高中数学《排列组合的综合运用》考点讲解与训练

《6.2.3排列组合的综合运用》考点讲解

【思维导图】

优先安排特殊元素或特殊位置

相邻元素看作一整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列

V先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排

不相邻插空法尺列的空当中

卜全部排列后除以有顺序要求的排列

定序除法

定序排他法1有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可

间接法\正面分类太多从反面入手

排直排法工分排问题直排处理

列

组r可以重复的排列问题实际已元素为研究对象，元素不受位置限制,

重排求惠法

\可以逐一安排各个元素

合

常

多排问题直排法、元素分为多排的排列问题，可以看成一排问题，再分段研究

用

方

解题思路先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题

法

①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘

分组方法②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!

分组分配③完全非均匀分组，只要分组即可

①相同元素的分配问题，常用“挡板法”

②不同元素的分配问题，分步乘法计数原理，先分组后分配

③有限制条件的分配问题，采用分类求解.

将n个相同的元素分成m份，每份至少一个元素，可以用块隔板,

元素相同隔板法

插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C二

查字典法应从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分

数字排序查字典法

\类计数原理求出其总数

小集团问题先整体后局部

【常见考点】

考法一全排列

［例1］某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有（）

A.4种B.12种C.18种D.24种

【一隅三反】

1.2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组.现有四个医疗小组和

4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，

则不同的分配方法有（）

A.64种B.48种C.24种D.12种

2.将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）

A.50B.60C.120D.90

3.3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）

A.3种B.6种C.12利।D.5种

考法二相邻问题

【例2】某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相

邻的排法种数为（）

A.24B.36C.48D.60

【一隅三反】

1.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁、戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲

必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）

A.8种B.12种C.20种D.24种

2.5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

3.6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.

A.24B.120C.240D.140

4.把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人

至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）

A.96B.240C.280D.480

考法三不相邻问题

【例3】省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个

检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但

是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.

A.12B.24C.36D.48

【一隅三反】

1.3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为

（）

A.A；B.A：+A；C.A：禺D.耳

2.若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（）

A.12种B.14种C.5种D.4种

3.五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（）

A.B.£6C.2反反D.反反

4.某平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4

个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻

的学法有（）种.

A.24B.36C.72D.144

考法四分组分配

【例4】疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去

一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（）

A.60种B.90种C.150种D.240种

【一隅三反】

1.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停），

分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（）

A.24种B.36种C.81种D.256种

2.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为

本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1

名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）

A.24B.14C.12D.8

3.江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日〜13日在赣州举行，某旅游公司为推出

新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工

作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为

（）

A.60B.90C.150D.240

4.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗

小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（）

A.30B.60C.90D.180

5.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共

五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯

爵恰有两人的概率为（)

83

C.—D.-

255

考向五几何问题

【例5】如图，NMON的边上有四点4、&、A3、4，ON上有三点用、为、

员，则以。、A、4、A3、用、层、员中三点为顶点的三角形的个数为

C.54D.56

【一隅三反】

1.以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个

A.70B.64C.60D.58

2.在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为

（）

A.32B.15C.16D.31

3.平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（）

A.21B.28C.42D.56

4.以长方体A6CO-A4G2的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角

形，则这2个三角形不共面的情兄有（）种

n

A.1480B.1468C.1516D.1492

考向六方程不等式问题

【例6】方程x+y+z=10的正整数解的个数

【一隅三反】

1.三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有.

2.方程为+%2+*3+%=12的正整数解共有（）组

A.165B.120C.38D.35

考向七数字问题

【例7】从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（）

A.6种B.9种C.1（）种D.15种

【一隅三反】

1.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个

不同数的中位数的所有取法种数为（）

A.6B.12C.18D.24

2.从1,3,5,7,9中任取3个数宇，与0,2,4组成没有重复数字的六位数，其中偶数

共有（）

A.312个B.1560个C.2160个D.3120个

3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不

同的选取方法有（）

A.55种B.61种C.64种D.70种

答案解析

考法一全排列

［例1］某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有（）

A.4种B.12种C.18种D.24种

【答案】D

【解析】由题意可得不同的采访顺序有8=24种，故选：D.

【一隅三反】

1.2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组.现有四个医疗小组和

4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，

则不同的分配方法有（）

A.64种B.48种C.24种D.12种

【答案】C

【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有用=24种方法.故选：C.

2.将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）

A.50B.60C.120D.90

【答案】C

【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排

列，故有45=120种，故选：C.

3.3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）

A.3种B.6种C.12种D.5种

【答案】B

【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：A；=3x2xl=6.故

选：B

考法二相邻问题

【例2】某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相

邻的排法种数为（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】C

【解析】先安排甲、乙相邻，有否种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排

列，

故有排法种数为禺x4=48.故选：C

【一隅三反】

1.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁、戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲

必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）

A.8种B.12种C.20种D.24种

【答案】C

【解析】当甲排在第一位时，共有用用=12种发言顺序，当甲排在第二位时，共有

或度度=8种发言顺序，所以一共有12+8=20种不同的发言顺序.故选：C.

2.5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

【答案】C

【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有用8=48种排列的方法.故选：C.

3.6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.

A.24B.120C.240D.140

【答案】C

【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有

用=120种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有&=120x2=240排法，故

选：C.

4.把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人

至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）

A.96B.240C.280D.480

【答案】B

【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四

个人，

则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有种，

然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有A：=24种，所以不同的分法种数为10x24=240,

故选：B

考法三不相邻问题

【例3】省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个

检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但

是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用

的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为&=24.故选：B.

【一隅三反】

1.3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为

（）

A.A；B.+用

C.D.

【答案】D

【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有4：种排法；

②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有6种情况；则有

国用种排法；

故选：D.

2.若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（）

A.12种B.14种C.5种D.4种

【答案】A

【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有8种排法；第

二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有种插法.由分步乘法计数原理可知，一

共有用用种排法.故答案选A

3.五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（）

A.2耳6B.C.2尺《D.

【答案】B

【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为£耳.故选：B.

4.某平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4

个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻

的学法有（）种.

A.24B.36C.72D.144

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①，在4个视频中任选2个进行学习，有C：=6种情况,

②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有8=24种情况，其中2篇文章学

习顺序相邻的情况有用6=12种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种,

则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6x12=72种；故选：C

考法四分组分配

【例4】疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去

一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（）

A.60种B.90种C.150种D.240种

【答案】C

【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1,2,2和1,1,3两种情况；

c\c\c]

分为1,2,2时安排有;分为1,1,3时安排有

6丁

所以一共有W+^3=150故选:C

【一隅三反】

1.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在长沙、广州、深圳停）,

分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（）

A.24种B.36种C.81种D.256种

【答案】B

【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有C：种分法，再分

配到三个站点，有用种分法，所以一共有C：A；=36种不同的下车方案.故选：B.

2.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为

本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1

名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）

A.24B.14C.12D.8

【答案】C

c2c2

【解析】先把4名数学教师平分为2组，有=3种方法,

A,

再把2名体育教师分别放入这两组，有g=2种方法,

最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有3x2x4；=12种方法.故选：C.

3.江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日〜13日在赣州举行，某旅游公司为推出

新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工

作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为

()

A.60B.90C.150D.240

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将五名工作人员分成3组，

若分为3、1、1的三组，有C；=1O种分法，

c；c；c：

若分为2、2、1的三组,种分法,

则有10+15=25种分组分法；

②将分好的三组全排列，对应三个景点，有阕=6种情况,

则有25x6=150种分配方法；故选：C.

4.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗

小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为()

A.30B.60C.90D.180

【答案】A

【解析】根据题意，分2步进行:

①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有=15种分组方法;

②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有&=2种情况,

则有15x2=30种不同的安排方法.

故选：A.

5.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共

五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯

爵恰有两人的概率为()

3283

A.—B.—C.—D.一

105255

【答案】B

【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有

5y55.发二5yA种分法.

其中伯爵恰有两人的分法有A：种分法,

・母恰有两人的概率

考向五几何问题

【例5】如图，NMON的边上有四点A、4、A3、A&,ON上有三点四、斗、

与，则以。、4、4、A3、用、层、层中三点为顶点的三角形的个数为

()

B3N

A.30B.42

C.54D.56

【答案】B

【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况,

因此，符合条件的三角形的个数为-容-仁=42.故选：B.

【一隅三反】

1.以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个

A.70B.64C.60D.58

【答案】D

8x7x6x5

【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有C；=yU=70

种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有

70—12=58个.故选：D.

2.在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为

（）

A.32B.15C.16D.31

【答案】D

【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两

部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和

四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多

产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为1+C；+C：,此题〃=6,

所以最多可分为31个区域.故选：D.

3.平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（）

A.21B.28C.42D.56

【答案】B

【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，

所以线段条数为。；=28,故选：B.

4.以长方体A5CO-44G。的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角

形，则这2个三角形不共面的情兄有（）种

A.1480B.1468C.1516D.1492

【答案】B

【解析】因为平行六面体ABC。-A4G。的8个顶点任意三个均不共线,

故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有C；=56个三角形，

从中任选两个，共有C；6=154()种情况，

因为平行六面体有六个面,六个对角面，

从8个顶点中4点共面共有12种情况，

每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，

故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12X6=1468种，故选：B.

考向六方程不等式问题

【例6】方程x+y+z=10的正整数解的个数.

【答案】36

【解析】问题中的x、y、z看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子

里，有多少种方法.

将1()个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球.

隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内.，共有C；=36种.故答案

为:36

【一隅三反】

1.三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有____.

【答案】105

【解析】由x,y,zeN,则x+y+z=13,x,y,zeN

设a=x+l,b=y+l,c=z+1,则a,0,ceN+且a+Z?+c=16,

则三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数等价于a+b+c=16,a*,ceN+的解的

个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，

又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空

[5x]4

中选2个空用隔板隔开即可，则共有=二一=105种分法，即三元一次方程

x+y+z=13的非负整数解的个数有105个，

故答案为：105.

2.方程为+Z+鼻+%=12的正整数解共有（）组

A.165B.120C.38D.35

【答案】A

【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，

X|X2x3xA

在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球

的数目依次是再、々、%3、%，显然满足％+X2+X3+X4=12,故（4/，入3，%4）是方

程玉+々+七+“4=12的一组解，

反之，方程玉+9+占+/=12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，

11x10x9

故方程西+々+$+%=12的正整数解的数目为：C,3,=———=165,故选：A.

3x2x1

考向七数字问题

【例7】从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（）

A.6种B.9种C.10种D.15种

【答案】C

【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1+2+3=6,和的最大值为

4+5+6=15,

所以当从1,2,3,4,5,6中任取三个数相加时，则不同结果有10种.故选：C.

【一隅三反】

1.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个

不同数的中位数的所有取法种数为（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】A

【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、

7,

在1,2,3,4中有2个数字，则不同的取法有C：=6种，故选：A.

2.从1,3,5,7,9中任取3个数宇，与0,2,4组成没有重复数字的六位数，其中偶数

共有（）

A.312个B.1560个C.2160个D.3120个

【答案】D

【解析】从1,3,5,7,9中任取3个数宇，与0,2,4组成没有重复数字的六位偶数，

可分为以下两种情况：

①、。放在末位，从1,3,5,7,9中任取3个数字，再与2,4全排列即可，共有

.8=1200个；

②、0不放在末位，从1,3,5,7,9中任取3个数宇，再从2,4中选择一个作为末位

数，从剩下的非首位中选择一个放置0,再将余下的数字全排列即可，共有

C；C；C；.A：=192O个；

则满足要求的偶数共有1200+1920=3120个.

故选:D.

3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不

同的选取方法有（）

A.55种B.61种C.64种D.70种

【答案】A

【解析】对三个数中有没有6进行分类：

①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即C；=28种；

②不含6时，则需要3与9.

当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即C；=3种；

当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即C；（C；C+C；）=2"W.

综上所述，不同的选取方法有55种，

故选：A.

《6.2.3排列组合的综合运用》考点训练

【题组一全排列】

1.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（）

A.4B.44C.24D.48

2.3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同

的报名方案有种.

3.若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有种.

4.将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个

数互不相同，则不同的分配方法共有种.

5.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确

定外，4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的

位置，2个曲艺节目要求排在第4,8的位置，则不同的排法有—一种.（用数字作答）

6.我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、3、C、D,前往四个

国家E、F、G、〃进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有—

（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到，国家，那么此时8

医疗队被派遣到E国的概率是

【题组二相邻问题】

1.小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成

一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）

A.6B.12C.18D.24

2.将A,B,C,D,E,F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满

足A,B,C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）

3.5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法

种数为

A.480B.720C.960D.1440

4.各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1,2,3,

4,5,6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降

落，则不同的安排方法有（）

A.60B.120C.144D.240

5.3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）

A.2B.9C.72D.36

6.三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排

成一排，则不同的排法数为（）

A.24B.48C.60D.96

【题组三不相邻问题】

1.六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（）

71131

A.—B.-C.—D.一

606604

2.将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A、B、C三个盒子内，若每个盒子

不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）

A.42B.36C.48D.60

3.某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两

首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后

六场开场诗词的排法有（）

A.72种B.48种C.36种D.24种

4.5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为

)

A.72B.48C.24D.60

5.某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排.若甲、乙两名同学不相邻，则不同的

排法种数为.（用数字作答）

6.2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有种.

7.将A，B,C,D,E五个字母排成一排，若A与5相邻，且A与。不相邻，则不

同的排法共有一种.

8.某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化

学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是

【题组四分组分配】

1.将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3

本，则有一种不同的分法.

2.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有一

种.（用数字作答）

3.五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则

不同的游览方法共有种.（用数字填写答案）

4.把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为.

5.从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种

排法.

6.某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每

个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有种.

7.某市决定派5名领导和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至

少派领导和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为.（用数字作答）.

【题组五几何问题】

1.直线X=〃2,>=》将圆面/+3；2<4分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，

且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（）

A.20B.60C.120D.240

2.V+y244表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的

三角形个数为（）

A.286B.281C.256D.176

3.以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为（）

A.70B.64C.58D.52

【题组六方程不等式问题】

1.不定方程x+〉+z=12的非负整数解的个数为（）

A.55B.60C.91D.540

2.若方程玉+工2+七+/=8,其中々=2,则方程的正整数解的个数为

A.10B.15C.20D.30

【题组七数字问题】

1.已知集合4=5，b,c,d],从集合A中任取2个元素组成集合3,则集合3中含有

元素。的概率为（）

111

A.—B.—C.—D.1

632

2.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完

美四位数（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中，奇数

的个数为（）

A.12B.44C.58D.76

3.从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有

种（用数字作答）.

4.已知=则方程二+义-=1表示焦点在x轴上的

mn

椭圆的概率是.

5.有写好数字2,2,3,3,5,5,7,7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位

数的个数为.

6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为

答案解析

【题组一全排列】

1.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为()

A.4B.44C.24D.48

【答案】C

【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为

A：=4x3x2xl=24.

故选：C

2.3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同

的报名方案有种.

【答案】64

【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则

3名同学共有43=64种报名方案.故答案为：64.

3.若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有种.

【答案】59

【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题

•••五个字母进行全排列共有耳=120种结果，

字母中包含2个/,

五个字母进行全排列的结果要除以2,共有60种结果，

在这60种结果里有一个是正确的，

•••可能出现的错误的种数是60-1=59,

故答案为：59.

4.将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个

数互不相同，则不同的分配方法共有种.

【答案】18

【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4)三种情

况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有闻=6种情况，所以不同的分配

方法共有3x6=18种.

故答案为：18

5.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确

定外，4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的

位置，2个曲艺节目要求排在第4,8的位置，则不同的排法有种.（用数字作答）

【答案】288

【解析】4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置，有A：=24种排法；3个舞蹈节目

要求排在第3,6,9的位置，有用=6种排法；2个曲艺节目要求排在第4,8的位置，有

隹=2种排法.故共有24X6X2=288种排法.故答案为：288.

6.我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D,前往四个

国家E、F、G、H进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有

（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到“国家，那么此时3

医疗队被派遣到E国的概率是_____.

【答案】241

【解析】

由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为=24,

由于A医疗队被派遣到H国家，则8医疗队可派遣到其它3个国家，因此，8医疗队被

派遣到E国的概率是二.故答案为：24；

33

【题组二相邻问题】

1.小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成

一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小

江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得&•&=12故选：B

2.将A,B,C,D,E,F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满

足A,B,C三个字母连在一起，且B在A与C之间的