高中数学教案 平面(五)

2.1.1平面

问题导学

一、三种语言的转换

活动与探究1

(1)说明语句“/ua,mna=A,A&"表示的点、线、面的位置关系，并画出图形;

(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系.

迁移与应用

1.如图所示的点、线、面的位置关系用符号语言表示为

4加

2.用符号语言表示“三个平面a,夕，y相交于一点P,且平面a与平面尸交于以，平

面a与平面y交于PB,平面夕与平面y交于PC”，并画出图形.

名师点睛

在立体几何中，符号“e”和“住”表示点与直线、点与平面的关系；符号“n”表示

直线与直线或直线与平面相交；符号“U”和表示直线与平面的关系.虽然借用集合

中的符号表示点、线、面的位置关系，但在读时仍用几何语言.

二、点线共面问题

活动与探究2

过直线/外一点尸引两条直线以，P8和直线/分别相交于A,8两点，求证：三条直

线%,PB,/共面.

迁移与应用

1.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是()

A.1B.2C.3D.1或3

2.已知直线a〃江直线/与a,6都相交.求证：直线mb,/共面.

名师点睛

(1)证明多点、多线共面时，可先由部分点线确定一个平面，再由公理1证明其他点线

也在这个平面内.

(2)两条相交直线确定一个平面，两条平行直线也确定一个平面.

三、证明多点共线问题

活动与探究3

如图，在四面体48co中，E,G分别为BC,AB上的点，H,尸分别为AD,C。上的

点，G”与EF交于点0.求证：B,D,。在同一条直线上.

迁移与应用

1.已知平面aC平面尸=/，点Pda,P",则点P与直线/的关系是.

2.如图，已知AABC在平面a外，它的三边所在的直线分别交平面a于点P,Q,R,

求证：P,Q,R三点共线.

名师点睛

证明多点共线的方法是利用公理3,只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这

两个平面的交线上，这是证明多点共线的基本思路与方法.

四、证明多线共点

活动与探究4

已知三个平面a,£,y两两相交于三条直线，即aCQ=c,[iC\y-a,y^a—b,若直线

a和b不平行,

求证：a,b,c三条直线必过同一点.

迁移与应用

如图，已知平面。，£,且设梯形ABC。中，AD//BC,且ABua,CDufi,

求证：AB,CD,/共点（相交于一点）.

名师点睛

证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点：然后说明这个点在以另

一条线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，所以三线共点.

当堂检测

1.下列说法中正确的个数为（）

①梯形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形;

③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.

A.1B.2

C.3D.4

2.如果直线au平面a,直线bu平面a,M^a,N^b,NH,则（）

A.luaB.l<ta

C./na=A/D.IQa=N

3.在空间中，下列命题不正确的是（）

A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点

B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线

C.若A既在平面a内，又在平面夕内，且a与£交于则A在人上

D.任意三点能确定一个平面

4.已知平面aA£=/,△ABC的三边中，ABua,ACup,则顶点4与直线/的位置关

系是.

5.已知aC8=［，mua,nu8,mCn=P,则点P与直线/的位置关系用符号表示为

答案：

【问题导学】

活动与探究1思路分析：利用三种语言的关系解答.

解：（1）直线/在平面a内，直线，"与平面a相交于点A,且点A不在直线/上，图形如

图所示.

m

(2)图示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为aC0=l,mua,"寸,inn=P,

m//l.

迁移与应用1.aC6=l,mna=A,mnp=-B,A^l,B生I

2.解：aC\/i=PA,aC\y=PB,/加尸PC,PAC\PBQPC=P.图形如图所示.

c

活动与探究2思路分析：根据条件P,A,B确定一个平面，再证直线I,PA,PB在

这个平面内.

:.PGa,ASa,BGa.：.PAaa,PBua.又A©/,B0,：.lua.

：.PA,PB,/共面.

迁移与应用I.D

2.证明:,：a//b,

.,.直线a,人确定一个平面，记为a,如图.

设aCl/=A,bCU=B,

则AGa,BGb,：.A^a,B®a.

：.lua..•.直线a,b,/共面.

活动与探究3思路分析：本例是一个证明三点共线的问题，根据题意只需证明点0在

直线6。上.而是平面AB。与平面BCQ的交线，因而只需证明点。在平面A3。内，

也在平面BCD内即可.

证明：:GHCEF=O,：.ORGH,O&EF.又G，u平面ABQ,EFu平面BCD,：.O

G平面ABO,OE平面BCD..•.点O在平面ABO与平面BCD的交线上.又•平面ABOCI

平面BCD=BD,：.O^BD.

：.B,D,。在同一条直线上.

迁移与应用I.PG/

2.证明："：ABna=P,A8u平面ABC,平面ABC,P&a,

在平面48c与平面a的交线上.同理可证，。和R均在这条交线上.；.P,Q,R

三点共线.

活动与探究4思路分析：先由“，6共面且不平行，得“与b相交，设交于点P,再

证明交点P在c上，即证明PGa,P&p.

证明："."aC\y—b,flC\y—a,

'.ac.y,bc.y.

又由于直线a和匕不平行，

/.a,6必相交.

设aC%=P,如图，则Pda,P&b.

Vac/?,bua,:.PGB，PGa.

又aC0=c,

.•.PGc,即交线c经过点尸.

b,c三条直线相交于同一点.

迁移与应用证明：：四边形AB