高中数学《函数的最大(小)值》导学案

第2课时函数的最大(小)值

卜课前白主预习

函数的最大值和最小值

1.最大值

(1)定义：一般地，设函数y=於)的定义域为/,如果存在实数M

满足：

①［H对于任意的都有心)WM

②②存在任£/,使得/Uo)=K

那么，称M是函数y=4r)的最大值.

(2)几何意义：囱函数y=/U)的最大值是图象最高点的纵坐标.

2.最小值

(1)定义：一般地，设函数y=«x)的定义域为/,如果存在实数M

满足：

①⑷对于任意的都有九

②5］存在xo£/,使得《ro)=M.

那么，称M是函数y=«x)的最小值.

(2)几何意义：国函数y=")的最小值是图象最低点的纵坐标.

H自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)任何函数都有最大值或最小值.()

(2)函数的最小值一定比最大值小.()

(3)函数1%)=一尤在［2,3)上的最大值为一2,无最小值.()

答案(1)X(2)X(3)J

2.做一做

(1)(教材改编P32T5)如图为函数y=/u),%£［—4,7］的图象，此函

数最大值为,最小值为.

⑵函数式在区间［1,5］上的最大值为，最小值为

*

1%+3,%<1,

(3)函数y=的最大值为_________.

［XIO9X1

答案(1)3-2(2)31(3)5

卜课堂互动探究

『释疑解难』

函数的最值和值域的区别与联系

(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的

是整个定义域.

(2)区别

①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；

②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数ZU)

=必对任意的％£R,都有1工)2—1,但是式幻的最小值不是一1,因

为一1不在大X)的值域内；

③对单调函数，若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数

的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

探究1利用图象求函数最值

pr2,—lWxWl,

例1（1）已知函数/（%）=<1求兀x）的最大值、最

匕，％”

小值；

（2）画出函数*的图象，并写出

1%2+2%—1,%£[0,+oo）

函数的单调区间，函数的最小值.

解（1）作出函数犬X）的图象（如图）.

由图象可知，当％=±1时，於）取最大值为加1）=1;当％=0时，

/%）取最小值90）=0,

故«x）的最大值为1,最小值为0.

（2y（x）的图象如图所示，“X）的单调递增区间是（一8,0）和[0,+

°°）,函数的最小值为<0）=-1.

拓展提升

图象法求最值的一般步骤

【跟踪训练1】求函数y=|%+l|一仅一2|的最大值和最小值.

r3(42),

解y=|x+l|一2|=j2%—1(—l<x<2),作出函数的图象,

、一3(%W—1).

由图可知，)£[—3,3].

探究2利用单调性求函数最值

4

例2求函数<%)=%+;在%£[1,3]上的最大值与最小值.

解解法一：图象法，可利用对勾函数图象求解.

44

解法二：设1W%IVQW3,则«XI)—«X2)=%I—X2+1一1=(为一

-A.142

又因为X\<X2,所以—%2<0.

4

当1WXI〈％2W2时，1—77<0,

所以人为)一/(九2)〉0,

所以/U)在口⑵上是减函数.

4

当2<%I<X2W3时，1—>0,

所以/Ui)—XX2)<0.

所以兀X)在(2,3］上是增函数.

_4

所以八工)的最小值为｛2)=2+1=4.

413

又因为<1)=5,A3)=3+3=y<KD,

所以/U)的最大值为5.

拓展提升

利用单调性求函数最值

(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当

函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.

(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进

行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.

【跟踪训练2］求函数丁=生在区间［1,2］上的最大值和最小

值.

解任取为，X2,且1WXI<X2W2,

贝M'D一於2)二各一号

一42-一为强+3强

⑶-3)(x2—3)

(%2—»)［3(%1+%2)一制12］

=(制一3)(X2—3)'

因为1VX2<2,

所以2<¥1+%2<4,

即6<3(%I+%2)〈12,又14I%2<4,X2~XI>0,

故於|)一於2)>0,即yi>>2,

所以函数旷=占在区间［1,2］上为减函数，

所以ymax=/(l)=—>min=A2)=—4.

探究3求二次函数的最值

例3(1)已知函数4%)=%2—2尤一3,若%£[0,2],求函数八%)的最

值；

(2)已知函数«r)=9-2x-3,若x£[/"+2],求函数«x)的最值；

(3)已知函数«¥)=%—2出一3,求函数/(%)的最值.

解(1广.函数/(%)=r—2%—3开口向上，对称轴％=1,

・・•/U)在。1】上单调递减，在“⑵上单调递增，且式0)=/(2).

.1■^)maX=/(0)=/(2)=-3,

凡X)min=/U)=-4.

(2)：对称轴％=1,

①当1力+2即W—1时,

A^)max=/0=Z2-2Z-3,

/U)min="+2)=F+2L3.

②当2Wl</+2,即一luWO时，

/U)max=/W=F_2，_3,

凡X)min=/(l)=-4.

③当口1<"；+2,即0<Wl时，

八%)max+2)=户+27—3,

凡X)min=/U)=—4.

④当l<t,即/>1时，

«X)max=Kf+2)=/2+27—3,

X^)min=J(t)=t2—2t—3.

设函数最大值为g(r),最小值为9。)，则有

t2—2t—3,/'W0,

g("—1-+2/—3,t>0,

12+2/—3,/W—1,

*)=<—4,—1<^1,

、户一2t—3,t>l.

(3)设出=/(/20),则%—2也一3=^—2/—3.

由(1)知丁=户一2，-3。20)在［0,1］上单调递减，在［1,+°°)上单调

递增，

...当£=1即％=1时，火%)min=-4,无最大值.

拓展提升

二次函数最值的求法

(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y=/U)

的草图，然后根据图象判断函数的单调性.特别要注意二次函数的对

称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问

题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系:

①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定

义域区间内.

【跟踪训练3］(1)已知函数凡x)=%4—2x2—3,求函数凡X)的最

值；

(2)求二次函数/(%)=/-2以+2在［2,4］上的最小值.

解(1)设则d—2f—3=P—2/—3.

、=产一2/—3«20)在［0,1］上单调递减,在［1,+8)上单调递增.

...当r=l即％=±1时，/(X)min=-4,无最大值.

(2)'.•函数图象的对称轴是％=4,

...当。<2时，7U)在［2,4］上是增函数，

.•0)min=A2)=6—4a

当a>4时，“X)在［2,4］上是减函数，

;&)min=犬4)=18—8a.

当2WaW4时，火%)min=A&)=2一层.

6—4a,a<2,

2

.\A%)min=<2—tz,2<aW4,

、18—8a,a>4.

探究4应用题中的最值问题

例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产

一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

]400x—^x2,0W%W400,

R(%)=J2其中％是仪器的月产量.

[80000,x>400,

(1)将利润表示为关于月产量的函数1AX)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元?

(总收益=总成本+利润)

解(1)月产量为x台，则总成本为(20000+100%)元，

-^+300^-20000,0W%W400,

从而/(%)=

60000-IOOJC,X>400.

(2)当0WxW400时，=-1(x-300)2+25000,

当％=300时，.")max=25000；

当％〉400时,共X)=60000—100x是减函数,犬光)<60000-100X400

=20000<25000.

二.当％=300时，X^)max=25000.

即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000

元.

拓展提升

解实际应用题的四个步骤

(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量

和因变量的条件关系.

(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.

(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意

自变量的取值范围）.

（4）回归：数学问题回归实际问题，写出答案.

【跟踪训练41某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水

池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，/小时内供水量为

80A顾吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水

池中水量最少？

解设，小时后，池中水量为y吨，

贝U>'=450+80/-80^20/=4（^20？-10）2+50,

当廊=10,即，=5时，ymin=50,

所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨.

1

f-----------------------1渊辘升------------------

1.求函数最大（小）值的常用方法

（1）值域.求出函数兀r）的值域，即可求其最值（注意必须确保存

在函数值里的最值）；

（2）单调性法.通过研究函数的单调性来求函数的最值；

（3）特殊函数法.利用特殊函数［如一次函数、二次函数、反比例

函数、函数的单调性来求其最值.

Ji

2.函数的值域与最大（小）值的区别

（1）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值

域的一个元素，即定义域中一定存在一个使（最值）.

（2）函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值，如y=

%在%£（—1,1）时无最值.

卜随堂达标自测

1.函数凡r）在［—2,+8）上的图象如图所示，则此函数的最大、

最小值分别为（）

A.3,0

B.3,1

C.3,无最小值

D.3,-2

答案C

解析观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3),从而其最

大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值.故选

C.

2.已知函数«x)=£-2,其中工£[0,2],这个函数的最大值和最

小值分别为()

A.-2和1B.2和一2

C.2和一1D.一1和2

答案B

解析•.•4%)=好一2,%£[0,2]是单调递增函数，

...ymax=犬2)=2,ymin=犬0)=-2.

3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)

分别为心=—%2+2£和£2=2%(其中销售量单位：辆).若该公司在

两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()

A.90万元B.60万元

C.120万元D.120.25万元

答案C

解析设公司在甲地销售％辆，则在乙地销售(15—%)辆，公司获

(⑼192

利为L——/+21%+2(15—%)=—%之+19%+30=—1%--^J2+30+-^-,

，当x=9或10时，L最大为120万元.

4.函数y=—f+6%+9在区间[a,上有最大值9,最

小值-7,则a=,b=.

答案一20

2

解析_y=—(X—3)+18,a<h<?>,

二.函数y在区间出，句上单调递增，即一"+68+9=9,

得。=03=6不合题意，舍去)，由一Q2+6Q+9=-7,

得a=-2(a=8不合题意，舍去).

5.已知二次函数y=x2-4x+5,分别求下列条件下函数的最小

值：

(l)xe[-l,0]；(2)%e[a,a+1].

解(1)'..二次函数y=x^-4x+5的对称轴为％=2且开口向上,

二.二次函数在工£[—1,0]上是单调递减的.

2

/.)7min=O—4X04-5=5.

(2)当时，函数在工£[a,。+1]上是单调递增的，

ymin=q2-4。+5；

当a+lW2即aWl时，函数在[a,a+1]上是单调递减的，)min=

(a+1)2—4(a+1)+5=/—2a+2；

当a<2<a~\~\即\<a<2时，)；min=22-4X2+5=1.

’a2—2。+2,

故函数的最小值为

4Q+5,-22.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

2

1.已知函数/U)=­(x£[2,6]),则函数的最大值为()

XJL

A.0.4B.1C.2D.2.5

答案C

2

解析:函数40=一二丁在[2,6]上是单调递减函数，.・式耳皿=/(2)

X1

2

2^=2.

2.已知函数八%)=仅|,则八%)的最大值为()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析根据函数图象可知，加0的最大值为3.

2x+6,x£[l,2],

3.函数於)=,1八则/U)的最大值、最小值分

x+7,1,1),

别为()

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不对

答案A

解析当1W%W2时，8W2%+6W10,当一1W%<1时，6W%+7

V8..\/U)min=A—l)=6,凡r)max=A2)=10.故选A.

4.已知函数y=/—2%+3在区间[0,河上有最大值3,最小值

2,则相的取值范围是()

A.[1,+8)B.[0,2]

C.(一8,2]D.[1,2]

答案D

解析由y=x2—2%+3=(%—1>+2知，当％=1时，y的最小值

为2,当y=3时，2%+3=3,解得％=0或%=2.由y=%2—2%+3

的图象知，当相£[1⑵时，能保证y的最大值为3,最小值为2.

5.若函数产内+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实

数。的值是()

A.2B.-2C.2或一2D.0

答案C

解析当。=0时，不满足题意；当。>0时，y=ox+l在[1,2]上

为增函数，所以2Q+1—(a+l)=2,解得。=2；当。<0时，y=ax+

1在［1,2］上为减函数，所以a+1—(2a+l)=2,解得a=-2,故a=

±2.

二、填空题

6.设函数y=/(x)的定义域为［—4,6］,且在区间［—4,—2］上递减，

在区间［—2,6］上递增，且八一4)勺(6),则函数«r)的最小值是,

最大值是.

答案八一2)犬6)

解析函数y=«r)在［-4,6］上的图象的变化趋势如图所示，观察

可知IA%)min=A-2).

又由题意可知八-4)勺(6),

故八)%max=/(6).

7.函数/(%)=:在［1,/S>1)上的最小值是"，则b=.

答案4

解析因为凡r)=；在［1,加上是减函数，所以八%)在［1,切上的最

小值为纲=(岩，所以6=4.

8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积