浙江省2023-2024学年高二下学期数学学考模拟考（五）

【学考模拟】2023-2024学年浙江省第二学期高二学考模拟考（五）❖一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，集合，则(

)A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标为(

)A. B. C. D.3.函数的定义域为(

)A. B.

C. D.4.在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则等于(

)A. B. C. D.5.春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是(

)A. B. C. D.6.在中，D是AB的中点，E是CD的中点，若，则(

)A. B. C. D.7.如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为(

)

A. B. C. D.8.下列算式计算正确的是(

)A. B. C. D.9.某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入5万元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取他可取回的钱数约为单位：万元参考数据：，，A.51 B.57 C. D.10.已知M，N都是实数，则“”是“”的条件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要11.若向量，满足，则的值为

(

)A. B. C. D.112.在外，分别以AC、BC、AB为边作正方形，得到三个正方形的面积依次为、、，若，则的面积最大值是(

)A.2 B. C.4 D.二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。13.若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则(

)A.

B.的离心率

C.为双曲线，且渐近线方程为

D.与的交点在直线上14.下列命题中，正确的是(

)A.“”是“”的充分不必要条件

B.“”是“”的必要不充分条件

C.“”是“”的充要条件

D.“”是“”的必要不充分条件15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(

)A.若，则是钝角三角形

B.若为锐角三角形，则

C.若，则为等腰三角形

D.若，，，则有两解16.已知，，若关于x的方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为(

)A. B. C. D.1三、填空题：本题共4小题，共15分。17.已知函数是定义域R的奇函数，且时，，则__________，的值域是__________.18.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为__________19.已知，若实数a，且，则的最小值是______.20.已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共3小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.本小题11分

从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间单位：小时的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图如图所示，其中样本数据的分组区间为：，

求这1000名学生中该周课外阅读时间在范围内的学生人数；

估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.22.本小题11分函数的部分图像如图所示．求的解析式；若，，求m的取值范围；求实数a和正整数n，使得函数在上恰有2021个零点．23.本小题11分

已知函数为奇函数．

求实数a的值，并用定义证明函数的单调性；

若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查集合的并集运算，属于基础题.

先化简集合A，再进行并集的运算即可.【解答】

解：集合，集合，

故选2.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．化简复数，它在复平面内的对应点为，由此求得结果．

【解答】

解：

所以对应点的坐标是

故选3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了函数定义域及其求法．属于基础题．

根据对数的真数为正数和偶次根式的被开方数为非负数以及分母不为0列式．【解答】

解：要使函数有意义，

则有，

解得：，

故选：4.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，属于基础题.

由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出的值．

【解答】

解：在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转到点B，

设点，则，

即，，，即

由题意，，，

故选：5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查古典概型，解答的难点在于正确利用排列、组合公式以及分类、分步计数原理，属中档题．

首先由分步计数原理计算5位同学各自从3个不同城市中选择一个的情况数目，再分2步分析3个城市都有人选情况数目：①先将5人分成3组，②将分好的三组，对应3个城市，由分步计数原理计算可得3个城市都有人选情况数目，由古典概型计算公式计算可得．

【解答】

解：5位同学各自随机从3个不同城市中选择一个城市旅游，

每人都有3种选择，由分步计数原理共有种选择情况，

若要3个城市都有人选，需要两步先选后排：

①先将5人分成3组，

若分为2、2、1的三组，有种情况，

若分为3、1、1的三组，有种情况，

共有种分组方法，

②将分好的三组，对应3个城市，有种情况，

个城市都有人选的情况有种情况，

个城市都有人选的概率为；

故选6.【答案】A

【解析】解：，

再结合，可求得，，所以

故选：

，再结合，可求得的值．

本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查圆柱、球的位置关系，涉及圆柱的侧面积计算，属于基础题.

根据题意，设球的半径为R，由球的表面积公式求出R的值，进而可得圆柱的底面半径和高，计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，设球的半径为R，

由于球的表面积为，

则有，解可得，

则圆柱的底面半径为，高，

其表面积

故选：8.【答案】C

【解析】【分析】本题考查对数运算和指数运算，属于基础题.

利用指数幂的运算性质及对数的运算性质，逐个判断即可.【解答】

解：对于A、，故不正确；

对于B、，故不正确；

对于C、，故正确；

对于D、，故不正确.

故选9.【答案】B

【解析】【分析】本题考查等比数列的实际应用，属于基础题．

分别计算出每一年存款到取出时的本利和，结合等比数列的求和公式即可解出．【解答】

解：2015年存入的5万元到2025年取出时本利和为：；

2016年存入的5万元到2025年取出时本利和为：；

2017年存入的5万元到2025年取出时本利和为：；

，

2024年存入的5万元到2025年取出时本利和为：；

所以到2025年总共可以取出本利和为：，

对比选项可知B正确；

故选：10.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了充要条件的判断，考查对数式的化简，属于基础题．

利用充要条件的定义即可求得答案．【解答】

解：当，时，，但不能够推出，

故“”是“”的不充分条件，

当时，由对数函数的性质，能够推出，

故“”是“”的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件，

故选：11.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了向量的模和数量积，属基础题.

利用，即可得到【解答】

解：，

，

，

故选12.【答案】A

【解析】解：由题意可得：，

，是直角三角形，

，当且仅当时取等号．

故选：

由题意可得：，可得，于是，再利用基本不等式的性质即可得出．

本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质，属于基础题.

根据：，：焦点重合，对m分类讨论，求出m的值即可判断.【解答】

解：抛物线：的焦点为它与：且的一个焦点重合．

当时的焦点为，即，舍去，

当时

的焦点为，即，，故A不正确;

由得的离心率，故B正确;

由得为双曲线，且渐近线方程为，故C不正确;

由得或显然交点在直线上．故D正确

故选：14.【答案】AB

【解析】【分析】本题考查充分条件、充要条件的判断，属基础题.【解答】

解：由“”可以推出，但反之不然，A对；

由“”推不出“”，但反之可以，B对；

由“”可以推出“”，但反之不然，C错；

由文氏图可知，“”可以推出“”，但反之不然，D错.故选15.【答案】ABD

【解析】【分析】本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，三角形形状的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．

对于A，利用余弦定理分析判断；对于B，利用诱导公式分析判断；对于C，利用余弦定理统一成边形式化简判断；对于D，利用正弦定理计算判断．【解答】

解：对于A，因为，所以，

因为，所以C为钝角，所以是钝角三角形，故A正确；

对于B，因为是锐角三角形，所以，所以，

因为在上单调递增，所以，所以，故B正确；

对于C，由，得，

由余弦定理得，

所以，，

所以，所以，

所以或，

所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于D，在，，，，

则由正弦定理得，，

得，因为且，所以或，所以有两解，故D正确．

故选：16.【答案】BC

【解析】【分析】本题考查了函数零点、方程的根的个数，属于较难题.

分和两种情况研究，令结合的图象，可得a的取值范围.【解答】

解：因为，，

当时，即，即或时，

由，

可得，，

即，

当时，即时，由，

可得，即，

令，

则有四个不同的根，即与的图象有四个交点，且直线过定点，

画出图象如图所示：

结合图象可知，当直线过点与时与的图象有三个交点，此时，，

即直线斜率的取值范围为，即

，解得，

所以满足条件的a为，

故选17.【答案】1

【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的解析式可得，解可得a的值，即可得函数在上的解析式，利用函数的奇偶性分析可得答案．

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．【解答】

解：根据题意，函数是定义域R的奇函数，则，

又由时，，则，解可得，

在区间上，，有，

又由为奇函数，则有，即函数的值域为，

故答案为：1，18.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了圆锥的体积，属于基础题.

设圆锥母线长为R，底面圆半径长r，根据圆面积解得，进而求得圆锥的高h，即可求解体积.【解答】

解：设圆锥母线长为R，底面圆半径长r，因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为R，半圆弧长为，所以，即，因为表面积是侧面积与底面积的和，所以，所以，

则圆锥的高，所以故答案为：19.【答案】

【解析】解：易知，且，，故是奇函数，

因为在R上单调递增，

若，

则，化简得，

则，

当且仅当，即时取等，则的最小值是

故答案为：

利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘的代换处理即可．

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．20.【答案】

【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角与正弦定理的应用，涉及三角函数的值域，属于中档题．

设，构造平行四边形OACB，由于恒成立，即恒成立，结合正弦定理将恒成立问题转化为最值问题，即可求解．【解答】

解：设，如图作平行四边形OACB，

则，令，

由于恒成立，即恒成立，

在中，，

，

由于恒成立，故，

即实数的取值范围为

故答案为：21.【答案】解：该周课外阅读时间在的频率为：，

所以这1000名学生中该周课外阅读时间在范围内的学生人数为人；

每周课外阅读时间超过6小时的概率为，

所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率

【解析】本题考查频率直方图的求法，考查概率的求法，属于基础题．

根据频率来估计总体即可求出；

用频率来估计概率，即可求出．22.【答案】解：由图可得，即，得，

，，，

，，又，

，

，，，

令，则由题意得恒成立，

结合二次函数图像可知只需，且，

解得

由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点.

在上，，

①当或时，的图像与直线在上无交点.

②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，

此时的图像与直线在上恰有2021个交点，则

③当或时，的图象与直线在恰有2个交点，

此时的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点.

④当时，的图像与直线在恰有3个交点

此时，才能使的图像与直线在上有2021个交点.

综上可得，当或时，当时，

【解析】本题考查三角函数的解析式和性质，不等式恒成立，以及根据函数零点求参数的取值范围，属于难题，本题的难点是第三问，需根据三角函数的图形，讨论a的取值范围.

先由最小正周期可得，代入最高点可得，即可得出的解析式；

令，则由题意得恒成立，由二次函数图像可知只需，且，可得m的取值范围；

由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点.对a进行分类讨论