2025高考备考数学知识点第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1.（2）商的关系：tanα＝sinαcosα（α≠π2＋kπ，（3）公式常见变形：sin2α＝1－cos2α；sinα＝±1－cos2α；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α+1，cos2注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα②－sinα－sinα③sinαcosα④cosα余弦cosα⑤－cosαcosα⑥－cosαsinα⑦－sinα正切tanα⑧tanα－tanα⑨－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（AA.－1213 B.－513 C.513 解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin22.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sinθ＋cosθsinθA.－1 B.－3 C.－12 D.解析因为tanθ＝－2，则sinθ＋cosθsinθ＝1＋1tanθ3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθ B.cos（3π2＋θ）＝－C.sin（3π2－θ）＝－cosθ D.cos（θ－π2解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ4.sin1050°＝－12解析sin1050°＝sin（－30°）＝－125.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋α）＋sin（π－解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋α）＋sin（π－α）cos（3学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73 B.C.54 D.解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinθcosθ1＝sin2θ（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－5解析由tanθ＝sinθcosθ＝12，sin2θ＋cos2θ=1，且方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin2α＋cos2α＝1和tanα＝sinαcosα，可以解决sinα，cosα，（2）利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以解决sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tanα＝sinαcosα可以实现角α训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sinθ＋cosθ＝713，则下列结论正确的是（BDA.θ∈（－π，－π2） B.cosθ＝C.tanθ＝512 D.sinθ－cosθ＝－解析由sinθ＋cosθ＝713可得，cosθ＝713－sin则（713－sinθ）2＋sin2θ＝1解得sinθ＝1213或sinθ＝－5由θ∈（－π，0），可得sinθ＝－513，cosθ＝1213，故由sinθ＝－513＜0，cosθ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以（－π2，0），故Atanθ＝sinθcosθ＝－sinθ－cosθ＝－513－1213＝－1713，故D正确命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝15sin（x＋π3）＋cos（x－π6）的最大值为（A.65 B.1 C.35 解析因为cos（x－π6）＝cos[（x＋π3）－π2]＝sin（x＋π3），所以f（x）＝65sin（x＋π3），所以（2）[北京高考]若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cosx同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cosx取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cosx，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π2sin（5π3－θ）的值为－1解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（－3cos（π6－θ）＝－（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－αtan2（π－α）的值为－916解析原式＝－sin（3π2＋α）cos（3π2－α）sinαcosα·tan2α＝－cosαsinαsinαcosα·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－αA.52 B.－52 C.53 解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）＝1－cos2（α＋π3）＝1－（－23）2＝53，所以tan（α＋π3）＝sin（α＋π3）cos（α＋（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－1－（解法二因为θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，所以θ＋cos（θ＋π4）＝45，所以tan（θ－π4）＝sin（θ－π4方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M（2，4）在角α终边上，则sin3（π－α）＋cosA.23 B.32 C.－35 解析由题意可得tanα＝2，所以原式＝sin3α＋cos3αsin1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sinθ－cosθ＝33，则tan2θ＝（DA.223 B.255 C.－22解析由sinθ－cosθ＝33，得1－2sinθcosθ＝13，∴sinθcosθ＝13，∴（cosθ）2＝1＋2sinθ·cosθ＝53∵θ是第一象限角，∴sinθ＋cosθ＝153解法一易得sinθ＝3（5+1）6，cosθ＝3（5∴tan2θ＝2×5+15－1÷[1－（5+15－解法二易得sinθcosθ＝13，∴sin2θ＝2∵sinθ－cosθ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角∴π2＜2θ＜π∴cos2θ＝－53，∴tan2θ＝－252.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cosα3－sinα，则sin（2α＋π2）＝A.23 B.13 C.89 解析因为tanα＝cosα3－sinα，所以即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝7故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，π），则1－2sin（π＋θ）sin（3A.sinθ－cosθ B.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ） D.sinθ＋cosθ解析1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝1－2sinθcosθ＝（sinθ－cosθ）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π22.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（BA.－45 B.45 C.－35 解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα3.[2024江西联考]已知sin（α＋π3）＝－14，则cos（α＋5π6）＝（A.－14 B.14 C.154 解析因为sin（α＋π3）＝－14，所以cos（α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin（α＋4.[2024内蒙古包头模拟]若tanα＝2，则sinα（sinα＋cosα）＝（D）A.25 B.35 C.45 解析sinα（sinα＋cosα）＝sin2α＋sinαcosαsin5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan（π2－θ）＝43，则cos（θ＋π2）＝（A.－45 B.－35 C.35 解析tan（π2－θ）＝sin（π2－θ）cos（π2－θ）＝∴sinθ＜0，cosθ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－35，cosθ＝－45，∴cos（θ＋π－sinθ＝35.故选6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos（α＋10°）＝13，则tan（170°－α）＝（AA.－22 B.22 C.－2 D.2解析因为α为第一象限角，且cos（α＋10°）＝13＞0，所以α＋10°sin（α＋10°）＝1－cos2（α+10°）＝1－（13）2＝223，可得tan（α＋10°）＝sin（α+10°）cos（α+10°）＝22，则tan（170°－α）＝tan[180°－7.[多选]在△ABC中，下列结论正确的是（ABC）A.sin（A＋B）＝sinC B.sinB＋C.tan（A＋B）＝－tanC（C≠π2）D.cos（A＋B）＝cosC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，A正确.sinB＋C2＝sin（π2－A2）＝cosA2，B正确.tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanC（C≠π2），C正确.cos（A＋B）＝cos（π－C）8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC中，3sin（π2－A）＝3sin（π－A），cos－3cos（π－B），则△ABC为直角三角形解析在△ABC中，由3sin（π2－A）＝3sin（π－A），得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又A∈（0，π），∴A＝π6，又cosA＝－3cos（π－B），∴32＝3cosB，即cosB＝12，又B∈（0，π），∴B＝π3，∴C＝π－9.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），则tanθ＝－43；2sinθcos解析因为sinθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），所以（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝－1225＜0，所以sinθ＞0，cosθ＜0.由sinθ＋cosθ＝15，sin2θ＋cos2θ=1，得25sin2θ－5sinθ－12＝0，解得sinθ＝45或sinθ＝－35（舍去），所以sinθ＝45，cosθ＝－35，所以tanθ＝－43.（或sinθ－cosθ＞0，（sinθ－cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ－2sin解法一2sinθcosθ+2sin2θ1－tan解法二2sinθcosθ＋2sin2θ＝2sinθcosθ+2sin2θsin2θ＋cos10.设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2024）＝1，则f（2025）＝（D）A.1 B.2 C.0 D.－1解析f（2024）＝asin（2024π＋α）＋bcos（2024π＋β）＝asinα＋bcosβ＝1，f（2025）＝asin（2025π＋α）＋bcos（2025π＋β）＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＝－asinα－bcosβ＝－（asinα＋bcosβ）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数