“鸡兔同笼”问题中的数学思想方法

义务教育教科书人教版四年级下册数学第9单元——数学广角安排了“鸡兔同笼”问题，“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在古代数学名著《孙子算经》中。把这个问题引入小学教材中，一方面让学生感受我国古代的数学文化；另一方面引导学生在解决问题过程中，体验不同的数学方法和数学思想，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。我们一起来看看“鸡兔同笼”问题中隐含了哪些重要的数学思想方法，如何有效渗透这些数学思想方法？一、化繁为简的思想“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究。因此教材先编排了例1，“我们可以从简单的问题入手：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”通过化繁为简的策略，引导学生探究解决问题，学会了解决该类问题的一般方法后，再解决数据较大的原题。二、猜测和穷举的思想我们在解决某些问题时，一时找不出数据间明显的数量关系，可以进行猜测，再进行验证和调整。在解决有关计数问题的过程中，当需要计算的次数不多时，可以把所有对象一一列举出来，这种方法叫做穷举法，或叫枚举法、列举法。出示例1后，教师问：“我们可以猜一猜有几只鸡？几只兔？”学生猜“3只兔，5只鸡”“4只兔，4只鸡”……当然，猜测的结果需要进行验证。教师再引导：按照顺序列表试一试：鸡876543兔012345脚161820222426三、优化的思想优化思想是个一般化的思想方法，在教学过程中，让学生体验到在解决问题的过程中，可能出现多种方法和策略，通过学生的自主探索和合作交流，感受不同解题方法的优劣。有的学生感觉一一列举很麻烦，希望可以精简次数、优化列表。第一次猜测后，观察猜测脚的只数与实际脚的只数相差多少只？再一步调整到位。如有学生先猜4只鸡、4只兔共有：4×2＋4×4＝24只脚，比实际脚的只数少了2只脚，只需要减少1只鸡增加1只兔就可以得到26只脚了：3×2＋5×4＝26。也有学生先猜8只鸡、0只兔共16只脚，比实际脚的只数少了10只，每增加1只兔减少1只鸡会多2只脚，10只脚则需要增加5只兔减少5只鸡，即3只鸡和5只兔共26只脚。这种优化列表法是在一一列举的基础上，引导学生进行推理，通过调整得出结论，慢慢靠近假设的思想方法。四、数形结合的思想“数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。”［1］我们可以画图来分析，利用图形更直观地理解数量之间的关系，从而解决问题。例1：第一步：可以先画8个圆圈表示8个头；第二步：每个头都添上2只脚，8个2只脚，即8×2＝16只脚；第三步：看看剩下的脚怎么添，现在还有26--16=10只脚，一只动物只能再添上2只脚，因为兔子是4只脚，已经有2只脚了，4--2=2只；再逐一在几只动物上各添2只脚，10只脚，一只动物能添2只，10只里面有5个2只，10÷2=5只，这5只就是兔子了；所以有5只兔，3只鸡。五、假设的思想假设法是更具逻辑性和一般性的解决，是解决“鸡兔同笼”问题的较为普遍的一种解法，是一个假设——计算——推理——解答的过程。例如，在本例题中，可用假设法：（1）假设有8只兔子，那么就有8×4＝32只脚，这样就多了32--26＝6只脚。（2）一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有6÷2＝3只鸡。（3）所以笼子里有3只鸡，5只兔。还可以这样想：（1）假设有8只鸡，那么就有8×2＝16只脚，这样就少了26--16＝10只脚。（2）一只鸡比一只兔少2只脚，也就是有10÷2＝5只兔。（3）所以笼子里有3只鸡，5只兔。另外，教材中介绍的“阅读资料”中的抬脚法其实也是一种假设法。六、方程的思想在解决“鸡兔同笼”的问题中，方程的思想慢慢淡化了，原来的教材“鸡兔同笼”问题是放在六年级教材中呈现的，主要就讲列方程的方法，但解方程的过程比较复杂，对学生来说感觉难度比较大，所以新的教材把这一问题放入四年级下册中呈现，其目的是淡化方程的思想，用列表法、假设法等方法去解决这类问题，但初中的教材中又重提这类题，要求用方程解决这个问题。所以，在六年级的复习中，也可以让学生用方程的思想试着解决“鸡兔同笼”的问题。七、模型的思想“数学模型是用数学语言概括近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式、图形和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处。［2］”解决“鸡兔同笼”问题的方法很多，各种方法之间密切联系。很多方法的思考过程其实就是假设法的思考过程。如列表法，优化列表法的思考过程就是假设法的思考过程：第一次猜测后，通过推理分析，第二步调整到位。如：先猜8只鸡、0只兔共16只脚，比实际脚的只数少了10只，每增加1只兔减少1只鸡会多2只脚，10只脚则需要增加5只兔减少5只鸡，即3只鸡和5只兔共26只脚。这一推理、调整的过程其实也就是假设法，假设有8只鸡，通过计算、推理，解答出问题。再如：画图法和假设法的思考过程其实也是差不多的：画图时也需要计算、推理，第一步画了8个头；第二步，给每个头画了两只脚。这也就是假设有8只鸡，共画了16只脚，还差10只脚，一只鸡换成一只兔还要添上2只脚，10只脚需要添5次，即有了5只兔。画图过程就是假设法的另一种表现形式。“鸡兔同笼”是解决问题中的一个典型代表，通过比较、分析、归纳、总结，学生掌握了一个解决这类问题的基本模型，就可以利用这个基本模型去解决各种问题。“鸡兔同笼”是一个非常有趣的数学问题，从一千五百年前的《孙子算经》