高中数学干货-极值点偏移（学生版）

专题01：初识极值点偏移

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数/(X)满足定义域内任意自变量X都有/(x)=/(2机-x),则函数/(x)关于

直线x=〃?对称；可以理解为函数/(幻在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若/(x)为单

峰函数，则尢=〃7必为/(X)的极值点.如二次函数/(X)的顶点就.是极值点X。，若/(X)=C的两

根的中点为小玉，则刚好有五士三=%,即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏

22

移.

若相等变为不.等，则为极值点偏移：若单峰函数/(X)的极值点为〃Z,且函数/(X)满足定

义域内x=加左侧的任意自变量x都有/(%)>/(2m-x)或/(x)<f(2m-x),则函数/(%)极值

点机左右侧变化快慢不同.故单峰函数/(X)定义域内任意不同的实数X],九2满足/(%)=f(x2),

则也土三与极值点机必有确定的大小关系：

2

若M〈五士三，则称为极值点左偏；若根>王土强，则称为极值点右偏.

22

如函数g(x)='的极值点X。=1刚好在方程g(x)=C的两根.中点土产的左.边，我们称之为极

值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1.若函数/（X）存在两个零点X1,九2且%2，求证：X]+%2>2x（）.（X。为函数/（X）的极值点）；

2.若函数/（X）中存在玉,%且％产％2满足/区）=/。2），求证：Xt+x2>2x0（尤0为函数/（x）

的极值点）；

3/（x）2/'（x）>0；

.若函数存在两.个零点苞,％且不工/,令尤。=、，求证：0

4.若函数/（X）中存在为,》2且,内W%2满足/（2）=/（工2），令X（）=、；"，求证：J'（无0）〉。・

三、问题初现，形神合聚

★函数=/-2x+l+a"有两极值点X”尤2，且/<々.

证明:X]+%2>4.

★已知函数/（x）=lnx的图象G与函数g（x）=ga/+云（aw。）的图象g交于p,Q,过尸。的

中点R作x轴的垂线分别交G，。2于点M,N“问是否存在点R,使G在"处的切线与。2在

N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

四、招式演练

★过点P(-L0)作曲线f(x)=峭的切线心

(1)求切线/的方程；

(2)若直线/与曲线y=念(aeR)交于不同的两点4区,丫1),以不心)，求证:+x<-4.

JI人，2

极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待

此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型

又是含有参数的.其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！

专题02：极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数y=/（x），在区间3。）上只有一个极大（小）-值点为，方程/（x）=0的解分

另I」为％,%2，^.a＜xi＜x2＜b,

（1）若/（尤-工2），则";/＜（＞）x（），即函数y=/（x）在区间（否,/）上极（小）

大值点.与右（左）偏；

（2）若/1（X］）＞f（2xo-q），则“＞（＜）/,即函数y=/（x）在区间（%,工2）上极（小）

大值点/右（左）偏.

证明：（1.）因为对于可导函数y=/（x）,在区间（a,加上只有一个极大（小）值点x°,则

函数/⑶的单调递增（减）区间为（a,x0）,单调递减（增）区*间为（与*），由于

有石＜入0，且2入0-12＜入0，又/（%）＜/（2%0-％2），故与＜（＞）2/-W,所以）＜（＞）而,即

函数极（小）大值点X。右（左）偏；

（2）证明略.

左快右慢(极值点左偏。，〃<五上)左慢右快(极值点右偏=加〉五士三)

22

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

(1)求出函数/(x)的极值点与；

(2)构造——元差函数F(x)=/(xo+x)—/(%-x)；

(3)确定函数尸(x)的单调性；

(4)结合/(0)=0,判断f(x)的符号，从而确定/*o+x)、-©的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板:若已知函数/(x)满足./■(%)=/(%2)，X()为函数/(X)的极值点，求证:xt+x2<2x0.

(1)讨论函数/(x)的单调性并求出/(%)的极值点X。；

假设此处/(X)在(fO,X0)上单调递减，在(X。,日)上单调递增.

.(2)构造/⑴=/(无0+x)-/Oo-X)；

注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)=f(x-)-f(2x0-x)的形式.

(3)通过求导9(x)讨论尸(x)的单调性，判断出尸(x)在某段区间上的正负，并得出/(x°+x)

与/(%-x)的大小关系；

假设此处F(x)在(0,+8)上单调递增，那么我们便可得出F(x)>/(%)=f(x0)-f(x0)=0,

从而得到：x>入0时，/Uo+X)>/(x0-x).

(4)不妨设X]<Xo<々，通过/(X)的单调性，./'(2)=/(工2)，/(/+X)与/(与-X)的大小关

系得出结论；

接上述情况，由于X>X()时，/(/+X)>/(而一X)且尤|<X。<々，/(%1)=/(%2)»故

f(xt)=f(x2)=f[x0+(x2-x0)]>f[xa-(x2-x0)]=y(2x0-x2),又因为王<%,2x0-9<玉)且

/(x)在(-00,%)上单调递减，从而得到X]<2工0-％2，从而X[+々<2/得证.

（5）若要证明r（七强）＜o,还需进一步讨论五产与餐的大小，得出土产所在的单调

区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为玉+々＜2%,故%；々%,由于/（x）在（-oo,x（））上单调递减,

故

【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通.常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f（x）的单调性、极值点，证明

/（入0+x）与JOo-x）（或/（X）与/（2%-幻）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形

如玉+马＜2%或/（与强）＜0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问

逐步解题.

三、对点详析，利器显锋芒

★已知函数f（x）=xe~x（x&/?）.

⑴求函数/（x）的单调区间和极值；

（2）若％力莅,J@L/（xt）=f（x2）,证明：xt+x2＞2.

★函数=与直线y=a（a＞—g）交于4和幻、8（々,。）两点.

证明：xt+x2<2.

2

★已知函数，(x)=—+lnx,若x尸七，且/(X])=/(%2)，证明：%1+x2>4.

★已知函数_/(外=(》-2)/+4(%-1)2有两个零点.设公々是/(%)的两个零点，证明:

xt+x2<2.

四、招式演练

.★已知函数g(x)=e'+qx2,其中ae/?,e=2.71828…为自然对数的底数，〃x)是g(x)的导

函数.

(I)求的极值；

(II)若〃=一1,证明：当玉H%2，且/(西)=/伍)时，X]+x2<0.

2

★已知函数/(x)=lnx-ox,其中QER

.(1.)若函数/(x).有两个零点，求。的取值范围；

(2)若函数/(X)有极大值为-g,且方程“x)=〃2的两根为4马，且玉</，证明:

玉+工2>4。.

专题03：极值点偏移.第一招——不含参数的极值点偏移.问题

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简.洁，涉及函数的

双零点，是一个多元数学问题，不管待证的.是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，

解题的策略都是把双.变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

例.(2010天津理)已知函数/(%)=xeT(xwR),如果办工收,且/(%)=/(%2)・

证明：玉+z>2.

1—Y

例.(2013湖南文)已知函数J(x)=y>e*,证明：当/(芯)=_/缶)(入户々)时，Z+々<0・

1+x

招式演练：

★已知函数/(x)=lnx+x2+X,正实数%,工2满足/(%)+/02)+玉%2=°•

证明：芯+赴2避二工

★已知函数/(x)=hw-x.

.(I)求函数/(x)的单调区间；

2

(II)若方程/(%)=加(加<-2)有.两个相异实根X],*2，且玉<々，证明：%1%2<2.

专题04：极值点偏移第二招—含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两.个变元不电的基础上，又多了一个参数，故思路

很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参

数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

2

★例1.已知函数/(x)=x-ae”有两个不同的零点看,*2，求证：X,+X2>-

2

★例2.已知函数/(x)=Inx-内，。为常数，若函数/(x)有两个零点七,%2，证明：xt-x2>e.

★例3.已知X],%2是函数/(x)=e*-or的两个零点，且引〈林

(1)求证：玉+々>2；

(2)求证：%]-x2<1.

ax

★例4.已知函数f(x)=x-e(a>0),若存在为，/(大<W)，使/(^)=/(x2)=0,求-证：—<ae.

【招式演练.】，

★设函数/(JC)=ex-ax+a{aeR)的图像与x轴交于4为⑼向/内乂占</)两点，

(1)证明：rQx]/)<。；

(2)求证：x}x2<x}+x2.

★设函数/(x)=aInx-陵2,其图像在点p(2,/(2))处切线的斜率为-3.

当a=2时，令g(x)=/(x)-依，设%,工2(为<9)是方程g(x)=O的两个根，

%是和%2的等差中项，求证：g'(x())<O(g'(x)为函数g(尤)的导函数).

★设函数/(x)=a2x-_l-2alnax(a〉0),函数/'(x)为/(x)的导函数，且

x

4(内,/。)),3(%"(/))是/(幻的图像上不同的两点，.满足。(%,)+/(巧)=0,线段43中点的

横.坐标为公,证明：ax0>1.

★已知函数/(%)=a---Inx(aeR).

x

(1)若a=2,求函数/(x)在(1,『)上的零点个.数；

a

(2)若f(x)有两零点(X1<x2)，求证：2<x,+x2<3e~'-1.

★已知函数f(x)=1x2+(1-a)x-alnx.

(I)讨论f(%)的单调性；

(II)设a>0,证明：当0<%<a时，/(a4-%)</(a—x)；

(III)设%1*2是的两个零点，证明(仔詈)>0.

★已知函数/(x)=41nr-；znx2(加＞0).

(I)若加=1,求函数/(力的单调递增区间；

(II)若函数g(x)=/(x)-(〃2-4)x,对于曲线y=g(x)上的两个不同的.点Af,

"(々送(々))，记直线MN的斜率为3若4=g'(xo),

证明：%1+x2>2x0.

★已知函数/(x)=ln(x+l),ga)；/-*.

(I)求过点(-1,0)且与曲线y=/(x)相切的直线方程；

(」1)设//(x)=4(x)+g(x)，其中"为非零实数，＞=〃(尤)有两个极值点小工2，且不＜X2,

求a的取值范围；

(III)在(H)的条件下，求证：2/1(々)—石＞0.

★.已知函数/(x)=lnx.

(1)证明：当x＞l时，x+]_2(：])〉0；

人力

(2)若函数g(x)=/(x)+x-or2有两个零点的,%,(王＜々，a＞0),证明:

g(『＜一.

专题05：极值点偏移第三招一一含对数式的极值点偏移问题

前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若/(x)的极值点

为",则根据对称性构造一元差函数尸(x)=/(x0+x)-/小-力，巧借尸(X)的单调性以及

尸(0)=0,借助于/(%)=/(%2)=/[%0-(工一工2)]与/[Xo+Gof)]=〃2%0-%)，比较超

与2%-X的大小，即比较与与强!生的大小.有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的

盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。

本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据/&)=/(修)建立等式，通过消参、

恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，.利用对数平均不等式链求解.

★例.已知函数f(x)=lnx-ox2+(2-a)x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设a>0,证明：当0cxe,时，/(—+%)>f(--x)；

aaa

(3)若函数y=/(x)的图象与x轴交于两点，线段A8中点的横坐标为与，证明：

/'(%)<0.

【问题的进一步探究】

对数平均不等式的介绍与证明

两个正数。和匕的对数平均定义：L(a,b)=<lna-\nh(a*"

a(a=b\

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

几$L(a,b)W号(此式记为对数平均不等式)

取等条件：当且仅当。=匕时，等号成立.

只证：当8时，J^<L(a,。)〈生史.不失一般性，可设a>b.

2

证明如下：.

(I)先证：4ab<L(a,b)...①

不等式①oInQ-Inb<&/«>In—o21nx<x--(其中x=J—>1)

4abb\b\ax

i911

构造函数/(x)=21nx-(x一一),(%>1),贝l」/'(x)=—1—T=-(l-)2.

XXXX

因为x>i时,，r(x)<o,所以函数/(幻在(1,”)上单调递减,

故/(x)v/(l)=。，从而不等式①成立；

(II)再证：L(a,b)〈史”……②

2

不等式②=Ina-In6>二"二")In—>---<=>lnx>~—(其中x=，口>1)

a^-bb(，］)(x+1)Vb

构造函数g(x)=Inx一子—?,(x>1)，则g'(x)=--4=(:.

(x+1)x(x+1)x(x+l)-

因为x>l时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(1,+℃)上单调递增，

故g(x)<g⑴=。，从而不等式②成立；

综合(I)(II)知，对Va,beR*,都有对数平均不等式疝4L(a,份W成立,

2

当且仅当a=b时，等号成立.

例题第(3)问另解：由/(%)=/(/)=0

oInXj-ax^+(2-a)xl=lnx2-ax^+(2-a)x2=0

*2

=>lox,-lnx2+2(玉-x2)=-x2+x1-x2)

Inx,-Inx2+2(x)-x2)

22

Xj-X〉4~X|一X<y

故要证/'(/)<0。%=^^>，

2a

22

T>X|~—X、+Xj—%2X+%2+1

In玉-Inx2+2(玉—x2)In1一In々+?

x{—x2

o2InXj-Inx2

%!+x2再一X?

根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证.

★已知函数/0)=1111%与直线丁=加交于4(须，乂),3(X2,%)两点•

求证：0<<-4

招式演练：

★已知函数〃x)=£(aeR),曲线y=/(x)在点处的切线与直线x+y+l=0垂

直.

(1)试比较2O1620”与2017236的.大小,并说.明理由；

2

(2)若函数g(x)=/(x)-Z有两个不同的零点和Z，证明：*x2>e.

b

★已知函数/(x)=lord---e/?).

(I)讨论函数/(x)的单调区间与极值；

(II)若力>0.且/(x)20恒成立，求1的最大值；

(HI)在(H)的条件下，且e"T—b+i取得最大值时，设/®=£1-m(meR),且函数F(x)

有两个零点尤1，工2，求实数用的取值范围，并证明：西工2>/.

★已知函数/'(%)=7-,g(x)=b(x+l),其-中aH0,bH0

(1)若(1=b,讨论尸(x)=f(%)—g(x)的单调区间;

(2)已知函数/(%)的曲线与函数g(x)的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为右,42,

证明：冲g(Xi+%2)>2.

★已知函数〃x)=^.

(1)若/(x)在点卜2,/卜2))处的切线与直线4x+y=。垂直，求函数./(x)的单调递增区间;

(2)若方程〃x)=l有两个不相等的实数解看,与，证明：%+%>2e.

专题06：极值点偏移第四招—含指数式的极值点偏移问题

近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区

间内研.究两函数之间的不等关系.要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离

变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们.想要的不

等关系.这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转

化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.

.★（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数/（幻=（尤-2）e，+a（x-l）2有两个零点不々.

证明：x,+x2<2.

★（2040天津理）已知函数=（xeR）.如果再工々，且/（而）=/（%2）.

证明：xt+x2>2.

★设函数〃x）=e'-or+a（aeR）,其图象与x轴交于4（为,0）3（%2,0）两点，且％<工2.证明:

r（7v^）<o（r（x）为函数〃x）的导函数）.

招式演练：

★已知函数/（力=/-/（4€夫）在（0,+oo）上有两个零点为冷电（为<出）・

（J）求实数。的取值范围；

（2）求证：玉+冗2>4.

★已知函数/(》)=禽6、

⑴求的单调区间.；

(2)证明:当〃药)=〃％)(芭工动时,xt+x2<0.

★已知函数/(x)=x-a-e'+/?(a>0,0eR),若任意不同的实数满足/(%)=求证

.：%+w<—2Ina.

★已知函数,f(x)=e，-公+a(aeE),其中e为自然对数的底数.

(1)讨论函数y=/(x)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个零点为，w，证明：xy+x2<2\na.

专题07：极值点偏移第五招一函数的选取

于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题(无论含参数或不含参数)

转化为一元问题，过程都需要构造新函数.那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然

会选取不同的函数.

★已知函数/(x)=e，-6有两个不同的零点七，々，其极值点为

(1)求。的取值范围；

(2)求证：xt+x2<2x0；

(3)求证：x,+x2>2；

(4)求证：xtx2<1.

【思考】

练习：(安徽合肥2017高三第二次质量检测)已知〃x)=ln(x+㈤-如

(1)求/(x)的单调区间；

(2)设机>1,石，£为函数/(x)的两个零点，求证

【招式演练】

★已知函数f(x)=a---Inx(ae7?)有.两个零点%,.(西<x,)，

x

求证：2<X]+%<3e"T-1.

★已知/(x)=xln1的图像上有A3两点，其横坐标为0＜西＜工2＜1，且/(3)=/(工2).

2

r(1)证明：—＜%+A：2V1；

e

(2)证明：1＜嘉+«＜宁.

★已知函数/(x)=lnx-/nr(meR).

(1)若曲线.y=/(x)过点求曲线y=/(x)在点尸处的切线方程;

(2)求函数/(x)在区间［1,e］上的最大值；

2

(3)若函数/(x)有两个不同的零点演，x,,求证：.%1-x2＞e.

★已知函数f(x)-a\nx-X2.

(1)当a=2时，求函数y=〃x)在1,2上的最大值；

(2)令g(x)="x)+ox,若y=g(x)在区间(0,3)上为单调递增函数，求a的取值范围；

(3)当a=2时，函数〃(x)=〃x)-如的图象与x轴交于两点4(%,0),3(入2，。)，且。＜石＜彳2,

又“(X)是〃(x)的导函数.若正常数a,4满足条件a+/?=l,/72a.证明：h'(ax}+ftx2)＜0.

★已知函数f(%)=(Inx—k—l)x,(fc6R).

(1)当%>1时，求/'(%)的单调区间和极•值.

(2)若对于任意％e卜32］，都有f(x)<41nx成立，求k的取值范围；

(3)若X1=*2,且/(%1)=f(%2)，证明：%1%2<e2k-

★已知函数/(x)=ax1+x-lnx(a>0).

(1)求/(力的单调区间；

(II)设/'(X)极值点为与，若存在X1,x2e(0，+°°)，且工产了2，使/(Xi)=/(X2)，求证:

玉+々>2x0.

★已知函数g(x)=lnx-办2+(2-a)x,aeR.

⑴求g(x)的单调区间；

⑵若函数/(x)=g(x)+(a+l)x2一2x,%,々(内<尤2)是函数/(x)的两个零点，/'(X)是函数

外力的导函数，证明：七三］<0.

★已知函数/(x)与〃x)=lnx的图象关于直线.y=x对称.

(1)不等式对'(x)Nor-l对任意x€(0,+oo)恒成立，求实数a的最大值;

<x<x0

(2)设/'(x/G”：!在(1,+co)内的实根为%,m(x)={x，若在区间(1,+8)上

丽…

证明：＞%.

★已知函数〃6=融山+优a力为实数)的图像在点处的切线方程为y=x-l.

(1)求实数的值及函数/(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)=""+1,证明ga)=g(x2)(x＜々)时，玉+々＞2.

★已知/(x)=ln(x+m)-/nx.

(I)求/(x)的单调区间；

(II)设"＞1,王，々为函数/(x)的两个零点，求证：%,+x2＜0.

★已知函数/(x)=x2-l+aln(l-x),awR..

(」)若函数/(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；

(II)若函数./(x)存在两个极值点再，x2,且玉＜々，证明：丛】＞小).

X2X\

★已知函数J(x)=x+alnx与g(x)=3-夕的图象在点(1,1)处有相同的切线.

(I)若函数y=2(x+〃)与y=/(x)的图象有两个交点，求实数〃的取值范围；

(II)若函数/@)=3卜-5)+58(%)-2"月有两个极值点再，々，且王＜马，证明:

F（%2）＜X2-1.

专题08：极值点偏移第六招一