线性控制系统的计算机辅助分析

第4幸

铁供控制/髭的计算机辅助台折

2015/8/301

系统的分析方法

■充分利用计算机对线性系统进行分析

■更新系统分析的观念

■求解传统方法难以求解的问题

■离散系统稳定性如何分析？

■Nyquist图、Nichols图没有频率信息，如何弥补?

■高阶系统的根轨迹如何绘制？

2015/8/302

本章主要内容

■线性系统定性分析

■线性系统时域响应解析解法

■线性系统的数字仿真分析

■根轨迹分析

■线性系统频域分析

2015/8/303

4.1线性系统定性分析

■主要内容

■线性系统稳定性分析

■线性反馈系统内部稳定性分析

■线性系统的相似变换

■线性系统可控性分析

■线性系统可观测性分析

■Kalman分解

■系统状态方程的标准型

2015/8/304

4.1.1线性系统的稳定性分析

■给定线性系统模型，如何分析稳定性？

_10/+50?+100?+1005+40

,-十+21,2+]84/+87()54+2384s3+3664s2+2496s

■由控制理论可知，用Routh表

可以判定该系统稳定性

■EdwardJohnRouth(1831-1907)

■历史局限性

2015/8/305

状态方程系统的稳定性

■连续线性状态方程

x(t)-Ax(t)+Bu(t)

[y(t)=Cx(t)+Du(t)

■解析阶

以f)=c'"-，。)以“))+IC^(f~r)Bu(T)dT

Jo

■稳定性：A矩阵的特征根均有负实部

2015/8/306

离散系统的稳定性

■离散系统状态方程

{x\(k+l)rj=Fx(kT)+Gu(kT)

[y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)

■离散系统时域响应解析阶

k—1

x(kT)二尸"/(())+£Fj'Gug

z=0

■稳定性判定：所有特征根均在单位圆内

2015/8/307

Routh判据的历史局限性

■Routh判据提出时，没有求多项式根的方法

■现在求解矩阵特征根、求解多项式方程的

根轻而易举，无需间接方法

■Routh判据只能得出是否稳定，进一步信息

得不出来，如系统是否振荡

■离散系统无法由Routh方法直接判定，得借

助于Jury判据，更复杂

■稳定性分析方法不统一

2015/8/308

基于MATLAB的稳定性判定方法

■直接判定

■状态方程模型

■由eig(A)可以求出所有特征根

■离散系统：abs(eig(A))

■传递函数模型：完全同样方法

■图解判定法

■连续系统：pzmap(G)

■离散系统：pzmap(G)?同时画出单位圆

2015/8/309

例4-1高阶系统稳定性判定

I0,S+50-+100./+]00.9+40

G(s)二F----7-----------;------;------------

s1+2156+184s5+870s4+2384s3+3664?+2496s

■直接分析方法

6为、»num=[10,50,100,100,40];

den=[1,21,184,870,2384,3664,2496,0];

G=tf(num,den);GG=feedback(G,1);

pzmap(GG)

eig(GG)'

10(5+2)(5+I)(52+2s+2)

■零极点模型G(s)二

(5+6.922)(3+2.635)(3+0.01577)

(52+4.127s+747)(/+7.3s+18.62)

2015/8/3010

例4-2高阶离散单位负反馈系统模型

6工2-().6z-0.12

+0.2512+0.25—0.125

()，6

Gc(z)=0.3""

CKz+0.8

■MATLAB求解

今秦»den=[l-10.250.25-6).125];

num=[6-®.6-0.12];H=tf(num,den,'Ts',0.1);

z=,'Ts',®.1);Gc=0.3*(z-0.6)/(z+®.8);

GG=feedback(H''Gc,1);

pzmap(GG),absfeig(GG)')

2015/8/3011

4.1.2线性反馈系统的内部稳定性

■输入、输出稳定是不够的，因为若内部信

号可能过大，对系统的硬件破坏

■应该引入内部稳定性概念，保证内部信号

也是稳定的。

2015/8/3012

■由给定稳定输入/.，d,n到内部信号工］,、2,.口

都稳定的系统称为内部稳定系统

■传递函数矩阵

I—G(s)H(s)—"(s)

_1

Gc(s)1—Gc(s)"(s)d

一用(s)

G(s)Gc(s)G(s)1n

其中例(s)=1+G(s)Gc(s)〃(s)

■逐一判定每个子传递函数的稳定性很烦琐

■内部稳定性定理

2015/8/3013

内部稳定性定理

■闭环系统内部稳定的充要条件为

■1+H(s)G(s)Gc(s)没有不稳定零点

■〃(.s)G(s)Gc(s)没有不稳定零极点对消

■第一个条件等效于输入输出稳定性

■判定第2条件即可

■可以编写MATLAB函数判定内部稳定性

key=intstable(G,,〃)

2015/8/3014

■判定的MATLAB函数

functionkey=intstable(G,Gc,H)

GG=minreal(feedback(G*Gc,H));

Go=H*G*Gc;Gol=minreal(Go);

p=eig(GG);z®=eig(Go);zl=eig(Gol);

zz=setdiff(zO,zl);

if(G.Ts>1),%禺散系统划定

key=any(abs(p)>l);

ifkey==Q,key=2*any(abs(zz)>l);end

else,%连续系统判定

key=any(real(p)>®);

ifkey=0,key=2*any(real(zz)>®);end

end

2015/8/3015

4.1.3线性系统的线性相似变换

■系统的状态方程表示称为系统实现

■不同状态选择下，状态方程不惟一

■相似变换

■非奇异矩阵T

■状态变换N=T~]x

■新/状态方程模型

2⑺=Az(t)十=1

1,且z(())=T—l力(0)

y⑴=GN⑺+D{u(t)

2015/8/3016

■状态变换公式

l1

A{=T-AT,Bt=T-B

Ct=CT,Dt=D

■MATLAB求解方法

G!=SS2SS(G,T)I

2015/8/3017

例4-3已知系统和转换矩阵

0I00

00I0

由⑺二

()00I

-24-50-35-IO

「V⑺=|24247

■MATLAB求解

»A=[0l00;0010;®®01;-24-50-35-10];

Gl=ss(A,,[242471],0);

T=fliplr(eye(4));G2=ss2ss(Gl,T)

2015/8/3018

■变换结果

-10-35-50-241

I0000

2⑺=N⑺+Z)

0100()

00100

172424]z(t)

■可见，相似变换能改变系统的结构

■引入相似变换矩阵，可以将已知系统转换

成其他的形式

2015/8/3019

4.1.4线性系统的可控性分析

■可控性定义

■假设系统由状态方程(A3,。,。)给出,对

任意的初始时刻如如果状态空间中任一状

态勺⑺可以从初始状态犬侦)处，由有界的输

入信号u(t)的驱动下,在有限时间年内能够到

达任意预先指定的状态〜•(")，则称此状态是可控

的。如果系统中所有的状态都是可控的，则称该

系统为兑全可控的系统。

■系统的可控性就是指系统内部的状态是不是可以由外

部输出信号控制的性质，

2015/8/3020

线性系统的可控性判定

■可控性判定矩阵

2

Tc=[B,AB,AB.

■若矩阵Tc是满秩，则系统完全可控。

■基于MATLAB的判定方法

rank(T)

■构造可控性判定矩阵7^=ctrb(A,B)

2015/8/3021

例4-4离散状态方程的可控性

-2.2-0.71.5—169

0.2-6.36-1.546

ce[(A+l)T]=力(A7)+u(kT)

0.6-0.9-2-0.544

1.4-0.1—1-3.584

■MATLAB求解

___

〉〉A=[_2.2,0.7,Q.2,6.3,6,l.5;.

0.6,-0.9,-2,-0.5;1.4,-®.1,-1,-3.51;

B=[6,9;4,6;4,4；8,4]；Tc=ctrb(A,B)

rank(Tc)

2015/8/3022

■判定矩阵

69-18-225452-162-118

46-12-183658-108-202

44-12-103626-108-74

84-24-6722-21634

■判定矩阵构造方法

Tcl=[B,A-B,A-2*B,AT*B];

■这样的判定方法同样适合于连续系统和离

散系统。也适用于多变量模型

2015/8/3023

由Gram矩阵判定可控性

■引入可控Gram矩阵

「8T

At7A

Lc=Ie-BBe-'dt

■该矩阵满足Lyapunov方程

TT

ALC+LCA二-BB

■MATLAB求解|&二

■矩阵构造|Gc二gram(G,'c')

2015/8/3024

例4-5求Gram矩阵

6?-0.6z-0.12

Hg=

J—N3+().253+O.25Z—0.125

■MATLAB命令

»num=[6-0.6-®.12];

den=[1-1®,25®.25-0.125];

H=tf(num,den,,Q.1)

Lc=gram(ss(H),，c，)

■Gram矩阵10.76515.7547.35180

15.75443.06131.5083.6759

IJc—

7.351831.50843.0617.8769

03.67597.87692.6913

2015/8/3025

可控性阶梯分解

■对于不完全可控的系统阶梯分解

■阶梯标准型

——_

Ac二才，8c二E,Cc—\CQ,CCI

A21AcBe

■MATLAB函数调用

[Ac,Bc,Cc2]=ctrbf(48,C)|

■若原系统状态方程完全可控，则不必分解

2015/8/3026

例4-6不完全可控系统

-2.2-0.71.569

0.2—6.36-1.54

x[(k+\)T\=x(kT)+.:u(kT)

0.6-0.9-2-0.54

1.4-0.1—1-3.584

今｛>>A-[-2.2,-0.7,Q.2,-6.3,6,-1.5;...

0・6,-。.9,-2,-Q.5;1.4,—0.1,—1,-3.5J]

B=[6,9;4,6;4,4;8,4];C=口2341;

[Ac,Bc,Cc,Tc]=ctrbf(A,B,C);

-400000

x[(h-\)T]=-4.638-3.823-0.5145-0.1277"2.754-2(575l，U/)

-3.6370.1827-3.492-0.1215

-4.114-1.8881.275-2.685-11.15-11.93

2015/8/3027

4.1.5线性系统的可观测性分析

■可观测性定义

■假设系统由状态方理(AB,C.。)给出，对

任意的初始时刻外，如果状态空间「I।任一状

态芍⑺在任意有限时刻"的状态勺(")可以由

输出信号在这一时间区间内te[z0Jf]的值精确地

确定出来，则称此状态是可观测的。如果系统中

所rr的状态都是可观测的，则称该系统为完全e

观测的系统。

■系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以

由系统输出信号重建起来的性质

2015/8/3028

可观测性判定

■判定矩阵[c-

CA

2

To=CA

.*

CAn-1

■等同于(AT,CT)系统可控性判定

■Gram矩阵上。=A％丁@-4山

Jo

■MATLAB求解|gramdjc77

2015/8/3029

■Gram矩阵满足Lyapunov方程

TT

A£0+L0A=-CC

■对偶问题Q4,8,C)

(ATCT,BT)

2015/8/3030

4.1.6Kalman规范分解

■Kalman规范分解

4,64,200

00；0

之⑺=-*****•»N⑺+

<A.IA3.2人,643,4

0A4I，2J0/c,o

u«)=I0a,。0a,o]z⑺

2015/8/3031

■子空间

子空间（二叮）,0,0为既不可控，又不可观测的

子空叫（上0,0,a⑻大可整但不可观测的子空

1川，（Ac,6,Be、。，0）和（Ac,o,Bc,o,Cc,O）

■示意图

2015/8/3032

4.1.6系统状态方程标准型的

MATLAB求解

■常用标准型

■单变量系统的标准型

■MATLAB默认的标准型

■可控标准型实现

■可观测标准型实现

■和Jordan标准型实现

■多变量系统Leunberge标准型

■侧重点：如何用MATLAB直接获取标准型

2015/8/3033

单变量系统的标准型

■可控标准型0I••.00

00••-00

*••*

*••*

(x=Acx+BciiX-■*•・X+:u

\y=C(：x+Dcii00♦*•I0

••

一4I-6/2,一Q〃I

■可观测标准型y=I•・E.

•••

000-a\h‘I

I0•••0一。2b?

0I0

x-Aox+B0uX-一。3X+u

••*

v=Coi+。0〃••

00•••I一〃〃Ei

♦••

V二[0,0\\x

2015/8/3034

■可控可观测标准型转换

functionGs=sscanform(G,type)

switchtype

case,Ctrl5

G=tf(G);Gs二口；

G.num{l}=G.num{l}/G.den{l}(l);%

G.den{1}=G.den{1}/G.den{1}(1);d=G.num{1}(1);

G1=G;Gl.ioDelay=0;Gl=Gl-d;

num=Gl.num{1};den=Gl.den{1};n=length(G.den{1})-1;

A=[zeros(n-1,1)eye(n-l);-den(end:-1:2)];

B=[zeros(n-1,1);1];C=num(end:-1:2);D=d;

Gs=ss(A,B,C,D,'Ts',G.Ts,'ioDelay',G.ioDelay);

2015/8/3035

case'obsv'

Gc=sscanform(G,'Ctrl5);

Gs=ss(Gc.a',Gc.c',Gc.b',Gc.d','Ts',G.Ts,・..

'ioDelay',G.ioDelay);

otherwise

error('Onlyoptions''Ctrl''and''obsv''.

areapplicable.J)

end

■可控标准型和可观测标准型，对偶关系

人二与，8­〃Cc=BlD-从

2015/8/3036

Jordan标准型

■假设系统矩阵A的狂征根为4],心，…，*，

第i个特征根力对应特征向量为3,则

Avj=AjVj,i=1,2,•••,

■矩阵A对应的模态矩阵A定义为

\J\1

A=TlAT=2*■

Jk_

■MATLAB变换[G1,T]二canon(G,'modal')

2015/8/3037

多变量系统的Leunberge标准型

■由可控性判定矩阵

S=仅1，4加,・・・，4丁均也,・・・,

4厂2-1伪，・・・，4々厂1环）

■构造矩阵

一提取此行

一提取此行

2015/8/3038

■得出Leunberge变换矩阵

■编写leunberge.m函数

T二leunberge(A,B)

2015/8/3039

■MATLAB函数清单

functionT=leunberge(A,B)

n=size(A,1);p=size(B,2);S二口；sigmas二口；k=l;

fori=l:p

forj=®:n-l

ifrank(S)=二k,k=k+1;

else,sigmas(i)=j-l;S=S(:,1:end-1);break;end,

end

ifk>n,break;end

end

k=k-l;%如果不是完全可控，则川随机数补足

2015/8/3040

ifk<n

whilerank(S)~=n,S(:,k+l:n)=rand(n,n-k);end

end

L=inv(S);iT=[];

fori=l:p

forj=0:sigmas(i)

iT=[iT;L(i+sum(sigmas(l:i)),:M'Kj];

end,

end

ifk<n,iT(k+1:n,:)=L(k+1:end,:);end

T二inv(iT);%构造变换矩阵

2015/8/3041

标准型的变换方法总结

J5

■可控标准型Gs=sscanform(G,Ctrl)

■可观测标准型Gs=sscanformCG,JobsvJ)

■Jordan标准型Gs二canon(GJmodal，)

■Leunberge标准型

T=leunberge(A,B),G『ss2ss(G,T)

2015/8/3042

6s4+2s2+8s+10

例4一7G(s)=

54+6"+4s+8

■求解可观测标准型

X»num=[602810];den=[20648];

G二tf(num,den);Gs=sscanform(G,'obsv')

000

■标准型

■/\100

N⑺=o1o

001

)，(/)二|oool]z(f)+3〃⑺

2015/8/3043

例4-8已知模型

156-12933

4148—422

密⑺=力⑺+

2410-2-2-2

96-121539

»A=[15,6,-12,9;4,14,8,-4;2,4,l®,-2；9,6,-12,15]；

B=[3,3;2,2;-2,-2;3,9];T=leunberge(A,B)

Al=inv(T)*A*T,Bl=inv(T)-B

1861.2010000

—48-79.29-1443()-57.69.610

T=,z(t)N⑺+u(r)

4843.2-2000100

18-46.8900-108240I

2015/8/3044

4.2线性系统时域响应解析解法

■给线性系统一个激励信号，输出是什么?

■有两大类方法

■解析解方法

■求解微分方程、差分方程解析解

■数值解方法

■主要内容

■基于状态方程的解析解方法

■基于传递函数部分方式展开的解析解方法

阶系统的解析解方法

2015/8/3045

4.2.1基于状态方程的解析解方法

■状态方程模型(x(t)-Ax(t)+Bu{t}

\2/(0=Ci⑺+Du(t)

■解析解

x(t)=e""-，。)宓(“))+Ic'"—丁)8"(丁)”

Jo

■求解难点ClA(t-T)7D/xj

2015/8/3046

状态增广方法

■消除方矩阵，变成自治系统

■单位阶跃信号〃⑺=1⑺，若假设有另外

一个状态变量.%+1⑺=〃⑺，则其导数

为xn+1（0=0

■增广状态方程

宏⑺AB1（。

册+1。）00入〃+1⑺

■自治系统演。二方（0）可以直接求解析解

2015/8/3047

一般输入信号的系统增广

■一般输入信号模型

m

it(t)-〃|(7)+〃2(/)=c/+e"i["2COS(”4，)+“3sin("“)

/=()

■引入增广状态变量

xn+1=cos(d“)

x〃+2-sin"//)

-，?+3=〃I⑺，.•・，•，?+〃z+3=%⑺

2015/8/3048

■增广状态方程模型

而⑺=eAtx(O)

其中

AchBdBIf001

y以/)1(0)

cl\一“4

x〃+W)1

〃44工〃+2。)0

A=010,5?(z)=巧计3(，),x(0)=(,0

00X〃+4(J)

•

cnr

000•\〃+〃？+3(/)m

■解析解x(t)-c出方(0)

2015/8/3049

■MATLAB实现函数

function[Ga,Xa]=ss_augment(G,cc,dd,X)

G二ss(G);Aa=G.a;Ca=G.c;Xa=X;Ba=G.b;D=G.d;

if(length(dd)>0&sum(abs(dd))>le-5),

if(abs(dd(4))>le-5),

Aa=[Aadd(2)';-Ba,dd(3)"Ba;...

zeros(2,length(Aa)),[dd(l),-dd(4);dd(4),dd(l)]];

Ca=[Cadd(2)*Ddd(3)*D];Xa=[Xa;1;0];Ba=[Ba;0;0];

else,

Aa=[Aadd(2)*B;zeros(l,length(Aa))dd(l)];

Ca=[Cadd(2)*D];Xa=[Xa;1];Ba=[B;0];

end

end

2015/8/3050

if(length(cc)>®&sum(abs(cc))>le-5),M=length(cc);

Aa=[AaBazeros(length(Aa),M-1);zeros(M-l,length(Aa)+l)

eye(M-l);zeros(l,length(Aa)+M)];

Ca=[CaDzeros(l,M-l)];Xa=[Xa;cc(l)];ii=l;

fori-2:M,ii=ii*i;Xa(length(Aa)+i)=cc(i)*ii;

end,end

Ga=ss(Aa,zeros(size(CaJ)),Ca,D);

■调用格式

[G-,胡]/ss_augment(G,c,d,胡)|

■信号描述

c=[co,5，・・•且d=\d\,d^d^d^\

2015/8/3051

例4-10连续系统模型

-19—16—16-191

211617190

x(r)=1⑺+

201716201

-20—16—16-192

(y(r)=|2,1,0,0]x(t)

■初值/(())=2]

■输入信号O=2+2e-3fsin(2z)

■求解析解

2015/8/3052

系统增广

2、»cc=[2];dd=[-3,®,2,2];x®=[0;1;1;2];

A=[-19,-16,-16,-19;21,16,17,19;

20,17,16,20;-20,-16,-16,-19];

B=[1;0;1;2];C=[21®®];D二位；G=ss(A,B,C,D);

[Ga,xx®]=ss_augment(G,cc,dd,x®);Ga.a,xx®'

增广模型o2no

-19-16-16-19o0on

21161719

2n—

20171620

而

方zzo.

/42\2

L((!-

1")二—20—16—16—19\\z-

2/X

II1

0000-3X/

23zX0

()

0000x/-

z/)

fl2

0000k\

2015/8/3053

■解析解求解

3*»symst;y=Ga.c"expm(Ga.a"t)"xxO;

%求解系统的解析解

latex(y);

■解析解求解结果

127-119-

y(z)=-54+----re1+57e/+----e'+

・48

9_/13577

4re1-------e3tcos(21)+—esin(2

84

■稳定性

2015/8/3054

4.2.2基于部分分式展开方法求解

■连续系统的解析解法

b1V"+b2MLi+...+历〃$+片+T

G(s)=

n

S+4”，L1+42S，L2+・・•++an

■输入信号的Laplace变换U(s)

■输出信号的Laplace变换Y(s)=G(s)U(s)

■无重根时部分方式展开

y(s)=q+q+・・・+q

s—Pl5一〃2s_Pm

2015/8/3055

■由Laplace反变换求解析解

/),rit

Y(0=2-[Y(s)]=设〃"+r2匕〃”+•••+rmc

■有重根时

_2_+叮+1+...十叮+〃1

s-Pj(s—p/)2(s-ppm

■相应项的解析解为

rye"/+!/)+]re，/+•••+

1(/7?-1)!

11

勺+[。+〃+＞一+("7_1F"cP/

2015/8/3056

■部分分式的MATLAB求解

[笑，p,K]=residue(num,den)

例4-10$3+7sl+3s+4

G(s)--7------------5----------

d+7s3+\7@+17s+6

输入信号为阶跃信号R(s)=1/5

■输出信号计算

s'+7/+3s+4

y（s）=

4

+7ky+17$3+17s?+6s

2015/8/3057

■MATLAB求解

"»num=[1734];den=[1717176];

[R,P,K]=residue(num,[den,0]);

[R,P]

■解析解

y(n=2.5833e-3z-9e-2z+5.75e-z-3.5re-z+0.667

■解析解精确值(rat°)

31凸、_23-7-2

v(0=——e/-9e2」z+—e1——tei+-

12423

2015/8/3058

例4-11带有复数极点的系统

s+3

G(S)——

54+2?+11?+18s+18

■阶跃响应解析解

氢»num=[1,3];den=[12111818];

[r,p,k]=residue(num,[den,0]);[r,p]

■解析解

)、⑺二(0.002+0.0255j)e3jz+(0.002-0.0255j)e-3jr

+(-0.0853+0.0088j)e(-1+j)r

+(-0.0853-0.0088j)e(-1-j)z+0.1667

2015/8/3059

解析解的进一步化简

■基于Euler公式的化简

(4+〃j)c"厂由⑴"+(4-/%)《"一"""二Ac"sin(3f+。)

其中A=-2V”+，2,0=arctan(-〃/。)

■新MATLAB函数

［丁，p,K］=pfrac(num,den)

■若P(i)为实数,则(R⑺,P(i))同residueO

■若P(i)为复数,则［/?(/),/?(/+1)］对返回A和0

2015/8/3060

新MATLAB函数清单

function[R,P,K]=pfrac(num,den)

[R,P,K]=residue(num,den);

fori=l:length(R),

ifimag(P(i))>eps

a=real(R(i));b=imag(R(i));

R(i)=-2*sqrt(屋2+b八2);R(i+l)=-atan2(a,b);

elseifabs(imag(P(i)))<eps,R(i)=real(R(i));

end,end

2015/8/3061

例4-12仍考虑

s+3

G(s)-1--------------5--------------

54+2s3+1152+18s+18

■MATLAB求解

»num=[1,3];den=[12111818];

[r,p,k]=pfrac(num,[den,0]);[r,p]

■解析解

y(t)=-0.05llsin(3r-0.0768)-

().1715e-zsin。+1.4677)+().1667

2015/8/3062

基于Laplace变换的求解

■参附录A

■步骤：

■定义符号变量

■描述原函数表达式

■调用laplace()函数或ilaplace()函数求解

■结果化简，如simple()函数

■求解举例

2015/8/3063

§3+7s?+3s+4

■例1G(s)

d+7s3+17s2+17s+6

■MATLAB求解

»symss;G=(s，'3+7*s，'2+3*s+4)/...

(sF+7*s八3+17/s3+17*s+6);

y=ilaplace(G/s)

latex(y)

■解析解

771/07\r

v(r)=^+—e—°，+I-7/21+—e-z-9e--z

・312\4

2015/8/3064

■例2°⑸\4+2S3+；1+A+I8

■MATLAB求解

宜0»symss;G=(s+3)/.・.

(s八4+2%人3+11*s-2+18*s+18);

ilaplace(G/s),latex(ans)

■解析解

13

=募cos(31)-sin(3f)+1/6-

255

293

e-zcos⑺-e-zsin(?)

170170

2015/8/3065

离散系统的解析解法

■Z变换

■无重根时2--^―=—甲

_z-l-PlP\P

■部分分式展开

1777

丫⑴二与+•••H--------

+「—P21

-P\一Pm

■解析解

V（/7）=鸳一匕⑵]=上闫、20”———（―

P\\P\!Pl\P2/Pm\Pm

2015/8/3066

■考虑采样周期

P\\P\!P2\P2)Pm\Pm)

zr(z—1/3)

例4-13('♦)—(.]/2)(--1/4)G+1/5)

»D=conv([1-1/2],conv([1-1/4],...

conv([l1/5],[1-11)))；

N=[00conv([l-1/3],[1Q])];

N=N(end:-1:1);D=D(end:-1:1);

[R,P,K]=residue(N,D);[R,P,-R./P]

2015/8/3067

■输出信号

7.05473.95063.8095-1.4815

丫⑴

—I—1

■解析解

n

)，(〃)=1.4109+1.4815

■Z变换求解步骤

■定义符号变量

■调用iztrans()函数求解

■化简

2015/8/3068

■利用符号运算工具箱求解

9大»symsz

G=(z-l/3)/((z-l/2)*(z-l/4)*(z-l/5))

iztrans(G"z/(z-l))

■求解结果

100204080

)'(/?)=4-(1/5)〃/7+--y(1/2)〃77——(1/4)

■方法更规范，结果更简单

2015/8/3069

有重根问题的解析解

■部分分式表达式的Z反变换

q(-1)〃%

及I(〃+1)(〃+2)•••(〃+/〃-1)

Q—1-p)〃7(/〃一1)!(一〃)"+'"

5^—7

例4J5G(z)=-------二^----

(z-1/2)3仁—1/3)

■部分分式展开

夕•••*»D=conv([1-1/2],conv([l-1/2],conv([1,-1/2],...

conv([l,-1/3],[1,-1]))));

N=[0,0,0,5-2,0];

[R,P]=residue(N(end:-1:1),D(end:-1:1));[RP]

2015/8/3070

■部分分式展开

324-240-96192-36

-J—3+L—2+(厂—2)2—2)3+z~l-

■解析解

192/2/1V7

+(〃十1)(/7+2)+36

9

-108(—12/—60〃+72)+36

2015/8/3071

■符号运算求解

11»symsz;G=(5*z-2)/(z-l/2”3/(z-l/3)

iztrans(G*z/(z-l))

■解析解

iV7/1/i\,?

-108-+72--60-77+36-12-n1

\2)\2/

■更直观，不建议用前者求解，而直接采用Z

变换的符号运算方法求解

2015/8/3072

时间延迟系统的解析解法

■连续系统模型G(s)e-八

■求解G(s)的解析解，用一L替代「即可

■离散系统传递函数H(”k

■求解”⑶的解析解，用n-k替代nBPnJ

5z-2

例4/6G(z)r5=

(11/2)3(11/3)

2015/8/3073

■无延迟解析解

)’(〃)二—108口+(；)(-12/72-60/?+72)+36

■有延迟解析解

/]5/15

y(/7)=-108(-+(5)।-12(/7-5)2-

60(/7-5)+72]+36x1(/?-5)

n-5—5

-1083+(-⑵2+60〃+72)

+36x1(77-5)

2015/8/3074

4.2.3二阶系统的阶跃响应及

阶跃响应指标

二咻2

■二阶系统模型G°(s)

s(s+243n)

?

■闭环模型G(s)二

.尸0++必9

■记3d=.]一