专题27复数-数学高频考点重点题型（原卷版）

专题27复数一、核心体系z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(复数的相关概念\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(复数的模,复数的实部和虚部,共轭复数)),复数的四则运算\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z1＋z2，z1－z2及几何意义,z1z2,\f(z1,z2))),复数的几何意义\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝a＋bi\o(→,\s\up7(一一对应))复平面内的点（a，b）,z＝a＋bi\o(→,\s\up7(一一对应))平面向量\o(OZ,\s\up6(→))))))二、学习目标1.理解复数的概念，了解复数的实部和虚部、纯虚数、共轭复数、模等概念．2.理解复数a＋bi(a，b∈R)的几何表示以及两个代数形式的复数的加法和减法运算的几何意义，特别是|z1－z2|的几何意义．三、重点题型类型一、复数的相关概念及四则运算例11(1)(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A．－1－eq\f(3,2)iB．－1＋eq\f(3,2)iC．－eq\f(3,2)＋i D．－eq\f(3,2)－i(2)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i例12.（多选）若复数，则（）A．|z|=2 B．|z|=4C．z的共轭复数=+i D．训练题组1.已知i为虚数单位，在复平面内，复数z＝eq\f(2i,2＋i)，以下说法正确的是()A.复数z的虚部是eq\f(4,5)iB.|z|＝1C.复数z的共轭复数是eq\x\to(z)＝eq\f(2,5)－eq\f(4,5)iD.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限2．(2021·新高考卷Ⅰ)已知z＝2－i，则z(eq\o(z,\s\up6(－))＋i)＝()A．6－2i－2iC．6＋2i ＋2i3．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,i)))eq\s\up12(2)＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝()A．－7 B.7C.－4 类型二、复数的几何意义例21.设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例22.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，若z1＝zz2，则z的共轭复数eq\x\to(z)等于()A.eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)iB.eq\f(1,2)－eq\f(3,2)iC.－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)iD.－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i例23.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝________．训练题组1.(2021·新高考Ⅱ卷)复数eq\f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（多选）若非零复数分别对应复平面内的向量，且，线段的中点M对应的复数为，则（

）A． B． C． D．3．（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．当时，C．满足的点表示的轨迹为直线D．满足的点表示的轨迹为椭圆类型三、复数的一般形式例3.写出一个使得ω＋ω2＋ω3＝0成立的非零复数ω＝______.训练题组1.设复数z满足4z＋2eq\x\to(z)＝3eq\r(,3)＋i，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)．求z，并求|z－ω|的取值范围．2．(2022·金科大联考高三质量检测)已知复数z满足z＋eq\f(1,z)∈[1，2]，则复数z的实部的最小值为________．类型四、复数综合考察例4.（多选）（2021八省适应考试T10）设，，为复数，．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则训练题组1.（多选）广东省湛江市第二高级中学2021届高三下学期3月T10．下列命题中，真命题的是（）A．若为实数，则 B．若，则为实数C．若为实数，则为实数 D．若为实数，则为实数2．（多选）设，是复数，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则3．（多选）已知是复数，则下列说法一定正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则至少有一个是虚数4.（多选）（2021南通4模T10）类型五、复数文化题例5.欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令θ＝π得到的．根据欧拉公式，复平面内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限训练题组1．(2022·邹城期中测试)一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与“三角形式”区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，cos(π＋θ1＋θ2)＝eq\f(3,5)，其中θ1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，θ2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).则z1z2＝________．(结果表示代数形式)巩固检测一、单选1．(2022·海南质检)已知z＝(2－i)(1＋3i)，则z的虚部为()A．－1 B．－iC．5 D．5i2．已知a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝()A．1 B．eq\r(7)C．3 D．93．已知i是虚数单位，复数z与复平面内的点(2，－1)对应，则复数eq\f(1－2i,z)对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设复数z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为()A．{1,0，－1} B．{0,2，－2}C．{0,1＋i,1－i} D．{0,2＋2i,2－2i}6．若i为虚数单位，复数z满足|z＋eq\r(3)＋i|≤eq\r(3)，则|z－2i|的最大值为()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)7．设复数z满足|eq\x\to(z)－2i|＝3，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x－2)2＋y2＝9 B．(x＋2)2＋y2＝9C．x2＋(y－2)2＝9 D．x2＋(y＋2)2＝9二、多选8．设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是()A．|z|＝eq\r(5)B．z的虚部为2C．z的共轭复数为－1＋2iD．复数z在复平面内对应的点在第四象限9．设z∈C，则下列说法中正确的是()A．|z|2＝eq\x\to(z)·zB．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|C．若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0D．若|z|＝1，则|z－i|≤210．已知复数z＝cosθ＋isinθ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A．z·eq\x\to(z)＝1B．z＋eq\f(1,z)为实数C．若θ＝eq\f(8π,3)，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限D．若θ∈(0，π)，复数z是纯虚数，则θ＝eq\f(π,2)11．下列说法正确的是()A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数z是实数的充要条件是z＝eq\o(z,\s\up6(－))(eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数)D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y＝1三、填空题11．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．12．设O是坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i．那么向量eq\o(BA,