）取BC的中点M，连结MA、MA，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面1BB^BC1BB，再证明平面ABC即可得证.1A，进而由AA1B得11（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于平面角再进行求解即可.AB的垂面，从而得出二面角的11）取BC的中点M，连结MA、MA．1因为ABAC，ABACBC1M，所以BCAM，，11AM1AM1MM，由于AM，平面A1，且因此平面1，AA1BC1A，所以，因为平面A1AABBBB^BC，1又因为，所以11平面平面BBCCABCBC1BBBCC1B平面ABC，因为平面AABB平面ABCBBCC111111AA1平面ABC.因为，所以11（2）法一：因为BAC90，且BC2，所以ABAC2．A所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，以AB，AC，AAxyz1B2,0,0A0,0,2C2,0C2,2则，，，．112,0,2AC2,0．ABAC2,2所以，，11111AB0ABC1mx,y,z，则11，可得设平面的法向量为，11AC02y2z01112,2,1z11m令，则，2z2nAB00ABCnx,y,z，则21设平面的法向量为，可得，1122nAC02y01122,0,1，z12n令，则mncos315ABC1ABC夹角为，则设平面与平面，1153mn515ABC1ABC夹角的余弦值为11.所以平面与平面5ABC-ABCABDCABDC法二：将直三棱柱CD补成长方体．1111111CP1DPQ1B连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为，连接CQ，Q1因为BD平面CDDC，且CP平面CDDC，1111所以BDCP，CP1DBDCDABDC，且11BD1DD又因为，由于，平面，1CP平面ABDC，则CPQ为直角三角形，所以由于11ABABDCABCP，所以，1平面111PQCPPQPAB1因为CP，CQ因为平面CPQ，且，所以平面CPQ，CQ1B，平面CPQ，所以则∠CQP为平面1BCABC与平面ABC的夹角或补角，11130在中，由等面积法可得CQ,3PQCQ155因为PQ12，所以cosCQP，15ABC1ABC夹角的余弦值为11.因此平面与平面5172024·河北保定·二模）PABCDPCD内存在一条直线EF与AB平行，PA.3平面ABCD，直线与平面ABCD所成的角的正切值为，PABC23，CD2AB42(1)证明：四边形ABCD是直角梯形.(2)若点E满足PE2ED，求二面角PEFB的正弦值.【答案】(1)证明见解析；31010(2)1）根据条件，利用线面平行的判定定理，得到AB//平面PCD，再线面平行的性质定理，得到AB//CD，再利用条件得到AC4，结合AB2，BC23，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABE的法向量，利用面面角的向量法，即可解决问题.1）因为AB//EF，EF平面PCD，AB平面PCD，所以AB//，平面，PCD因为AB平面ABCD，平面ABCD平面PCDCD，所以与平面ABCDAB//CD连接AC，因为PA平面ABCD，所以PCA是的夹角，PA233则tanPCA，解得AC4.ACAC因为AB2，BC23，所以ABABCD22BC是直角梯形.（2）取CD的中点M，连接AM，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，2AC，所以ABBC.2又ABCD，所以四边形D23,2,0，C23,2,0B2,0PC23,2,23，AB2,0，P0,0,23则，，，PD23,23，43423,,431023,，由PE2ED，得E，则BE,333333nx,y,z，设平面PCD的法向量为nPC23x2y23z0x1yz1，即0,1，则，取，得到nnPD23x2y23z0mx,y,z，设平面ABE的一个法向量为2y0mAB0则由，得到43，到x1，得到y0,z2，10323mBE0xyz033m2所以平面ABE的一个法向量为设二面角PEFB的平面角为，nm101031010coscosn,m则，所以sin1()2，nm101031010故二面角PEFB的正弦值为.182024·湖南衡阳·PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AC是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆O的内接三角形，E是圆锥母线的中点，POAC4.(1)求证：平面BED平面；(2)设点M在线段PO上，且OM2，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析310(2)101）借助圆锥的性质及面面垂直的判定定理计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.1）如图，设AC交BD于点F，连接EF，在圆锥PO中，底面圆，所以OPOBD，又等边三角形是圆锥底面圆O的内接三角形，AC为直径，所以BDAC，ππ所以ABACsin23，所以AFABsin3，331可知OFOC1，即F是OC的中点，2又E是母线的中点，所以EF//PO，所以EF平面，又EF平面BED，所以平面BED平面；（2）由（1）EF平面ABD,BDAC，以点F为坐标原点，,FB,FEx､y所在直线分别为轴轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，ACPO2EFOM2在等腰三角形中，π又AF3，所以BFDFAFtan3，6A3,0,0,B3,0,D3,0,E0,3,M1,0,2，所以AB3,0,AE0,3,DM3,2，，nx,y,z设平面ABE的法向量为ABn03x3y0，即则，AEn03x3z0n3,13,z1，即令x1，则y，设直线DM与平面ABE所成的角为，nDM133213113431010sincosn,DM则.nDM192024·湖南岳阳·三模）已知四棱锥PABCD的底面ABCDDAB60PAPC是边长为4的菱形，，，PBPD210，M是线段上的点，且PC4MC．(1)证明：平面BDM；(2)点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值．【答案】(1)证明见解析；π(2).6POAC,POBD1）连结AC，BD交于点O，由条件证明，建立空间直角坐标系，利用向量PCDM,PCBM方法证明，结合线面垂直判定定理证明结论；（2）根据线面角的向量求法求出BE与平面ABCD所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求线面角的最大值.1）连结AC，BD交于点O，连PO，由PAPC，PBPD210POAC,POBD知又，ACBDOPO平面ABCD又底面ABCD为菱形，所以ACBD以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示DAB60，边长为4，则在直角三角形BOP中，PB210所以OP所以点O(0,0),P(0,6),B(2,0),D(0),C(0,23,0)ODOB2，OAOC236333PC4MC，则M,22333333,PC(0,23,6),DM,,BM所以，22223323所以PCDM0223(6)0，23323PCBM02236，02所以PCDM,PCBM，PCDM,PCBM所以，又DMBMM，DM,BM平面BDM，所以平面BDM，（2）设DEDM，3323DEDM2,,所以，23332E2,故，2BE23323,所以2n(0,平面ABCD的一个法向量是，设BE与平面ABCD所成角为，则3232BEnsincosBE,nBEn216162233232(24)2当0时，BE平面ABCD，0；0时，当32331sin，21616161622112132169221当且仅当时取等号，22π又0,所以，6π故BE与平面ABCD所成角的最大值为6202024·湖南·二模）如图，直四棱柱ABCD的底面是边长为2的菱形，ABC60,BD平11111面ACD.11(1)求四棱柱ABCD的体积；1111(2)设点D关于平面ACD的对称点为EE和点关于平面E和ACDC111111与平面所成锐二面角的大小.【答案】(1)6；2π(2).4BDIACO1O1111棱柱的高，进而求出体积.（2）利用对称求出点E的坐标，进而求出平面ACD与平面的法向量，再借助面面角的向量求法求得结11果.ABCDBDIACO1OD，得，令11）在直四棱柱中，连，由菱形ABCD111111111111AA1a，以O为坐标原点，直线1,OD分别为x,y轴，过平行于OAA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，11则点C0),D(0,3,0),B(0,3,aD(0,3,a)，BD(0,23,a),CD(3,a)，1111BDCD6a由BD平面ACD，CD1平面ACD，得BDCD，则20，解得a6，1111111113所以四棱柱的体积VSAA12Sa22662.2ABCDABC11141111（2）由（1）知，B(0,3,6)，BD(0,23,6)，1由BD平面ACD，点关于平面DACD的对称点为，则点在线段EEBDCECD2上，且，1111111111Ex,y,zBEBD(0，则x,y3,za0,23,a，设，1E23,16,CE321,61所以于是，11326CE12123(22)24，解得，则E(0,,)，333326由点E和点C关于平面对称，得CE()是平面的一个法向量，,1133又BD(0,23,6)是平面ACD的一个法向量，111326|cosBD,CE|236||BDCE|2，2因此331111|BD||CE|32211π所以平面ACD和平面所成锐二面角的大小为.114212024·山东济南·二模）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，DABPCB60,CDABPC23PCB平面ABCDF为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PFAD；7(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.4【答案】(1)证明见解析(2)2PFBC，结合面面垂1）过D作DMAB，垂足为M，分析可知PBC为等边三角形，可得直的性质可得PF平面ABCD，即可得结果；（2AD的中点NNFE0,0,a,a3PAD处理线面夹角的问题.1）过D作DMAB，垂足为M，AMtan60由题意知：BCDM为矩形，可得AMBCDM23，PFBC，由PC23,PCB60，则PBC为等边三角形，且F为线段BC的中点，则PCBABCDBCPCB，又因为平面PCB平面ABCD，平面平面，PF平面可得PF平面ABCD，且AD平面ABCD，所以PFAD.（2）由（1）可知：PF平面ABCD，取线段AD的中点N，连接NF，则FN∥AB，FN2，又因为ABBC，可知NFBC，以F为坐标原点，NF,FB,FP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，A3,0,D3,0,P0,3,B3,0，则3，因为E为线段PF上一点，设E0,0,a,aDA2,23,0,DP3,3,BE3,a可得，nDA2x23y0nx,y,z设平面PAD的法向量，则，nDPx3y3z0，令x3，则y3,z2，可得n3,2nBE72a3cosn,BE由题意可得：，nBE43a24整理得a24a40，解得a2，7所以当EF2，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.4222024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB2BC4，ABC60，E为CD的中点，将VADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE平面ABCE；30(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线与平面ABCE所成的角的正弦值为，求点F到平面DEC的10距离．【答案】(1)证明见解析21515(2)BEDE,BEAEBE平面1）连接BE，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证得ADE，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以点E为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.1）连接BE，ADDEADE60,BCE120由题意则VADE为等边三角形，，144222BE212，所以BE23，由余弦定理得2则DE2BE2BD2,AE2BEBD22，BEDE,BEAE所以，AEDEE,AE,DE又平面ADE，所以BE平面ADE，又BE平面ABCE，所以平面ADE平面ABCE；（2）如图，以点E为原点，建立空间直角坐标系，A2,0,0,B0,23,0,C3,0,D3,E0,0,0，则设故DFDB01，EC3,0,ED3,DB1,23,3，ADADDF31,23,31,2,3，因为z轴垂直平面ABCE，故可取平面ABCE的一条法向量为m0,1，mAF330cosm,AF所以，mAF222101231化简得230，解得或，3311233DFDB,,所以3333，设平面DEC的法向量为nx,y,znnECx3y01，则有，可取nEDx3z03233DFn所以点F到平面DEC的距离为333215．n515PABC中，PAPB,ABBC,ABBC6，已知二面角232024·福建·模拟预测）如图，在三棱锥P-AB-C的大小为，PAB.(1)求点P到平面ABC的距离；PABC的体积取得最大值时，求：(2)当三棱锥（Ⅰ）二面角P-AB-C的余弦值；（Ⅱ）直线与平面PAB所成角.【答案】(1)31coscos23(2)（Ⅰ）3π（Ⅱ）41）可得PA，PB，过P作AB的垂线交其于点D，过P作平面ABC的垂线交其于点O，可得AB平面POD，进而可得PDO为二面角P-AB-C的平面角，可求得PO；361cos362cos0,1，Vttt3，利用导数可求体积的最大值，（2Ⅰ）V2cos，令t2可求得；（ⅡⅠPO2336，ODC到平面PAB的距离为hh3与平面PAB所成的角.1）由已知，得PA，PB，过P作AB的垂线交其于点D，过P作平面ABC的垂线交其于点O，因为平面ABC，AB平面ABC，所以，因为PDPOP，PD平面PODPO，平面POD，所以AB平面POD，因为平面POD，所以ABOD，所以PDO为二面角P-AB-C的平面角，PDO，PAPBPOPDsinsin3sin2cos31coscos；2故AB1136361coscos，PABC的体积为VSABCPOPO2（2Ⅰ）三棱锥3322362PABCtt3tcos0,1令，则三棱锥的体积Vt，362，所以（）1t233tVt0t,1Vt0当，，当，（），3333Vt,1上单调递减，所以故当在上单调递增，在3333VtVPABC时，三棱锥的体积最大，此时；333所以二面角P-AB-C的余弦值为；32336（Ⅱ）求得此时体积为2，可知此时PO，OD，3215由平面几何知识知OC，PC22，3记点C到平面PAB的距离为h，1由等体积法可知V2SPABh，求得h2，3h2π记直线与平面PAB所成角为，则sin，即，PC24π所以直线与平面PAB所成的角为.4242024·浙江杭州·二模）如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，DAB60,BC2PQ4ABMPQ∥BC,PDDC,QBMD为BC的中点，．(1)证明：ABQ90；15(2)若多面体ABCDPQ的体积为，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．2【答案】(1)证明见解析；310(2)．101）根据余弦定理求解DM3，即可求证DMDC，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，（2PMh33标系，求解法向量求解.1）在△DCM中，由余弦定理可得DMDC2MC22DCMCcos603，o所以DM2DC2CM所以DMDC．2，所以MDC90，又因为DCPD，DMPDD,DM,DP平面PDM,平面PDMPMPDM所以,平面．所以DCPM．PQ//BM,PQBM2,PQBMPM∥QB为平行四边形，所以．由于所以四边形ABBQ，ABDC又，所以ABQ90所以．QBMDPMMD，（2）因为，所以又PMCD，DCMDD,DC,MD平面ABCD,所以PM平面ABCD．取AD中点E，连接PE，设PMh．ABCDPQ的体积为V设多面体，V三棱柱ABQPEMVVAPEMVPAEMV则四棱锥PCDEM四棱锥PCDEM四棱锥PCDEM115512π152S△AEMh四边形CDEMhS△AEMh2S△AEMhS△AEMh21sinh．333323解得PMh33．3,0A3,2,0,B0,C，建立如图所示的空间直角坐标系，则D3,0,0,P0,33,Q33,M0．n1,0,0．QAB则平面的一个法向量3,33，CD0,PD所以mx,y,z，设平面PCD的一个法向量mCDy0,1．则即取mnPD3x33zmncos31010所以．mn31010所以平面PAD与平面PMD夹角的余弦值为．252024·浙江嘉兴·二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA平面ABCD,PAQD，BC2AB2PAABC60.(1)证明：平面PCD平面；(2)若PQ22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；31(2).311）法一，先证明CDAC，再证明CD平面，利用面面垂直的判定定理得证；法二，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面PCD和平面的法向量证明；PFQC交QCF于（2）法一，过C,PCE,PE作分别平行于AP,AC，连结QE，作点，连结EF，证明DCQPCQQCEFPCQDCQ为平面与平面和平面的法向量，利用向量法求解.1）解法一：BC2ABABC60，12123，在ABC中，AC2AB2BC2ABBCcosABC，即AC222212AC3，AB2ACBC22，ABACAB//CDCDAC底面，又，PA底面ABCD，ABCD，PACDAC,PA，平面且相交于A，\CD^平面，又平面PCD，平面PCD平面.解法二：BC2AB,ABC60,ABAC.3,0C3,0,D，P0,1,A0,0如图建立空间直角坐标系，，则PA，PC3,1,CD1,0,0，z0n1,0,0，设nx,y,z是平面的法向量，则1，可取，可取1z1nPC03y100a0nCD02n3，设na,b,c是平面PCD的法向量，则22nPC0bc2所以nn0，所以平面2PCD平面.1QD3，解得，（2）解法一：在直角梯形C,PCE,PEADQP中，因为PAADPQ22QE过作分别平行