《随机过程》课件第7章

第7章非平稳随机过程7.1随机过程的高阶统计量的定义和性质7.2非平稳过程的Wigner-Ville时频谱分析7.3循环平稳过程7.4二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱7.5高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱习题七

在实际应用中，人们常常假设信号或噪声是宽平稳过程，从而仅利用了过程的二阶统计量信息。但是，平稳过程只是随机过程的一种类型，而在实际工作中，我们常常面临大量非平稳过程。对非平稳过程来说，二阶统计量只含其中一部分信息，它不包含相位信息。高阶统计量便是解决非平稳过程的主要手段。高阶统计量给我们提供了前所未有的十分丰富的信息。

非平稳过程很难有统一而完整的分析方法，常要根据问题的具体特性再确定具体的分析方法。本章只能简单介绍近年来正在引起研究者注意的随机过程的高阶统计量及其高阶谱，非平稳随机过程的Wigner-Ville谱分析和高阶循环平稳过程的循环统计量及其循环谱的概念和有关性质。

7.1随机过程的高阶统计量的定义和性质

平稳过程的自相关函数和功率谱密度只含有信号的二阶统计量中所包含的信息。因此，自相关函数和功率谱密度足以完全地统计描述具有已知均值的平稳正态过程。但由于平稳过程的自相关函数和功率谱密度不包含该平稳过程的相位信息，而在实际应用中往往需要提取信号的相位信息。随机过程的高于二阶的统计量及其Fourier变换———高阶谱则含有过程的相位信息和由于偏离高斯性的有关信息。

所谓高阶统计量，通常应理解为高阶矩、高阶累积量以及它们的谱———高阶矩谱和高阶累积量谱这四种主要统计量。一般来说，在信号处理等中利用高阶统计量和高阶谱具有以下三个方面的原因:

(1)在检测、参数估计和信号重建问题中抑制未知谱特性的高斯噪声(双谱还能抑制具有对称概率密度函数的非高斯噪声);

(2)重建信号或系统的相位与振幅响应;

(3)识别非线性系统或检测与刻画时间序列的非线性性。

其中第一个原因的根据是只有正态过程的所有阶数大于2的高阶累积量恒为0。若接收到的是伴有加性正态噪声的非正态信号，则在高阶累积量域中处理便可去掉噪声。可见，在类似这样的信号处理应用中，在观测数据的高阶谱域中进行检测与估计信号参数，便有某些优势。特别地，高阶谱域可以变为高信噪比(SNR)域，因此在高阶谱域可以进行检测、参数估计，甚至于整个信号的重建。

第二个原因是因为高阶谱保持了信号的真实相位特性。由于二阶统计量一般是由最小二乘优化准则得到的，故对于信号处理问题中的时间序列数据的处理几乎毫无例外地使用了二阶统计量。然而，自相关域中相位信息受到抑制，在自相关域(或功率谱域)中进行准确的相位重建仅对最小相位信号才能实现。另一方面，由于多谱既保持了正确的振幅信息，也保持了正确的非最小相位信息，因此可在高阶谱域内进行非最小相位信号的重建或系统识别。

最后，高阶谱对于我们识别在随机输入工作下系统的非线性性是非常有用的，高阶谱在利用输出数据来检测和刻画系统的非线性性中起着至关重要的作用。

本节简要介绍复随机过程的高阶统计量的定义及性质。

7.1.1矩与累积量

设X={X(t)，

t∈T}为一复随机过程，由于其每个随机变量都有共轭和非共轭两种选择，因此其k阶矩和其k阶累积量有2k种形式。为使之具有一般性，我们定义

分别为X的k阶矩和k阶累积量，其中

而

ΦεX

(ω1

，

ω2，…，

ωk)=E{exp[j(ω1

X(ε0)(t)+ω2X

(ε1)(t+τ1)+…+ω

kX(εk-1)(t+τk-1)]}为k维随机向量(X(

ε0)

(t)，X(ε1)(t+τ1

)，…，

X(εk-1)(t+τk-1))的特征函数(也称为矩生成函数)，其对数lnΦεX(ω1

，

ω2

，…，

ωk

)通常称为k维随机向量(X(ε0)(t)，X(ε1)(t+τ1)，…，X(εk-1)(t+τk-1)的第二特征函数(或累积量生成函数)。

高阶累积量和高阶矩之间可以互相转换，这就是如下著名的累积量—矩(C－M)公式和矩—累积量(M－C)公式，它们对累积量的估计、计算及应用有着重要的意义:

累积量—矩(C－M)公式:

矩—累积量(M－C)公式:

式中

I={0，

1，…，

k-1}，{I1

，

I2，…，

Iq

}为I的一种分割(Partition)，求和符号示对I所有可能的分割求和。

利用(M－C)公式知，复严平稳过程X(t)的一、二、三和四阶累积量(假设存在)分别为

特别地，若X(t)为实的严平稳过程，则在(7.1.6)式中取τ=0得

此即为过程X(t)的方差;同样，在(7.1.7)式中取τ1=τ2=0得

称之为过程X(t)的偏度;而(7.1.8)式中取τ1=τ2=τ3

=0得

称之为过程X(t)的峰度。注意到正态过程的偏度和峰度都为零，故偏度和峰度可以用来衡量零均值实平稳过程偏离正态的程度。

累积量有许多重要的性质，在此，我们列出其主要性质。

性质7.1.1(线性性)设αi

，

i=1，

2，…，

n为复常数，

Xi

，

i=1，

2，…，

n为复随机变量，则

性质7.1.2如果Xik

，

i=1，

2，…，

mk

，

k=1，

2，…，

n为复随机变量，则

性质7.1.3(可加性)如果Xik，

i=1，

2，…，

m，

k=1，

2，…，

n

为独立复随机变量，则

可加性是累积量的一个非常重要的性质，但这一性质对高阶矩并不成立。

性质7.1.4(盲高斯性)设(X1

，

X2

，…，

Xn)为n维复高斯随机变量，且n>2，则

该性质是累积量的另一个重要性质，它对高阶矩也不成立。

性质7.1.5如果复随机变量Xi

(i=1，

2，…，

n)的一个子集与其余的随机变量独立，则

这一性质对高阶矩也不成立。

性质7.1.6设αi

，

i=1，

2，…，

n为复常数，

Xi

，

i=1，

2，…，

n为复随机变量，则

7.1.2多谱(累积量谱)

如果平稳过程X={X(t)，

t∈T}的n

阶累积量函数c

εnX(τ1，…，

τn-1)绝对可积，即

则cεnX(τ1，…，

τn-1)的n-1维Fourier变换存在且连续，称之为X的n阶谱或n-1谱，即

一般地，对n>2，CεnX(ω1

，…，

ωn-1)是复的，它存在振幅和相位。

累积量谱还是一个周期为2π的周期函数:

我们设功率谱、双谱和三谱为累积量的特例，具体说明如下:

(1)功率谱:n=2，则

其中c2X

(τ)为X的协方差函数。

(2)双谱:n=3，则

其中cε3X

(τ1

，

τ2)为X的三阶累积量函数。

(3)三谱:n=4，则

其中Cε4X(τ1

，

τ2

，

τ3)为X的四阶累积量函数。

7.1.3线性非正态过程

设线性时不变系统L的输入和输出分别为平稳过程X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}和Y={Y(t)，

t∈(-∞，

∞)}，且线性时不变系统L是稳定的，即其脉冲响应函数绝对可积，若输入过程X的n阶累积量谱存在，则输出过程Y的n阶累积量谱也存在且为

其中H

(ω)为线性时不变系统L的频率响应。

特别地，若X为非正态的独立过程，则其n阶累积量谱为

从而输出过程Y的n阶累积量谱为

可见，

Y的n阶累积量谱与n-1阶累积量谱具有关系

因此，除了一个常数因子外，可由非正态的线性过程的双谱得到其功率谱，即

由于高阶谱能够保持相位信息，因此可将之用于非最小相位系统的识别。

7.2非平稳过程的Wigner-Ville时频谱分析

在通信、雷达和水声等应用中，传输介质和目标散射的作用常作为随机时变空变的系统来处理，这时，即使被传输的信号是确定性的，其接收信号或回波也是随机时变的，甚至是非平稳的，通过对这种系统输出的Wigner-Viller(WV)谱分析，可获得系统的时频分布的信息特征。因此，很有必要研究线性随机时变系统的WV谱。

7.2.1随机时变连续信号和非平稳随机过程的WV谱

随机时变连续信号和非平稳随机过程X的自相关函数为

若用t-(τ/2)代替上式中的t，可得其对称型的自相关函数为(仍记为RX(t，

τ))

与确定性连续信号的Wigner-Ville分布(WVD)定义相似(关于确定性连续信号的WV分布定义与性质，可参阅参考文献[9])，随机时变连续信号和非平稳随机过程X的WV谱定义为

与确定性连续信号的WVD定义相比，只是在上式中还需要取数学期望。将(7.2.2)式代入(7.2.3)式，得

可见随机时变连续信号和非平稳随机过程X的WV谱是(7.2.2)式对称型自相关函数RX(t，

τ)关于τ的Fourier变换。

WV谱具有确定性连续信号WVD的很多性质，和其它谱表示(如周期图等)比较，WV谱不要求过程的能量有限，也不受分析时间的限制，因此，它特别适合随机时变和非平稳随机过程的分析。

7.2.2随机时变离散信号和非平稳随机序列的WV谱

随机时变离散信号和非平稳随机序列X(n)的自相关函数为

在上式中先以n-(m/2)代替n，并令k=m/2，可得对称型自相关函数为

与确定性离散信号的WV分布定义相似(关于确定性离散信号的WV分布定义和性质可参阅参考文献[9])，随机时变离散信号和非平稳随机序列的WV谱定义为

同样，它和确定性离散信号的WVD定义相比，只是在上式中还需取数学期望。将(7.2.6)式对称型自相关函数代入(7.2.7)式WV谱，得它们的关系为

这种WV谱也具有确定性离散信号WVD的很多性质。

7.2.3线性随机时变系统输出的WV谱

由上述研究可知，只要对线性非随机时变系统输出的WVD式中有关量取数学期望即得线性随机时变系统输出的WV谱。因此，若输入x(t)是确定性信号，系统是线性随机时变的，则输出Y的WV谱定义为

式中

若定义随机时变系统的时变脉冲响应的对称型自相关函数为

则将上式代入(7.2.10)式得

即随机时变系统的时变脉冲响应WV谱是对称型自相关函数Rh

(t，

t'，

τ，

τ')的二维Fourier变换。

随机时变系统统计特性的描述，除了用其时变脉冲响应h(t，

t')的对称型自相关函数外，还常用其广义传递函数H

(ω，

t)的对称型自相关函数RH(ω，

t，

ϕ，

τ):

式中

H(ω，

t)的WV谱为

它为RH

(ω，

t，

ϕ，

τ)对τ的Fourier变换及对ϕ的Fourier反变换。

随机时变系统输出的WV谱为

由于

将(7.2.18)式代入(7.2.17)式，得

由(7.2.15)式有

将上式代入(7.2.19)式，得

随机时变系统有三种特殊情况:

(1)在时域是宽平稳的，即其自相关函数在时域仅取决于时间差Δt=t-t‘，而与绝对时间

t和t’无关;

(2)在频域是宽平稳的，即其自相关函数在频域仅取决于频率差Δω=ω-ω‘，而与绝对频率ω

与ω’无关;

(3)在时域与频域都是宽平稳的，这时，其自相关函数在时域取决于Δt，同时在频域取决于Δω。

对这些特殊情况下的各种自相关函数关系的讨论可参考文献[10]，不难将它们推广应用于随机时变系统输出的WV谱，这里就不再详细叙述了。

7.3循环平稳过程

循环平稳过程也可分为严循环平稳过程和宽循环平稳过程两类。

7.3.1严循环平稳过程

定义7.3.1设X={X(t)，

t∈T}是随机过程，如果存在正常数T0

，使对任意n≥1，t1

，

t2

，…，

tn∈T和m，当t1+mT0

，

t2+mT0

，…，

tn+mT0∈T

时，[X(t1

)，

X(t2

)，…，X(tn)]与[X(t1+mT0

)，

X(t2+mT0)，…，

X(tn+mT0)]有相同的联合分布函数，则称X是一严(或强、狭义)循环平稳过程。

严循环平稳过程描述的物理系统，其概率特征随时间的推移而呈现周期性变化。由于上式不是对于每个τ，而仅对于τ=mT0

才成立，所以循环平稳过程不是平稳过程。然而对于任意的τ，离散时间过程X

(nt+τ)却是平稳的。这表明平稳过程与循环平稳过程之间有着密切的关系。事实上，我们有如下定理。

定理7.3.1设X具有周期T0

的严循环平稳过程，

Θ为区间(0，

T0

)内的均匀分布随机变量，且与X相互独立，则随机过程Y(t)=X(t-Θ)是严平稳的，且其n维分布函数为

证明只需证事件A={Y(t1+τ)≤y1，…，

Y(tn+τ)≤yn}的概率与τ无关且等于定理中的积分即可。由于

而

故

7.3.2宽循环平稳过程

定义7.3.2对二阶矩过程X={X(t)，

t∈T

}，如果存在T0

，使得

(1)对任意t∈T，

mX(t+mT0)=mX(t);

(2)对任意s，

t∈T，

RX(s+mT0

，

t+mT0

)=RX(s，

t)。

则称X为宽(或弱、广义)循环平稳过程。

可见，广义循环平稳过程的相关函数R(s，

t)在s，

t平面的对角线上呈周期性。应该指出，类似于平稳过程，广义循环平稳过程一定是二阶矩过程，而严循环平稳过程则不一定是二阶矩过程，从而也就不一定是广义循环平稳过程。当然，如果严循环平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽循环平稳过程，这可由严循环平稳过程的特点推得。

宽循环平稳过程也不一定是严循环平稳过程。这是因为仅一、二阶矩循环平稳并不能确定分布循环平稳。

对于正态过程，宽循环平稳性与严循环平稳性是等价的，这是因为正态过程的有限维分布完全由其均值函数和协方差函数所确定。

定理7.3.2设X={X(t)，

t∈T}是具有周期T0

的广义循环平稳过程，

Θ为区间(0，

T0

)内均匀分布的随机变量，且与X相互独立，则其位移过程Y(t)=X(t-Θ)是宽平稳的，且其均值和自相关函数分别为

证明因为Θ与X相互独立，且mX(t+T0)=mX(t)，故

类似地可求得

例7.3.1假定f(t)是以T0

为周期的周期函数，且X(t)=f(t)，则X是(确定性的)严格循环平稳过程，其均值函数为f

(t)，自相关函数为f(s)f(t

)，因此由定理7.3.1可知，

位移过程Y

(t

)=X(t-Θ)是严平稳的，其均值为

自相关函数为

例7.3.2(二元传输)设随机过程X(t)在长度为T

的区间Tn=[(n-1)T，

nT)内，以相等的概率取±1为值，且在任意两个不相重叠的区间内的取值相互独立。则

X是零均值的循环平稳过程。此外，仅当s，

t处于同一区间Tn

内时，有E[X(s)X(t)]=1

，否则E[X(s)X(t)]=0，因此

试证明，其位移过程Y(t)=X(t-Θ)的自相关函数为三角波函数，即RY(τ)=1-

证明由定理7.3.2可知，只需考虑0≤t≤T即可。若τ>0，则仅当τ<T和t<T-τ时，有R(t，

t+τ)=1。因此

若τ<0

，则仅当τ>-T和t>T+τ=T-|τ|时，有R(t，

t+τ)=1。因此

故结论成立。

7.4二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱

在许多信号处理问题中会碰到非平稳随机过程。复几乎循环平稳信号为具有几乎周期时变统计特性的复随机信号，它对研究信息系统中的一些非高斯过程具有重要意义。对于雷达、声纳、通信和遥测系统所碰到的绝大部分人工信号，有些参数随时间周期变化，甚至于有随时间具有多个互不可约周期的参数。振幅、相位与频率调制系统中的正弦载波，数字调制系统中的振幅、相位或频率的周期键控，电视、传真与某些雷达系统中的周期扫描就是这样的例子。

虽然在有些情况下信号处理器可以忽略这些周期性，但在检测、估计或信息提取等许多情形下了解和利用信号的周期性可大大增加信号处理器的效益。另外在波达方向估计、空域滤波和非平稳过程的检测等方面要用到复几乎循环平稳信号。

本节将介绍二阶几乎循环平稳过程的二阶循环累积量和二阶循环谱，并讨论它们的基本性质。

为给出复几乎循环平稳过程的概念，先来引入连续几乎周期函数和离散几乎周期函数的概念。

定义7.4.1称实数集R上的连续函数f(t)为几乎周期函数，如果对任意的ε>0，存在数T0

(ε)>0，使得在实直线上的任意长为T0(ε)的区间内，至少存在一点τ，使得

显然，具有周期T0

的周期函数是几乎周期函数，因为取T0

(ε)=T0

，则对任意长为T0的区间内，存在一点τ=kT0

，这里k为某一整数，使得f(t+τ)-f(t)≡0。几乎周期函数的一个重要且有用的性质为，它存在唯一的Fourier级数表示。

定义7.4.3对于固定的τ，若c11X(t;τ)可表示为关于t的Fourier级数，

则Fourier系数C11X(α;τ)称为X(t)在循环频率α处的二阶循环累积量，称χ

11为几乎周期累积量的循环频率集。

由几乎周期函数的性质，可知χ

11是可数集。另外，由于离散指数基函数是以2π为周期的周期函数，故若α∈χ

11，则对任意的整数l，

α+2πl也是循环频率，但只需考虑[0，

2π)中的α就足以描述离散Fourier级数。

将时变累积量表示为Fourier级数的思想在于其Fourier级数的循环Fourier系数是时不变的，因此可利用单次记录的估计量估计，有了这些循环系数，就有可能通过计算相应的Fourier级数来合成所需要的统计量。在实际中单次记录非常重要且已经应用于许多信号处理的算法。

如果X(t)为一平稳的复过程，则c11X(t;τ)=c11X(τ)，因此C11X(α;τ)=c11X(τ)δ(α)。可见C11X(α;τ)仅当α=0时非零，且C11X(0;τ)=c11X(τ)。故循环频率的存在反映了统计量(关于时间)的变化，因而α=0表示统计量的直流分量部分，而其它频率表示统计量的“起伏”部分，即α越大，则它随时间变化越快。循环域提供了利用循环频率分离信号的方法，并且由于平稳过程的循环统计量为零，故循环平稳方法对于加性平稳噪声不敏感。

类似于平稳信号情形，如果c11X(t;τ)关于τ绝对可和，则将c11X(t;τ)对延迟τ求Fourier变换可得到下面的时变谱与循环谱概念。设c11X(t;τ)对每一t关于τ绝对可积，定义时变谱和循环谱如下。

定义7.4.4复循环平稳过程X(t)的二阶时变累积量谱和二阶循环累积量谱分别定义为

利用定义7.4.3和定义7.4.4，可以证明，

图7－1所示的为c11X、C11X、S11X、H11X

之间的关系，其中FT表示Fourier变换，FS表示Fourier级数。

下面给出循环相关函数和循环谱的几个基本性质，它们为平稳过程相应结果的推广。图7－1时域、循环域和频域之间的相互关系

7.5高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱

上一节讨论了复宽循环平稳过程的二阶循环相关函数和循环谱的定义及其性质，但有些随机过程不具有二阶循环平稳性，而具有高阶循环平稳性。例如，设X(t)为一零均值的平稳的非高斯带限信号，若X(t)通过一频率为ω0

的载波发射到具有加性高斯噪声的信道中，则接收信号为

式中，

vc(t)表示信道的未知协方差的(可能非平稳的)加性复高斯噪声;vI(t)为发射机产生的或故意发射的与信息具有相同频率的作为干扰的(可能非平稳的)加性复高斯噪声，且X(t)、vc(t)和vI(t)相互独立。因此Y(t)的二阶累积量为

可见由于存在c11vI和c11vc，一般由c11Y得不到c11X，这说明二阶循环方法受循环平稳噪声的影响。

另一方面，

Y(t)的三阶非平稳累积量为

因此可以用c(-1，

1，

1)3Y(t;τ1

，

τ2)来估计c(-1，

1，

1)3X(τ1

，

τ2)。这对于有关X(t)的基于累积量的检测和参数估计是有用的。

由于循环平稳过程的循环累积量，(1)对未知谱的(可能非平稳的)加性(实或复)高斯噪声是盲的，(2)保持了时变的相位信息，而二阶循环平稳方法缺少这两个特点，故有必要研究高阶循环平稳方法。

本节简单介绍k阶几乎循环平稳的非平稳复过程的高阶循环累积量及高阶循环谱的定义和性质。正如Brillinger和Rosenblatt所指出的那样，对于复信号，由于在k阶累积量中复共轭的位置不同而有不同的k阶累积量，人们通常是根据问题的需要选择相应的k阶累积量。这里我们将各种定义作了统一的定义，它包括了所有类型。

设X

(t

)为一离散时间的非平稳的复过程，其k阶矩与k阶累积量由式(7.1.1)和式(7.1.2)定义。

复值过程X

(t)称为k

阶几乎循环平稳的，如果它的一阶直到k阶累积量(假定存在)均为关于时间t的几乎周期函数。

利用累积量和矩的关系，以及有限个几乎周期函数的和与积仍为几乎周期函数这一性质易见，

k阶复循环平稳过程的k阶矩关于t也是几乎周期