2025高考备考数学知识点第5讲　空间向量及空间位置关系

第5讲空间向量及空间位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测1.（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；（2）借助特殊长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念.3.（1）了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示；（4）了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系；（3）能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理.空间向量的基本定理该讲知识是利用空间向量求解立体几何问题的基础，主要用来求解平面的法向量和直线的方向向量，以及利用向量解决空间位置关系的判断问题，考查数学运算素养.空间向量的坐标运算利用向量法证明平行与垂直问题2021新高考卷ⅡT10；2021全国卷甲T19；2021浙江T6；2020天津T17学生用书P1541.空间向量的三个定理共线向量定理对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在λ∈R，使①a＝λb.共面向量定理若两个向量a，b②不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使③p＝xa＋yb.空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝④xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底.注意（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.规律总结应用共线（面）向量定理证明点共线（面）的方法2.空间向量的坐标运算设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则（1）a±b＝（a1±b1，a2±b2，a3±b3）；（2）λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R）；（3）a·b＝⑤a1b1＋a2b2＋a3b3；（4）a∥b⇔a＝λb（b≠0）⇔⑥a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）；（5）a⊥b⇔a·b＝0⇔⑦a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；（6）｜a｜＝a·a＝（7）cos＜a，b＞＝a·b｜规律总结空间两点间的距离及中点坐标公式设点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）是空间中两点，则（1）AB＝⑧（x1（2）线段AB的中点坐标为（x1＋x22，3.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的方向向量.平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.思维拓展确定平面法向量的方法（1）直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向量.（2）待定系数法：建立空间直角坐标系，找出（求出）平面内的两个不共线的向量，如a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），设平面的法向量为n＝（x，y，z），则n·a注意n＝（0，0，0）不能作为法向量.方法技巧向量的叉乘a×b运算得出的是与a，b垂直的向量，所以可以利用叉乘计算平面的法向量，运算法则如下：i，j，k分别表示x，y，z轴正方向的单位向量，a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则a×b＝ijkx1y1z1x2y2z2＝（y1z2－y2z1）i－（x1z2－x2z1）j＋（x1y2－x2y1）k＝（y1z2－y2z4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2（λ∈R，λ≠0）l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m.l∥αn⊥m⇔⑨m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm（λ∈R，λ≠0）平面α，β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λm（λ∈R，λ≠0）α⊥βn⊥m⇔⑩m·n＝01.下列说法正确的是（C）A.直线的方向向量是唯一确定的B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥αC.若两平面的法向量平行，则两平面平行D.若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α2.已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则下列向量是平面ABC的一个法向量的是（C）A.（－1，1，1） B.（1，－1，1）C.（－33，－33，－33） D.（33，33.在空间直角坐标系中，A（1，1，－2），B（1，2，－3），C（－1，3，0），D（x，y，z）（x，y，z∈R），若A，B，C，D四点共面，则（A）A.2x＋y＋z＝1 B.x＋y＋z＝0 C.x－y＋z＝－4 D.x＋y－z＝04.已知向量a＝（1，0，－1），则下列向量中与a成60°夹角的是（B）A.（－1，1，0） B.（1，－1，0） C.（0，－1，1） D.（－1，0，1）5.[教材改编]已知u＝（3，a＋b，a－b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，n＝（1，2，3）是平面α的法向量.若l∥α，则a与b的关系式为5a－b＋3＝0；若l⊥α，则a＋b＝6.解析由题意可知，若l∥α，则u·n＝0，即3＋2（a＋b）＋3（a－b）＝0，整理得5a－b＋3＝0.若l⊥α，则存在实数λ，使得u＝λn，即（3，a＋b，a－b）＝λ（1，2，3），则3=λ，a＋b=2λ，学生用书P156命题点1空间向量的基本定理例1（1）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有OP＝xOA＋yOB＋zOC（x，y，z∈R），则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析由题可知，要使P，A，B，C四点共面，则需x＋y＋z＝1.当x＝2，y＝－3，z＝2时满足条件，所以x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的充分条件；反之，当四点共面时，只要x＋y＋z＝1即可，不一定要取x＝2，y＝－3，z＝2，所以x＝2，y＝－3，z＝2不是P，A，B，C四点共面的必要条件.故x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件.（2）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是（BA.12a＋12b＋c B.－12a＋1C.－12a－12b＋c D.12a－1解析如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，故A1M＝12（A1B1＋A1D1）＝12a＋12－AB＋AA1＋12a＋12b＝－a＋c＋12a＋12b＝－12a＋方法技巧1.证明空间四点共面的方法（1）利用共线向量定理；（2）利用共面向量定理.2.空间基底的要求是不共面的三个向量.训练1[多选]如图，在四面体PABC中，以下说法正确的有（ABC）A.若AD＝13AC＋23AB，则B.若Q为△ABC的重心，则PQ＝13PA＋1C.若PA·BC＝0，PC·AB＝0，则PB·AC＝0D.若四面体PABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则｜MN｜＝1解析对于A，∵AD＝13AC＋23AB，∴3AD＝AC＋2AB，∴2AD－2AB＝AC－AD，∴2BD＝DC，则3BD＝BD＋DC＝BC，即3BD＝对于B，∵Q为△ABC的重心，则QA＋QB＋QC＝0，∴3PQ＋QA＋QB＋QC＝3PQ，∴（PQ＋QA）＋（PQ＋QB）＋（PQ＋QC）＝3PQ，则PA＋PB＋PC＝3PQ，即PQ＝13PA＋13PB＋对于C，若PA·BC＝0，PC·AB＝0，则PA·BC＋PC·AB＝0，∴PA·BC＋PC·（AC＋CB）＝0，∴PA·BC＋PC·AC＋PC·CB＝0，即PA·BC＋PC·AC－PC·BC＝0，∴（PA－PC）·BC＋PC·AC＝0，∴CA·BC＋PC·AC＝0，则AC·CB＋PC·AC＝0，∴AC·（PC＋CB）＝0，即AC·PB＝0，故C正确；对于D，连接PN，∵MN＝PN－PM＝12（PB＋PC）－12PA＝12（PB＋PC－PA），∴｜MN｜＝12｜PB＋PC－PA｜＝12｜PA又｜PA－PB－PC｜2＝PA2＋PB2＋PC2－2PA·PB－2PA·PC＋2PC·PB＝22＋22＋22－2×2×2×12－2×2×2×12＋2×2×2×12＝8，∴｜MN｜＝2命题点2空间向量的坐标运算例2（1）若向量a＝（1，1，x），b＝（1，2，1），c＝（1，1，1），且（c－a）·（2b）＝－2，则x＝2.解析c－a＝（0，0，1－x），（c－a）·（2b）＝（0，0，1－x）·2（1，2，1）＝2（1－x）＝－2，解得x＝2.（2）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点，则｜BN｜＝3，cos＜BA1，CB1＞＝解析如图，以C为原点，CA，CB，CC1的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B（0，1，0），N（1，0，1）∴｜BN｜＝（1－0依题意得A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2）.∴BA1＝（1，－1，2），CB1＝（0，∴BA1·CB1＝3，｜BA1｜＝6，∴cos＜BA1，CB1＞＝方法技巧空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类比推广.训练2（1）[多选]已知空间向量a＝（2，－2，1），b＝（3，0，4），则下列说法正确的是（BC）A.向量c＝（－8，5，6）与a，b垂直B.向量d＝（1，－4，－2）与a，b共面C.若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则l1与l2所成的角的余弦值为2D.向量a在向量b上的投影向量为（6，0，8）解析对于A选项，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故c与a不垂直，A错；对于B选项，设d＝ma＋nb，则m（2，－2，1）＋n（3，0，4）＝（1，－4，－2），所以2m+3n=1，－2m＝－4，对于C选项，因为cos＜a，b＞＝a·b｜a｜·｜所以异面直线l1与l2所成的角的余弦值为23，C对于D选项，向量a在向量b上的投影向量｜a｜cos＜a，b＞·b｜b｜＝3×23×15（3，0，4）＝（65，0故选BC.（2）已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝12.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝52，且对于任意x，y∈R，｜b－（xe1＋ye2）｜≥｜b－（x0e1＋y0e2）｜＝1（x0，y0∈R），则x0＝1，y0＝2，｜b｜＝22解析由题意可令b＝x0e1＋y0e2＋e3，其中｜e3｜＝1，e3⊥ei，i＝1，2.由b·e1＝2得x0＋y02＝2，由b·e2＝52得x02＋y0＝则b＝e1＋2e2＋e3，∴｜b｜＝（e1+2e命题点3利用向量法证明平行与垂直问题例3[2021浙江高考]如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（A）A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1解析解法一以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，DA，DC，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设AB＝2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），D1（0，0，2），B（2，2，0），所以M（1，0，1），N（1，1，1），所以A1D＝（－2，0，－2），D1B＝（2，2，－2），MN＝（0，1，0），所以A1D·D1B＝－4＋0＋4＝0，所以A1D⊥D1B.又由题图易知直线A1D与BD1是异面直线，所以A1D与BD1异面且垂直，故B，C不正确.因为平面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），所以MN·n＝0，所以MN∥平面ABCD，故A正确.设直线MN与平面BDD1B1所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝（－1，1，0），所以sinθ＝｜cos＜MN，a＞｜＝｜MN·a｜｜MN｜·｜解法二连接AD1，则易得点M在AD1上，且AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABD1，所以A1D与BD1异面且垂直，故B，C不正确.在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，故A正确.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直，故D不正确.故选A.方法技巧1.利用空间向量证明平行问题的方法线线平行证明两条直线的方向向量共线.线面平行（1）证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.面面平行（1）证明两个平面的法向量平行；（2）转化为线线平行、线面平行问题.2.利用空间向量证明垂直问题的方法线线垂直证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.线面垂直（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.面面垂直（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.注意用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，需要说明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.训练3如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD.求证：（1）AQ∥平面CEP；（2）平面AEQ⊥平面DEP.解析（1）如图，连接PQ，因为四边形ABCD为矩形，且P，Q分别为线段AB，CD的中点，则PQ⊥AB.易知PA，PQ，PE两两垂直，以P为坐标原点，分别以PA，PQ，PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝2，PE＝a，则P（0，0，0），A（1，0，0），Q（0，1，0），E（0，0，a），C（－1，1，0），D（1，1，0）.所以AQ＝（－1，1，0），PC＝（－1，1，0），所以AQ∥PC，即AQ∥PC.（证明平面外直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行）又AQ⊄平面CEP，PC⊂平面CEP，（注意说明前提条件）所以AQ∥平面CEP.（2）由（1）知PD＝（1，1，0），PE＝（0，0，a），因为AQ·PD＝（－1，1，0）·（1，1，0）＝－1＋1＝0，所以AQ⊥PD，即AQ⊥PD.因为AQ·PE＝（－1，1，0）·（0，0，a）＝0，所以AQ⊥PE，即AQ⊥PE.（证明直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直）又PD∩PE＝P，PE，PD⊂平面DEP，所以AQ⊥平面DEP，又AQ⊂平面AEQ，（注意说明前提条件）所以平面AEQ⊥平面DEP.1.[命题点1/2024北京市陈经纶中学模拟]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x＝12，y＝1解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为点E为上底面A1C1的中心，所以A1E＝12（A1B1＋A1D1）AA1＋A1E＝AA因为AE＝AA1＋xAB＋y所以x＝y＝122.[命题点1，2]已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ＝657解析因为a，b，c共面，所以设a＝xb＋yc，故（2，－1，3）＝x（－1，4，－2）＋y（7，5，λ），即－x+7y=2，3.[命题点3]如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.解析如图，以C为原点，CD，CB的方向分别为x轴、y轴正方向，过点C作底面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则AD∥z轴.设CD＝a，因为P为BM的中点，AQ＝3QC，所以D（a，0，0），A（a，0，2），M（a，0，1），B（0，8－a2，0），P（a2，8－a22，12），Q（a4，0，12），所以PQ又平面BCD的一个法向量n＝（0，0，1），所以PQ·n＝0，又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.学生用书·练习帮P3391.以下各选项中的三个向量，不能构成空间基底的是（A）A.a＝（1，0，0），b＝（0，2，0），c＝（12，－2，0B.a＝（1，0，0），b＝（0，1，0），c＝（0，0，2）C.a＝（1，0，1），b＝（0，1，1），c＝（2，1，2）D.a＝（1，1，1），b＝（0，1，0），c＝（1，0，2）解析若空间三个向量a，b，c能构成空间的一个基底，则向量a，b，c不共面，对于选项A，因为a＝（1，0，0），b＝（0，2，0），c＝（12，－2，0），则c＝12a－22b，即向量a，b，c共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底.选项B，C，2.已知直线l1的一个方向向量a＝（2，4，x），直线l2的一个方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是（A）A.－3或1 B.3或－1C.－3 D.1解析∵｜a｜＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4.∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－12x.∴当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1.∴x＋y3.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2），且（a＋2b）∥（2a－b），则（B）A.x＝13，y＝1 B.x＝12，y＝C.x＝2，y＝－14 D.x＝1，y＝－解析由题意知，a＋2b＝（2x＋1，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2）.∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在实数λ，使a＋2b＝λ（2a－b），∴2x+1=4.[多选/2024广东佛山一中校考]下列关于空间向量的命题中，正确的有（BD）A.直线l的一个方向向量是a＝（0，3，0），平面α的一个法向量是u＝（0，－5，0），则l∥αB.若a，b，c可构成空间的一个基底，则向量a＋b，b＋c，c＋a也可构成空间的一个基底C.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥cD.若OA，OB，OC可构成空间的一个基底，且OD＝13OA＋13OB＋13OC，则A，解析对于A，直线l的一个方向向量为a＝（0，3，0），平面α的一个法向量是u＝（0，－5，0），此时a＝－35u，所以l⊥α，故A对于B，因为a，b，c可构成空间的一个基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得m＝xa＋yb＋zc＝x＋y－z2（a＋b）＋y＋z－x2·（b＋c）＋x＋z－y2（a＋c对于C，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c关系不定，有可能平行，故C错误；对于D，若OA，OB，OC可构成空间的一个基底，且OD＝13OA＋13OB＋13OC，13＋13＋13＝1，易知A，B，5.[2024浙江台州模拟]如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AP＝a.若D是棱PC上的点，满足PD＝13PC，且AD⊥PB，则a＝2.解析因为PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC，又AB⊥BC，故PA，AB，BC两两垂直，以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，平行于BC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，a），因为PD＝13PC，所以D（23，23，23a），因为AD⊥PB，所以AD·PB＝（23，23，23a）·（0，2，－a）＝43－23a6.[2024辽宁省部分名校联考]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P是空间内的动点，且｜PB＋PD1｜＝23，则AP·PB的最大值为（BA.－8 B.－4＋26 C.13 解析如图，连接BD1，取BD1的中点M，连接PM，则PB＋PD1＝2PM，则｜PB＋PD1｜＝｜2PM｜＝23，即｜PM｜＝3，故动点P的轨迹为以M为球心，3为半径的球.由正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，可知正方体ABCD－A1B1C1D1外接球的半径为3，故动点P的轨迹为正方体ABCD－A1B1C1D取AB的中点N，连接PN，MN，则AP·PB＝－（PN＋NA）·（PN＋NB）＝－（PN＋NA）·（PN－NA）＝NA2－PN2＝1－由题可知，｜MN｜＝2，则3－2≤｜PN｜≤3＋2，5－26≤｜PN｜2≤5＋26，则－4－26≤1－PN2≤－4所以AP·PB的最大值为－4＋26，故选B.7.[多选/2024浙江联考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点），若D1M⊥MN，则下列命题正确的是（AD）A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MCC.线段BN长度的最大值为1D.三棱锥D1－A1C1M体积不变解析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），D1（0，0，2），设M（2，a，0），N（2，2，b），a，b∈（0，2），则D1M＝（2，a，－2），MN＝（0，2－a，b），又D1M⊥MN，所以D1M·MN＝a（2－a）－2b＝0，得b对于A，A1M＝（0，a，－2），所以A1M·MN＝a（2－a）－2b＝0，故A1M⊥对于B，C（0，2，0），MC＝（－2，2－a，0），MN·MC＝（2－a）2≠0，所以MN与MC不垂直，则MN不垂直于平面D1MC，故B错误；对于C，B（2，2，0），｜BN｜＝b＝a（2－a）2＝－12（a－1）2＋12，a∈（0，2），所以当a＝1时，对于D，VD1－A1C1M＝VM－A1C1D1＝13×SA1C18.[多选/2024广东清远模拟]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面BB1C1C内（不含边界）的动点，则（AC）A.D1O⊥ACB.存在点P，使得D1O∥B1PC.三棱锥A－D1DP的体积为4D.若D1O⊥PO，则C1P的最小值为85解析以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），O（1，1，0），设点P（x，2，z），其中0＜x＜2，0＜z＜2.对于A选项，AC＝（－2，2，0），D1O＝（1，1，－2），则AC·D1O＝－2＋2＝0，所以D1O⊥对于B选项，B1P＝（x－2，0，z－2），D1O＝（1，1，－2），若B1P∥D1O，则x－21＝01＝z－2－2，解得x＝z＝2，不符合题意，所以不存在点对于C选项，S△ADD1＝12×22＝2，点P到平面ADD1的距离为2，所以VA－DD1P＝V对于D选项，OP＝（x－1，1，z），若D1O⊥PO，则D1O·OP＝x－1＋1－2z＝x－2z＝0，可得x＝2由0<z<2，0<2z<2，所以C1P＝x2＋（2－2）2＋（z－2）2＝9.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求线段AC1的长；（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；（3）求证：AA1⊥BD.解析（1）设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.因为AC1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，所以｜AC1｜＝｜a＋b＋c｜＝（a＋b（2）设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝｜cos＜AC1，A1D＞因为AC1＝a＋b＋c，A1D＝所以AC1·A1D＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22｜A1D｜＝（b－c）2＝｜b｜2－故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147（3）因为AA1＝c，BD＝b－所以AA1·BD＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝（－1）－（－1）＝所以AA1⊥BD，即AA1⊥BD10.[2024辽宁省辽东教学共同体联考]如图，已知四棱锥P－ABCD的