高中数学圆锥曲线方程知识总结

高中数学圆锥曲线方程知识总结

一、椭圆方程及其性质.

|尸产1|+|尸尸2〔=2。a尸2I方程为椭圆,

1.椭圆的第一定义：|叫+忸尸2|=2"|尸|尸2|无轨迹，

|尸局+|P%|=2a=昌尸21以西，尸2为端点的线段

椭圆的第二定义：M=|PF|点夕到定点少的距离，d为点〃到直线,

的距离

其中夕为椭圆焦点，/为椭圆准线

22

二+夫=1（。>〃>0）工"+/=l（a>〃>0）

椭圆方程a

y

B

图形特征乂）

*耳X

X

B、

范围\x\<a,\y\<b121y

顶点（土aQ）«O,±Z"

几隹占

八、、八、、（土c,O）（O,土c）

何

准线Ty=±4

性

质对称性关Tx釉、环卜、原点对称关于x轴、y轴、原点对称

长轴长|短轴长|

长短轴AA2|=2a,B|=2b长轴长|AA2|=2a,短轴长|耳居1=2b

离心率e=—（0<e<l）e=—（0<e<1）

aa

焦半径\MFx\=a+exa，\MFi\=a-exn1MF\=a+eyo，|MF\=a-eyo

①椭圆的标准方程：鸟+4=1的参数方程为（OY”9）（现在了解,

a2b2[y=bsm02

后面选修4-4要详细讲）.

②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为手

③设椭圆：片+片=1上弦4夕的中点为以吊，加，则斜率七广―1五，对椭圆:

/b21%

=1,则的-龄.弦长|明=音

92

⑸若P是椭圆：，+==1上的点.尸1，尸，为焦点，若4%=夕，则AP%%的面积

ab1

为/tang（可用余弦定理与|PFj+|"2|=2a推导）.若是双曲线，则面积为总.

二、双曲线方程及其性质.

仍尸卜归%卜2ay|广岛|方程为双曲线

1.双曲线的第一7E义：仍-卜明||=2"旧户2|无轨迹

||「尸||-四2卜2。=旧尸2|以片，尸2的一个端点的一条射线

双曲线的第二定义：萼Le,|PF|点尸到定点厂的距离，d为点夕到直线

a

/的距离

其中分为双曲线的焦点，/为双曲线的准线

2.双曲线的简单几何性质：

2222

标准方程—z=1(6t>0,Z?>0)5=1(a>0,b>0)

ab~ab"

图小

象

a,b,c美

a2+b2=c2

系

范

\x\>a,yeR\y\>a,xeR

围

顶

(±«,0)(0,土a)

/占、、、

对称

关于轴成轴对称、关于原点成中心对称

性

渐近

,a

y=±%y=±—x

线ab

离心

e=-(>1)

率a

隹

八、\

F(±c,O)F(O,±c)

占

/、、、

a2a2

准线x=±—y=±—

cc

等轴双曲线：wo）,它的渐近线方程为y=±x,离心率

e—41.

2222

注：①双曲线标准方程：「-二=13"0）,三-与=13"0）.

a2b2a2b2

参数方程：f4/或F=6tanf.（现在了解，后面选修4-4要详细讲）

[y=btanu[y=asec夕

2

②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为也

a

22

③焦半径：对于双曲线方程1-彳=1（Fj,分别为双曲线的左、右焦点或上、

a2b2

下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要符号计算，而

双曲线不带符号）

|：：|：：；：构成满足ET一谓：・

④设双曲线E-4=i：上弦"的中点为欣的,如）,则斜率的耳无，对双曲

aba"y0

线：则342.弦长|阴=Vi*/

abby。口|

2222

⑤常设与二一与=1渐近线相同的双曲线方程为「一与=心

Q-bab”

常设渐近线方程为以土〃y=0的双曲线方程为疝x2_〃2y2=2卜

例如：若双曲线一条渐近线为尸］且过p（3,_f,求双曲线的漫？3/

⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b一;J〉qJ

⑦直线与双曲线的位置关系：/A

将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项X数和△

三、抛物线方程及其性质.

抛物线的定义：\PF\=d,附为点〃到定点少的距离，d为点〃到直线）的距

离

其中分为抛物线的焦点，/为抛物线的准线

设“0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

y2=2px/=-2pxx2=2pyx2=-2py

一

图形LJ

一

L___

13^71

隹占Y,。）尸呜）尸（。苫）

八、、/、、、哼0）

准线X-£X=T

=—~22

范围x>0,yeRxe/?,y>0不£尺”0

对称轴》轴y轴

顶点(0,0)

离心率e=l

焦半径阀若+8H=f+hl阀=>1川

注：①抛物线通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

②V=2px（或/=2py）的参数方程为（或］:f）（/为参数）.

（现在了解，后面选修4-4要详细讲）

4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）

如图所示，抛物线方程为y=2"（P>0）.

（1）焦半径

设4点在准线上的射影为4,设前为,力），准线方程为x=—（由抛

物线定义\AF\=\441=为+*抛物线上任意一条弦的弦长为717淳在

21«1

⑵关于抛物线焦点弦的几个结论

设/方为过抛物线”=2px（0>0）焦点的弦，4（乂，必）、B（X2,㈤，初中

夕2

点为“（为,%）,直线48的倾斜角为0,则①为而=X,7%2时，

有X]+々=P+2P

②阿=三？3=为+冬+产22+,（西—），3jS…磊

③以4夕为直径的圆与准线相切；

④焦点少对/、〃在准线上射影的张角为90°；

⑤I用|+^[=彳

四、圆锥曲线的统一定义..

4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线/的距离之比为常数e的

点的轨迹.

当OYeYl时一，轨迹为椭圆；当e=l时一，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲

线；当e=O时，轨迹为圆（e=£,当c=O,a=〃时）.

a

5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与

双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证

AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆双曲线抛物线

1.到两定点Fi,F2的距离1.到两定点Fi,F2的距

之和为定值离之差的绝对值为定值

定义2a（2a>|FRl）的点的轨迹2a（0<2a〈|FE|）的点的

轨迹

2.与定点和直线的距离2.与定点和直线的距与定点和直线

之比为定值e的点的轨离之比为定值e的点的的距离相等的

迹.（0<e<l）轨迹.（e>l）点的轨迹.

标2222

+=1{a>h>0)^-4=1(a>0,b>0)y2=2px

a'b-

方准

方

程

程[x=acos0[x=asecff

参[y=bsin0[y=btan0卜=铲广（t为

[y=2p/

(参数以离心角)(参数以离心角)

数

参数）

方

程

范围-a<x<a,-b<y<b)x|>a,yeRx>0

中心原点0(0,0)原点0(0,0)

顶点(a,0),(—a,0),(a,0),(—a,0)(0,0)

(0,b),(0,—b)

对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短x轴，y轴；实轴长2a,x轴

轴长2b虚轴长2b.

隹占嘴，o）

八、、/、、、E(c,0),F2(—c,0)F.(c,0),F2(—c,0)

焦距2c(c=V«2-b2)2c(C=+02)

离心率e=£(0<e<l)e=—(e>\)e=l

aa

准线a2a2x=~—

x二土一x二土一2

1b

渐近线y二土-x

a

焦半径r=a±exr-±(ex±a)r=x+—

2

通径2b22b2

a

2p

导数的基础知识

一.导数的定义：

1.(1).函数产/((在x=/处的导数:/5)=y=lim""。+醺)一「(龙。)

°Ax->oAr

(2).函数y=/(x)的导数:尸(x)=y，=lim弱一-⑴

20Ax

2.利用定义求导数的步骤：

①求函数的增量：Ay=/(x°+Ax)-/(x°)；②求平均变化率：丝=/心+一)一/&);

AxAx

③取极限得导数：/(x0)=lim包

ArTOAr

(下面内容必记)

二、导数的运算：

(1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：

[_____fnin_.

①C'=O(C为常数)；②3)=%"T；(―),=(%-")'=-«x-n-'；(VF),=(x7)'=-x7

x"n

③(sinx)，=cos%;(4)(cosx)'=-sinx⑤(e)=e"⑥(a)=优ln〃(。>0,且〃w1)；

⑦(Inx)，=L⑧(logwx\=---(a>0,且。*1)

xx\na

法则1:[f(x)土g(x)]1=尸(x)土g,(x);(口诀：和差的导数等于导数的和差).

法则2："(%).g(%)1=/(%).g(x)+/(%)H(x)(口诀：左导右不导+左不导右导)

法则3：[△2]，J'(x>g(x)/*)g(x)(g(x)/o)

g(x)[ga)r

(口诀：(上导下不导-上不导下导)+下平方)

(2)复合函数y=/(g(x))的导数求法：(理科必须掌握)

①换元,令M=g(x),则>"(")②分别求导再相乘y=[g(X)H/3)]'③回代

〃=g(x)

题型一、导数定义的理解

题型二：导数运算

1、已知/(%)=x2+2x-sin=,则/'(0)=

2、右/(x)=exsinx，则f(-^)=

3.f{x)=ax+3x+2,//(-I)=4,贝！Ja=()

A.W小C”D"

3333

三.导数的物理意义

1.求瞬时速度：物体在时刻小时的瞬时速度％就是物体运动规律S=/(r)在

t=t0时的导数r&),即有％=/'(幻。

2.V=S〃)表示即时速度。a=V«)表示力「速度。

四.导数的几何意义：

函数“X)在4处导数的几何意义，曲线y=/(x)在点P(x°J(x。))处切线的斜

,

率是左=J"(%0)。于是相应的切线方程是：y-j0=/(A0)(X-X0)o

题型三.用导数求曲线的切线

注意两种情况：

(1)曲线y=在点P(XoJ(x。))处切线：性质：上切线=/”优)。相应的切线方

程是：＞-%=/'伉)(％-不)

(2)曲线y=过点P6,%)处切线(有可能点尸不在曲线上)：先设切点,

切点为Q(a,份，则斜率k=/(a),切点。(a,b)在曲线y=/(x)上，切点Q(a,份在

切线y-y()=/'(a)(x-Xo)上，切点Q3,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组，

解方程组来确定切点，最后求斜率k=/(a),确定切线方程。

例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；

解析：(1)卜=了屋。=3*02+6*0+6=3%+1)2+3当*0=-1时，k有最小值3,

此时P的坐标为(T,T4)故所求切线的方程为3x-yTl=0

五.函数的单调性：设函数y=/(x)在某个区间内可导，

(1)/(x)>On/(x)该区间内为增函数；

(2)/(x)<On/(x)该区间内为减函数；

注意：当r3在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，/(x)

在这个区间上仍是递增(或递减)的。

(3)/(幻在该区间内单调递增n尸(x)NO在该区间内恒成立；

(4)/(x)在该区间内单调递减n1(x)«0在该区间内恒成立；

题型一、利用导数证明(或判断)函数f(x)在某一区间上单调性：

步骤：(1)求导数y'=f'(x)

⑵判断导函数了=/3在区间上的符号

⑶下结论

①/(x)>On/(x)该区间内为增函数；②尸(x)<On/(x)该区间内为减函数；

题型二、利用导数求单调区间

求函数y=/(x)单调区间的步骤为：

(1)分析y=/(x)的定义域；(2)求导数y'=f'(x)

(3)解不等式_f(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间

(4)解不等式尸(无)<0,解集在定义域内的部分为减区间

题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)

思路一.(1)f(x)在该区间内单调递增一尸(幻20在该区间内恒成立；

(2)/(x)在该区间内单调递减nr(x)<0在该区间内恒成立；

思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增

或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

注意：若函数f(x)在(a,"上为减函数，在(c,力)上为增函数，则x=c

两侧使函数/，(X)变号，即x=c为函数的一个极值点，所以/(c)=0

例题.若函数/(x)=叱，若a=/(3),6=/(4),c=/(5)贝!j()

x

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b

<a<c

六、函数的极值与其导数的关系：

1.①极值的定义：设函数/(X)在点X。附近有定义，且若对X。附近的所有的点

都有/(x)</(Xo)(或,则称/(飞)为函数的一个极大(或小)值，/

为极大(或极小)值点。

②可导数/(x)在极值卓X。处的导数为0(即1(无。)=0),但函数/(x)在某点%

处的导数为0,并不一定函数/(x)在该处取得极值(如/(x)=d在4=0处的

导数为。，但"X)没有极值)。

③求极值的步骤：

第一步：求导数/(X)；

第二步：求方程.(x)=0的所有实根；

第三步：列表考察在每个根X。附近，从左到右，导数广(X)的符号如何变化，

(用表格)

若尸(X)的符号左正右负，则/(X。)是极大值；

若广(X)的符号左负右正，则/(玉,)是极小值；

若尸(X)的符号不变，则/(%)不是极值，X。不是极值点。

2、函数的最值：

①最值的定义：若函数在定义域D内存不,使得对任意的xe。，都有

/(x)4/(Xo)，(或/(幻2/(/))则称/(%)为函数的最大(小)值，记作加=/(%)

(或Znin=/Uo))

②如果函数y=/(x)在闭区间3,切上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函

数在闭区间出,田上必有最大值和最小值。

③求可导函数f(x)在闭区间［a向上的最值方法：

第一步：求导数.(x);

第二步：求方程r(x)=0的所有实根

第三步：比较/(x)在方程r(x)=0的根处的函数值与/(a)、/(切的大小，最大

的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出

的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。

极值W最值。函数在区间向4上的最大值为极大值和、f㈤中

最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f㈤中最小的一个。

2.函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值；

极小值对应最小值)

3、注意：极大值不一定比极小值大。如/'(x)=x+，的极大值为-2,极小值为

X

2o

注意：函数y=/(x)在即处有极值=>/5)=0。但是，/(%)=0不能得到当x=x0

时一，函数有极值；

题型一、求极值与最值

题型二、导数的极值与最值的应用

题型三、导数图象与原函数图象关系

导函数原函数

f\x)的符号/(X)单调性

广㈤与X轴的交点且交点两侧异号/(X)极值

尸（X）的增减性f（x）的每一点的切线斜率的变化趋势

（/（X）的图象的增减幅度）

/（X）的增/（X）的每一点的切线斜率增大（/（X）的图

象的变化幅度快）

/（X）减"X）的每一点的切线斜率减小（/（X）的图象的

变化幅度慢）

典型例题

例1.已知f（x）=e~ax~\.

（1）求的单调增区间；（2）若/在定义域R内单调递增，求a

的取值范围；

（3）是否存在a,使f⑨在（-8,0］上单调递减，在［0,+8）上单调

递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解：f\x）=e~a.（1）若aWO,ra）二犬-&导。恒成立，即f（x）在R上递

增.

若a>0,e-a^O,/.e^a,f⑴的单调递增区间为（Ina,+°°）.

（2）fGJ在R内单调递增,：.fM20在R上恒成立.

ex-a^O,即aWe'在R上恒成立.:.aW（芭）又,：eDO,:.aWO.

（3）由题意知，x=3为一㈤的极小值点.，/，（0）=0,即e-a=O,：,a=l.

例2.已知函数/㈤玄％小心行（7,曲线片在点x二1处的切线为-

y+l=O,若x=|时，片有极值.

（1）求a,6,c的值；（2）求在［-3,1］上的最大值和最小值.

解（1）由f（x）=/+a/+bx+c,得小）=3f+2ax+b,

当x=,时，切线/的斜率为3,可得2a+6=0

①

当x=|时，尸/1⑨有极值，则广自=0,可得4a+3b+4=0

②

由①②解得a=2,6=-4.由于切点的横坐标为

x=l,：.f⑴=4.1+a+b+c=4.c=5.

(2)由(1)可得f69天乜*一4方瓦/,(X)=3X2+4X-4,令ra)=0,得矛=-

2,x=-.

3

当x变化时，y的取值及变化如下表：

x-3(-3,-2)-21用|停1)1

y'+0-0+

单调递增单调递减单调递增

y8134

/\/

在［-3,1］上的最大值为13,最小值为今

例3.当%>0,证明不等式一上<ln(l+x)<x.

1+x

证明：/(x)=ln(x+l)———,g(x)=ln(x+l)-x,贝lj/(x)=——,