2025高考备考数学知识点突破2　数列中的构造问题

突破2数列中的构造问题学生用书P107命题点1形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠1）例1（1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2n－1，则an＝2n－1.解析因为an＋1＝3an－2n－1，所以an+12n+1＝3即an+12n+1－12＝32（an2n－12）.因为a121－12＝0（2）设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，则an＝2n＋1.解析由已知可得an＋1－（2n＋3）＝3[an－（2n＋1）]，an－（2n＋1）＝3[an－1－（2n－1）]，…，a2－5＝3（a1－3）.因为a1＝3，所以an＝2n＋1.命题拓展[变条件]若例1（2）中的a1＝4，则an＝3n－1＋2n＋1.解析设an＋1＋x（n＋1）＋y＝3（an＋xn＋y），则展开利用对应项系数相等可得出x＝－2，y＝－1，所以{an－2n－1}是以a1－2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以an－2n－1＝3n－1，所以an＝3n－1＋2n＋1.方法技巧形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠1）的递推式，一般采用构造法求通项：（1）若f（n）为非零常数，则一般凑配成an＋1＋x＝p（an＋x）的形式（利用待定系数法求x），构造等比数列；（2）若f（n）为关于n的一次函数，则一般凑配成an＋1＋x（n＋1）＋y＝p（an＋xn＋y）的形式（利用待定系数法求x，y），构造等比数列；（3）若f（n）为指数幂（如qn）的形式，则一般两边同时除以pn＋1或qn＋1，再利用累加法或构造法求通项.训练1在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则an＝3n＋2.解析由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.命题点2形如an＋1＝p例2[多选/2023江苏镇江中学5月考前模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an2+3an，则下列结论正确的有（A.{1an＋B.{an}的通项公式为an＝1C.{an}为递增数列D.{1an}的前n项和Tn＝2n＋2－3n解析因为a1＝1，an＋1＝an2+3an，所以1an+1＝2+3anan＝2an＋又1a1＋3＝4，所以数列{1an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1an＋3＝42n＋1，即an＝12n+1－3，故A，B正确.因为an＋1－an＝12n+2－3－12n+1－3＝（2n+1－3）－（2n+2－3）（2n+2－3)(2n+1－3）＝－2n+1（2n+2－3)(2n+1－3），n≥1，所以2n＋2－3＞0，2n＋1－3＞0，－2n＋1＜0，所以an＋1－an＜0，所以{an}为递减数列，故C方法技巧形如an＋1＝panqan＋r的递推式，一般采用取倒数法求通项，先变形为1a训练2（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝anan+2，则a10＝（A.11021 B.11022 解析由an＋1＝anan+2，两边同时取倒数得1an+1＝an+2an＝2an＋1，则1an+1＋1＝2（1an＋1），所以数列{1an＋1}是以2为公比的等比数列，则1an＋1＝（1a1＋（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan+2，则an解析依题意知an≠0，由an＋1＝2anan+2可得1an+1＝an+22an＝12＋1an，即1an+1－1an＝12，又a1＝1，可知数列{1an}是以命题点3形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）例3已知数列{an}满足an＋1＝5an－6an－1（n≥2），且a1＝1，a2＝4，则数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1－2n－1.解析解法一当n≥2时，令an＋1－xan＝y（an－xan－1），即an＋1＝（x＋y）an－xyan－1.于是得x＋y=5，－xy＝－6，解得x=2，y=3或x=3，y=2.当x＝2，y＝3时，an＋1－2an＝3（an－2an－1）（n≥2）.由于a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋1－2an＝2×3n－1①.当x＝3，y＝2时，an＋1－3an＝2（an－3an－1）（n≥2）.由于a2－3a1＝1≠0，所以数列{an＋1－3an}是以2n－1②.由①－②得an＝2×3n－1－2n－1.解法二当n≥2时，由an＋1＝5an－6an－1得an＋1－2an＝3an－6an－1，即an＋1－2an＝3（an－2an－1），因为a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1－2an＝2×3n－1，两边同除以2n＋1，得an+12n+1－an2n＝1所以an2n＝（an2n－an－12n－1）＋（an－12n－1－an－22n－2）＋…＋（a222－a121）＋a121＝12×（32）n－2＋12×（32）n－3＋…＋方法技巧形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）的递推式，一般采用构造法求通项，将原式变形为an＋1＋λan＝μ（an＋λan－1）（n≥2），由待定系数法求出λ，μ，再依据相邻两项的递推关系求通项.训练3已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an＋2＝3an＋1－2an.则{an}的通项公式为an＝2n－1.解析由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），又a2－a1＝1，易知an＋1－an≠0，所以an+2－an+1an+1－an＝2，所以数列{anan＋1－an＝2n－1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋21＋20＋1＝20＋21＋…＋2n－3＋2n－2＋1＝20×2n－1－12－1＋1＝2n－1，所以{an}的通项公式为思维帮·提升思维快速解题用“不动点法”求数列的通项公式例4已知数列{an}满足a1＝2，an＝an－1+22an－1+1（n≥2），则数列{解析令x＝x+22x+1，解得x＝1或x令an+1－1an由a1＝2，an＝an－1+22a令①式中的n＝1，可得c＝－13∴数列{an－1an+1}是以a∴an－1an+1＝13·（∴an＝3n方法技巧利用不动点法求数列通项的步骤对于一个函数f（x），我们把满足f（m）＝m的值m称为函数f（x）的“不动点”.利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.设f（x）＝ax＋bcx＋d（c≠0，ad－bc≠0），数列{an}满足an＋1＝f（an），a1≠f（1）若f（x）有两个相异的不动点p，q，则an+1－pan+1－q＝步骤如下：i.令x＝ax＋bcx＋dii.构造新数列{an+1－pan+1－q}，并将已知递推关系an＋1＝f（aniii.解方程得出an.（2）若f（x）有两个相同的不动点p，则1an+1－p＝1an－训练4已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝7an－2an+4，则该数列的通项公式为解析由方程x＝7x－2x+4，得数列{an}的不动点为1和2，则an+1－1an+1－2＝7an－2an+4－17an－2an+4－2＝7学生用书·练习帮P3141.数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*A.0 B.12 C.1 解析由an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*），易知an≠0，两边同时除以anan＋1，得1a所以当n≥2时，1an＝（1an－1an－1）＋（1an－1－1an－2）＋…＋（1a2－1a1）＋1a1＝（1n－1－1n）＋（1n－2－1n－1）＋…＋（12－13）＋（1－12.[多选/2023云南玉溪一中7月模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an1+3an（n∈N*），则（A.{1an}为等比数列 B.anC.{an}为递减数列 D.{1an}的前n项和Tn解析因为1an+1＝1+3anan＝1an＋3因为1an＝1＋3（n－1）＝3n－2，所以an＝13n因为函数y＝3x－2在[1，＋∞）上单调递增，且3x－2＞0，所以函数y＝13x－2在[1，＋∞）上单调递减，所以数列{an{1an}的前n项和Tn＝n（3n－1）23.[2024河南焦作统考]已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，a3＋a2＝22，则满足an＞160的最小正整数n＝5.解析由a3=3a2+2，a3＋a2=22，解得a2=5，a3=17，又a2＝3a1＋2，所以a1＝1.又由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3（an＋1），所以{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1－1，易知{an}是递增数列，又a4＝2×27－1＝53，4.[2023合肥六中三模]已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则数列{an}的通项公式为an＝74×3n－1＋134×（－1）n－1解析∵an＝2an－1＋3an－2（n≥3），∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2）（n≥3），又a1＋a2＝7，∴{an＋1＋an}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋1＋an＝7×3n－1①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2）（n≥3），a2－3a1＝－13，∴{an＋1－3an}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an＋1－3an＝（－13）×（－1）n－1②，由①－②得，4an＝7×3n－1＋13×（－1）n－1，∴an＝74×3n－1＋134×（－1）n－5.[2023厦门双十中学三模改编]已知数列{an}满足a1＝1，an+12＝10an（an＞0），则{an}的通项公式为an＝10×（解析已知an+12＝10an，等式两边取以10为底的对数可得2lgan＋1＝lgan＋1，即lgan＋1－1＝12（lgan－1），所以数列{lgan－1}是以lga1－1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以lgan－1＝（－1）×（12）n－1＝－（12）n－1，即lgan＝1－（12）n－1，即6.[2023山东威海三模]已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋（12）n＋1，则{an}的通项公式为an＝32解析解法一（待定系数法）令an＋1＋λ（12）n＋1＝13[an＋λ（12即an＋1＝13an－λ3（12）n＋1，由对应项系数相等得λ设bn＝an－3×（12）n，则b1＝a1－3×（12）1＝－23，bn＋1＝1则数列{bn}是以－23为首项，13为公比的等比数列，则bn＝－23×（13）所以an＝32n－解法二（变形转化＋待定系数法）将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边同时乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝23×（2nan）＋1.令cn＝2nan，则cn＋1＝23cn＋1，可得cn＋1－3＝23（cn－3），所以数列{cn－3}是首项为c1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列，所以cn－3＝－43×（23）n－1，即cn＝3－2×（23）解法三（累加法）将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边同时除以（13）n＋1，得3n＋1an＋1＝3n（32）n＋1.令tn＝3nan，则tn＋1＝tn＋（32）n＋1，所以当n≥2时，tn－tn－1＝（32）n，…，t3－t2＝（32）3，t2－t1＝（32）2.将以上各式相加，得tn－t1＝（32）2＋（32）3＋…＋（32）n（n≥2）.又t1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以tn＝1＋32＋（32）2＋…＋（32）n＝2×（32）n＋1－2（n≥2），当n＝1时也符合上式，故tn＝2×（327.[2024名师原创]设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1（n∈N*），且a1，a2＋5，a3成等差数列.（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式.解析（1）2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，令n＝2得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7①.因为a1，a2＋5，a3成等差数列，所以2（a2＋5）＝a1＋a3，即a3＝2（a2＋5）－a1②，将②代入①可得2a1＋2a2＝2（a2＋5）－a1－7，解得a1＝1，故a1的值为1.（2）因为2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式作差可得an＋1＝3an＋2n，所以an＋1＋2n＋1＝3（an＋2n），n≥2，（原式难以配凑时，不妨先将原等式变形为an+12n+1＝32·an2n＋12，再令an+12易知a2＝5，所以an＋2n＝（a2＋22）×3n－2＝（5＋4）×3n－2＝3n，即an＝3n－2n，n≥2，将n＝1代入an＝3n－2n得a1＝31－21＝1，符合题意.故数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.8.[2024浙江宁波模拟]已知数列{an}满足a1＝1，且对任意正整数m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn.（1）求数列{an}的通项公式；（2