2024河北数学中考备考重难专题：三角形、四边形综合题（课件）

河北

数学三角形、四边形综合题2024中考备考重难专题课件动点问题课件说明一、课件设计初衷

基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形等重难点效果不佳而设计重难专题课件.在制作过程中结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性，有助于学生题图结合梳理题意，理解平面图形的变化过程.二、课件亮点1.依据区域考情，针对性选题

按照本地区考情及考法选题，针对性强，有效提高老师备课效率2.贴近学生实际解题情境，形式符合教学习惯

审题时对题目数字、符号、辅助线、动图等关键信息进行题图批注，帮助学生梳理关键信息，激发学生兴趣，调动积极性3.含解题思路引导与方法总结，提高课堂互动性

通过问题启发式解题思路点拨，激发学生数学思考与探索.方法总结使学生复习一类题，会一类题，取得有效的复习成果三、课件使用场景适用于中考专题复习或题位复习三角形、四边形综合题

动点问题

课堂练兵

课后小练1

典例精讲23考情分析年份题号题型分值设问解题关键点

2020

26解答题

12(1)求两点间的最短距离(2)求线段的长(3)当路程有不同取值范围时，分别求点到直线的距离(4)直接写出点K被扫描到的总时长(1)当AP⊥BC时，点P与点A的距离最短(2)由面积比得到线段比(3)0≤x≤3时，P在MB上移动；3≤x≤时，P在BC上移动(4)根据∠APQ=∠B分：点P在MB上；点P在BN上（两种情况，“一线三等角”相似型）时，K可以被扫描到的路径长及时长年份题号题型分值设问解题关键点

2019

23解答题

9(1)求证两角相等(2)请用含x的式子表示PD，并求其最大值(3)分别写出取值范围两端点值(1)证明△ABC≌△ADE(2)当AP最小（垂线段最短）时，PD最大(3)内心是角平分线交点，求∠AIC取值范围取决于∠CAP的取值范围年份题号题型分值设问解题关键点2018

23解答题9(1)求证两三角形全等(2)求角度数(3)直接写出角的取值范围(3)由三角形的外心在三角形内，得该三角形为锐角三角形典例精讲例(2022河北逆袭卷)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AB＝6，tan∠ACB＝

.点E是CD上一动点(不与点C，D重合)，过点E作EF∥AC交AD于F，过点E作EG⊥EF交BC于G，交AC于N，连接FG，FG与AC交于M.例题图(1)若点E为CD的中点，求线段EF的长；EF为△DAC中位线EF=可得AC长解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6，tan∠ACB＝

，∴BC＝

＝8，∴AC＝10.∵点E为CD的中点，EF∥AC，∴点F为AD的中点，∴EF＝

AC＝5；例题图例(2022河北逆袭卷)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AB＝6，tan∠ACB＝

.点E是CD上一动点(不与点C，D重合)，过点E作EF∥AC交AD于F，过点E作EG⊥EF交BC于G，交AC于N，连接FG，FG与AC交于M.(2)嘉琪说：“如果DE＝CG，就可以证明△DEF≌△CGE”，试判断她的说法是否正确，并说明理由；例题图猜想：正确∠DFE+∠DEF=90°∠GEC+∠DEF=90°∠DFE=∠CEG∟∠DFE=∠CEG∠D=∠GCE=90°DE＝CG△DEF≌△CGE(2)嘉琪的说法正确.理由如下：∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∵∠DFE＋∠FED＝90°，∠CEG＋∠FED＝90°，∴∠DFE＝∠CEG，∠DFE的对边为DE，∠CEG的对边为CG，∵DE＝CG，∠D＝∠BCE＝90°，∴△DEF≌△CGE(AAS)，∴嘉琪的说法正确；例题图例(2022河北逆袭卷)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AB＝6，tan∠ACB＝

.点E是CD上一动点(不与点C，D重合)，过点E作EF∥AC交AD于F，过点E作EG⊥EF交BC于G，交AC于N，连接FG，FG与AC交于M.(3)设DE＝a，用含a的式子表示△EFG的面积，并求△EFG面积的最值；例题图S△EFG＝

EF·GE未知观察图形DE与EF的关系？题意可得△DEF∽△DCAEF则△CGE∽△DEF∽△DCAGE怎么求？配方(3)∵EF∥AC，∴△DEF∽△DCA，∴，

，解得EF＝

a；同理可得，GE＝

(6－a)，∴S△EFG＝

EF·GE

＝

×a×(6－a)

＝

(6a－a2)

＝－

(a－3)2＋

，∴当a＝3时，△EFG的面积最大，最大值为

；例题图例(2022河北逆袭卷)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，AB＝6，tan∠ACB＝

.点E是CD上一动点(不与点C，D重合)，过点E作EF∥AC交AD于F，过点E作EG⊥EF交BC于G，交AC于N，连接FG，FG与AC交于M.(4)连接ME，请直接写出ME的取值范围．例题图线段ME，端点E为一动点，M位置无法确定点M可能是动点，也可能是一定点，尝试确定点M位置能否计算出AM和CM的具体长题意可得△AFM∽△CGM设DE，表示AF、CG长代入点M是AC上定点最大值：MD最小值：ME(ME⊥DC)【解法提示】∵AC∥EF，AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝∠DFE，∴tan∠ACB＝tan∠DFE＝

，设DE＝m，∴DF＝

m，∵△DEF∽△CGE，∴，即

，解得CG＝

(6－m)．∵AF∥BC，∴△AFM∽△CGM，∴，即

，∴AM＝10×，CM＝10×，∴点M是AC上的定点，例题图如解图，连接DM，并延长交BC于点Q，过点M作MP⊥CD交DC于点P，则MP∥BC，∴△CMP∽△CAD，∴，即

，∴MP＝

，∵AD∥BC，∴△ADM∽△CQM，∴,∴，∴CQ＝

，∴DQ＝

，∴DM＝

，∴ME的取值范围为

≤ME＜

.解图(4)ME的取值范围为

≤ME＜

.课堂练兵练习

(2022河北逆袭卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，tan∠CAB＝

.

动点M以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止．点N是点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为边作▱MNPQ，设点M的运动时间为t秒．练习题图(1)求BC的长；(1)解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，tan∠CAB＝

，∴BC＝AB·tan∠CAB＝8；题意可得BC＝AB·tan∠CAB练习

(2022河北逆袭卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，tan∠CAB＝

.

动点M以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止．点N是点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为边作▱MNPQ，设点M的运动时间为t秒．(2)当t＝2时，求证：QP＝AM；练习题图▱MNPQ→PQ=MN=AM=4AM=4→BM=2BN=BM=2MN=4(2)证明：当t＝2时，AM＝4，∴MB＝AB－AM＝6－4＝2，∵M，N关于点B对称，∴BM＝BN，∴MN＝2BM＝4，∵四边形MNPQ为平行四边形，∴QP＝MN＝4，∴QP＝AM；练习题图练习

(2022河北逆袭卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，tan∠CAB＝

.

动点M以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止．点N是点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为边作▱MNPQ，设点M的运动时间为t秒．(3)是否存在这样的t值，使得▱MNPQ为菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；练习题图则MN=MQ即求点M运动多久能使MN=MQ分别在AB、BC上运动考虑分类讨论当点M在边AB上时当点M在边BC上时将t代入分别表示MN、MQ的值求解(3)解：存在，理由如下：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝

，①当点M在边AB上时，0≤t≤3，∵MQ⊥AC，∴∠AQM＝∠ABC＝90°，∵∠QAM＝∠BAC，∴△AQM∽△ABC，∴，∵AM＝2t，∴，∴MQ＝

t，∵BM＝AB－AM＝6－2t，∴MN＝2BM＝12－4t，当MQ＝MN时，即

t＝12－4t，解得t＝

；练习题图②当点M在边BC上时，3<t≤7，如解图①，∵MQ⊥AC，∴∠CQM＝∠CBA＝90°，∵∠QCM＝∠BCA，∴△CMQ∽△CAB，∴，即

，解得MQ＝

(14－2t)，当MN＝MQ时，即2(2t－6)＝

(14－2t)，解得t＝

，综上所述，当t＝

或

时，四边形MNPQ为菱形；解图①练习

(2022河北逆袭卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，tan∠CAB＝

.

动点M以每秒2个单位的速度从点A出发，沿着A→B→C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止．点N是点M关于点B的对称点，过点M作MQ⊥AC于点Q，以MN，MQ为边作▱MNPQ，设点M的运动时间为t秒．(4)作点P关于直线MQ的对称点P′，当点P′落在△ABC内部时，请直接写出t的取值范围．练习题图点P、P′关于直线MQ对称MPQP′为菱形MQ为对角线P′落在AB边上P′落在BC边上综合考虑两种情况，求t取值范围MN∥PQMN∥PQ【解法提示】∵四边形MNPQ是平行四边形，∴PQ∥MN，PQ＝MN，①当点P关于QM的对称点P′落在线段AB上时，如解图②，连接PP′交QM于点O，连接PM，QP′，则PP′⊥QM，OP＝OP′，∴∠POQ＝∠P′OM＝90°，∵PQ∥MN，∴∠QPO＝∠MP′O，∴△POQ≌△P′OM(ASA)，∴QO＝MO，∵PP′⊥QM，OP＝OP′，∴四边形PQP′M是菱形，∴QP′＝PQ＝MP′＝MN，∵MQ⊥AC，∴PP′∥AC，∵PQ∥AP′，∴四边形AQPP′是平行四边形，∴AP′＝PQ＝MP′＝MN，∴AM＝2MN，∴2t＝4(6－2t)，解得t＝

，∴当

＜t＜3时，点P′落在△ABC内部；解图②②当点P的对称点落在线段BC上时，如解图③，连接PP′交QM于点O，连接PM、QP′，则PP′⊥QM，OP＝OP′，∴∠POQ＝∠P′OM＝90°，∵PQ∥MN，∴∠QPO＝∠MP′O，∴△POQ≌△P′OM(ASA)，∴QO＝MO，∵PP′⊥QM，OP＝OP′，∴四边形PQP′M是菱形，∴P′M＝PQ＝MN，∵MQ⊥AC，∴PP′∥AC，∵PQ∥CP′，∴四边形CQPP′是平行四边形，∴CP′＝PQ＝MP′＝MN，∴CM＝2MN，∴6＋8－2t＝4(2t－6)，解得t＝

，∴当3＜t＜

时，点P′落在△ABC内部；综上所述，当

＜t＜3或3＜t＜

时，点P′落在△ABC内部．解图③(4)解：

<t<3或3<t<课后小练练习

(2022河北预测卷)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是AD边的中点，连接BE，F是BE的中点，连接CF.点M为CD边上一点，点P，Q分别为FC，MC上的动点，连接PQ，当动点P从点C匀速运动到点F时，动点Q恰好从点M匀速运动到点C.练习题图(1)连接AM，若AM⊥BE，求证：AE＝DM；(1)证明：如解图①，连接AM交BE于点G，∵AM⊥BE，∴∠AGE＝90°，∴∠EAG＋∠AEG＝90°，∵∠EAG＋∠AMD＝90°，∴∠AEG＝∠AMD，又∵∠D＝∠BAD＝90°，AB＝DA，∴△ABE≌△DAM，∴AE＝DM；解图①练习

(2022河北预测卷)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是AD边的中点，连接BE，F是BE的中点，连接CF.点M为CD边上一点，点P，Q分别为FC，MC上的动点，连接PQ，当动点P从点C匀速运动到点F时，动点Q恰好从点M匀速运动到点C.(2)若点P运动到CF的中点时，Q、P、B三点恰好共线，求DM的长；练习题图(2)解：如解图②，过点F分别作FN⊥AB、FK⊥BC，垂足分别为N、K，过点P作PT⊥BC于点T，易得四边形FNBK为矩形，∵点F为BE的中点，FN⊥AB，∴FN＝BK＝

AE＝

AD＝2，FN∥AE，∴FK＝BN＝

AB＝4，解图②解图②∵点P为CF的中点，PT⊥BC，∴CT＝TK＝

×(8－2)＝3，PT＝

FK＝2，∴BT＝5，∵PT⊥BC，∴PT∥DC，∴△BTP∽△BCQ，∴，即

，∴CQ＝

，∵点P从点C匀速运动到点F时，动点Q恰好从点M匀速运动点C，∴，∵点P为CF的中点，∴点Q为CM的中点，∴MC＝2CQ＝

，∴DM＝CD－CM＝8－

；练习

(2022河北预测卷)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是AD边的中点，连接BE，F是BE的中点，连接CF.点M为CD边上一点，点P，Q分别为FC，MC上的动点，连接PQ，当动点P从点C匀速运动到点F时，动点Q恰好从点M匀速运动到点C.(3)连接EM、BM，当∠MEB＝90°,且DM＜CM时，若PQ∥BM，求MQ的长．练习题图(3)解：如解图③，∵在正方形ABCD中，∠D＝∠A＝∠BCD＝90°，∴ME2＝DM2＋DE2＝DM2＋16，MB2＝CM2＋BC2＝(8－DM)2＋64，BE2＝AE2＋AB2＝42＋82＝80，∵∠MEB