《控制工程基础》第三章时域分析

时域响应稳态（静态）响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。瞬态（过渡）响应：系统在某一输入信号作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。3.1时域响应以及典型输入信号3.2一阶系统的瞬态响应3.3二阶系统的瞬态响应3.4控制系统的稳定性分析3.5控制系统的稳态误差分析3.6基于Matlab的时域分析第三章控制系统的时域响应分析方法3.1时域响应以及典型输入信号

控制系统在外加作用（输入）激励下，其输出量随时间变化的函数关系称为系统的时域响应（timeresponse）。

由于线性定常系统可用微分方程来描述，所以系统时域响应的数学表达式就是微分方程的解。任一稳定系统的时域响应都是由瞬态响应(transientresponse)和稳态响应(steady-stateresponse)两部分组成。3.1时域响应以及典型输入信号数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析和综合系统；典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。分析瞬态响应时，往往选择典型输入信号，这是因为：典型输入信号1.阶跃信号数学表达式：示意图：2.斜坡信号数学表达式：示意图：3.加速度信号数学表达式：示意图：4.脉冲信号数学表达式：示意图：当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。

由于δ函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。0tf(t)单位脉冲函数

1

5.正弦函数：数学表达式：示意图：3.1节小结选择哪种函数作为典型输入信号，应视不同系统的具体工作情况而定。时域响应及典型输入信号：瞬态响应及稳态响应的概念典型输入信号

阶跃函数

斜坡函数加速度函数脉冲函数正弦函数3.2一阶系统的瞬态响应一阶系统：

能够用一阶微分方程描述的系统。它的典型形式是一阶惯性环节。3.2.1一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入象函数为则进行拉氏反变换特点：(1)稳定，无振荡；(2)经过时间

T曲线上升到

0.632的高度；(3)调整时间为

(3～4)T；(4)在

t=0处，响应曲线的切线斜率为

1/T；

3.2.2一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入象函数为

则进行拉氏反变换3.2.3一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入象函数为则进行拉氏反变换3.2节小结一阶系统的瞬态响应：三者的关系？1.单位斜坡响应2.单位阶跃响应3.单位脉冲响应3.3二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。为阻尼比；为无阻尼自振角频率

形式一：形式二：3.3.1二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入象函数为则根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论。1.欠阻尼

二阶系统的极点是一对共轭复根。式中，，称为阻尼自振角频率。进行拉氏反变换，得

特点：1.以为角频率衰减振荡；

2.随着的减小，振荡幅度加大。

2.临界阻尼二阶系统的极点是二重负实根。进行拉氏反变换,得特点：无振荡。

3.过阻尼

二阶系统的极点是两个负实根。

则

特点：无振荡，过渡时间长。

进行拉氏反变换，得特点：无阻尼等幅振荡。

4.零阻尼

二阶系统的极点是一对共轭虚根。进行拉氏反变换,得5.负阻尼

二阶系统的极点具有正实部。响应表达式的指数项变为正指数，随着时间

，其输出，系统不稳定。

其响应曲线有两种形式：发散振荡单调发散二阶系统的瞬态响应：

单位阶跃响应欠阻尼临界阻尼过阻尼零阻尼负阻尼二阶系统单位阶跃响应小结欠阻尼：衰减振荡，振荡角频率为，随着阻尼系数的减小，其振荡幅度加大；临界阻尼：无振荡；过阻尼：无振荡，阻尼比越大，过渡时间越长；零阻尼：等幅振荡；负阻尼：发散，系统不稳定。二阶系统单位阶跃响应小结3.3.2时域分析性能指标时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。1.上升时间响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。或从稳态值的

10%上升到稳态值的90％所需的时间。

2.峰值时间响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要的时间。3.最大超调量响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。4.调整时间响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。允许误差±5％5.延迟时间响应曲线从零上升到稳态值的50%所需要的时间。6.振荡次数在调整时间内响应曲线振荡的次数。允许误差±5％以欠阻尼二阶系统为重点。时域性能指标的求取该系统的极点是一对共轭复根。由前述所求，该系统的单位阶跃响应为将代入，得1.求取上升时间由于上升时间是输出响应首次达到稳态值的时间，故因为

所以峰值点为极值点，令，得2.求取峰值时间因为

所以将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得

3.求取最大超调量4.求取调整时间以进入±5%的误差范围为例，

解得同理可证，进入±2%的误差范围，则有当阻尼比较小时，有当阻尼比一定时，无阻尼自振角频率

越大，则调整时间越短，系统响应越快。当

较大时，前面两式的近似度降低。当允许有一定超调时，工程上一般选择二阶系统阻尼比ζ在0.5~1之间。当ζ变小时，ζ愈小，则调整时间

愈长；而当ζ变大时，ζ愈大，调整时间

也愈长。例某磁悬浮列车系统，输入直流大小与磁悬浮列车上升的高度之间的关系如下图所示，求其动态性能参数。（K=100)。I(s)z(s)_解：系统的传递函数为：因为K=100因而

，。上升时间为峰值时间为调整时间，设误差控制在±0.05之内超调量为例

欲使系统的最大超调量等于20%，峰值时间等于1s，试确定增益K和Kh的数值，并确定在此K和Kh数值下，系统的上升时间tr和调整时间ts。解：依题意：解之得因而

依题意：所以（系统进入±2%的误差范围）例下图所示系统，施加8.9N阶跃力后，记录其时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度k和粘性阻尼系数D的数值。解：根据牛顿第二定律拉氏变换，并整理得由

有由

有3.4.1系统稳定性的基本概念1.单摆2.闭环控制系统的稳定性问题

定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。系统受扰动后能否恢复原来的状态3.4.2系统稳定的充要条件N(s)到Xo(s)的传递函数：设n(t)为单位脉冲函数，如果系统稳定，应有即

为系统闭环特征方程式的根的实部控制系统稳定的充分必要条件是：

闭环特征方程式的根全部具有负实部

系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为：极点全部在[s]平面的左半面为系统的特征根基于方程式的根与系数的关系

3.4.3劳斯判据设系统特征方程为

充要条件：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列：

其中实部为正的特征根数＝劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。例:设控制系统的特征方程式为

试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。

解：排劳斯阵列例2设控制系统的特征方程式为

试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 排劳斯阵列第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，控制系统不稳定。

二阶系统特征式为，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是

对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可简化：三阶系统特征式为，劳斯表:故三阶系统稳定的充要条件是

例设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。解：系统闭环传递函数为特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表符号改变2次，2个正实根。无正实根，有虚根。例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。劳斯阵列表临界稳定劳斯判据的不足：定性——较难从量上判断系统的稳定程度必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性对含有延迟环节的系统无效

“准确”是对控制系统提出的一个重要要求。对于实际系统来说，输出量常常不能绝对精确地达到所期望的数值，期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。

系统的输出量通常由瞬态分量和稳态分量组成。误差也由瞬态误差和稳态误差两部分组成。在过渡过程开始时，瞬态误差是误差的主要部分，但它随时间而逐渐衰减，稳态误差逐渐成为误差的主要部分。稳态误差分析是本节要讨论的问题。3.5控制系统的稳态误差分析3.5.1稳态误差的基本概念1.系统的误差与偏差误差是以系统的输出端为基准来定义的：控制系统的理想输出量与实际输出量之差，称为误差。1.系统的误差与偏差偏差是以系统的输入端为基准来定义的：控制系统的输入量与实际输出反馈量之差，称为偏差。1.系统的误差与偏差和间的关系：对控制系统的控制作用体现在，如则，就起控制作用，力图将调节到值；反之，当，就有，而使不再对进行调节。因此，当时：1.系统的误差与偏差故又由故可得故求出偏差后，即可求出误差。2.系统的稳态误差与稳态偏差系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差，因此，不讨论过渡过程中的情况。只有稳定的系统存在稳态误差。稳态误差的定义为其计算可利用拉式变换的终值定理进行：同理，系统的稳态偏差：输入偏差传递函数3.5.2输入引起的稳态误差由上式可知，稳态偏差不仅与系统的结构与参数有关，而且与输入信号的特性有关。系统的“型次”设系统的开环传递函数为式中，为串联积分环节的个数（称为系统的无差度），表征了系统的结构特征。工程上一般规定：分别称为“0型”，“I型”和“II型”系统。愈高，稳态精度愈高，但稳定性愈差。因此，一般系统不超过III型。单位阶跃输入：

单位阶跃输入静态位置误差系数：

单位阶跃输入的稳态误差：

Ⅰ型以上系统0型系统的稳态偏差

单位阶跃输入Ⅰ型以上系统0型系统单位阶跃输入：可见，当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K值，将影响系统的相对稳定性。单位斜坡输入：

单位斜坡信号静态速度误差系数：

单位斜坡输入的稳态误差：

Ⅰ型系统单位斜坡信号0型系统的稳态偏差

Ⅰ型以上系统对I型系统对0型系统对II型系统单位斜坡输入时：上述结果说明，0型系统不能跟随斜坡输入，因为其稳态偏差为无穷；I型系统可跟随斜坡输入，但存在稳态偏差，同样可增大K值来减少偏差；II型以上系统，对斜坡输入响应的稳态是无差的

。单位加速度输入：

单位加速度信号静态加速度误差系数：

单位速度输入的稳态误差：

Ⅰ型系统单位加速度信号0型系统的稳态偏差

II型系统对I型系统对0型系统对II型系统单位加速度输入时：可见，输入为加速度信号时，0、I型系统不能跟随；II型为有差，要无差需要采用III型或以上。系统的开环类别单位阶跃单位斜坡单位加速度0型I型II型各类系统的稳态偏差总结：稳态偏差与输入信号的形式有关。在随动系统中，一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。由输入“某种”信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”误差系数。如输入阶跃信号而引起的偏差，就叫静态位置误差系数。它表示了稳态的精度。该系数越大，表明系统精度越高。如大到，则稳态无差；如为0，则稳态偏差，表示不能