第三章变量之间的关系回顾与思考教学设计学情分析教材分析课后反思

版初中数学教材教学设计第三章

《回顾与思考》

教师姓名:

【课题】第三章回顾与思考

令课标内容

用表格、关系式、图像表示某些变量之间的关系的意义，结合对变量之间关系的分析,

尝试对变化趋势进行预测。

今教学目标

1.知识目标：回顾总结表示变量之间的方法，学会用变量之间关系的各种形式分析变量之

间的关系，并作出预测。

2.能力目标：从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式一一用运动变化

的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。发展有条理的思考和进行表达的能力。

3.情感目标：能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，

发展对数学更高层次的认识。

教材分析

教科书基于学生对本章知识的认识，提出了本课的具体学习任务：回顾总结表示变量之

间的方法，学会用表示变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，能用适当的方式表示

实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测。从常量的世界走入变量的世界，开始接触

一种新的思维方式一一用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。发展有

条理的思考和进行表达的能力。能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感,

获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。能读懂表格、关系式、图象所表示的信息,

还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系.

令教学重难点分析

【教学重点】

能从表格、图象中分析变量之间的关系，发展有条理地进行思考的表达的能力。

【教学难点】

运用表示变量之间关系的方法分析变量之间的关系，分析问题、解决问题，进行预测。

今教学建议

让学生对全章所学内容进行回顾，系统地复习表示变量之间关系的三种方法，使学生能

运用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系.对于例题等教师要留给学生充

分思考的时间，鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，并用自己的语言进

行表达。当学生运用语言进行表达时，教师不要苛求语言的统一以及对关系的精确描述，

只要学生能大致描述出变量之间的关系即可。目的是使学生体验多种形式表示下的变量之间

的关系，而不是对其本身的讨论。教学时不要形式地对函数及函数的三种方式展开讨论。

令教学活动设计

本节课按知识点分类设计了六个教学环节：知识梳理、知识分析与应用、知识升华、课

堂小结、课堂检测、布置作业。

课前准备：仔细阅读本章内容，并形成知识框架图。

今教学过程设计

第一环节：知识梳理

本课学什么？

一个过程三个量:一个变化过程；自变量,因变量,常量.

一个关系三方法:变量之间的关系:表格法;图象法;关系式法.

六类问题巧分析:变量互求;会看增减;会比快慢;会比大小（会定范围;会求极值）

第二环节：知识分析与应用

第一单元：用表格表示变量之间的关系

变量与常量

1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量。如果两个变量，当其中一个

变量

在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一的一个数值与其对应，那么通常前一

个变

量叫做自变量，后一个变量叫做自变量的因变量。

2.某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。一个变化过程中有一个或几个常量。

3.变量只能是字母或含有字母的代数式；常量可以是数，也可以是字母。

4.两种变量的辨识：关键看谁主动，谁被动。

5.一个变化过程中：一定要有变量，且不可能只有一个变量。

【例1］圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发

生了变化，在这个变化过程中（）

Asr是因变量，V是自变量。B、r是自变量，V是因变量。

C、r是自变量，h是自变量。D、h是自变量，V是因变量。

二.表格法表示两个变量之间的关系

1.借助常用的表格，可以表示因变量随自变量变化而变化的情况（含规律）。表格中，一

般第

一栏表示自变量；第二栏表示因变量。

2.学会看表：查对应值；看变化趋势；看增减情况；找变化规律；预测“未来”。

3.优点：一目了然、方便快捷；缺点：不全面，变化规律也不易看出。

【例2】某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表：

时间/小时04812162024

水位/米22.534568

（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？自变量和因变量各是什么？

(2)12小时，水位是多少？水位是6米时，发生在几点？

(3)哪一时段水位上升最快？

闯关:

一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化,

实验数据如下表：

所挂物体的质量/千克012345

弹簧的长度/cm1212.51313.51414.5

(D上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的

长度，

那么随着x的变化，y的变化趋势如何？

(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？

第二单元：用关系式表示变量之间的关系

用关系式表示两个变量之间的关系

关系式：这里指通过自变量计算对应的因变量的一个“公式"y=f(x).其中y表示因

变量；f表示计算规则：x表示自变量。关系式是表示变量之间的关系的另

一种方法。

关系式的用途：变量互求；分类讨论一

列关系式：把变量和常量都当做已知量，找等量关系，列方程，变为y=f(x)的形式。

优缺点：优点：全面准确反映两个变量之间的关系；

缺点：需要计算，不形象不直观

［典型例题］如图：将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好

的材料围成一个无盖的长方体。

(1)这个情境反映了哪两个变量之间.的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？

(2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是xcm,围成的无盖长方体的体积是ycm;则

y与

X之间的关系式是；

（3）若小正方形的边长是5cm,那么长方体的体积是多少cm3?当x=2.5cm体积是多少cm，?

【反馈练习1］观察下表：y与x之间的关系式为—

X12345

y25101726•.......

【练习2］某轿车油箱中原来有油40千克，现在知道行驶时间t（时）与剩下油量Q（千克）的

关系如下表：

行驶时间t/时剩下油量Q/千克

140-6

240-12

340-18

440-24

540-30

・・・・・・

请写出用t表示Q的关系式。并思考轿车能行驶7小时吗？

【练习3】某市出租车计费标准如下：行驶路程不超过3千米时，收费8元；行驶路程超过

3千米的部分，按每千米1.60元计费。

（1）求出租车收费y（元）与行驶路程x（千米）之间的关系式；

（2）若某人一次乘出租车时，付了车费14.40元，求他这次乘车坐了多少千米的路程？

第三单元：用图象表示的变量关系

定义:用形象直观的图象表示一个变量与另一个变量之间的关系的方法叫做图象法.

方法:通常要画互相垂直且有公共原点的两条数轴.横轴（水平方向）上的点表示自变量,竖轴

（竖直方向）上的点表示因变量，用平面内的一个图象描述两变量之间的关系.

优缺点:优点:形象直观,尤其观察变化趋势时特别方便；

缺点：求值不可能准确,较麻烦.

注意:速度时间模式与路程时间模式的区别.

【例2】星期天，小颖骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根

据图像回答下列问题。

(1)小颖到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？

(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？

(4)玲玲全程的平均速度是多少？

例1.2014年6月份某一天平阴的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题:

(1)这天的最高气温约是_______℃;1,温度/℃

(2)这天一共有______个小时的气温在24r以上；—

/、

(3)这天在_________范围内温度在上升；26/

这天在_________范围内温度在下降；24/

/\

/

(4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约多少度。227

/

y

剖析：图象法表示变量之间的关系20

03691215182124时间

【反馈练习1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起

来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是

先到达了终点…….用SI、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与

故事情节相吻合的是()

【练习2】如果OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s和时间t的关系，根据图象

判断快者的速度比慢者的速度每秒快()

A、2.5mB、2mC>1.5mD、Im

第三环节知识升华：

分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.

说明：通过本题培养学生的思维的灵活性和合理的想象能力、语言的表达能力，进一步

体会用图像来反映两个变量之间的关系。

(1)可以把x和y分别代表时间和距离，那么这个图可以描述为：小华骑车从学校回

家，一段后，停下来修车，然后又开始往家走，直到回家；

(2)可以把x和y分别代表时间和速度，.那么这个图可以描述为：一辆汽车，减速行

驶一段时间后，匀速行驶了一段时间，然后逐渐减速，到了目的地停下来.

(3)可以把x和y分别代表时间和蓄水量，那么这个图可以描述为：一个水池先放水，

一段后，停止，随后，又接着放水直到放完.

(4)可以把x和y分别代表时间和高度，那么这个图就可以描述为：一架飞机从一定

的飞行高度慢慢下降一个高度,然后在这一高度飞行了一段时间后，快到机场时，开始降落，

最一后降落在机场.

第四环节回顾与反思：

1、对自己说，你有哪些收获？

2、对同学说，你有哪些温馨提示？

3、对老师说，你有哪些困惑？

第五环节课堂检测：

1、果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系:

时间t/秒

0.50.60.70.80.91■■■

高度h/5X0.255X0.365X0.495X0.645X0.815X1■■■

1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

3）请你列出果子落下的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式

2、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车

修好后，因怕耽误上学时间，于是快马加鞭加快速度，在下图中给出的示意图中（s为距离，

t为时间）符合以上情况的是（）

3、如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时，甲大约走了13千米。

根据图象回答：

（1）甲是几点钟出发？

（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少米？

（3）到十点为止，哪个人的速度快？

（4）两人最终在几点钟相遇？

第六环节：布置作业

根据学生基础选择不同层次作业：选择1、课本76页复习题。

A:做1-9题;B:做1-10题；C:做1-12题。

【板书设计】

知识梳理知识解析:

〃表格法

关系式法

表示变量之间关系的方法

I图象法

教学设计反思：

1、本节课让学生完成全章知识结构图，使他们亲自经历知识梳理的过程，进一步感受

变量之间关系的各种形式，能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的

预测，进而形成自己的知识体系。题目类型设计比较具有综合性、灵活性。

2、课后作业可以分层来布置，基础比较薄弱的同学可以采用课本复习题中的题目，

基础相对较好的同学可以选用附加的练习题。这样就可以让每一个学生都能感受到成功的快

乐，找到学习的自信

3.实际教学时可以根据学生的特点将复习课的上课形式设计得更加灵活多样，除了传

统的师生问答，还可以采用分组竞赛、必答抢答等方式，让学生在活泼又不失紧张的学.习

氛围中快乐的学习.

【课堂评价】

本节教学较为成功的做法：

1、在课堂教学中，通过运用多媒体精心设计教学组织，活化了电化教学优化教学手段，

实现了师生之间的启发交互，活跃了课堂，有利于提高课堂效率。探究活动的设计和多媒体

手段的运用，使抽象的内容变得直观，既增大了课堂容量，又让学生在探究过程中体会了知

识的生成过程，直观、自然地感悟和理解知识符合学生的认知规律。

2、《新课标》指导下的教学研究，已不局限于教师对教学的研究，同时也包括学生在学

习过程中对课程内容的探究，所以本节课设置了五大模块:根据前面的学习形成知识框架图、

表格法表示变量之间关系的方法剖析及应用、关系式法的剖析与应用、图象法的剖析与应用、

知识升华，体现了数学来源于生活又服务于生活的价值。

3、在教学中充分发挥教学评价的导向作用，以学习评价促进学生的发展。在本节教学

中，我主要通过学生自评、互评与教师评价相结合的方式对学生的学习加以评价：

(1)教师对学生进行及时性的口头评价。

在整个教学过程中，对于‘'学生是否有浓厚的学习兴趣，是否能主动地参与学习，是

否能在教师指导下总结课本内容，是否能认真听讲，在课堂中是否能积极发言”等方面适时

适度地对学生进行表扬，可以起到激励与促进的作用，让学生能在教师的评价中获得自信，

体验到成功。

(2)通过小组合作，让组长对组员进行评价。

(3)通过课堂检测情况对学生进行书面评价。

学情分析

【学生特点分析】

初一学生的年龄一般在11—12岁之间，好奇心强，思维敏捷，课堂参与度高。

但在这阶段，学生心理的特点正处于半幼稚、半成熟的状态，思维活动既有具体的形象

成分，又有抽象的逻辑思维，但很大程度上仍属于经验型，学生的空间想象能力和抽象思维

方面尚有不足，看问题处在直观和感性阶段，缺乏思考，表达缺乏思想性。

所以初中数学教学往往要从学生的具体经验出发，当学生缺乏有关感性认识时，需要通

过观察实验和其他教学手段，向学生提供具体感知，借助形象思维，使学生思维不断向高水

平转化。

【教学方法选择】

本节课旨在让学生在理解教科书所提供的变量之间关系实例的基础上，进一步在探索活

动中理解变量的相依关系。我们期望通过本章对变量之间的关系的丰富经历，为学生以后顺

利过渡到函数学习打下基础，而为了发展学生对函数思想的理解，必须使他们对函数的多种

表示有相当丰富的经历。

所以这节课，结合七年级学生有好奇心和较强的求知欲，喜欢丰富的现实情境，喜欢创

新，但是抽象思维能力较弱，对于知识的学习往往浅尝辄止，不能深入理解其内涵。为此本

节复习课上创设了各种不同的设问、归纳形式，给予学生充分的时间感受周围世界中的变量,

并将其抽象为数学模型，再由数学模型想象生活实际情境，讲学生对于变量之间关系的认识

上升到一个新的境界。

【课前准备】：

仔细阅读本章内容，并形成知识框架图。

效果分析

《新课标》指导下的教学研究，已不局限于教师对教学的研究，同时也包括学生在学习

过程中对课程内容的探究，所以本节课通过设置丰富的现实情境让学会用表格、关系式、图

象表示变量之间关系的基本技能。

本节课我以学生学习过的三种表示变量之间关系的方法为主线，让学生完成全章知识结

构图，使他们亲自经历知识梳理的过程，进一步感受变量之间关系的各种形式。通过丰富的

现实情境引导学生在情境中进行探索，充分利用学生已有的生活经验，进而掌握、巩固相关

的知识，培养学生的应用意识和想象能力、猜想、简单的预测等能力；进而形成自己的知识

体系。而通过知识升华题目加强同学的相互合作，充分发挥了学生的潜力，培养了学生的创

新能力、合作精神，使学生由被动接受变为主动学习，真正成为课堂的主人。

课后作业可以分层来布置，基础比较薄弱的同学可.以采用课本复习题中的题目，基础

相对较好的同学可以选用附加的练习题。这样就可以让每一个学生都能感受到成功的快乐,

找到学习的自信

在课堂教学中，通过运用多媒体精心设计教学组织，活化了电化教学优化教学手段，实

现了师生之间的启发交互，活跃了课堂，有利于提高课堂效率。探究活动的设计和多媒体手

段的运用，使抽象的内容变得直观，让学生在探究过程中体会了知识的生成过程，直观、自

然地感悟和理解知识符合学生的认知规律。这是我感觉较为成功的一点，但也有一些不足之

处，如应如何更好地对学生进行评价，如何对学生进行更合理的引导是我今后需进一步思考

的问题。

教材分析

【教材中的地位和作用】

七年级上学期中，教科书已经在代数式求值、探索规律等方面渗透了变化的思想，而本

章是第一次集中讨论变量之间的关系，研究现实世界中的变化规律，使学生从常量的世界进

入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。函数是研究现实世界变化规律的一个重要模

型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。

在前面相关知识的学习过程中，学生已经学习了变量之间关系，解决了一些简单的现

实问题，感受到了变量之间关系研究的必要.性和作用，获得了研究变量内容所必须的一些

数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有

了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

【教材内容分析】

教科书基于学生对本章知识的认识，提出了本课的具体学习任务：回顾总结表示变量之

间的方法，学会用表示变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，能用适当的方式表示

实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测。从常量的世界走入变量的世界，开始接触

一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。发展有

条理的思考和进行表达的能力。能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感,

获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。能读懂表格、关系式、图象所表示的信息,

还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系.

【教学建议】

让学生对全章所学内容进行回顾，系统地复习表示变量之间关系的三种方法，使学生能

运用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系.对于例题等教师要留给学生充

分思考的时间，鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，并用自己的语言进

行表达。当学生运用语言进行表达时，教师不要苛求语言的统一以及对关系的精确描述，

只要学生能大致描述出变量之间的关系即可。目的是使学生体验多种形式表示下的变量之间

的关系，而不是对其本身的讨论。教学时不要形式地对函数及函数的三种方式展开讨论。

【教学重难点分析】

1、读懂表格、关系式、图象所表示的信息，理解自变量和因变量的概念。

2、掌握变量之间关系的表示方法。

3、学会整理实际问题中变量之间关系的信息，并能进行预测。

【教学时间安排】【教学课型分析】

一课时复习课

评测练习

1、果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系:

时间t/秒0.50.60.70.80.91

高度h/5X0.255X0.365X0.495X0.645X0.815X1■■■

1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多

少米？

⑶请你列出果子落下的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式

2、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修

车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是快马加鞭加快速度，在下图中给出的示

意图中（s为距离，t为时间）符合以上情况的是（）

3、如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时，甲大约走了

13千米。根据图象回答：

（1）甲是几点钟出发？

（2）乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少米？

（3）到十点为止，哪个人的速度快?

（4）两人最终在几点钟相遇？

初中数学教材优质课评比活动

教学反思

济南市

在现代教育体系中，多媒体教学发展的势头已不可阻挡。但在数学教学中，如何利用

计算机的辅助功能来活化教学优化教学手段，让学生积极参与研究，活跃课堂，提高课堂效

率是评判一节优质课的重要评判标准，而同学们也只有积极主动地参与课堂活动，才能真正

在研究中获取知识和能力，学会科学研究的方法和相应的技能。前几天我讲了一节《第三章

回顾与思考》的优质课评选，感悟颇深，将我的一些粗浅的做法和感受与大家分享一下。

课标对本节课有如下要求：

用表格、关系式、图像表示某些变量之间的关系的意义，结合对变量之间关系的分

析，尝试对变化趋势进行预测。

从知识的角度来看，本节课要求学生回顾总结表示变量之间的方法，学会用变量之间

关系的各种形式分析变量之间的关系，并作出预测。。从学生能力上看，要求学生从常量的

世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式一一用运动变化的观点去认识数学对象,

发展符号感和抽象思维。发展有条理的思考和进行表达的能力。从情感态度上看，要求学生

能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更

高层次的认识。

由于七年级学生有好奇心和较强的求知欲，喜欢丰富的现实情境，喜欢创新，但是抽

象思维能力较弱，对于知识的学习往往浅尝辄止，不能深入理解其内涵。

所以本节课我以学生学习过的三种表示变量之间关系的方法为主线，让学生完成全章

知识结构图，使他们亲自经历知识梳理的过程，进一步感受变量之间关系的各种形式。通过

丰富的现实情境引导学生在情境中进行探索，充分利用学生已有的生活经验，进而掌握、巩

固相关的知识，培养学生的应用意识和想象能力、猜想、简单的预测等能力；进而形成自己

的知识体系。而通过知识升华题目加强同学的相互合作，充分发挥了学生的潜力，培养了学

生的创新能力、合作精神，使学生由被动接受变为主动学习，真正成为课堂的主人。

在教学中，从学生的具体经验出发，创设了各种不同的设问、归纳形式，给予学生充分

的时间感受周围世界中的变量，并将其抽象为数学模型，再由数学模型想象生活实际情境,

讲学生对于变量之间关系的认识上升到一个新的境界。使三种方式表示变量之间关系的方法

变抽象为宜观，有效地促进了学生学习方式的转变。

在课堂教学中，通过运用多媒体精心设计教学组织，活化了电化教学优化教学手段，实

现了师生之间的启发交互，活跃了课堂，有利于提高课堂效率。探究活动的设计和多媒体手

段的运用，使抽象的内容变得直观，让学生在探究过程中体会了知识的生成过程，直观、自

然地感悟和理解知识符合学生的认知规律。这是我感觉较为成功的一点。

课后作业可以分层来布置，基础比较薄弱的同学可.以采用课本复习题中的题目，基础

相对较好的同学可以选用附加的练习题。这样就可以让每一个学生都能感受到成功的快乐,

找到学习的自信.。

实际教学时可以根据学生的特点将复习课的上课形式设计得更加灵活多样，除了传统的

师生问答，还可以采用分组竞赛、必答抢答等方式，让学生在活泼又不失紧张的学.习氛围

中快乐的学习.

总体来说,通过本次评选活动,通过多次课的打磨使我对教育教学有了一个新的认识:

第一、教师只有关注课程标，深入钻研教材，了解学生的已有经验和认知基础，精心创设

活动情境，才能有效地开展教学。

第二、充分关注学生，发挥学生在课堂中的主体地位，才能提高学生课堂的参与度，才是

有效课堂，才能把课堂还给学生。不过如何更好去关注学生，关注全体学生，充分把握教学

的切入口，还需我们