高中数学数学命题知识点总结

高中数学数学命题知识点总结

一、命题的基本概念

命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。也就是说，判断一

个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可

以判断真假”这两个条件。

真命题：判断为真的语句叫做真命题。

假命题：判断为假的语句叫做假命题。

命题的否定：就是对命题的结论加以否定。

二、四种命题的概念:

原命题逆命题否命题逆否命题

若p,则q若心则户若「乙贝…若则r。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是

另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫

做互逆命题。

一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原

命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是

另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个

命题叫做互否命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题

叫做原命题的否命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是

另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命

题叫做互为逆否命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命

题叫做原命题的逆否命题。

四种命题的相互关系图

原命题逆命题

若p则q若q,则p

j互

否

否I

否命题逆否命题

若「p,则1d互逆若「q,则「p

三、充分条件和必要条件的概念

1、若人,我们就说p是q的充分条件，9是2的必要条件。

2、一般地，如果既有广=口，又有,就记作户oq。此

时，我们说。是0的充分必要条件，简称充要条件。

3、一般地，

若pnq,但qW>p,则称p是q的充分但不必要条件；

若pW>q,但qnp,则称p是q的必要但不充分条件；

若pW>q,且qW>p,则称p是q的既不充分也不必要条

件。

四、重要结论

1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命

题等价；否命题与逆命题等价。

2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为

集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。

3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。

典型例题

知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系

例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

(1)空集是任何集合的子集；

(2)若整数。是素数，贝心是奇数；

(3)2小于或等于2；

(4)对数函数是增函数吗？

(5)2r<15；

(6)平面内不相交的两条直线一定平行；

(7)明天下雨。

分析：本题考查命题的概念以及命题真假的判定。判断一个

语句是不是命题关键看它是否符合"是陈述句"和"可以判断真

假”这两个条件。命题的判定条件：①是否为陈述句，②是否

可以判定真假，只要抓住这两个条件就可以判断语句是不是

命题了。

解析：(1)首先该语句是陈述句，能判定真假，所以是命

题。再根据集合的有关知识，可以判定该命题是真命题。

(2)该语句是陈述句，能判定真假，是命题。由于素数是大

于1,且只能被1及其本身整除的整数，但不一定是奇数，例

如2是素数，但是偶数，所以是假命题。

(3)该语句是陈述句，能判定真假，是命题。而且我们知道

2不大于2,因此是真命题。

(4)该语句不是陈述句，因此不是命题。

(5)该语句虽然是陈述句，但不能判定真假，因此不是命

题。

(6)该语句是陈述句，能判定真假，是命题。结合平面内的

两直线的位置关系分析，显然是真命题。

(7)该语句虽然是陈述句，但不能判定真假，因此不是命

题。

例2、将下列命题改写成“若乙则0”的形式。

(1)两条直线相交有且只有一个交点；

(2)对顶角相等；

(3)全等的两个三角形面积也相等。

分析：考查命题的改写。先找到原命题的条件和结论，再将

其改写为“若……，则……”的形式。

解析：(1)若两条直线相交，则它们有且只有一个交点。

(2)若两个角是对顶角，则它们相等。

(3)若两个三角形全等，则它们的面积相等。

例3、证明：若p2+q2=2,则p+qW2。

分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑将其转化为

对它的逆否命题的证明。将“若p2+q2=2,则p+qW2”

视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆

否命题“若p+q>2,则p2+q2^2”为真命题，从而达到

证明原命题为真命题的目的。通过证明可以看出，原命题的

逆否命题为真命题，从而证明出原命题为真命题。由于原命

题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个

命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命

题，来间接地证明原命题为真命题。

证明：若p+q>2,则

22

p2+q2-2[(p—q)2+(p+q)2]25(p+q)2>

2

2X22=2

所以p2+q2/2。(原结论成立)

例4、写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它

们的真假。

(1)函数"N-3X+2有两个零点；

(2)若a>b,则a+c>b+c；

(3)若/+/=。，则XT全为0。

分析：本题考查四种命题的表示，以及它们真值的判定。先

将每个命题都改写为“若……则……”的形式，再结合四种

命题的定义进行书写。要写出四种命题，关键是先把原命题

写为“若……则……”的形式。

解析：(1)若函数y=/-3x+2,那么这个函数有两个零点。

逆命题：若一个函数有两个零点，那么这个函数为

y=7-3x+2。假命题

否命题：若函数不是y=7—3x+2,那么这个函数没有两个零

点。假命题

逆否命题：若一个函数没有两个零点，则这个函数不是

y=--3x+2。真命题

(2)直接根据命题的定义写出即可。注意到“大于”的否定

是“小于等于”即可。4个命题都真

(3)同理可以写出，注意到“全”的否定为“不全”，等于

的否定为“不等于"。4个命题都真。

总结：

1、会判定命题的真假，并能把命题改写为“若……则……”

的形式。同时能体会互为逆否命题的两个命题真值相同的运

用。

2、四种命题中真值的个数为偶数0,2,4O

知识点二：充分条件和必要条件的判定和运用

例5、下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是

q的充分条件？q是p的必要条件？

(1)若x=1,则x2—4x+3=0；

(2)若f(x)=x,则f(x)为增函数；

(3)若x为无理数，则x2为无理数。

分析：本题考查充分、必要条件的判定。要判断p是否是q

的充分条件，就要看从p能否推出q。如果要否定一个结

论，只要举出一个反例即可。

解析：命题(1)(2)由条件都能推出结论，因此满足p是

q的充分条件的要求，且q是p的必要条件。命题(3)不满

足p是q的充分条件，但q是p的必要条件。

例6、从“="、与中选出适当的符号填空：

(1)；

(2)b;

(3)a'—2a8+右2=0a=b；

(4)AQ0^A=0O

分析：考赢号“=”、与“=”的正确使用。利用

集合的思想来判定两者的关系。该例题也可运用数轴法，不

等式的性质，以及集合的关系直接判定。同时要明确若要否

定一个命题，只需举出一个反例即可。

解析：第(1)小题，如x=-0.5,满足已知但不能推

出故填力。

11

第(2)小题，已知如0>—1,则就不能推出故

填小。

第(3)小题，a?-2或+/=00("炉=0oa=》，故填写Q。

第(4)小题，4=0说明集合A是空集的子集，则集合中只

有其本身，故选力=0,故填

例7、指出下列各组命题中，夕是4的什么条件(在“充分不

必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必

要”中选一种作答)

(1)在LABC中，p.A>Bf<7:sin-4>sinB

(2)对于实数xj,「：工+"8,q:xw2或尸6

(3)在4Ase中，，sin工〉sinB,:tan-4>tan5

(4)已知3eK,p:。-1尸+0-2)2=0,g:(x-l)。-2)=0

分析：本题考查对充分条件与必要条件概念的判定。可根据

“若P贝IJq”与“若q则P”的真假进行判断。

a_b

解析：(1)在2L4BC中，有正弦定理知道：藐1=嬴7

sin2>sin8=a>8又由a>3=4>8

所以，sinH>sin8=H>B即P是4的的充要条件。

(2)因为命题“若x=2且丁=6,则"丁=8"是真命题，故

「qn「p,命题“若x+y=8,则X=2且y=6”是假命题，故

「P不能推出「q,所以「q是「P的充分不必要条件，即P

是自的充分不必要条件。

(3)取力=120•乃=30・，■不能推导出4；^^=30',5=120-,q

不能推导出P,所以，P是4的既不充分也不必要条件。

(4)因为尸={。,2)},。={(")|*=1或>=2},与。，

所以，户是4的充分非必要条件。

小结：以上各小题采用的是直接利用定义由原命题判断充分

条件与必要条件的方法。那么，如果由命题不能很好判断的

话，我们可以换一种方式，即根据互为逆否命题的等价性，

利用它的逆否命题来进行判断。

'&+户>4fa>2

例8、判断方程组i购>4是3>2的什么条件？并说明理

由。

分析：本例题考查结合不等式的性质进行条件的逻辑判定。

a+j8>4（a>2

设p：i刖>4,q：U>2,结合充分条件和必要条件的定义

判定。

a>2fa+j8>4

解析：i户>2=j购>4,但反之却不一定成立。例如取a=

oc+|