高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (二)

必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练(2)

1.如图，A8是半圆。的直径，C是半圆。上除A,8外的一个动点，OC垂直于半圆。所在的平

面，DC//EB,DC=EB=1,AB=4.

(1)证明：平面4DE_L平面ACD：

(2)当C点为半圆的中点时，求二面角D-AE—8的余弦值.

2.如图，在四棱锥P-ABCD的底面梯形中，AD//BC,ABLBC,AB=1,AD=3,Z.ADC=45°,

又已知241平面ABCD,PA=1.

(1)异面直线PB与CD所成角的大小;

(2)四棱锥P-ABCD的体积.

3.在直三棱柱4BC-&B1C1中，AC=BC=五,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.

(1)求证：4B1AE；

⑵求点占到平面ABE的距离.

4.已知四边形A8CD为等腰梯形，ABHCD,E,尸分别是AB,CD的中点，连接所，CD=2AB=

2EF=4如图①所示.将梯形AEFD沿直线EF折起，连接CD,AB,G是C。的中点，如图②所

示.

D

(1)证明：BG〃平面AEFZ).

(2)若平面4EFD1平面BEFC,求点E到平面ABCD的距离.

5.如图，在四棱锥P—A8CD中，底面ABCD为正方形，平面R4D，平面A8CD,点M在线段P8

上，PD〃平面MAC,PA=PD=V6，AB=4.

(1)求证：M为P8的中点；

(2)求点C到平面BDP的距离d.

6.如图所示，在四棱锥尸-48CD中，四边形4BCZ)为菱形，AP/O为正三角形，且瓦夕分别

为40,46的中点，P£_L平面力BC。，8£_L平面。40.

p

(1)求证：3cl.平面。笈5；

(2)求ER与平面POC所成角的正弦值.

7.如图，正三棱柱ABC-4BiG中，AB=Z&=2,点P,。分别为8c的中点.

(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;

(2)求直线CG与平面4QG所成角的正弦值.

8.如图，在四棱锥P-4BCD中，△P4。是等边三角形，底面ABC。是菱形，AB=2,ADAB=60°.

(I)证明：AD1PB；

(n)若PB=V6，求二面角4-PB-C的余弦值.

9.如图所示，已知四棱柱4BCD-力IBIGDI，四边形A8C£＞为直角梯形，AC〃BC,^ABC=90°,

AB=BC=44i=2AD=2,平面488出L平面ABCD,Z.BAAX=60°.

(1)若M为SB1的中点，P为线段8c上的一动点，当GP1平面&CM,求CP的长.

(2)在(1)的条件下，求二面角C-GP-A的余弦值.

10.如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC—4B1G中，。是BC的中点.

(1)求证：4。_L平面BCCiBi；

(2)求直线4G与平面BCG&所成角的正弦值.

11.如图，在四棱锥P-4BCD中，PA1.^ABCD,AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,

点E为棱PC的中点.

(1)证明：BE1DC；

(2)求直线BE与平面PBO所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点，满足BFJ.2C,求二面角F-AB-P的余弦值.

12.如图，四棱锥P—ABC。中，API平面PC。，AD//BC,AB=BC=^AD,E,尸分别为线段

AD,PC的中点.

(1)求证：AP〃平面BEF;

(2)求证：BEJ■平面PAC.

13.已知四棱锥P—ABCD中，PAIJgffiABCD,AD//BC,AB=3,BC=4,AC=5.

(1)当PA变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明

理由；

(2)若P4=3,求直线PC与平面PA。所成角的正弦值.

14.如图，几何体是圆台的一部分，它是由直角梯形4BCD(其中4C〃BC,

AB1BC,AB=BC=2AD=2)以AB边所在直线为旋转轴旋转90。

得到的.过AO作平面a交生于点P,交BE于点Q.

(1)求证：PQABEF；

(2)设。为BE的中点，求平面AP。与平面CF。所成锐二面角的余弦值

15.如图，在三棱柱ABC-AiBiG中,AB=AAr=4,BC=2,ArC=2V3,AC1BC.^AB=60°.

(1)证明：BC1平面4CQ4i；

(2)设点。为CG的中点，求直线与平面4BB1Z1所成角的正弦值.

16.在直三棱柱ABC-4B1C1中，AB=BC=2AAA,乙4BC=90。，。是8c的中

(1)求证：〃平面ADQ.

(2)求二面角G一力。一C的余弦值.

17.如图，在四边形POC8中，PD//BC,BA1PD,PA=AB=BC=1,AD=|,沿BA将△P4B翻

折到△SB砸位置，使得死=今

(1)作出平面SCD与平面SBA的交线I,并证明，平面CSB；

(2)点。是棱SC上异于S,C的一点，连接Q。，当二面角Q-BD-C的余弦值为立时，求此时

6

三棱锥Q-BCO的体积。

18.如图，在四面体4-BCD中，二面角A-DC-B为60。，AC=AD=2,BC=BD,SBBCD=4,

/.CAD=90°.

(I)证明：ABLAC；

(11)若加，N在线段BC,BD上，旦BM+BN=g，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值的

最大值.

19.如图，三棱锥P-ABC中，PA=PB,D,E分另IJ为4B,4C的中点，ABLAC.

求证:(1)DE〃平面PBC;

(2)4B1PE.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：•••43是圆0的直径，；.4(7，3配

vDC，平面ABC,BCu平面ABC,

•••DC1BC,又DCnAC=C,

BC1平面ACD,

•••DC//EB,DC=EB,

.•.四边形。C2E是平行四边形，OE〃BC,

DE_L平面ACD,

又DEu平面ADE,

二平面4C。_L平面ADE.

(2)当C点为半圆的中点时，AC=BC=2V2，

以C为原点，以C4,CB,CO为坐标轴建立空间坐标系如图所示:

则。(0,0,1),F(0,2V2,l)-4(2夜,0,0),8(0,2夜,0)，

AB=(-2V2,2V2,0).BE=(0,0,1),DE=(0,2A/2,0),DA=(2>/2,0,-1),

设平面DAE的法向量为记=平面A8E的法向量为元=02，、2*2)，

则伊(•羽=0,伊•亚=0,即[2或Xi-Zi=0,卜2ax2+2或%=0,

=O'In-RE=O'”3&力=0'kz2=0

令Xi=1得沅=(1,0,2>/2)>令&=1得元=(1,1>0).

,—>.、mn1\[2

・•・cos<m,n>=--r=——F=­•

|m||n|3x>/26

•••二面角D-AE-B是钝二面角,

••・二面角。-AE-B的余弦值为-U.

6

解析：(1)由BC1AC,BC_LCC得BC_L平面ACZ),证明四边形。CBE是平行四边形得。E〃BC,故

而DE〃平面ACD,于是平面4DE_L平面ACD；

(2)建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.

本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.

P

2.答案：解：(1)如图，

在AO上，截取4E=1,连接BE,则N4EB=45。，/：

"AADC=45°,.-.BE//CD,连接PE,则4PBE为异面直线PB°

与C。所成角，8-C

AB=AE=1,AB1AD,BE=V2,

vPAl¥ffiABCD,：.PAAB,PArAE,

又P4=\,:.PB=PE=A/2，则4PBE为正三角形，

可得NPBE=60°,即异面直线PB与CO所成角的大小为60。；

(2)由(1)知四边形8CQE为平行四边形，

vAE=1,AD=3,1•.BC=ED=2.

SABCD=5(2+x1=

则四棱锥P-4BCC的体积V=；义qx1="

3No

解析：(1)由题意画出图形，在A。上，截取4E=1,连接BE,可得BE〃CD,则NPBE为异面直线

PB与C。所成角，然后求解三角形可得△PBE为正三角形，得到异面直线P8与C£＞所成角的大小为

60°；

(2)由(1)知四边形2C0E为平行四边形，求出BC,在求出底面直角梯形的面积，由棱锥体积公式求

解.

本题考查异面直线所成角的求法，考查棱锥体积的求法，考查计算能力，是中档题.

3.答案：(1)证明：取中点F,连结AF、EF、AE,'------二

•••ABC-aB1G是直三棱柱，42比1

cCii&G，CQICB,

又・••£是CCi的中点，41cl=BC,.•・&E=BE,/,裕-二

又AB=AAt,

•••A-j^B1EF,ArB±AF,

又EFr)4F=F,AF,EFu平面AEF,

AiBJ_平面AEF,AEcTISlAEF,AXB1AE.

(2)解：设点儿到平面48E的距离，

B=XX

则匕1TBE=K-AAE322夜Xy/2=

1,„2

-xhxS^ABE=3>

AE=BE=V3>AB=2,S^ABE=V2»

解得/i=V2>

.••点4到平面ABE的距离为VI.

解析：本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)取中点F,连结AF、EF、AE,推导出CQJ.aG，CQ1CB,AXBLEF,AXB1AF,从而

A^BIffiAEF,由此能证明_LAE.

(2)设点4到平面ABE的距离，由%L4BE=%TME，能求出点为到平面ABE的距离.

4.答案：(1)证明：取。F的中点K,连接KG,EK,如图.

因为G为。C的中点，所以KG〃FC,KG=^FC.

因为EB//FC,EB=：FC,所以EB〃KG,且EB=KG,

所以四边形EBGK为平行四边形，所以BG〃EK,

又BG笈平面AEFD,KEu平面AEFD,

所以BG〃平面AEFD.

(2)解：设D4,CB的延长线交于点P,如图，

则P6平面AEFD,PC平面BEFC.

因为平面4EFDn平面BEFC=EF,

所以P,E,尸三点共线.

易知AB1EF,CD1EF.

由翻折不变性可知，PELAE,PE1EB.

因为4EClEB=E,AE,EBu平面AEB,

所以PE1平面AE8.

因为喘=僚=3所以PE=EF=2,

DFPF2

PA=PB=>JAE2+PE2=V5.AB=&

过点P作PQ_L48,垂足为。，

则AQ=QB=当,

所以PQ=y/PA2-AQ2=苧.

所以SAP.B=XPQ=：x&x苧=I,

心博tP-4BE=彳*S&IE8XPE=-X-X1X1X1X2=".

MJ/O

又因为l二带惟£.3户l'比钺PABE,

1

所以点E到平面ABC。的距离”「『坦三”：;；.

铲APAB2

解析：本题考查线面平行的判定定理，考查面面垂直的性质及几何体体积计算，属于中档题.

(1)取。F的中点K,连接KG,EK,证明BG〃EK,然后由线面平行的判定定理即可；

(2)设D4,CB的延长线交于点P,可得P,E,尸三点共线.由翻折不变性及体积公式，由

V-0TUEIHPV'iTliPABE即可解题.

5.答案：(1)证明：如图，设ACnBD=。，连接0M,

•••4BCD为正方形，

•••。为2。的中点，

PD〃平面MAC,PDu平面PBD,平面PBDn平面AMC=0M,

(2)解:取AD中点G,

PA=PD,■■PG1AD,

•••平面24。J■平面ABCD,且平面PADn平面4BCD=AD,PGu平面PAD,

：.PG_L平面ABCD,

又ADu平面ABCD,则PG1AD,

连接。G,则PG10G,

由G是AO的中点，。是AC的中点，可得OG〃DC,则。G14D.

以G为坐标原点，分别以G。、GO、GP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系G-xyz,

由P4=PD=瓜，AB=4,得0(2,0,0),4(—2,0,0),P(0,0,夜)，C(2,4,0),B(-2,4,0),

纨

DP=(-2,0,72).OB=(-4,4,0),

设平面的一个法向量为沅=(x,y,z),

则由也受=。,得『”产二。，

(沆•DB=01-4%+4y=0

取z=V2,得沆=(1,1,企)，

又加=(-3,-2净,

故点C到平面BDP的距离d=萼1=2.

|m|

解析：本题考查线面平行的性质，训练了利用空间向量求解空间距离求解，属于中档题.

(1)设4CnBC=。，则O为的中点，连接OM,利用线面平行的性质证明。M〃PD,再由平行

线截线段成比例可得M为P8的中点；

(2)取AD中点G,可得PG1AD,再由面面垂直的性质可得PG，平面ABCD,则PG1AD,连接OG,

则PGJLOG,再证明OGJ.4D.以G为坐标原点，分别以G。、GO、GP所在直线为x、y、z轴建立空

间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后利用点到面的距离公式即可求解.

6.答案：解：(1)证明：因为PEJJHTABC。，即,平面引。，

又AOC平面ABCD,.4。U平面P.A。，

所以PEJ.4D,BELAD,

又PEC\BE=E,PEU平面PER3EU平面PEB,

所以4。1平面PEB,

由四边形ABC。是菱形，得/W〃BC,

所以BC_L平面PEB；

(2)以E为原点，EA,EB,EP分别为x,y,Z轴建立空间直角坐标系,

不妨设菱形ABCQ的边长为2,则4E=ED=1,PA=2,PE=有,

BE=ylAB2-AE2=6,

则点4(1,0,0),B(0,V3,0)，C(一2,71,0),£>(-1,0,0),P(0,0,回呜今0),

DC=(-l,V3,0),DP=(1,0,V3),

设平面PDC的法向量为元=(x,y,z),

则由E,四=r+fy=。,解得卜="

(n-DP=%+V3z=0(x=—v3z

不妨令z=l,得记=(一百,一1,1);

又前=威会0),

所以EF与平面PQC所成角的正弦值为|需|=(士兴(遗)=卓.

||n|-|EF||y/5xl5

解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值，属于中档

题.

(1)先证PEJ.AD,BELAD,可证ADJ•平面PE8,再证AD〃BC,从而证得结论；

(2)以E为原点，EA,EB,EP分别为x,»Z轴建立空间直角坐标系，求出平面尸DC的一个法向

量，从而求出EF与平面PDC所成角的正弦值.

7.答案：解：(1)如图，在正三棱柱4BC-4B1G中，

设AC,41Gl的中点分别为。，。「

则，OB1OC,OOj1OC,OOj1OB,

故以颂,0C,西｝为基底，

建立空间直角坐标系。-xyz,

•••AB=A&=2,A(0,—1,0)，5(V3,0,0),C(0,l,

4(0,—1,2),Bi(百,0,2),Ci(0,1,2).

•.•点P为的中点.

••.P(今心,2)，

••廊=(-今-Q)，近=(0,2,2).

\BP-ACi\

|cos<丽,AC；>|

\BP\\AC[\

_|7+4|_3%

-V5X2V2-20•

••・异面直线BP与4G所成角的余弦值为：嘴；

(2):(2为8。的中点..弓弓,0)

;而=(今|,0)，遍=(0,2,2),CQ=(0,0,2)，

设平面AQG的一个法向量为记=(x,y,z),

,(A(2-n=—x+-y=0L

由:22，，可取元=(遍,一1,1)，

L4cl•元=2y+2z=0

设直线CQ与平面4QQ所成角的正弦值为仇

sinO=|ixw<CC；,7?>|=~引-

I西H殖

2_V5

=砺=三’

•・・直线CC1与平面4QC1所成角的正弦值为g.

解析：本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成角，向量法求空间角，考查学生的计算能力和

推理能力，属于中档题.

（1）设AC,41cl的中点分别为。，。「以｛而,能,E｝为基底，建立空间直角坐标系。一xyz,由

|cos〈而，而>>|=需翼可得异面直线BP与AG所成角的余弦值；

（2）求得平面4QCi的一个法向量为元，设直线CC］与平面4QG所成角的正弦值为凡可得s讥。=|cos<

CC1,n>\=熹鲁，即可得直线CCi与平面2QC］所成角的正弦值.

8.答案：解：（I）令A。中点为。，连接PO,A0,

•.•底面ABCD是菱形，且=60°,

.,・△4B。是等边三角形，PO1AD,

•••P4=PO,.•.△P4D是等腰三角形，

•••PO1AD,

vP0OB0=0,：.AD1平面PBO,

:PBu平面PBO,.-.ADJ.PB.

(□)•••AB=2,则P4=2.

.•.由(I)知APAB,△4BD中边长为2的正三角形,

则P。=M，BO=百，

vPB=V6,

•••PO2+BO2=PB2,即PO1B。，

又由（I）知，BOLAD,POLAD,

•••以。为原点，04OB,OP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图,

则4(1,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,V3),C(-2,遍,0),

设平面ABP的法向量为记=(x,y,z),由丽=(一1,通,0),AP=(-1,0,73).

・尢=0即尸+g=°令”后得完=(国，1).

-n=0l-x+V3z=0

设平面BPC的法向量为沅=(x,y,z),由元=(-2,0,0),BP=(0,-百,75),

则嚼：I：:叱制、Z=0•令y=L得记=（。・“），

2_Vio

从而n,m>=

cos<V5xV2-5

由图可知二面角A-PB-C为钝角，其余弦值为一唱.

解析：本题考查线面垂直的判定判断线线位置关系以及利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中

档题目.

(I)利用线面垂直的判定定理得出工。1平面P80,,进而得出AD1PB；

(II)建立空间直角坐标系求出面4PB与面PC8的法向量，进而由公式得出cos＜元,记〉，求出二面

角4-PB—C1的余弦值即可.

9.答案：解：(1)连接4B,取A8中点”，连接

由于为等边三角形，则

又△&B8i为等边三角形，M为BBi的中点，故

由题意知BC1AB,

又因为平面488出1平面ABCD,平面48B遇1n平面4BC。=AB,BCu平面ABCD,

因此BCJ_平面ABB141，

又BCu平面BCGa,

故平面BCC/i平面4BB141，

又平面8"1当C平面4峭&=ArM1BBy,u平面488出，

因此41M_L平面BCCiBi，

又GPu平面BCGBi，所以GPJ.aM,

因为BC_L平面ABB1人,BBiu平面488出，

所以BCLBBi，所以四边形BCC/i为矩形，

过点G作GP1CM,此时NCqP=4BCM,

故tanz_CCiP=tan/BCM,即竽=誓=3故CP=1,

2BC2

又因为GP14M,CMC&M=M,CM,u平面&CM,

故GPJ■平面&CM,符合题意.

(2)建立如图空间直角坐标系，

尸(0,1,0),C(0,2,0),Di(1,1,V3),CiC-1,2,遮),

在平面CPC1中，PC=(0,1.0),~pc[=(-1,1,V3),

设该平面CPC1的法向量为沅=(Xi，yi，Zi).

贝胆.堂o即『】=0,

(m•PC]=0,(—%i+yi+=0,

令Zi=1,则沆=(V3,0,1),

在平面Cl。/中，西=(1,0,遮)，

设该平面ClDJ的法向量为记=(.X2,y2,z2),

则,'Z5=0,即卜2+岳2=0，

(n-PQ=0,l-x2+丫2+V3^2=0，

令Z2=1,则有=(-V3,-2V3,1)，

设二面角C-GP-5的平面角为。，

则cos。=cos<m,n>==-；,

|沆Hn|4

解析：本题考查了线面垂直的判定、面面垂直的性质和利用空间向量求面面的夹角，是中档题.

(1)由平面4BB送1ABCD,得BC1平面故平面BCQB]，平面4B8遇口因此1_平

面BCCiBi，所以GPL&M,过点G作GPLCM,可得GP1平面&CM,计算可得结果；

(2)建立空间直角坐标系，得出平面CPC1的法向量和平面GDiP的法向量，由空间向量求解即可.

10.答案：(1)证明：直三棱柱ABC—41当6中，8Bi_L平面ABC,/Du平面ABC,

:.BBi1AD,

"AB=AC,。是BC的中点，

：.AD1BC,

又BCCBBLB,BC、BBiu平面BCG%,

•••AD_L平面BCQB].

(2)解:如图，连接Q£»,

由(1)可知，4DJ•平面BCQBi，

则44加。即为直线4cl与平面BCC$i所成角,

因为4。J■平面BCCiBi，u平面BCCiBi，

所以AD1GD,

在RtZ\.4C'i。中，AD=4cl=应,

所以sinN.AC'i。=■:氏=,

所以直线4cl与平面BCC】Bi所成角的正弦值为它.

4

解析：本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题.

⑴由题意，可得到力。1BB、,并且4。1BC,从而由线面垂直的判定定理可得到4D，平面BCCiBj

(2)连接G。，可得到々AC1。为直线AC1和平面8CGB1所成角，即可得解.

11.答案：解：(1)依题意，以点A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图，

可得8(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由E为棱PC的中点，得E(l,l,1).

BE=(0,1-1).DC=(2,0,0),

故屁•玩=0，所以BE1OC.

⑵前=(一1,2,0),丽=(1,0,-2).

设记=(xj,z)为平面PBD的一个法向量,

—x+2y=0,

<：S：oMx—2z=0.

不妨令y=l,可得诂=(2,1,1).

%两_2_遗

于是有醒>|

同画I-我义陋一T

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为宜.

3

(3)近=(1,2,0),前=(一2,—2,2)，AC=(2,2,0),AB=(1,0,0).

由点F在棱PC上，设方=4而，0<A<1,

故乔=元+#=方+；1而=(1-22,2-22,22).

由BF_L4C,得而•m=0，

因此，2(1—24)+2(2-24)=0,解得；1=[,

即肝=(43|).

设元i=(%y,z)为平面E4B的一个法向量,

%=0

则即11a

--x+-y+-z=O'

22，2

不妨令z=1,可得元1=(0,-3,1).

取平面ABP的法向量元2=(0,1,0),

同利|-3|_3视

则|CO8(77i,7?2)|=

同I陶x/IOx1-10

易知，二面角F—AB—P是锐角,

所以其余弦值为噜

解析：本题考查利用空间向量解决判定空间直线的垂直，求线面，面面角的问题和立体几何中的探

索性问题，属于中档题.

(1)以点4为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为零证

明BE1DC;

(2)求得平面的一个法向量，进而计算直线BE的方向向量与平面PBD的法向量所成角的余弦

的绝对值，即得线面所成角的正弦值；

(3)由点尸在棱PC上，设不=A而，0<2<1,求得BF的方向向量豆下的坐标，由BF1AC,利用

空间向量的数量积为零求得;I的值，得到向量前的坐标，进而求得平面尸AB的一个法向量，求得平

面A8P和平面”B的法向量的夹角的余弦的绝对值，由图观察得出二面角尸-AB-P是锐角，进而

求出二面角F-AB-P的余弦值.

12.答案：证明：(1)如下图：连接CE,

•••AD//BC,BC=\AD,E为线段A。的中点，

•••四边形A8CE是平行四边形，四边形BCDE是平行四边形,

设ACnBE=。，连接OF,则。是AC的中点，

••・F为线段尸C的中点，

•••AP//OF,

APC平面BEF,OFu平面BEF,

：.4P〃平面BEF；

(2)•••四边形8CCE是平行四边形，

BE//CD,

■■■AP_L平面PCD,CDu平面PCD,

•••AP1CD,

BELAP,

■■AB=BC,四边形ABCE是平行四边形，

四边形ABCE是菱形，

•••BE1.AC,

"APOAC=A,AP,ACu平面PAC,

BE_L平面PAC.

解析：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，属于中档题.

(1)证明四边形ABCE是平行四边形，可得。是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA〃。凡

从而可证AP〃平面BEF；

(2)证明BE14P、BELAC,即可证明BE_L平面PAC.

13.答案：解：(1)由48=3,BC=4,4。=5知481.3(：.

vPAJ_底面ABCD,BCu平面ABCD,

PA1BC,

又•:PAQAB=A,PA,ABu平面PAB,

：.BC_L平面PAB,

C到平面P4B的距离为定值BC=4;

(2)设直线PC与平面PAO所成角为a,

■■AD//BC,AB1BC,-.AB1.AD,

X---PA1平面ABCD,ABu平面ABCD,.-.PAA.AB,

又P4n4D=4PA,ADu平面PAD,

AB_L平面PAD,

..B到平面PAD的距离为4B=3,

vBC//AD,ADu平面PAD,BCC平面PAD,

BC〃平面PAD,

C到平面PAD的距离4也等于3,

由PA=3,AC=5,PA1AC,PC=y/PA2+AC2=V34.

设直线PC与平面PAD所成角为a,

解析：本题考查线面垂直的判定，空间的距离，线面平行的判定，直线与平面所成的角，属中档题.

(1)由勾股定理逆定理得AB1BC.根据P4_L底面ABCD,得到P41BC,利用线面垂直判定定理得

BC，平面PAB,即得C到平面PAB的距离为BC=4;

(2)设直线PC与平面PAD所成角为a,AB1平面PAO,得至UB到平面PAD的距离为AB=3,根据

BC//AD,可得BC〃平面PAD,得到C到平面处。的距离d也等于3,用勾股定理计算PC,代入

sina=(可得.

14.答案：(1)证明：因为BC1AB,BC1BE,ABQBE=B,

所以8cl平面ABEF,A~

因为BCu平面BC。，所以平面BCQ1平面ABEF,‘f外

又因为AD〃BC,所以ADI平面ABEF,，':N'\

/--------------------------

因为4£>ua,所以aJ■平面ABEF,/二二止二二二

因为平面BCQna=PQ,所以PQ_L平面A3EF.

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系，

过B作BM1QC于M,过8作BN12Q于M

0),C(2,0,0),4(0,0,2),

因为PQJL平面ABEF,又PQu平面APQ,所以平面4PQ，平面ABEF,

所以BN_L平面APQ,于是前为平面APQ的一个法向量，

取平面APQ的一个法向量沅=(2,0,1),

因为FQ〃4B,所以FQJ_平面BCQ,

FQu平面CFQ,所以平面CFQ_L平面8C。，

所以，平面BCQ,于是丽为平面CFQ的一个法向量，

取平面CFQ的一个法向量记=(2,1,0),

所以平面AP。与平面CFQ所成锐二面角的余弦值为给=*=£

|7n||n|v5-V55

解析：(1)根据直线与平面垂直的判定定理证明；(2)用向量的数量积计算二面角的余弦值.

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.

15.答案：解：(1)证明：如图，连接

3

由AB=A&,乙41aB=60。，所以AABAi为等边三角形

因为&C=2V3,BC=2,4B=4,

所以4避2=+BC2,所以BCJL&C,

又BC1AC,ACn4iC=C.AC.A^Cu平面ACCM],

所以BC1平面4CCi4.

(2)如图，以C为原点，以射线C4CB分别为x,y轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz,

则C（0,0,0）,A（2悔0,0）,B（0,2,0）,公（V，。，子）

4V34V62V32V6

6（7＞。，与-），。（3"，-）

因此砸=(-竽,0,-金,

AB=(-26,2,0),矶=(一管,0,呼).

设平面48B141的法向量为司=（%,y,z）,

喉源之得忙总:可蛔—如）.

设直线与平面4BB14所成角为氏则sin0=|cos（砸，五>1=瑞强=当

因此，直线与平面488送1所成角的正弦值是丑.

3

解析：本题考查线面垂直的判定以及直线与平面所成角，属于中档题；

（1）连接&B,先证BC1,A1C,又BC1力04。041。=04&41。e平面4。（；141，

可得BC_1_平面

（2）以C为原点，以射线C4cB分别为x,y轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz,

可得不=（一?,0,-乎），平面ZBBiA的法向量为元=（应，历,1）.设直线与平面4BB14所成

角为。，则sin9=|cos<A^D,n>\=廖普即可求解.

16.答案：（1）证明：连接4C,交4G于点o,连接on.

由ABC-aBlG是直三棱柱，

得四边形4CG4为矩形，

。为&C的中点，又。为BC中点，

所以0。为A/liBC中位线，

所以4B〃OD,

因为ODu平面ZDG，4包,平面4。。1，所以〃平面4DG；

(2)解：由力BC-&B1C1是直三棱柱，且NABC=90。，

故84,BC,8当两两垂直.

以B为坐标原点所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz“

\AB\=\BC\=2^\,/.ABC=90°,。是BC的中点，

・,.可设14Ali-1,|AB|—\BC\-2,\BD\—|DC|—1,

.♦•4(0,2,0),D(l,0,0),C(2,0,0),G(2,0,1),

.♦.褊=(2,—2,1)，AD=(l,-2,0)，

设平面ADC］的法向量为五=(x,y,z),

则元•温=0,n-AD=0,

(2x-2y+z=0一.八

•••(x-2y=0，F=(2,1,-2),

・•・平面40c的法向量式=(0,0,1),

所以cos(元,4>=器=一|

又因为二面角G—AD-C是锐二面角，

所以二面角Cl一4。-C的余弦值为|.

解析：本题考查直线与平面平行的证明，利用空间向量求解二面角属基础题.

(1)连接4C,交4:1于点O,连接。。.由力BC-4B1C1是直三棱柱，得四边形4CG4为矩形，由此

利用三角形中位线能够证明为B〃平面4DG；

(2)由4BC-4B1Q是直三棱柱，且41BC=9O。，知8A,BC,两两垂直，建立空间直角坐标系,

利用空间向量求解二面角G-4。-C的余弦值即可.

17.答案：解：⑴如图，延长BA,CO相交于E,连接SE,则SE为平面SCO与平面SBA的交线/.

证明:在△S4D中，SA=1,4D=iSD=多则4+如=

SD2,SALAD,

由S41/W,ADLAB,SACtAB=A,SA,AB均在平面SAB内

得4。1平面SAB,

又BC〃加BCJ_平面SA8,贝IJ8C_LSE,

由PD〃BC,AB=BC=1,/ID=1,得4E=1,

AE=AB=SA,可得SEISB,

又：BCQSB=B,BS,BCu平面CSB内，

SE1平面CSB,

即11平面CSB；

(2)由(1)知，SALAB,AD1AB,ADLSA.

以点A为坐标原点，分别以AO,AB,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),D(i,0,0),

S(0,0,1),

前=C，-LO),设页=2元(0<4<l),则QQ,4,1—4),

的=(A,A-1,1-A).

设元=(x,y,z)是平面QBO的一^法向量，

则:'吧，"一'=°，取x=2,可得