高一数学必修第一册第一章全部学案

新版高一数学必修第一册第一章全部学案

第一章集合与常用逻辑用语

第1节集合的概念

学习目标

1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.

2.掌握集合的三种表示方法，常用数集及其专用符号，集合的三个基本特征.

重点难点

1.集合的含义与表示方法，元素与集合的关系;

2.选择恰当的方法表示一些简单的集合

知识梳理

一、集合的基本概念

1.元素与集合的概念

(1)把统称为,通常用表示.

(2)把叫做(简称为集)，通常用表示.

2.集合中元素三个特征：、、

3、集合相等_______________________________________________________

4.元素与集合的关系：

(1)如果a.是集合力的元素，就说a/

(2)如果a不是集合力的元素，就说a/

5.常用的数集及其符号表示：

非负整数集(自然数集)记作

正整数集记作

整数集记作

有理数集记作

实数集记作

二、集合的表示方法

1、列举法：将集合的元素出来，.并置于花括号1}”内.元素之间要用

分隔，列举时与无关.

2.描述法：将集合的所有元素表示出来，写成{M。(初的形式

学习过程

探究一、集合的含义

1.考察下列问题：

（1）（1）1〜20以内的所有偶数；

（2）立德中学今年入学的全体高一学生；

（3）所有正方形；

（4）到直线1的距离等于定长d的所有的点；

（5）方程3%+2=0的所有实数根；

（6）地球上的四大洋。

思考:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称

为元素，元素分别是什么？

探究二、集合中元素的性质

1.所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？

2.由1,3,0,5,|-3|这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗?

3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化?

归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？

练习1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流.

探究三：元素和集合的关系

1••元素与集合的“属于”关系

如果。是集合A中的元素，就说。属于集合A,记作〃___A；如果。不是集合A中的元素，就

说a不属于集合A,记作a___A.

2、常用数集及其记法：非负整数(自然数集)、正整数集、整数集、有理数

集、实数集.

练习2.用符号“G”或填空.

(1)2—N；(2)72Q；(3)0—{0}；(4)b{a,b,c}；(5)0N+.

例1已知集合/是由三个元素”一2,2a+5a,12组成的，且一3^4求〃

探究四、集合的表示方法

1.列举法

思考：地球上的四大洋组成的集合如何表示？

问题：你能总结归纳出列举法的概念吗？

例2用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.

2.描述法

思考：能否用列举法表示不等式x—3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？

思考：所有奇数的集合，偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？

问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？

例3试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象?

达标检涮

1.下列对象不能构成集合的是()

①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体.

A.①②B.②③C.①②③D.①③

2.下列三个关系式：①、「GR；②3Q；③Oez.其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.0

3.a,b,c,d为集合A的四个元素，那么以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是()

A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形

4.设集合4=拉彦一3彳/4=0},若4CA,则集合A用列举法表示为.

5.用适当的方法表示下列集合：

f2x-3y=14

(1)方程组.,；。的解集；

〔3x+2y=8

(2)所有的正方形；

(3)抛物线y=N上的所有点组成的集合.

课堂小结

这节课你的收获是什么？

参考答案：

二、探究二L不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的

2.不正确.集合中只有4个不同元素1,3,0,5.集合中的元素是互异的

练习1.(1)是由4,6,8,10四个元素组成的集合.

(2)由集合元素的确定性知其不能组成集合.

练习2.(1)£(2)住(3)e(4)e(5)g

例1.解：—3£A—2=—3或+5〃=—3

当Q-2=-3时，〃=-1,此时不满足元素的互异性，故舍去。

当2/+=—3时，4=一1或。=—,经检验a=—满足互异性。

22

3

所以a=—三。

2

例2.解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={l,0}.

例3.解：(1)设方程X2-2=0的实数根为x,并且满足条件X2-2=0,因此，用描述法表示为A={xe

R|x-2=0}.

方程(-2=0有两个实数根为百-血，因此，用列举法表示为八={、历，-四}.

(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件xGZ,且10<x<20,因此，用描述法表示为

B={xez|10<x<20}.

大于10小于20的整数有n,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列举法表示为

12,13,14,15,16,17,18,19).

思考：自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显

的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具

有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.

达标检测

1.【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”

没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限.故选D.

【答案】D

2•【解析】①正确；②因为错误；③06Z,正确.

【答案】B

3•【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故a,b,c,d四个元素互不相同，即组成四边形

的四条边互不相等.

【答案】D

4.【解析】.♦.16—12+。=0,

'.a——4,

，力={x\x^—3尤-4=0}={—1,4}.

【答案】{T,4}

2x—3尸14x=4

5.【解】(1)解方程组―

3x+2y=8,y=-2,

故解集为{(4,-2)}.

(2)集合用描述法表示为{x是正方形},简写为{正方形}.

(3)集合用描述法表示为{(尤，y)|y=/.

【新教材】L1集合的概念学案

(人教A版)

学习目标

】、知识目标

1.了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号.

2.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题.

3.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。

2、核心素养

L数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；

3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算;

4.数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；

5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

重点难点

重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法.

难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合.

学习过程

一、预习导入

阅读课本2-5页，填写。

1.元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把统称为元素.元素常用小写的拉丁字母a,b,c,...表示.

(2)集合:把一些元素组成的叫做集合(简称为).集合通常用大写的拉丁字母A,

B,C,…表水.

(3)集合相等：只要构成两个集合的是一样的，就称这两个集合是相等的.

(4)元素的特性：、、.

2.元素与集合的关系

关系语言描述记法读法

属于。是集合A中的元素a_Aa属于集合A

不属于a不是集合A中的元素a_Aa不属于集合A

3.常用的数集及其记法

常用的数正整整数有理

自然数集实数集

集数集集数集

记法—————

4.列举法

把集合的元素,并用花括号"｛『'括起来表示集合的方法叫做列举法.

5.描述法

（1）定义：用集合所含元素的表示集合的方法.

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及,再画一条竖

线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的.

小试牛刀

1.判断（正确的打气”，错误的打“X”）

（1）你班所有的姓氏能组成集合.（）

（2）新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题.（）

（3）一个集合中可以找到两个相同的元素.（）

（4）由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为｛1,1,2,3｝.（）

（5）集合｛（1,2）｝中的元素是1和2.（）

（6）集合A=｛x|x—1=0｝与集合3=｛1｝表示同一个集合.（）

2.下列元素与集合的关系判断正确的是（）

A.OeNB.兀GQ

C巾GQD.—1CZ

3.已知集合A中含有两个元素1,N,且xdA,则x的值是（）

A.0B.1

C.-1D.0或1

ix+y=l,

4.方程组的解集是（）

[x—y=-3

A.(-1,2)B.(1,-2)

C.{(-1,2)}D.{(1,-2)}

5.不等式x-3<2且N*的解集用列举法可表示为()

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4)

C.{0,123,4,5}D.{1,2,345}

6.不等式4x—5<7的解集为.

自主探究

例1考查下列每组对象，能构成一个集合的是()

①某校高一年级成绩优秀的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

©2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

例2(1)下列关系中，正确的有()

©|eR；②也£Q；③3|”④S|dQ.

A.1个B.2个C.3个D.4个

(2)集合A中的元素x满足f—eN,xGN,则集合A中的元素为.

例3已知集合A含有两个元素a和若1GA,则实数a的值为.

变式1.［变条件］本例若将条件“16”改为“2dA”，其他条件不变，求实数a的值.

变式2.［变条件］本例若去掉条件“1GA”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

变式3.［变条件］已知集合A含有两个元素1和层，若ZGA"，求实数a的值.

例4用列举法表示下列集合.

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程R=x的所有实数解组成的集合；

(3)直线y=2尤+1与y轴的交点所组成的集合.

例5用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整数的集合；

(2)坐标平面内第一象限的点的集合；

(3)大于4的所有偶数.

例6(1)若集合A={XGRQ2+2X+1=0,a£R}中只有一个元素，则a=

()

A.1B.2C.0D.0或1

(2)设;x2—ar-|=0j,则集合1卜2一号一“=0j■中所有元素之积为.

例7用描述法表示抛物线>=炉+1上的点构成的集合.

变式1.［变条件，变设问］本题中点的集合若改为“{尤|丫=r+1}”，则集合中的元素是什么？

变式2.［变条件，变设问］本题中点的集合若改为“{y|y=x2+l}”，则集合中的元素是什么？

当堂检涮

1.下列说法正确的是()

A.某班中年龄较小的同学能够形成一个集合

B.由1,2,3和也，1,也组成的集合不相等

C.不超过20的非负数组成一个集合

D.方程(x—l)Q+1)2=0的所有解构成的集合中有3个元素

2.已知集合A由的数构成，则有()

A.3GAB.1eA

C.0£AD.-IgA

3.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当aCA,有6—则。为()

A.2B.2或4

C.4D.0

4.已知a,。是非零实数，代数式孑缪的值组成的集合是则下列判断正确的是()

A.OEMB.-lew

C.3cMD.leM

5.集合A={y|y=N+l},集合8={(x,y)|y=N+1}(A,8中xGR,yGR).选项中元素与集合

的关系都正确的是()

A.2GA,且2GB

B.(1,2)£A,且(1,2)G2

C.2eA,且(3,10)63

D.(3,10)£A,且2©8

6.定义P*Q={ab|aep,b^Q],若尸={0,1,2},Q={1,2,3},则产。中元素的个数是()

A.6个B.7个

C.8个D.9个

7.下列说法中：

①集合N与集合N+是同一个集合；

②集合N中的元素都是集合Z中的元素；

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；

④集合Q中的元素都是集合R中的元素.

其中正确的有(填序号).

8.已知A={(x,y)[x+y=6,x^N,y£N},用列举法表示A为.

9.已知集合4={尤|办2—3x—4=0,xGR},若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.

答案

小试牛刀

1.答案：(1W(2)x(3)x(4)X(5)X(6)q

2-5,AACB6.{x|4x-5<7}

自主探究

例1B

例2⑴C⑵0,1,2

例3a=­l.

变式1.a=2,或°=,，或a=—p.

变式2.际0且a^l.

变式3.a=0.

例4(1){0,2,4,6,8,10}.(2){0,1,-1}.(3){(0,1)).

例5⑴{小=3”+1,〃CN}.(2){(x,y)|x>0,y>0}.(3){小=2”,“ez且近3}.

9

例6(1)D(2)

例7{(x,y)|y=N+l}.

变式1

解：集合{x|y=N+l}的代表元素是x,且xWR,所以{尤}=尤2+1}中的元素是全体实数.

变式2

解：集合{y|y=/+l}的代表元素是》满足条件>=必+1的〉的取值范围是这1,所以{y|y=N+

i}={yly>i}-所以集合中的元素是大于等于1的全体实数.

当堂检测

1-6.CCBBCA7.②④

8.{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}

9.解：当。=0时，A=j-

当好0时，关于X的方程办2—3x—4=0应有两个相等的实数根或无实数根，

9

所以/=9+16把0,即於一记.

故所求的a的取值范围是正一V或a=0.

第一章集合与常用逻辑用语

第2节集合间的基本关系

学习目标

i.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2.理解子集、真子集的概念；

3.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。

重点难点

教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念;

教学难点：属于关系与包含关系的区别.

知识梳理

一、集合间的基本关系基本概念

1.如果集合A中元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集。符号表示

为。

2.如果集合但存在元素,则称集合A是集合B的真子集。符号表示

为。

3.该曲图：用平面上的内部代表集合，这种图称为论””图.

4.集合的相等：若且BUA,则A=8。

5.空集：元素的集合，叫做空集.符号表示为：.

规定：空集是任何集合的o

二.子集的性质

1.任何一个集合是它本身的,即AUA；

2.对于集合A,B,C,如果AC8,且2=C,那么

学习过程

探究一子集

1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：

①A={1,2,3},B={1,2,345};

②A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；

③A={x|x>2},B={x|x>1}o

2.子集定义：

一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有

包含关系，称集合A为集合B的

记作：413（或8卫人）

读作：（或“"）

符号语言：任意有则。

3.韦恩图（Venn图）：

用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.

AB

牛刀小试1：

图中A是否为集合B的子集?

牛刀小试2

判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打4,若不是则在（）打x：

@A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6)

@A={1,3,5},B={1,3,6,91

③人士。},B={x|x2+2=0}

®A={a,b,c,d},B=[d,b,c,a}

思考2：与实数中的结论“若a名，且6次,则a=b"。相类比，在集合中，你能得出什么结论？

探究二集合相等

1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系

（1）A={xIx是两条边相等的三角形},B={xIx是等腰三角形};

2.定义：如果集合A的都是集合B的元素，同时集合B都是集合A的元素，我们

就说集合A等于集合B,记作。

ACB

A=B=<

BCA

牛刀小试3：

A={x|(x+l)(x+2)=0},B={-L-2}o集合A与8什么关系？

探究三真子集

1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系:

（1）A=｛1,3,5｝,B=｛1,2,345,6｝；

（2）A=｛四边形｝,B=｛多边形｝。

2.定义：如果集合AUB,但存在元素,且_______,称集合A是集合B的真子集.

记作：（或）

读作：“A真含于B"（或B真包含A）。

探究四空集

1.我们把的集合叫做空集，记为。，并规定：空集是任何集合的子集。

空集是任何非空集合的真子集。即。底B,（BW。）

例如:方程N+1=O没有实数根，所以方程x2+l=0的实数根组成的集合为。。

问题：你还能举几个空集的例子吗？

2.深化概念：

（1）包含关系｛。｝三A与属于关系OGA有什么区别？

（2）集合ASB与集合ARB有什么区别？

（3）.0,｛0｝与①三者之间有什么关系？

3.结论:

由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论:

（1）任何一个集合是它本身的子集，即

(2)对于集合A、B、C,若AQB,BGC,则(类比aWb,AWc则aWc)。

例1.写出集合{入6}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。

(1)A={1,2,3},B={x|x是8的约数};

(2)A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}。

达标检涮

1.集合A={—1,0,1},A的子集中含有元素。的子集共有()

A.2个B.4个

C.6个D.8个

2.已知集合〃=®一3<x<2,xGZ},则下列集合是集合M的子集的为()

A.P={-3,0,1)

B.Q={-1,0,1,2}

C.R={y[—1,y©Z}

D.S={x|k|W,xGN}

3.①0G{0},②。£{0},③{0,1}三{(0,1)},④{(a,3}={(6,a)].上面关系中正确的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

4.设集合A={x[l<x<2},B={x[x<a],若则a的取值范围是()

A.{a|aW2}B.{a|aWl}

C.{«|a^l}D.{a|a22}

5.已知集合4={(》，y)|x+y=2,x,ydN},试写出A的所有子集.

答案

学习过程：

探究一

1.集合A的元素都属于集合B。

2任何一个元素子集集合A含于集合B集合B包含集合AxeA'xeB,^cB

牛刀小试1集合A不是集合B的子集

牛刀小试2①4②x③x④4

探究二集合相等

1.(1)中集合A中的元素和集合B中的元素相同.

2.任何一个元素任何一个元素A=B

牛刀小试3A=Bo

探究三真子集

1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合Ao

2.xEBx-AEBBSA

探究四空集

1.不含任何元素

2.(1)前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.

(2)“C6nA=B或A与B.

(3){0}与①：{0}是含有一个元素。的集合，①是不含任何元素的集合。如①殳{0}不能写成①={0},

①e{0}

3.(1)(2)4GC

例L解:集合{a,6}的子集：,{a},{b},(a,b},,

集合{a,6}真子集:0,{a},{b}。

例2.解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。

(2)因为若x是长方形，则L定两条对角线相等的平行四边形，

所以集合力是集合B的子集。

三、达标检测

1.【解析】根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0,-1},{-1,0,1}

四个，故选B.

【答案】B

2.【解析】集合M={-2,—1,0,1},集合R={-3,-2),集合S={0,l},不难发现集合P中的元

素一34M,集合。中的元素2&M,集合R中的元素一3阵而集合S={0,1}中的任意一个元素都在

集合M中，所以SNM.故选D.

【答案】D

3.【解析】①正确，0是集合{0}的元素；②正确，。是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}

含两个元素0,1,而{(0,1)}含一个元素点(0,1),所以这两个集合没关系；④错误，集合{5，6)}含一

个元素点(。，6),集合{(b,。)}含一个元素点(b,a),这两个元素不同，所以集合不相等.故选B.

【答案】B

4.【解析】由A={x[l<x<2},B=[x\x<a],A^B,则{函£2}.

【答案】D

5.【解】因为A={(x,y)\x+y=2,x,y^N},

所以A={(0,2),(1,1),(2,0)).

所以A的子集有：。，{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},

{(0,2),(1,1),(2,0)).

【新教材】1.2集合的基本关系

学案(人教A版)

学习目标

1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2.理解子集.真子集的概念.

3.能使用ve”〃图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

重点难点

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.

难点：难点是属于关系与包含关系的区别.

学习过程

二、预习导入

阅读课本7-8页，填写。

1.集合与集合的关系

(1)一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就

说这两个集合有关系，称集合A为B的.

记作：AB(或BA)

读作：A包含于B(或B包含A).

图示:

(2)如果两个集合所含的元素完全相同(AB且BA),那么我们称这两个集合相等.

记作：AB

读作：A等于B.

图本:

2.真子集

若集合A。B,存在元素x_______B且x_______A,则称集合A是集合B的真子集。

记作：A_____B(或BA)

读作：A真包含于B(或B真包含A)

3.空集

的集合称为空集，记作：0.

规定：空集是任何集合的子集。

4.常用结论

(1)AA(类比aWa)

(2)空集是的子集，是的真子集。

(3)若则AC(类比则aWc)

(4)一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，特别

地，空集的子集个数为,真子集个数为。

小试牛刀

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)空集中只有元素0,而无其余元素.()

(2)任何一个集合都有子集.()

(3)若力=8则)

(4)空集是任何集合的真子集.()

2.用适当的符号填空

(1)a{a,b,c}(2)0{x\x2=0}

(3)0{xGR\x2+1=0}(4){0,1}N

(5){0}{x\x2=x}(6){2,1}{x}x2-3%+2=0}

3.设adR,若集合{2,9}={1—a,9},则

自主探究

例1(1)写出集合{0,1,2)的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;

(2)填写下表,并回答问题：

口集合的子集子集的个数

0

{a}

{a,b}

[a,b,c]

由此猜想:含n个元素的集合{a,a，…,a)的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子

12n

集的个数呢?

2

例2下列能正确表示集合M={-l,0,l/DN={x［x+x=0}的关系的维恩图是()

例3已知集合八=收|-56<2},8=收|22-36心-2}.

(1)若a=T,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;

⑵若AQB,求实数a的取值范围.

变式1.［变条件］【例3】⑵中,是否存在实数a,使得AUB?若存在，求出实数a的取值范围;若不

存在,试说明理由.

变式2.［变条件］若集合A={x|x〈-5或*〉2},8=收|22-3々^-2},且人？8,求实数2的取值范围.

当堂检涮

1.已知集合人={2,-1},集合B={m2—m,-1},且人=8,则实数m等于()

A.2B.-1

C.2或—1D.4

2.已知集合人=收|—1—x〈0},则下列各式正确的是()

A.OCAB.{0}eA

C.0£AD.{0}cA

3.已知集合AG{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()

A.6B.5

C.4D.3

4.已知集合A={x|x=3k,kGZ},B={x|x=6k,keZ},则A与B之间的关系是()

A.AcBB.A=B

C.A^BD.ABB

5.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,aeR),若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()

A.1B.-1

C.0,1D.-1,0,1

6.设x,y£R,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)1=1},则A,B的关系是.

7.已知集合人=收不<3},集合B={x|x〈m},且AGB,则实数m满足的条件是.

8.已知A={x£R|x〈一2或x>3},B={x£R|aWxW2a—l},若BUA,求实数a的取值范围.

答案

小试牛刀

1.答案：(1)x(2)V(3)V(4)X

2.(1)e(2)=(3)=(4)c(5)点(6)=

3.-1

自主探究

例1【答案】见解析

【解析】分析：(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有

三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.

解：⑴不含任何元素的子集为。；含有一个元素的子集为{0},“},{2};

含有两个元素的子集为{0,1},[0,2},{1,2}:含有三个元素的子集为{0,1,2}.

故集合{0,1,2}的所有子集为。，{0},{1},{2},{0,1},{0.2},{1,2},{0,1,2).

其中除去集合（0,1,2）,剩下的都是{0,1,2）的真子集.

⑵

集合集合的子集子集的个数

001

㈤0,{a}2

{a,b}0,{a},{b},{a,b}4

{o,b,c}0,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8

由此猜想:含n个元素的集合{a,a,…,a）的所有子集的个数是2：真子集的个数是2°-1,非空真子集

12n

的个数是2-2.

例2【答案】B

2

【解析】-."N={x|x+x=0}={x|x=0或x=-l}={0,-1},故选B.

例3【答案】见解析

【解析】分析：（1）令a=-l,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系；（2）根据集

合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出，根据子集关系确定端点值之间的大小关

系,进而列出参数a所满足的条件.

解：⑴若a=-l,则B={x|-5<x<-3}.

如图在数轴上标出集合A,B.

5x

由图可知,B呈A.

⑵由已知A2B.

①当B=0时,2a-3^a-2,解得a》L显然成立.

②当B#。时，2a-3<a-2,解得a<l.

由已知A2B,如图在数轴上表示出两个集合，

由图可得犀2^\5,解得TWaW4.

5%

又因为a<l,所以实数a的取值范围为TWa<l

变式1.【答案】见解析

【解析】因为A={x|-5<x<2},所以若ACB,则B一定不是空集.

此时有产;堂F即『自"I.显然实数a不存在.

la-2>2,la>4,

变式2.【答案】见解析

【解析】①当B=0时,2a-32a-2,解得a》l.显然成立.

②当B#。时，2a-3<a-2,解得a<l.

由已知ANB,如图在数轴上表示出两个集合，

----------AA

―1A-i—y—A-

—3a—2—55%

由图可知2a-322或a-2^—5,解得a^|或aW-3.

又因为a〈l,所以aW-3.

综上,实数a的取值范围为a^l或aW-3.

当堂检测

1-5.CDADD

6.BGA

7.m23

8.【答案】见解析

【解析】:BUA,「.B的可能情况有BW。和B=。两种

①当B=。时，由a>2a—1,得

②当BW。时，

a>3,[2a—1<—2,

VBCA,或成立，解得a>3；

—1[aW2a—1

综上可知，实数a的取值范围是{a|a〈l或a>3}.

第一章集合与常用逻辑用语

第3节集合的基本运算

学习目标

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的交、并运算;

2.理解补集的含义，会求给定子集的补集；

3.能使用图表示集合的关系及运算。

重点难点

1.教学重点：交集、并集、补集的运算；

2.教学难点：交集、并集、补集的运算性质及应用，符号之间的区别与联系。

知识梳理

一、集合运算的基本概念

1.并集的概念

一般地，由所有属于集合A属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(Unionset).

记作：(读作：“A并B”)，即：AUB=o

2.交集的概念

一般地，由属于集合A属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集(intersection

set).记作：(读作：“A交B”),即：AAB=。

3、补集的概念

(1)全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为全集.

记法：全集通常记作d

⑵.补集

对于一个集合4由全集〃中__________一的所有元素组成的集合称为集合A

文字语言

相对于全集〃的补集,记作_______o

符号语言M=__________

学习过程

探究一并集的含义

1.思考:考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？

(1)A={1,3,5,7},B={2,4,6,7},

C={1,2,3,4,5,6,7).

(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},

C={x|x是实数}.

2、归纳新知

(1)并集的含义

一般地，由所有属于集合A―属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(Union

set).

记作：(读作：“A并B”)，即：AUB=o

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元

素只看成一个元素).

Venn图表示：V\JJ

AUB

(2)“或”的理解：三层含义：

1.元素属于4但不属于及即:但xeB}

2.元素属于3但不属于A。即:{RxeB,但xcA}

3.元素既属于A又属于瓦即：(xwA且xe3}=AnB

由1,2,3的所有元素组成的集诧A与5的并集。

(3)思考：下列关系式成立吗？

⑴AUA=A⑵AU°=A

(4)思考：若AGB,，则AUB与B有什么关系？

3、典型例题

例1.设人={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AUB.

例2.设集合A={x|T〈x<2},B={x|l<x<3},求AUB.

【注意】由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴。

探究二交集的含义

1、思考：考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？

(1)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}.

(2)A={x|x是立德中学今年在校的女同学},

B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学},

C={x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学}.

2.交集的概念：一般地，由属于集合A属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交

集(intersectionset).

记作：(读作：“A交B”)，即：AAB=。

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.

3、思考：能否认为3与6没有公共元素时，/与6就没有交集?

4、典型例题

例3立德中学开运动会，设八={x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学},B={x|x是立

德中学高一年级参加跳高比赛的同学},

求AQB。

例4.设平面内直线乙上点的集合为L一直线4上点的集合为L2,试用集合的运算表示直线

Zp的位置关系.

5、思考：下列关系式成立吗？

(1)AQA=A(2)An0=0。

探究三：补集的概念

1.在研究问题时，我们经常需要研究对象的范围，在不同范围研究同一问题，可能有不同的结果

问题：在下面范围内解方程2)(/-3)=°

⑴有理数范围

(2)实数范围

2、全集与补集的定义

(1)全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的,那么就称这

个集合为全集，通常记作4

(2)对于一个集合A,由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U

的补集，简称为集合A的补集.

记作：,即：CUA=o

说明：补集的概念必须要有全集的限制.

3、例题

例5.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},