高中数学必修4第二章-平面向量

§2.1平面向量的实际背景及基本概念（两课时）（新授课）

教学重点与难点

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

三、教学设想：

（-）情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否

追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A-*D

D

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、

有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

（二）探求新知：

1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

（1）数量与向量有何区别？

（2）如何表示向量？

（3）有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

（4）长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

（5）满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

（6）有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

（7）如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这时它们是不是平行向量？这时各

向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2、向量的表示方法：/

①用有向线段表示；

（终点）

②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示：、由.

A（届原）

③用有向线段的起点与终点字母：踵：

④向量A6的大小长度称为向量的模，记作|A8].

3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向

量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是

不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.\/

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小./|\

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定。与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a〃

b//c.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量a与6相等，记作a=6；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同•条有向线段来表示，并且与专

向线段的起点无关.

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与尊同线铿的

起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量

可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）典例剖析：

例1、判断:

（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？

(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

(6)两个非零向量相等的当且仅当什么？

(7)共线向量一定在同一直线上吗？

例2、下列命题正确的是()

A.a与6共线，6与c共线，则a与c也共线_____

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

例3、如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量而、无、无相

等的向量.

变式一：与向量而长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量04长度相等、方向相反的向量？

变式三：与向量而共线的向量有哪些？

(五)知识巩固：

1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理山.

①向量而与而是共线向量，则A、B、C、。四点必在一直线匕

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形4BCD是平行四边形当且仅当初=说

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

⑦物理中的作用力与反作用力是一对共线向量

⑧直角坐标平面上的x轴y轴都是向量

§2.2.1向量的加法运算及其几何意义（新授课）

一、教学目标:

知识与技能:掌握向量的加法运算，并理解其儿何意义；

过程与方法:通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交

换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

情感、态度与价值观:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向

量，培养数形结合解决问题的能力；

二、教学重点与难点

重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

难点：理解向量加法的定义.

三、教学设想：

（一）基础知识回顾：

1、复习：

（1）向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研

究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,

移到任何位置

（2）平行向量和共线向量的定义

（二）创设情景，揭示课题：_________,___________>

（1）某人从A到B,再从B按原方向到C,ABC

则两次的位移和：AB+BC=AC

（2）若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,CAB

则两次的位移和：AB+BC=AC

（3）某车从A到B,再从B改变方向到C,0

则两次的位移和：AB+BC=AC新授课AB

（4）船速为鼐，水速为前，则两速度和：AB+'BC=AC

XT

（三）探求新知：

1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法./

2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

AB

如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a

与b的和，记作a+b,BPa+b^AB+BC^AC,规定：a+0-=0+a

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量a与。不共线时，”+各的方向不同向，且|a+3|<|a|+,|；

（3）当a与否同向时，贝ija+1、a、B同向，、----a-----十

且|…a+6|=|…a|+|b|,当…a与b反向时•，若.---\--'----»b\

则3+B的方向与展相同，且值+5|=向-|加；若、'一a一一0B

|a|v|B|，则a+Z的方向与各相同,且|a+b|=|各卜|。|.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到

n个向量连加

3、例1：已知向量a、b,求作向量a+各

作法：在平面内取一点，作了=1AB^b,则丽=3+3.

4、加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中各+〉的结果与G+B是否相同？

小结

（1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适用）

（2）向量加法的交换律：a+b=b+a

5、向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

证：如图：使而=Z,'BC=b,CD=c

则(a+3)+c=AC+CD=AD,a+(b+c)=AB+BD=AD

.".(a+b)+c=a+(b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

（四）典例剖析

1、一艘船从A点出发以2瓶加/力的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速

度的大小为4求水流的速度.

变式1、一艘船距对岸4&km,以20切的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对

岸时，船的实际航程为8km,求河水的流速.

变式2、一艘船从A点出发以％的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2,

船的实际航行的速度的大小为4攵加/〃，方向与水流间的夹角是60。，求％和V2.

（五）课时小结

1、向量加法的几何意义；

2、向量加法的交换律和结合律；

3、注意：\a+b\W\a\+\b\,当且仅当方向相同时取等号.

（六）布置作业：习题2.2A组2.3

四、课后反思

§2.2.2向量的减法运算及其几何意义(新授课)

一、教学目标：

知识与技能

1、了解相反向量的概念；

2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

过程与方法

通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转

化的辩证思想.

情感态度与价值观

使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

二、教学重点与难点：

重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

难点：减法运算忖方向的确定.

三、教学设想

(-)课前复习：

1、向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

2、向量加法的运算定律：

例：在四边形中，CB+BA+BA=—.

解：CB+BA+BA=CB+BA+^D=CD

(二)创设情境，引入课题

1.用“相反向量”定义向量的减法

(1)“相反向量”的定义：与。长度相同、方向相反的向量.记作-a

(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(rz)=0

如果Q、力互为相反向量，则a=-〃，b=-a,a+b=0

(3)向量减法的定义：向量0加上的6相反向量，叫做a与》的差.

即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若》+x=a,则x叫做a与》的差，记作

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

(a-b)+b=a+(-Z»)+b=a+O=aa()

/b/

a-b

B

作法：在平面内取一点。,

作0A=a，AB=b

贝ijBA=a-b

即可以表示为从向量〃的终点指向向量a的终点的向量.

注意：1。48表示“-瓦强调：差向量“箭头”指向被减数

2。用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a+（-b）

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

（三）典例剖析

例1、（P95例三）已知向量a、b、c、d,求作向量a-氏c-d.

解：在平面上取一点0,作况=a,0B=b,0C=c,0D=d,

DC

例2、平行四边形ABC。中，AB^a,AD=b,二^

用a、b表示向量AC、DB.

AB

变式一：当a,b满足什么条件时，a+Z»与a-b垂直?

变式二：当a,b满足什么条件时，\a+b\=\a-b\2

变式三：a+b与Q-b可能是相当向量吗？

（四）知识巩固

1、在菱形ABCD中，下列各式中不成立的是（）

A.AC-AB=BCB.AD—BD=AB

C.BD-AC=BCD.BD—CD=BC

2、下列各式中结果为力的有（）

①益+诙+万②而+沅^所十万

③花-万+丽-而®MN+NQ-~MP+QP

A.①②B.①③C.①③④D.①②③

3、下列四式中可以化简为存的是（）

①4C+%②AC-CB③物+仍®0B-0A

A.①④B.①②C.②③D.③④

4、在下面各式中，不能化简为质的是（）

A.(存+而)+诙B.(AD+MB}+(BC+CM}

C.MB+AD-BMD.OC-OA+CD

5、在aABC中，向量比'可表示为()

①存-AC②》-AB③而+AC@BA-CA

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

6、已知ABCDEF是一个正六边形，0是它的中心，其中原=a,OB=b,~0C="则砺=

()

A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c

7、当C是线段AB的中点，则4C+BC=（)

A.ABB.BAC.ACD.5

8、在平行四边形ABCD中，前+丽-而等于（）

A.BAB.JDC.ACD.AB

9、化简：AB+DA+BD-BC-CA^。

10、一架飞机向北飞行300km后改变航向向西飞行400km,则飞行的总路程为,

两次位移和的和方向为,大小为。

（五）课时小结

1、如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量是以减向量的终点为起点，以被减向量

的终点的向量。

2、一个向量比如丽，等于它的终点，相对于点0的位置向量方，减去它的起点相对于点

0的位置向量无，或简化为“终点向量减去起点向量”即丽=方-砺

3、向量减去的实质是向量加法的逆运算。利用相反向量的定义，而=而就可以把减法化

为加法。如丽-而=而+而=两，在用三角形法则做向量减法时，只要记住“连接两

向量终点，箭头指向被减数”即可。

（六）布置作业：习题2.2第4、5题

四、课后反思：

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义(新授课)

一、教学目标:

知识与能力：

1、掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；

2、掌握实数与向量的积的运算律；

3、理解向量共线定理，能够运用定理解决共线等问题。

过程与方法：通过阐述向量数乘运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

情感态度与价值观：使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

二、教学重点与难点：

重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线定理。

难点：对向量共线定理的理解。

三、教学过程：

(-)复习引入：

1、向量的加法：

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法法则有三角形法则和平行四边形法则。

2、向量的减法：

向量a加上的芯相反向量，叫做a与各的差。即：a-b=a+(-i)»

差向量的意义：OA=a,OB=b贝ijBA=a-b.

即0%-加可以表示为从减向量5的终点指向被减向量Z的终点的向量。

(-)讲解新课：

1、实数与向量的积

练习1：已知非零向量a,作出a+a+a和(―a)+(—a)。

->.->卜f.->r

aoaaaA

-»T_

-aQT-a-ap

探究：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？

(I)3G与5方向相同且卜［=3同；

(2)-2彳与1方向相反且卜2—|=2|a|

上题结果可记为：。4=。+〃+〃=3〃

PB=(-6?)+(_〃)=-2a

定义：实数人与向量［的积是一个向量，记作：O

其大小和方向规定如下：

大小：卜,二|2||^|

方向：入＞0时，几3与［方向相同；

入＜0时，4a与"方向相反。

特别地，当2=0或7=6时几Z=6。

2、运算律

练习2：

(1)根据定义，求作向量3(2。)和6。(。为非零向量)，并进行比较。

a

aaaaaa

-»一->-->

2a2a2a

结论：3(2a)=6a,(2+4)a=2Q+4a

(2)一知向量a、b,求作向量2(。+b)和2。+2"并进行比较。

结论：2(a+B)=2〃+23

归纳得：设"、B为任意向量，4、4为任意实数，则有:

结合律：zl(//6Z)=(A/i)a

第一分配律：(丸+")a=Aa+

第二分配律：A(a+b)=Aa^Ab

练习3：计算(口答)

(1)(-3)x40

(2)3(a+b)~2(a-b)-a

(3)(2a+3b-c)~(3a-2b+c)

解：(1)原式=—12a

⑵原式=(3—2—1)1+(3+2/=55

(3)原式=(2-3)a+(3+2)b-(1+l)c=-a+5b-2c

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。

对于任意向量a、b及任意实数4、〃，恒有4(〃［。士％3)=a-几〃23°

3、向量共线定理

探究：

问题①如果b=^i,那么，向量Z与1是否共线？

问题②如果非零向量Z与］共线，那么，b=Aa?

对于向量w6)、b,如果有一个实数X,使得B=,那么，由数乘向量的定

义知：向量「与各共线。

若向量「与各共线，5*6,且向量Z的长度是"的长度的〃倍，即有忖=〃同，

当a与3同方向时，有1=

当a与3反方向时,，有3=

所以始终有一个实数丸，使3=丸£。

向量共线定理向量了与非零向量7共线当且仅当有唯一一个实数X，使得B=/l5。

(三)讲解范例：

例1、如图，已知而=3而、DE=3BC,试判断元与族是否共线？

解：AD^3AB>DE^3BC

——'—E

又AE^AD+DE

=3族+3前=3(踵+朝

=3AC

就与瓦共线。B

D

解后小结：证明向量共线，可以直接运用定理。

在本题中，若反C分别是46的三等分点，你能否利用向量关系来证明比〃加呢？

例2、已知任意两非零向量"b,试作/=3+工

OB-a+2h,0C-a+3ba

你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

解：作图如右(过程略)

依图观察，知4、B、。三点共线。

证明如下：

；AC=0C-0A=(a+3b)-(a+b)

=2fe

又AB^OB-OA^(a+2b)-(a+b)

=b

：.AC=2AB

又而与IE有公共点A,

A.B、。三点共线。

小结：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再利用它们有一个公共

点，得到三点共线。

(四)课堂练习：P1003,4、5

(五)课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，

理解向量共线定理，并能在解题中加以运用。

(六)布置作业:人9、12、13

四、课后反思

§2.3.1平面向量基本定理(新授课)

一、教学目标：

知识与技能

1、了解平面向量基本定理；

2、理解平面里的任何•个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解

决实际问题的重要思想方法；

3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

过程与方法：通过类比物理中力的分解与合成，理解平面向量基本定理.

情感态度与价值观：让学生体会知识之间是有联系的，学会新旧知识之间的迁移

二、重点与难点：

重点：平面向量基本定理.

难点：平面向量基本定理的理解与应用.

三、教学设想

(一)复习回顾：

1、一般地，我们规定是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作几3,

它的长度与方向规定如下：

(1)\2.a\-;

(2)当―时，几7的方向与G的方向相同；当____________时，的方向

与。方向相反，当_____________时，4a=。。

2、向量数乘和运算律，设无〃为实数。

(1)2(/za)-；

(2)(2+/j.)a-；

(3)A(a+b)—；

(4)(A)a-=；

(5)A(a-h)-；

3两个向量共线(平行)的等价条件，如果4(4H0)与b共线，那么

(-)探求新知：

平面向量基本定理：如果.,02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这•平面内

的任一向量不，有且只有一对实数入I，入2使彳=入©+入202.

讨论探究：

(1)我们把不共线向量e”e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底：

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e,、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.X,,入2是被不，]，以唯一确定的数量

(三)典例剖析

例1已知向量,e2求作向量-2.5C]+3e2.

例2如图夕BCD的两条对角线交于点M,且入万=2,而,用。，日表示忘，MB,

例3已矢—ABCD的两条对角线AC与BD交于E,0是

任意一点，求证：0A+0B+0C+0D=40E

例4(1)如图，0A,不共线，AP=tAB(teR)用04,0B

表示丽.

（2）设方、而不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且丽=（1—。西+，历。£/?）.

求证：A、B、P三点共线.

例5已知。=20-3。2，5=20+3。2，其中白，四不共线，向量c=2er%2，问是否存在这样的实

数4、〃，使d=+与。共线.

（四）课堂练习

1、设为、。2是同一平面内的两个向量，则有（）

A.C1、。2一定平行艮右、02的模相等

C.同一平面内的任•向量。都有。=4幻+"«2（4、〃£R）

D.若e八〃不共线，则同一平面内的任一向量。都有。=几句+〃©2（，、〃£R）

2、知矢量。=4-2«2，h=2e）+e2,其中。]、^2不共线，贝Ua+b与c=6e「2e2的关系

A.不共线8.共线C.相等D.无法确定

3、已知向量e1、々不共线，实数1、y满足（3x-4y）e]+（2x-3y）e2=6ei+3e2，则”的值等于（）

A.3B,-3C.OD.2

4、已知Q、分不共线，且C=入同+42万（4I,^2£R），若。与〃共线，贝1」41=.

5、已知久|>0,42>0，⑦、是一组基底，且Q=4向+4?。，贝1Ja与4，a与

。2（填共线或不共线）.

（五）课时小结

平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解

成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。

由于零向量可看成与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底。

四、课后反思：

§2.3.2—§2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算(新授课)

一、教学目标

知识与技能

1、理解平面向量的坐标的概念；

2、掌握平面向量的坐标运算；

3、会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

过程与方法

1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；

2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；

3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.

情感态度与价值观

设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于

生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.

二、教学重点与难点

重点：平面向量的坐标运算

难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

三、教学设想

(-•)基础知识回顾

平面向量基本定理：如果£是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

的任一向量不，有且只有一对实数入1，入2使之=A1G+入202

(1)我们把不共线向量e,、ez叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

⑵基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e,、e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.入入2是被5，e,,02唯一确定的数量

(-)探求新知

1.平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量入，作为基

底.任作一个向量。，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X、

a=xi+yj..................①

我们把(x,y)叫做向量4的(直角)坐标，记作

a=(x,y).......②

其中x叫做。在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标，②式叫做向

量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(x,y).

特别地，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作豆=a,则点A的位置

由a唯一确定.

设。4=七+力，则向量04的坐标(x,y)就是点4的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也

就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一

表示.

2.平面向量的坐标运算

(1)若。=(〜，月)，匕=(》2，%)，

则a+b=(X]+x2,y1+乃)，a-h^(x1-x2,yt-y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i、j.则a+b=(刈+力力+(4+//)=(项+*2)1+(月+力))

即a+匕=(X]+x2,y}+y2),同理可得a-匕=-x2,y,-y2)

⑵若4的，%)，83，为)，则A6=(》2-x“2-％)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB=OB-OA=(x2.y2)-(xpyi)=(x2-xi，y2-yi)

(3)若a=(x,y)和实数4,则加=(疝,为).

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为i、j＞则九?=+0)=Zvi+右7'，即加=(疝,加)

(三)典例剖析：

--*1---*

例1、若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=—MN,求P点的坐标

例2、已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+B,a-b,3。+43的坐标.

例3、已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求点D的坐标使

这四点构成平行四边形四个顶点.

练习：1已知三个力片(3,4),F2(2,-5),F3(x,y)的合力片+F2+F3=6，求尸3

的坐标.

2：已知：四点A(5,1),B(3,4),C(l,3),D(5,-3),求证：四边形ABCD是

梯形.

(四)巩固与练习

1、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是()

A.W=(0,0),才=(1,-2)B.a=(—1,2),方=(5,7)

C.a=(3,5)5=(6,10)D.a=(2,-3)b=(4,-6)

2、已知向量占=(-2,4)b=(1,—2)则£与Z的关系是()

A.不共线B.相等C.同向D.反向

3、若点A的坐标是(4，占)，向量存的坐标为(矛2，/2)，则点B的坐标为()

A.(4-x2,yx-y2)B.(%2-xvy2-y,)

C.(占+X2,y}+y2)D.(4-x2,71+y2)

4、已知M(3,-2)N(-5,-1),且砺=2而则砺=()

A.(-8,1)B.(-4,-)C.(-16,2)D.(8,-1)

2

3251_1一

5、已知"(，一)，"(一，一)，且册=-MN,则P点的坐标()

2

一31-12-2一_

6,已知a=(,-)，6=(-，),c=a+b则C=()

A.(6,-2)B.(5,0)C.(-5,0)D.(0,5)

(五)课时小结

1、平面直角坐标系中，每一人个向量都可以用一对实数唯一表示。

2、若已知向量占=(x,y),3的模|a|,［的方向与x轴正向的转角为。，由三角函数的定

义可知，x=|a|cos0,y=|a|sin^

(六)布置作业：习题2.3A组1.2.3

四、课后反思：

§2.3.4平面向量共线的坐标表示（新授课）

一、教学目标

知识与技能

1、理解平面向量的坐标的概念；

2、掌握平面向量的坐标运算；

3、会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

过程与方法：让学生在应用中体会平面向量之间的位置关系

情感态度与价值观：在向量与坐标的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.培养

学生的观察能力和抽象概括能力

二、教学重点与难点

重点：平面向量的坐标运算

难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

三、教学设想：

（-）基础知识回顾

1、向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个作为基为基底。对于

平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y使得,

这样，平面内的任一向量］都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量

的坐标，记作=此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做占在x轴上的坐标，y

叫做占在y轴上的坐标。

2、几个特殊向量的坐标表示

i=,J=,o=

3、两个向量和差的坐标运算

已知：a=（占，/），才=（々，々），几为一实数

则a+5=（xj+yj）+（x2i+y2j）=；

即a+g=。

同理将£-5=这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于

4、数乘向量和坐标运算

2a=以芯1+7]j)=

即2a=_____________________________

这就是说，实数与向量的积的坐标等于：o

5、向量存的坐标表示

若已知2(41，/)，6(演，y2)，贝U/8==即一个向量

的坐标等于此向量的有向线段的。

(-)探求新知：

求证：a//b(b*6)的充要条件是xly2-x2yi=0

证明：设W=(X],yi),B=(X2，y2)其中3片二

__fX]=Ax2,

由五=人8得，(x,,yi)=A(x,y)=>S"消去A，X]y2-xyi=0

22〔％=仅2

探究：(1)消去入时能不能两式相除？

(2)充要条件能不能写成"="■?

X]x2

~•一—/7=Ah

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a//b

一>2=°

(三)典例剖析

例1已知)=(4,2),b=(6,y),且3〃5，求y.

练习1：已知A(・l,-1),B(l,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.

练习2s若向量5=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,求x

例2设点P是线段P|P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(X"力)，(X2,y2).

(I)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)当点P是线段P|P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

练习：已知A(-l,-1),B(l,3),C(l,5)D(2.7),向量48与CO平行吗？直线AB

与平行于直线CD吗？

(四)课堂练习

1.若。=(2,3),6=(4,-l+y),且。〃b,则尸()

A.6B.5C.7D.8

2.若A(…1),5(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为()

A.-3B.-lC.lD.3

।।

3.若A8=i+4，OC=(3-x)i+(4-y求其中的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).

踵与皮共线，则x、y的值可能分别为()

A.1,28.2,2C.3,2D.2,4

4.已知@=(4,2),6=(6,y),S.a//b,则产1.

5.已知。=(1,2),b=(x,1),若。+4与勿功平行，则x的值为.

6.已知□A8CD四个顶点的坐标为A(5,7),B(3,x),C(2,3),0(4,x),则广.

(五)课时小结

1、建立平面向量的坐标，基础是平面向量的基本定理及正交分解，对所给向量应会根据条

件X轴和y轴进行分解求出其坐标。

2、向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算

完全代数化，将数与形紧密地结合起来了，这样，很多儿何问题就转化为我们毫熟知的数量

的运算。

(六)布置作业：习题2.3A组6.7B组3

四、课后反思

§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义（新授课）

一、教学目标

知识与技能：通过物理上的物体做功，理解平面向量数量积的形成，掌握数量积的定义

及相关运算。

过程与方法：（1）以物理上的做功为背景，类比向量的线性运算，用数和形两方面对比

数量积与数乘的区别于联系，明确数量积的实质及相关的运算性质。（2）通过对概念的学习，

揭示向量与代数，集合的联系，学习时，体会数形结合的数学思想方法的应用，提高观察，

类比，分析，概括等思维能力。

情感，态度与价值观（1）通过对物理做功及数量积的学习，提高学习兴趣，增强应用

意识，激发求知欲，培养探索精神。（2）树立事物之间相互联系的辩证唯物之一观点。

二、教学重点与难点：

重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义

2、性质与运算律及其应用

难点：1、平面向量数量积的概念

2、平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明

三、教学流程：

（-）创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果

是什么？

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照

怎样的顺序研究了这种运算的？

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：

平面向量数量积的物理背景及其含义

（二）探究数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S,

那么力F所做的功：W=Scosa。（点名提问）---------><

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：（学生群答）

①W（功）是_____量，

②F（力）是量，

③S（位移）是—量，

④a是。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？

期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

让学生类比回答：若转换为一般的两个向量呢？

通过思考学生能答出：两个向量的大小及其夹角余弦的乘枳结果是个数量。

2、明晰数量积的定义

（1）数量积的定义：

已知两个非零向量力与九它们的夹角为我们把数量I】I'\bb\cosa叫做I

与l的数量积（或内积），记作：a•b,即：a•b-\a\•I&Icosa

（2）定义说明：①结果为一数量②记法”中间的“•”不可以省略，也

不可以用“x”代替。③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因

素有哪些？

期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅

和向量1与B的模有关，还和它们的夹角有关。

4、学生讨论，并完成下表：（学生自己即可完成）

a的范围0°W=<90°a=90°0°<a<180°

a-b的符号

5、研究数量积的几何意义

（1）给出向量投影的概念:

如图，我们把Ib|cosa（|a|cosa）

叫做向量.在a方向上（a在各方向上.）的投影，

记做：OBFI|X|Icosa

（2）提出问题5：数量积的几何意义是什么?

期望学生回答：数量积Z•X等于〉的长度IaI与Z在「的方向上的投影

IbIcosa的乘积。

（三）探究数量积的运算性质

明晰：数量积的性质（从定义出发，师点拨后学生即可自己得到结论）

设a和匕都是非零向量，则

1、a13<=^>-3=0

2、当a与各同向时，|a・Z|=|a|\b\;当a与3反向时，

\a-b\=-\a\I&|,特别地，a•a=IaI'或IaI=ya'a

3、|a・3|4|a|x|g|

(四)定义性质的应用与提高：

1、学生独立完成：已知IaI=5,|1|=4,a与了的夹角。=120°,求a•g

2.师生共同完成：己知a=(l,1),b=(2,0),求a•b

做完后给出几个定义判断题，学生巩固。

(五)探究数量积的运算律

1、提出问题6：我们学过了实数乘法的哪些运算律？

学生思考后能回答：交换律，结合律，分配律。

师问：这些运算律对向量是否也适用？

学生分组讨论。

预测：学生可能会提出以卜.猜想：

①a•b=b•a

②(a•)c=a(h,c)

(3)(a+b)•c=a•c+b•c

2、师生共同分析猜想：

①的正确性是显而易见的。

关于②的正确性，请同学们先来讨论：②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等

吗？

期望学生回答：左边是与向量W共线的向量，而右边则是与向量2共线的向量，显然在

向量】与向量1不共线的情况下②是不正确的。

3、明晰：数量积的运算律:

已知向量a、%、c和实数入，贝

(1)a,b=b-a(2)(入<7),1=入(a")=a♦(入B)

(3)(a+b)'c=a•c+b•c

(六)运算律的应用与提高

3、师生共同完成：已知IaI=3,|b|=4,［与3的夹角为60°,求

Ca+2bXa-3b),并思考此运算过程类似于哪种实数运算？

学生讨论可发现类似于多项式的运算。

4、变式1学生自己完成，师生共同完成变式2：已知|a|=3,IZ1=4,且「与g不

共线，A为何值时，向量3+法与1-k5互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？

5、对任意向量1,b是否有以下结论：

(1)(a+b)2=a2+2a•b+b2

(2)(a+h),(a-i);a2—b2

6.反馈练习

1.已知R=6,2为单位向量，当2、2之间的夹角9分别等于45,90,135时，画图

表示；在之方向上的投影，并求其值。

2、已知AABC中，AB=a,AC=b,当a•Z〈()或a•g=0时，试判断△ABC的形状。

(七)课堂小结：

(八)布置作业：