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文档简介
题型四类比、拓展探究题(10年8考)【题型解读】近10年考查8次,其考查类型和频次为:①与图形旋转有关的探究考查6次;②与动点有关的探究考查2次.类型一与图形旋转有关的探究典例精讲例1
(1)观察猜想如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在Rt△BDE中,∠BDE=90°,BD=DE,连接AE,取AE边的中点P,连接DP、CP.例1题图①填空:①DP与CP的数量关系是________;②DP与CP的位置关系是____________;【思维教练】①要求DP与CP的数量关系,通过直角三角形的性质:斜边上的中线等于斜边的一半,即可得到CP=
AE,DP=
AE,即可求解;②要求DP与CP的位置关系,即求∠DPC的度数,通过等腰三角形性质和三角形的内外角关系,得到∠DPC=2∠BAC,通过题干得到∠BAC的度数,即可求解.例1题图①【解法提示】∵∠ACB=90°,点P为AE的中点,∴PC为Rt△AEC斜边AE的中线,∴CP=
AE,同理可证,DP=
AE,∴DP=CP;∴∠DPE=2∠DAE,∠CPE=2∠CAE,∵AC=BC,∴∠BAC=45°,∴∠DPC=2∠BAC=90°,∴DP⊥CP.填空:①DP与CP的数量关系是________;②DP与CP的位置关系是________;DP=CPDP⊥CP例1题图①(2)类比探究把△BDE绕点B逆时针旋转45°至如图②的位置,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请就图②的情形给出证明;若不成立,请说明理由;例1题图②【思维教练】要求DP与CP的数量关系和位置关系,过点P作AC的垂线,并构造出DP与PC所在的两个直角三角形,结合旋转的性质可证明DP和PC所在的两个三角形全等,即可求解.(1)中的结论仍然成立.证明:如解图①,过点P作MN⊥AC于点N,交BD的延长线于点M,易得四边形BCNM为矩形,∴CN=BM.∵等腰Rt△BDE绕点B逆时针旋转45°,∴∠MBA=45°,∴MP=BM,∴MP=CN,例1题解图①NM∵∠EDB=90°,∠PMB=90°,∴DE∥MN,∴ ,∵点P为AE的中点,∴AP=EP=
PN=
MD,∴MD=PN,∵∠DMP=∠PNC=90°,∴△PMD≌△CNP,∴DP=CP,∠DPM=∠PCN,∵∠PCN+∠CPN=90°,∴∠DPM+∠CPN=90°,∴∠DPC=90°,∴DP⊥CP;例1题解图①NM(3)问题解决若BC=3BD=3,将图①中△BDE绕点B在平面内自由旋转,当BE⊥AB时,直接写出线段CP的长.例1题图①【思维教练】分△BDE在BC的上方和下方两种情况讨论,利用(2)中的结论可得△PCD为等腰直角三角形,结合题意即可求解.【解法提示】分两种情况讨论:①如解图②,由(2)可知DP⊥CP,DP=CP,∴△PCD为等腰直角三角形,∵BC=3BD=3,∴CD=BD+BC=4,∴PC=4;例1题解图②例1题解图③②如解图③,由(2)可知DP⊥CP,DP=CP,∴△PCD为等腰直角三角形,∵BC=3BD=3,∴CD=BC-BD=2,∴CP=2.综上所述,CP的长为4或2.(3)CP的长为4或2.类型二与动点有关的探究典例精讲例1如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在射线CD,BC
上,且BF=CE,过点C作CG⊥EF,垂足为点G,CG交射线DB于点H.(1)如图①,当点E是线段CD的中点,点
F在线段BC上时,线段CH与EF之间的数量关系为____________;例1题图①【思维教练】要求CH与EF之间的数量关系,观察图象可知,故考虑CH,EF与BD之间的数量关系,利用三角形中位线的性质即可求出EF=
BD,再利用直角三角形中线的性质可求出CH=
BD,等量代换即可求出线段CH与EF之间的数量关系.例1题图①【解法提示】∵点E是线段CD的中点,∴CE=ED.∵BC=CD,BF=CE,∴BF=CF,∴EF∥BD,EF=
BD.∵CG⊥EF,∴CH⊥BD.∵四边形ABCD是正方形,∴CH=
BD,∴CH=EF.(1)如图①,当点E是线段CD的中点,点
F在线段BC上时,线段CH与EF之间的数量关系为________;例1题图①CH=EF(2)如图②,当点E,F分别在线段CD,BC的延长线上时,判断(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;例1题图②例1题图②【思维教练】在CE上截取CM=CF,通过构造△HBC≌△FME,利用全等三角形的性质即可证得CH=EF.证明:如解图①,在CE上截取CM=CF,连接MF,(2)成立M∵BF=CE,∴BF-CF=CE-CM,∴BC=EM.∵∠FCM=90°,FC=MC,∴∠CMF=45°,∴∠FME=135°.∵∠DBC=45°,∴∠HBC=135°,∴∠HBC=∠FME.∵CG⊥EF,∴∠CGE=90°,∴∠CEG+∠ECG=90°.∵∠HCB+∠BCD+∠ECG=180°,∠BCD=90°,∴∠HCB+∠ECG=90°,∴∠HCB=∠GEC,∴△HBC≌△FME(ASA),∴CH=EF;例1题图②M(3)已知正方形ABCD的边长为6,BH=2,请直接写出线段EF的长.备用图【思维教练】分点H在对角线BD上和点H在DB的延长线上两种情况进行讨论.例题解图②例题解图③【解法提示】如解图②和解图③,连接AC交BD于点O,则OB=OC=3,∵OH=OB-BH,∴OH=3-2=
.在△OHC中,∠COH=90°,由勾股定理得CH=
.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∴∠HBC=45°.分两种情况讨论:①如解图②,当点H在对角线BD上时,
延长DC至点M,使CM=CF,连接FM.例题解图②∵CF=CM,∴∠FME=45°.∵CG⊥EF,∴∠CFE+∠HCF=90°,又∵∠CEF+∠CFE=90°,∴∠CEF=∠HCB.∵BF=CE,CF=CM,∴BC=EM,∴△BHC≌△MFE,∴EF=CH=2;例题解图②②如解图③,当点H在线段DB的延长线上时,
例题解图③∵OH=OB+BH,∴OH=3+2=5.在△OHC中,∠COH=90°,由勾股定理得CH=
,由(2)得EF=CH,∴EF=CH=2.综上所述,EF的长为2或2.类型三与折叠、平移有关的探究典例精讲例1在矩形ABCD中,BC=
CD,点E、F分别是边AD、BC上的动点,且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点C落在点G处,点D落在点H处.(1)如图①,当EH与线段BC交于点P时,求证:PE=PF;例1题图①【思维教练】由折叠的性质可得∠PEF=∠FED,由矩形的性质可得AD∥BC,进而得到∠FED=∠EFP,通过等量代换可得∠PEF=∠EFP,进而通过等角对等边即可求证PE=PF.(1)证明:根据折叠性质,∠PEF=∠FED,∵AD∥BC,∴∠FED=∠EFP,∴∠PEF=∠EFP,∴PE=PF;例1题图①(2)如图②,当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:点M在线段EF的垂直平分线上;例1题图②【思维教练】由矩形的性质及折叠的性质,结合题目条件可得EH=BF,由(1)进而可得PH=PB,再通过构造Rt△MHE≌Rt△MBF可得ME=MF,进而可证点M在线段EF的垂直平分线上.∵AD=BC,AE=CF,∴ED=BF,∴EH=BF,又∵由(1)知PE=PF,∴PH=PB,∵∠PHM=∠PBM=90°,PM是公共边,∴Rt△PHM≌Rt△PBM,∴HM=BM,∴Rt△MHE≌Rt△MBF,∴ME=MF,∴点M在线段EF的垂直平分线上;(2)证明:如解图①,连接PM、EM、FM,例1题解图①(3)当AB=5时,在点E由点A移动到AD中点的过程中,计算出点G运动的路线长.备用图【思维教练】通过观察可知,点E从点A移动到AD中点的过程中,点G运动的路线是以矩形中心到点C的距离为半径的圆周长的
,进而通过弧长公式即可求出点G运动的路线长.(3)解:如解图②,连接AC,BD,交点为O,连接OG,点E从点A移动到AD中点的过程中,点G运动路径是
,在Rt△BCD中,∵BC=
CD,∴tan∠CBD=
,∴∠CBD=30°,∠ABO=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OB=OC=AB=5,∠BOC=120°,∴点G运动的路线长=
=
.例1题解图②例2综合与探究问题情境在数学活动课上,老师让同学们准备两张全等的直角三角形纸片,Rt△ABC≌Rt△DEF,AC=DF=6cm,BC=EF=8cm,∠ACB=∠DFE=90°.实践操作(1)如图①,把Rt△ABC和Rt△DEF的直角边BC和EF部分重合,使点E,C,F,B在同一条直线上,连接AE和BD,得到四边形AEDB.请说明四边形AEDB的形状并证明;例2题图①【思维教练】根据Rt△ABC≌Rt△DEF可得AB=ED,∠ABC=∠BED,进而可得AB∥DE,即可得到四边形AEDB的形状.(1)解:四边形AEDB是平行四边形.证明:∵Rt△ABC≌Rt△DEF,∴AB=ED,∠ABC=∠BED.∴AB∥ED.∴四边形AEDB是平行四边形;例2题图①实践探究(2)勤奋小组的同学在图①的基础上,将△DEF沿射线BC平移,其中△ABC不动,得到的四边形AEDB是矩形,如图②,请求出此时BE的长;例2题图②【思维教练】根据已知条件,在Rt△ABC中可求出AB的长,进而在Rt△ABE和Rt△ECA中,由勾股定理即可求解.(2)∵四边形AEDB是矩形,∴∠EAB=90°.∵AC=6cm,BC=8cm,∠A
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