高考数学二轮复习 基础回扣（一）集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式学案 理-人教版高三全册数学学案

基础回扣(一)集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等

式

［要点回扣］

1.集合元素的三个特征

集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素

的互异性.

［对点专练1］集合［={a,6,c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那

么这个三角形一定不是()

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

［答案］A

2.集合的表示方法

描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义一一抓住集合的代表元素.如：{x|y=

f(x)}一—函数的定义域：{y"(x)}一—函数的值域；{(>,力卜=f(x)}一—函数图象上的

点集.

［对点专练2］集合4={x|x+尸1},B=((X,y)|x—尸1),则/C8=.

［答案］。

3.空集问题

遇至U408=0时，你是否注意到“极端”情况：力=。或8=0；同样在应用条件/fU8=

8田406={0忙6时，不要忽略4=。的情况.

［对点专练3］设集合/f=3V—5x+6=0},集合6={x|加x—1=0},若则

实数勿组成的集合是_______.

洛案於去5

4.子集个数的计算

对于含有〃个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

为2"2"—1,2"—1,2"—2.

［对点专练4］满足{1,2}，仁(1,2,3,4,5)的集合M有个.

［答案］7

5.集合中的数形结合

注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来

运算，求解时要特别注意端点值.

［对点专练5］已知全集/=R,集合A={x|y=-\ll—x},集合B={x10WxW2},则（。4）

U6等于（）

A.［1,+8）B.（1,+°0）

C.［0,+°°）D.（0,+°°）

［答案］C

6.否命题和命题否定的区别

“否命题”是对原命题“若0,则/既否定其条件，又否定其结论；而“命题。的否

定”即：非°,只是否定命题p的结论.

［对点专练6］已知实数a、b,若|a［+»|=0,则a=6.该命题的否命题和命题的否

定分别是.

［答案］否命题：已知实数a、6.若|a|+|引H0,则aW6；命题的否定：已知实数a、

b,若|a|+»|=0,则

7.充分、必要条件的判断

的充分不必要条件是6”是指方能推出4且/不能推出氏而'"是6的充分不必

要条件”则是指A能推出B,且6不能推出A.

［对点专练7］设集合材={1,2},{a2},则“a=l”是一仁，的条件.

［答案］充分不必要

8.含有量词的命题的否定

要注意全称命题的否定是特称命题（存在性命题），特称命题（存在性命题）的否定是全称

命题.如对“a,6都是偶数”的否定应该是“a,6不都是偶数”，而不应该是“a,6都是

奇数”.求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.

［对点专练8］若存在aC［1,3］,使得不等式ax2+（a-2）*—2>0成立，则实数x的取

值范围是.

［答案］（一8,—l）U仔，+8）

9.集合、区间的规范应用

在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不

等式表示.

［对点专练9］不等式-3产+5矛―2>0的解集为

［答案］(I,1)

10.算法

(1)首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由

输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束.

(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复,

在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉

也不要重复了端点值.

［对点专练10］执行如图所示的程序框图，则输出a的值为________.

［答案］341

11.复数的概念

在复数中，对实数、纯虚数、模、共辗复数的考查是重点.

［对点专练11］若复数z=lg(/一)-2)+i•lg(/?/+30+3)为实数，则实数卬的值为

［答案］一2

12.复数的运算法则

复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用.

［对点专练12］已知复数2=t詈，Z是Z的共辗复数，则|Z|=

［答案］1

13.合情推理与演绎推理

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），实验和实践的结

果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法,

在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新

意识的培养.

［对点专练13］图1有面积关系:坐*=处；:鲁，则图2有体积关系:________.

O^PABrn•rD

图1图2

।•阳'♦PC

耒」@械•一PA•PB«PC

14.直接证明与间接证明

直接证明一一综合法、分析法；间接证明一一反证法；数学归纳法.

［对点专练14］用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应

假设.

［答案］三角形三个内角都大于60°

15.不等式的性质

不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负，两个不等式相

乘时，必须注意同向同正时才能进行.

［对点专练15］已知a,b,c,d为正实数，且c>d,则“a>8”是的—

条件.

［答案］充分不必要

16.基本不等式

Z?>0）

(1)推广：\^仁芸■，三乎2爪^2］\(46>0),

b

(2)用法:已知必y都是正数，则

①若积灯是定值p,则当x=y时，和x+p有最小值2y［p；

②若和x+y是定值s,则当x=y时，积灯有最大值

14

［对点专练16］已知a>0,b>0,a+b=L则的最小值是________.

Q.D

［答案］9

17.线性规划

解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数

解.

［x)0,

［对点专练17］设定点加0,1),动点P(x,0的坐标满足条件1则I阳I的最

小值是.

［答案］乎

［易错盘点］

易错点1忽视元素互异性致误

【例1］己知集合4={1,*,2},B={1,x2},若则x的不同取值有—

种情况()

A.1B.2C.3D.4

［错解］由/=2,解得为=乖，X2=一私

由，=x,解得扬=0,x\—1.

.♦.选D.

［错因分析］当x=l时，集合/、6中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的

互异性，导致错误.

［正解］,.•/1U6=4,.,.任4；.夕=2或f=x.由V=2,解得x=±啦，由f=x,解

得x=0或x=l.当x=l时，9=1,集合人6中元素不满足互异性，所以符合题意的不为噌

或一/或0,共3种情况，选C.

名师纠错A

由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证.

［对点专练1］

(1)已知1C{勿，源，则实数m的值()

A.等于1B.等于一1

C.等于±1D.mWO且启4

(2)已知ie{a+2,(a+l)\a"+3a+3},则实数a的值为.

［解析］(1)因为集合元素具有互异性，所以m2=1,解得面=-1或0=1(舍)，故选B.

(2)由题意得a+2=l或(a+l”=l或a2+3a+3=l.解得a——l或a——2或a=0.

又当a=-2时，(a+l)2=#+3a+3=l不符合集合中元素互异性这一特点.故aW—2,

同理aW—1,故只有a=O.

［答案］(DB⑵a=O

易错点2遗忘空集致误

【例2】已知/!={xeR|A<-l或x>4},6={xCR］2aWxWa+3},若力U4/1,则实

数a的取值范围是

［错解］由4U8=4知，BQA,

.j2a〈a+3

・12a>4或a+3〈一l，

解得a<-4或2〈aW3.

实数a的取值范围是a〈一4或2〈a<3.

［错因分析］由并集定义容易知道，对于任何一个集合人都有41)0=4,所以错解忽

视了6=0时的情况.

［正解］由知，A.

2aWa+3

①当屏。时，有，

2a>4或a+3<-l

解得水一4或2<aW3；

②当以0时，由2a>a+3,解得a〉3.

综上可知，实数a的取值范围是a<-4或a>2.

名师纠错A

造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现

AQB,ACB=A,时，注意对4进行分类讨论，即分为和两种情况讨论.

[对点专练2]

(1)设{={x|f+x—6=0},d={x|加x+l=0},且4U6=/l,则m的取值范围是()

312

(2)已知集合4={x［V+S+2)x+l=0,pGR),若4CR'=0,则实数0的取值范围为

［解析］(1)因为4={2,-3}.由/U8=4得医4当勿=00■寸，B=。,满足；当加户0

,故山的取值集合是{o,—",泉

时，B=,所以__=2或__=_3,解得加=一,

故选C.

(2)由一\-W0,得0》一2；

l(p+2)2-4<0

得一4<仄一2.

综上，〃的取值范围是(-4,+8).

［答案］(DC(2)(-4,+8)

易错点3对命题否定不当致误

【例3】命题“若x,y都是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是()

A.若x,y都是偶数，则x+y是奇数

B.若x,y都不是奇数，则x+y不是偶数

C.若x+y不是偶数，则x,y都不是奇数

D.若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数

［错解］“都是”的否定是“都不是”，选C.

［错因分析］“x,y都是奇数”的否定中包含三种情况："x是奇数，y不是奇数”，

“X不是奇数，y是奇数”，“X,y都不是奇数”，误把“X,y都不是奇数”作为“x,y

都是奇数”的否定而错选C.

［正解］“都是”的否定是“不都是"，答案选D.

|名师纠错A

对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问

题，可以先化简再否定.

［对点专练3］

⑴命题“若打=0,则x=0或y=0”的逆否命题为.

OI—10

(2)已知必是不等式一^《0的解集且54M,则a的取值范围是

ax~25

［解析］(1)一般的命题“如果。则g”是由条件0及结论。组成的，条件和结论“换

质”又“换位”得“如果非夕，则非。”，这称为原命题的逆否命题.

5w+10

(2)在也：.5a-25=Q或^——>0,解得a=5或a<-2或a>5,故a的取值范围是(一

5a—25

8,—2)U［5,+8).

［答案］(1)若xWO且用0,则处W0(2)(—8,-2)U［5,+~)

易错点4充分、必要条件判断不准致误

【例4】设〃为全集，A,8是集合，则“存在集合C,使得比GC是“4CB

=。”的条件.

［错解］若4UC,则。住CM，又医C£,

...408=。，故填“充要”.

［错因分析］没有理解充分条件的概念，kg只能得到夕是g的充分条件，必要性还

要检验衿。是否成立.

［正解］若/1UG则「正。4当砥GC时，可得4CQ。；若4cB=。,不能推出6

UCC,故填“充分不必要”.

|名师纠错A

充分、必要条件判断时一定要分清条件和结论，只有充分性和必要性同时成立，才判断

为充要条件.

［对点专练4］

(1)设46为两个互不相同的集合，命题p：命题g：或则㈱g

是㈱0的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

⑵若“京一2x—8>0”是“内必”的必要不充分条件，则m的最大值为.

［解析］(1)依题意，注意到由。可得因此由㈱g可得㈱p：由。不能得知°,因此

由㈱。不能得知㈱。，所以㈱。是㈱O的充分不必要条件，故选B.

(2)由/—2x—8>0得K—2或x>4；依题意得知，由水卬可得K—2或x〉4,于是有wW

~2,即贬的最大值是一2.

［答案］(DB⑵-2

易错点5循环次数把握不准致误

【例5】执行下边的程序框图，若p=0.8,则输出的〃=.

［错解］3或5.

［错因分析］陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错.

［正解］n—1,S—0,0<0.8,S=0+g=B，

/?=4,8,

故输出〃=4.

名师纠错A

解答循环结构的程序(算法)框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不

彻底，造成错误.

［对点专练5］

(1)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4,则常数a的值为

()

1

A.4B.2C.-D.-1

承小S/

(结束)

|结束|

(1)题图(2)题图

(2)执行如上图所示的程序框图，输出的S的值是.

［解析］(1)S和〃依次循环的结果如下：；，2：1—L4.所以1—工=2,a=-1,

1-aaa

故选D.

(2)由程序框图可知，〃=1,5=0；S=cos(*,?7=2；5=cos^~+-cos^-,〃=3；…；S

JI2n3兀2014n(冗2冗8五、n

=cos—+cos-^+cos-----Feos--:—=251cos—+cos-----Feos-+cos—+

4444144474

cosf+…+cos牛=251X0+乎+0+(一阴+(-D+(—*)+0=—1一当,7?=2015,

输出s

⑴D⑵-1-坐

［答案］

易错点6复数的概念不清致误

3(n4、i是纯虚数，则tan（，一的值为（

【例6】若z：—sin-+lcos<7—~)

5

A.-7B.7

a1

C-7D.-7或一不

3

［错解］由Z为纯虚数，知Sin，-『0,

34

则sing中从而cos”土g.

/.tan，=±*由tanf°tan夕一1

tan夕+1'

ji1

得tanl，一彳1=一不或一7.故选D.

7,

［错因分析］混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件.

343

［正解］由Z为纯虚数,知sinJ—g=0,且cos8一产0.则sin。=彳从而cosg

4…八sin03

一§.所以tan仁B=-7

,713

tan0—tan——T—1

44,,

/.tan9---------------=....-=-7,故选A.

l+tan夕•tan-1—~

44

名师纠错A

纯虚数是指实部为零且虚部不为零的虚数.

［对点专练6］

（1）复数（；+乎i）（i是虚数单位）的共朝复数为（）

1A1

+V3

一2-2

A.2B.

2-

1居1

1V-3

十D2

-221

(2)若复数©=4+29i,Z2=6+9i,其中i是虚数单位，则复数(zLzJi的实部为

［解析］⑴由题意知，［；+乎］=［—1+乎i

=一g+乎i，其共辆复数为一g—乎L故选D.

(2)(Zi—Z2)i—(—2+20i)i=—20—2i,

故(省一@)i的实部为一20.

［答案］(DD⑵-20

易错点7忽视基本不等式的应用条件致误

2

［例7］函数y=x+—7的值域是_______.

X—1

99/9

［错解］y=A-+—=A—l+—+1^2A/(A—l)--+1=272+1,当且仅当X一