同济大学信号与系统第九章第4讲-dft

§9-7

离散傅里叶变换的应用运用DFT方法，往往伴随FFT算法的实施，所谓的应用几乎成为FFT应用的同意语。（一）快速卷积若长度为N1的序列x(n)与长度为N2的序列h(n)作线卷积，得到：y(n)为长度为N1+N2–1的有限长序列，要做N1*N2次乘法运算，当N1=N2=N，要做N2次乘法。1weixzh@直接卷积与快速卷积如果把求线卷积改为求圆卷积，两序列分别补零加长为为N1+N2–1，则有可能减少运算次数。x(n)y(n)卷积FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)y(n)1weixzh@在快速卷积过程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相当于3次FFT运算量，在一般数字滤波中，由h(n)求H(k)是事先计算完成放在存储器中，故只需2次FFT的运算量，若假设N1=N2=N，则补零后：故需要此外X(k)与H(k)两序列相乘，还需要2N次复乘，全部复数乘法次数为：次复数乘法运算随着N的增大，该运算量比N2显著减少。1weixzh@以上分析是针对两序列长度相近或相等的情况，如果一个序列很短，而另一序列很长，则需要补很多零，圆卷方案甚至增加运算量，可采用分段卷积的方法，其基本原理是将x(n)分成若干小段，每小段长度与h(n)接近，将x(n)的各小段与h(n)卷积，最后取和，仍可发挥快速卷积的优越性。1weixzh@重叠相加法假定h(n),x(n)均为因果序列。h(n)的长度为N，如图ax(n)长度是现将等分为若干小段，每段长M,如图bNh(n)图a图bMMMN1X(n)1weixzh@以表示x（n）序列的第i小段（i为正整数，），为完成各与h（n）之圆卷积，应将长度补足至N+M-1，在图c中已用虚线示意补零。N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1图c1weixzh@输入序列可表示为其中相应地，输出序列也可分解为1weixzh@利用卷积分配律可得由于的长度为N+M-1，而的有效长度只有M，故相邻两段的必有N-1长度的重叠。见图dN+M-1重叠N+M-1重叠图d重叠N+M-11weixzh@按照上述原理，此方法的运算过程可分为两部分：首先求每个与h(n)的圆卷积，样点数为N+M-1，共需P次，求各，其原理仍按图b；然后将取和（实际上是重叠部分的相加），即得图ey(n)N+N1-11weixzh@有时，N1可能很长，以致趋于无限大，例如语音信号、地震波动信号、宇宙通信中产生的某些信号等，如果不采用分段卷积的方法将迟迟不能给出结果，而且，无法找到那样大的存储设备来满足N1的需要。因此，即使在分段措施改善速度不显著的情况下，仍有可能采用这种方法。借助FFT不仅可完成快速卷积运算，也可利用它进行解卷积运算，具体计算公式可仿照z变换解卷积方法求得。1weixzh@（二）快速相关相关和自相关也可借助FFT完成。x(n)y(n)相关FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H*(k)y(n)h(n)共轭H*(k)1weixzh@相关运算常见于雷达和声纳系统中，应用该运算确定信号的时间延迟。当x(n)与h(n)是同一信号，y(n)是自相关函数，而Y(k)是x(n)的功率谱。1weixzh@（三）利用DFT对连续时间信号的逼近其中,T为抽样间隔。或者一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差1.混叠现象为避免混叠,由抽样定理可知，须满足其中fs为抽样频率;fh为信号的最高频率分量对于时间有限信号，其傅立叶变换不可能是有限带宽，抽样后必然带来混叠(aliasing)，减小抽样间隔可减弱混叠，但总不可避免。1weixzh@若信号频谱有限，则时间函数必然是无限的。在实际应用中，为利用FFT对信号进行分析，必须把时间截取一定范围，也就是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，时间加窗使频谱产生失真，它从原有的频率受限图中扩散出来，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏（leakage）。2.频谱泄漏1weixzh@0n0nn1weixzh@3.栅栏效应用DFT计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期，可使F变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。1weixzh@[例]有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已知条件为（1）频率分辨率为，（2）信号的最高频率，试确定以下参量：（1）最小记录长度;(2)抽样点间的最大时间间隔T;(3)在一个记录中的最小点数N。解：（a）最小记录长度（b）最大的抽样时间间隔T(c)最小记录点数N1weixzh@2.连续时间周期信号傅氏级数变换对二.DFT与连续信号傅氏变换相对数值的确定1.连续时间非周期信号傅氏变换对1weixzh@3.DFT变换时:1weixzh@4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换幅度电平未受到影响。用DFT计算所得的频谱分量乘以T，就等于频谱的正常幅度电平；用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换，再乘以fs就得到所需信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率,再从频率到时间，整个过程总共乘了1weixzh@设用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由：1weixzh@1weixzh@