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文档简介
第八章第1节《基本立体图形》提高训练题(21)
一、单项选择题(本大题共12小题,共60.()分)
1.如图,已知正方体棱长为4,点H在棱44]上,
且=在侧面BCC1&内作边长为1的正方形EFGCi,尸是侧
面BCGa内一动点,且点尸到平面CDDiG距离等于线段PF的长,
则当点P运动时,|HP|2的最小值是()
A.21B.22C.23D.
25
2.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上,P41平面ABC,PA=ABBC=2,PB与
平面PAC所成的角为30。,则球。的表面积为
A.6nB.127rC.167rD.48兀
3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视
图.则该几何体的体积为()
A.3
C.7
D.y
4.已知直三棱柱ABC-AiBiG的6个顶点都在球面上,若4B=3,AC=4,4B1AC,44i=12,则
球。的半径为()
A.yB.2V10C.3710D.蜉
5.在三棱锥P—ABC中,PAJL平面ABC,4BAC=120。,AP=&,AB=2,M是线段BC上一动点,
线段PM长度最小值为遮,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是()
QtTT_
A.yB.9V27TC.187rD.40兀
6.如图,点P在正方体也的面对角线BCi上运动(P点异于8、C1点),则下列四个
结论:
DC
C]
①三棱锥4-01PC的体积不变:
②力iP〃平面AC。1;
③DP1BCi;
④平面PDBi_L平面
其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.在正方体48。。-481的。1中,三棱锥&-BG。内切球的表面积为4兀,则正方体外接球的体
积为()
A.8乃兀B.367rC.326兀D.64n兀
8.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=1,AC=V3.且二面角B-AC-D为120。,
则三棱锥4-BCD外接球的表面积为()
A.47rB.5兀C.67rD.77r
9.如图,在棱长为2的正方体^^。。一为当口劣中,产为8c的中?F
点,E为正方形BMiAB的中心,动点P在线段EF上,则(PL>i+A;\yy
p:c-1:)2的:最::小值为TP―Wpc
c.174B
D.24
10.在三棱锥P-ABC中,△ABC是直角三角形且4B1BC,/.CAB=30°,BC=2,点P在平面ABC
的射影。点在△ABC的外接圆上,四边形ABC。的对角线BD=2W,AD>CD,若四棱锥P-
4BC0的外接球半径为遥,则四棱锥P-4BC。的体积为()
A.延B.逑C.4V3D,"
333
11.在长方体4BCD-A1B1GD1中,AB=CC]=®BC=1,点M在正方形内,GM1平
面&CM,则三棱锥M-AiCG的外接球表面积为()
A.—B.77rC.117TD.1471
12.正△ABC的边长为2,将它沿BC边上的高AD翻折,使点8与点C间的距离为旧,此时四面体
A-BC。的外接球表面积为()
二、多项选择题(本大题共4小题,共16.0分)
13.正方体力BCD的棱长为1,E,F,G分别为BC,CG,B8i的中
点.贝U()
A.直线劣。与直线AF垂直
B.直线4G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为J
D.点。与点G到平面4E尸的距离相等
14.(多项选择题)正方体4BC。一4B1GD1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC「BBi的中点.则().
A.直线DiD与直线A尸垂直
B.直线&G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为J
O
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
15.已知四棱台ABC。-AiBiRDi的上、下底面均是正方形,其中4B=
2V2,=V2,=BB1=CCX=DDr=2,则下列叙述正
确的是()
A.该四棱台高为百
B.AAi1CCi
C.该四棱台表面积为26
D.该四棱台外接球表面积为16兀
16.如图,正方体ABCD-4B1GD1的棱长为1,E是DDi的中点,则
A.直线为C〃平面&BD
B.BiC1BD1
C.三棱锥G-&CE的体积为]
D.异面直线BiC与8。所成的角为60°
三、填空题(本大题共n小题,共55.0分)
17.如图,正四棱柱4BCD-4当口劣中,AD=1,=2,点P为棱CC]的
中点,M为线段上的一点,则警的取值范围为一.
18.一个半径为1的小球在一个棱长为4伤的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永
远不可能接触到的容器内壁的面积是
19.从空间一点P出发的四条射线两两所成角都为。,则cos8=;
20.如图,直线1_L平面a,垂足为O,正四面体(所有棱长都相等的三棱锥MBCD的棱长为2,8是
直线/上的动点,C是平面a上的动点,求。到点。的距离的最大值.
21.在等腰直角△4BC中,AB=2,/.BAC=90°,AO为斜边BC的高,将△4BC沿A。折叠,折叠
后使△ABC成等边三角形,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为.
22.棱长为12的正四面体A8CO与正三棱锥E-BCD的底面重合,若由它们构成的多面体ABC0E
的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥E-BCD内切球的半径为.
23.已知在棱长为1的正方体中,E为。送的中心,F为CE的中点,过下作
FM1CE交0传于点M,则三棱锥M-DEF体积为.
24.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PA8垂直于底面A8C,AABC与APAB
都是边长为26的正三角形,则该三棱锥的外接球的表面积为.14(一\…二^>c
B
25.如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,
容器内盛有“升水时.,水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置,水面也恰好过点P(图2)
①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半;
②将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P;
③任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P;
④若往容器内再注入〃升水,则容器恰好能装满.
其中真命题的代号是:(写出所有真命题的代号).
26.已知正三棱锥的高为1,底面边长为2百,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径
为.
27.已知正四面体S-ABC的棱长为1,如果一个高为更的长方体能在该正四面体内任意转动,则该
6
长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为.
四、多空题(本大题共2小题,共8.0分)
28.已知四棱锥P-4BCD的底面48C。是边长为2的正方形,且ZP4B=90。.若四棱锥P-4BCD的
五个顶点在以4为半径的同一球面上,当PA最长时,则4PzM=_(1)_;四棱锥P-ABC。的体
积为_(2)_.
29.体积为18遮的正三棱锥A-BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上,球心。在此三棱锥
内部,且R:BC=2:3,点E为线段8。上一点,且DE=2EB,过点E作球。的截面,则所
得截面圆面积的最小值是最大值是_(2)_.
五、解答题(本大题共1小题,共12.0分)
30.如图,四棱锥P-4BC0的底面ABC。是边长为2的菱形,^BAD=60°,已知PB=P。=2,
PA=V6,E为PA的中点.
(1)求证:PC1BD;
(2)求三棱锥P-BCE的体积;
(3)求二面角B-PC-E的余弦值.
【答案与解析】
1.答案:B
解析:
本题考查了空间直角坐标系的应用问题,也考查了空
间中的距离的最值问题,是较难的题目.
建立空间直角坐标系,过点”作1BB',垂足为
连接MP,得出HP?=+Mp2,当"P最小时,”p2
最小,利用空间直角坐标系求出MP2的最小值即可.
解:建立空间直角坐标系,如图所示,
过点”作垂足为M,连接MP,
则HM平面BCC1&,PMu侧面BCCiBi
则1PM,
HP2=HM2+MP2^
当MP最小时,HP2最小,
过P作PNJ.CC',垂足为N,
F(1,4,3),M(4,4,3),
设P(x,4,z),4>x>0,4>z>0,则N(0,4,z),
"PN=PF,7(x-I)2+(z-3)2=x,化简得2x-1=(z-3/;
•••Mp2=(x-4)2+(z-3)2=(x-4)2+2x-1=x2—6x+15>6,
当x=3时,MPZ取得最小值,此时,02="用2+”「2=42+6=22为最小值.
故选:B.
2.答案:B
解析:
本题考查了棱锥外接球表面积的求解,属于中档题.
由题意可知,底面AABC为等腰三角形,根据题意可证明其为等腰直角三角形,易求棱锥外接球直
径为PC,即可求解.
解:•••4B=BC=2,则△ABC为等腰三角形,
取AC中点。,连接B。,则BD1AC,
vPA,平面ABC,BDu平面ABC,
•••BD1PA,
又因为PAnAC=4,PA,ACPAC,
BDJ■平面PAC,
贝此BP。即为P8与平面PAC所成的角,则NBPD=30°,
又P4=2,PB=yJPA2+AB2=2M
则BO=^PB=V2,
则力C=27AB2-BD?=2V2.
则力B2+8C2=ac2,AB1BC,
则AABC为等腰直角三角形,
故三棱锥P-4BC外接球直径为PC=V4T8=2V3.
•••球O的半径为百,表面积为JrrR?=⑵,
故选B.
3.答案:B
解析:
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,难度不大,属于基础题.由已知中的三视图可得:
该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体,进而得到答案.
:由已知中的三视图可得:
该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体,
长方体的长,宽,高分别为:2,1,2,体积为:4,
切去的三棱锥的长,宽,高分别为:2,1,1,体积为:
故组合体的体积展4-i=
故选&
4.答案:A
解析:
本题主要考查了球的内接体与球的关系,球的半径的求解,考查计算能力.通过球的内接体,说明
几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径.
解:因为三棱柱ABC-A/iCi的6个顶点都在球。的球面上,若48=3,AC=4,ABLAC,AAr=12,
所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面々BCG,经过球的球心,球的直径是其对
角线的长,
22
因为48=3,AC=4,BC=5,BCr=V5+12=13.
所以球的半径为:y.
故选A.
5.答案:C
解析:
本题考查的知识要点:三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用.
首先确定三角形48c为等腰三角形,进一步确定球的球心,再求出球的半径,最后确定球的表面积.
解:如图所示:
三棱锥P-A8C中,。4_1平面48(7,AP=y/2,AB=2,
M是线段8c上一动点,线段尸历长度最小值为6,
则当4M1BC时,线段PM达到最小值,
由于PAJL平面ABC,AMu平面ABC,
所以PA_LAM,
所以在RtAPAM中,PA2+AM2=PM2,
解得4M=1,
因为24_L平面ABC,BMu平面ABC,则241BM
由PAdPM=P,PA,PMu平面PAM,
故有8M_L平面PAM,AMu平面PAM,BM1AM,
所以在RtAABM中,BM=y/AB2-AM2=V3>
则tan/BAM=—=V3,则NB4M=60°,
AM
由于NB4c=120°,
所以Z_MAC=/.BAC-Z.BAM=60°
则△ABC为等腰三角形.
所以BC=2炳,
在△ABC中,设外接圆的直径为2「=且一=4,
5171120°
则r=2,
设球心距离平面ABC的的高度为h,则层+22=22+(鱼一九
解得/1=立,
2
所以外接球的半径R回收+(,)2=卡,
则S=4-7T•|=18兀,
故选:C.
6.答案:C
解析:
本题考查线面平行的判定,面面垂直的判定,是中档题.
根据题意,逐项判断即可.
解:
对于①,由题意知ZDJ/BG,从而BG〃平面力DiC,
故BCI上任意一点到平面4AC的距离均相等,
所以以P为顶点,平面力为底面,
则三棱锥力-DiPC的体积不变,故①正确;
对于②,可知:A\C、〃AC,
由①知:4DJ/BG,
所以易得面B&C1〃面
从而由线面平行的定义可得占P〃平面4。历,故②正确;
对于③,由于DCJ■平面BCGBi,所以DCJ.BG,
若DP1BG,贝IBC】J■平面。CP,
BCr1PC,
则P为DC1的中点,与P为动点矛盾,故③错误;
对于④,由_LAC且QB】J.4D1,
可得0/,面AC%,
从而由面面垂直的判定知平面PDBi,平面AC£)i,故④正确.
故选:C.
7.答案:B
解析:
本题考查了球的体积,了解空间几何体的结构特征是解题的关键,是较难题.
设占到面的距离为/?,易得三棱锥4-BCi。为正四面体,则利用等体积法可得力与内切球半
径的关系,进而根据正方体结构特征求得棱长,进而得外接球半径、体积.
解:设正方体的棱长为小儿到面BG。的距离为力,
则BC=A^B=ArD=CW=C]B=4心=缶,
二三棱锥&-BCiD为正四面体,
•••三棱锥4-BG。内切球表面积为4兀,
•••三棱锥4-BGD内切球的半径为1.
匕i-BJP=^O-BC-iD>(。为内切球球心)
即三SABQDx/I=4x-xS^BC'Dx1>
h=4,而九==|x>/3a,a=2V3,
正方体外接球的半径为J。可+(2可+(2可_
-3
2
其体积为:兀X33=367r.
故选8.
8.答案:D
解析:
本题考查棱锥、棱柱的结构特征、球的表面积、正弦定理的应用,考查空间想象能力和思维能力,
属于中档题.
由题意画出图形,将三棱锥4一8。。置于一个直三棱柱4£^-。尸8中,直三棱柱4DE-CFB的外接
球即为三棱锥4-BCO的外接球,则外接球心0在上下底面三角形外心连线线段的中点,利用正弦
定理可求aADE的外接圆半径',故可求得三棱锥A-BCD的外接球的半径,代入球的表面积公式得
答案.
解:由题意可得乙1CB=ACAD=90°,将三棱锥4-BCD置于一个直三棱柱4DE-CFB中,如图所
示:
由二面角B-AC-。为120。可知,NE40=120°,直三棱柱ADE-CFB的外接球即为三棱锥A-BCD
的外接球,
外接球心O在上下底面三角形外心连线线段的中点,
在△4DE中,AD=AE=1,/.EAD=120°,得DE=6,
设外接球半径为R,△40E的外接圆半径为r,
由正弦定理得2「=丁器帚=2,解得r=1,
又球心到底面AOE的距离d=-AC=乌
22
所以外接球的半径R=尸不源=包
2
三棱锥4-BCD的外接球的表面积为47r-(y)2=7兀.
故选:D.
9.答案:B
解析:
本题主要考查空间几何体的结构特征,考查空间的距离,是中档题.
通过化曲为直,把平面GFE绕EF旋转直到与平面DiEF重合,使得点名与G位于E尸的两侧,再求
最值问题即可得解.
如图(1),
图(1)图(2)
连接DiE,EG.,D]F,C/,&E,EB,
把平面GFE绕EF旋转直到与平面DiE/重合,如图(2),使得点%与G位于E尸的两侧.
在正方体4BCD-A/iCiA中,因为ADiAiE为直角三角形且&D1=2,A、E=丘,故=遍.
同理EF=百,DiF=3,JE=巫,C、F=居
22
故DrE+EF=0/2,故小QEF为直角三角形且/Z\EF=90°.
又PDi+PG的最小值就是图(2)中DiG的长,
在图(2)中,由余弦定理可得cos/FEG=23:屏=争故sin/FEG.=~r
所以COSNDiEG=cos(^+NFEQ)=-y.
D©=6+6+2x76x76x^=12+W7,
所以(PDi+PCJ2的最小值为12+4位.
10.答案:B
解析:
本题考查三棱锥的外接球问题,四棱锥的体积的求法,考查运算求解能力,属较难题.
由题意可得取BC中点E,则E为三角形ABC外接圆的圆心,由余弦定理可得NBED=120。,从而
可以得出BD1AC,/.BAD=60°,设三棱锥的外接球的圆心为O,由EB=2,OB=V5可以推出0E=
1,从而PD=2OE=2,再利用四棱锥的体积公式求解即可.
解
p
A
在三棱锥P-ABC中,
△ABC是直角三角形且4B1BC,乙CAB=30°,BC=2,
•••AC=2BC=4,AB=V16-4=2百,
取BC中点E,
则4E=BE=CE=2,
即E为三角形ABC外接圆的圆心,
•:点P在平面ABC的射影D点在△4BC的外接圆上,
四边形ABCD的对角线BD=2次,AD>CD,
4BED=120°,
又乙BEC=2ACAB=60°,
则AC平分NBEO,
则BC_L4C,ABAD=60°,
•••AD=AB=BD=2A/3,
BC=CD=2,
设球心为。,
则OE1平面BADC,
••・ED=EB=2,四棱锥P-ABCD的外接球半径为6,
OE=V5-4=1.
二四棱锥P-ABC。的高PO=2OE=2,
•••四棱锥P-4BCD的体积为:
1
v=§Xs四边形BADCXPD
11
=~x(-x71CxBD)xPD
11「
=-x-x4x2V3x2
_873
—3•
故选:B.
11.答案:c
解析:
本题主要考查线面垂直的判断及性质,以及三棱锥外接球表面积的求法,一般题型.
结合题意,先得到点M为正方形CDD1C1对角线的交点,再根据三棱锥外接球的性质,求得外接球半
径,即可得到答案.
解:在长方体2BCD一4/停1。1中,AB=CCX=V2.BC=1,
则G,D1CD1,A1D11C1D,A1D1nCD±=Dx,
即GD_L平面小。iC,又平面AMiC,
则C1D14C,在正方形CDDiG内,CD]与相交于M,
则GM1CM,GM14C,CMCl41c=C,
即GM1平面41CM,
故点M即为正方形CDOiG对角线的交点,
由题意可得,在三棱锥M-AiCCi中,
GM=1,BM=IMIC=V5M1M=&,
在AaMC中,cosMMC=费瑟=一争
则sinN&MC=—,
12
所以,△&MC的外接圆半径为r=盘=?,
2
所以三棱锥M—&CG的外接球半径为R=J段?+卢==手,
即三棱锥M-41CC1的外接球表面积为S=4兀R2=117T.
故选C.
12.答案:D
解析:
本题考查空间想象能力,对球模型的转换能力,考查棱锥的结构特征,属于较难题.
三棱锥A—BCD中,BD1AD,DC1DA,底面是等腰三角形,它的外接球就是它扩展为三棱柱的外
接球,求出三棱柱的两底面中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径,然后求球的表面积即可.
解:翻折过程如图所示:
则BOID、DC1DA,底面△BCD是等腰三角形,
而BDCZ)C=。,且80,DCu平面BCO,
故AZXL平面BCD,
则可将三棱锥4-BC0补形为三棱柱,
三棱柱中,底面ABDC,BD=CD=1,BC=痘,
在三角形BC。中,由余弦定理可得=BD2+CD2-2BD-CDcosZ.BDC,
即3=1+1-2cos乙BDC,解得C0S4B0C=
•••乙BDC=120°,
在4BDC中,利用正弦定理求得△BDC的外接圆的半径为三x-^-=1,
2sinl20°
由题意可得:球心到底面的距离为也=式,
22
•••球的半径为r==它.
742
外接球的表面积为:4717*2=7兀,
故选O.
13.答案:BC
解析:
本题考查空间直线与平面的位置关系,主要是平行和垂直,记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅
速解题的关键,同时考查截面的画法及计算,以及空间异面直线所成的角的求法,属于较难题.
利用向量法判断异面直线所成角;利用面面平行证明线面平行;作出正方体的截面为等腰梯形,求
其面积即可;利用等体积法处理点到平面的距离.
解:对选项人以。点为坐标原点,DA.DC、DDi所在的直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐
标系,
-111
则。(0,0,0)、4(100)、41(1,0,1)、Eq,1,0)、F(0,l,-),。式0,0,1).
从而=(0,0,1)>AF=(-
从而•4F=g40,
所以直线。。1与直线AF不垂直,选项A错误;
取81cl的中点为M,连接为M、GM,
则易知41M〃/1E,
又4也C平面AEF,AEu平面AEF,
故41M〃平面AE凡
又GM"EF,同理可得GM〃平面AEF,
又=&M、GMu平面&GM,
取平面A[MG“平面AEF,
又4Gu平面&MG,
从而A[G“平面AEF,选项B正确;
对于选项C,连接4%,DrF,如图所示,
•••正方体中4D//BCJ/EF,
•••力、E、F、劣四点共面,
四边形AEFDi为平面AEF截正方体所得的截面四边形,且截面四边形4EFZ\为梯形,
又由勾股定理可得DiF=AE=苧,AD、=瓜EF=专,
••・梯形AEF5为等腰梯形,高为J隹y_(限建)2=运,
所以5郴%IEF01=3X+W)X当^=1,从而选项C正确;
对于选项D:由于S^GE"=S梯形BEFG~S^EBG
11111
X-------X-X-=
41+》222249
1111
而S&ECF=-X-X
2228’
而匕-GEF=1S&EFG'AB,VA-ECF=i^ECF'AB,
所以匕-GEF=2以_ECF,即%TEF=^C-AEF9
点G到平面AEF的距离为点C到平面AE尸的距离的二倍,从而。错误.
故选BC.
14.答案:BC
解析:
本题考查了简单多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征、空间中直线与直线的位置关系、空间中
直线与平面的位置关系和空间中的距离,建立空间直角坐标系,由空间向量判定A;由面面平行得
出线面平行,可判断&易知四边形AEFDi为平面AEF截正方体所得的截面四边形,计算可判断C;
(法一)以_GEF=2%_ECF,即%TEF=2VC.AEF,所以点G到平面AE尸的距离为点C到平面AE尸的
距离的2倍,故选项。错误.(法二)假设点C与点G到平面AEF的距离相等,找出矛盾即可.
解:对于选项A,以。点为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间
直角坐标系,
则。(0,0,0),5(0,0,1),4(1,0,0),F(0,l,y,从而砥=(0,0,1),(-1.1.1
所以西•而=1#0,所以劣。与直线A尸不垂直,选项A错误.
对于选项B,取名口的中点为M,连接GM,则41M//AE,ArM仁平面AEF,AEu平面AEF,
.♦.&M〃平面AEF;又GM〃EF,GM<t平面4£下,EFu平面AEF,MG〃平面AEF,
又41MCMG=M,所以平面4MG〃平面4EF,&Gu平面&MG,从而&G〃平面AE凡选项B
正确.
对于选项C,连接4历,DrF,易知四边形AEFOi为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图),且
DiH=AH=居ArD=&,
所以SAXW=;xgX'(,^广-(\2)=:,而S四边形AEFD1=双皿H=所以选项C正确.
对于选项O,(法一)因为S^GEF=3X1X弓=£,S£CF=7X?X?=R,^A-GEF=7^AEFG,—77,
z/qAzzzo3iz
匕-ECF=&S.ECF•48=彳
所以吸-GEF=2%_ECF,即%-4EF=2%YEF,所以点G到平面AE尸的距离为点C到平面AEF的距
离的2倍,故选项。错误.
(法二)假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将线段CG平分,则平面4EF必过CG
的中点,连接CG交E尸于点O,易知。不是CG的中点,故假设不成立,从而选项。错误.
故选BC.
15.答案:AD
解析:
本题考查立体几何中位置关系,表面积,外接球的问题,属于难题.
根据棱台的性质,补全为四棱锥,根据题中所给的性质,进行判断.
解:由棱台性质,画出切割前的四棱锥,
由于力6=2及,=血,可知△"蜴与相似比为1:2;
则S4=244=4,40=2,则SO=2JJ,则。。=百,该四棱台的高为JJ,4对;
因为"=SC=/C=4,则与CG夹角为60°,不垂直,8错;
该四棱台的表面积为S=S卜底+S.麻+S翻=2+8+4x述箸x当=10+6夕,C错;
由于上下底面都是正方形,则外接球的球心在OQ上,
在平面48OQ上中,由于=百,8,=1,则04=2=08,
即点O到点B与点片的距离相等,则r=OB=2,
该四棱台外接球的表面积为16万,C对,
故选:AD.
16.答案:ABD
解析:解析:
本题主要考察的是向量法在几何中的运用,难度一般,属于中档题.
建立空间直角坐标系。利用空间向量法一一验证即可.
解:以48为x轴,4。为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,可得:瓦工=(0,1,-1),西=
(-1,1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1)>
故瓦下•前1=一1x0+1x1+1x(-1)=0,故两向量垂直,故8正确;
B^C-BD=-lxO+lxl+(-1)x0=1,|B7C|=V2,|BD|=V2,
设异面直线&C和8。所成的角为。,则cos。=禹偌i=i
又因为。€(().1,所以小;,故。正确;
设平面4BD的法向量为元=(x,y,z),
则俨•町=0,的尸=2
(n-=0J+z=0
取为=(1,1,1),则元•布=0x1+1x1+1x(-1)=0即记1瓶,
又因为直线BiC不在平面&BD,所以直线BiC〃平面&BD,故4正确;
=%1-GCE=,SgCE=9xlx[xlxl=,,
故c不正确.
故选ABD.
17.答案:怜胡
解析:
本题以正四棱柱为载体,考查空间几何体中线段长度相关问题,属于较难题.解题时可先建立空间直
角坐标系,设出M点坐标,再分类讨论即可.
解:由图得4(1,0,0),4(1,0,2),P(0,l,1),8(1/,0),
设M(x,y,z),
在上,二丽=4西,BP(x-l,y-l,z)=A(0,-l,2)(0<A<1),
M(l,l-2,22),AM=(0,A-1,-2A)«~MP=(-1,2,1-2A).
.AM_/~(——1)2+4-2__/sA2-2A+1_IT~~2A-1
••MP--J1+A2+(1-2A)2-\5A2-41+2-1+5A2-4A+2,
令=则酝曝4t
5t2+2t+5,
当时,即4tK=^4e[-[”1o)\,
当te(0,1]时,=启«0母,
当"。时,4=0,二思袅十制,则翳噌,甯
18.答案:72V3
解析:
本题考查棱柱的结构特征,本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么,看出是一个正三角形,
这样题目做起来就方向明确.
小球与正四面体的一个面相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,正
四面体的棱长为4茄,故小三角形的边长为2遍,做出面积相减,得到结果.
解:如图甲,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为r,作平面4&G〃平面ABC,
与小球相切于点。,则小球球心。为正四面体P—AiBiCi的中心,PO1面4B1G,垂足。为&B1G
的中心.
因匕-八心仆=7、"PD=1I”.1出c=」•()D,
MO
故PD=40D=4r,从而P。=PD-OD=4r—r=3r.
记此时小球与面PAB的切点为B,连接。Pi,
则PPi=PO2-OPl=V(3r)2-r2=2V2r.
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况,易知小球在面PAB上最靠近边的切点
的轨迹仍为正三角形,记为PiEF,如图乙.
记正四面体的棱长为“,过自作AM1P4于M.
因4Mpp1=也有PM=PP]•cosMPPi=2V2r-y=V6r.
故小三角形的边长PiE=PA-2PM=a-2V6r.
小球与面PAB不能接触到的部分的面积参考图乙、
S^PAB-S^EF=-j-(«*-(«-2>/^r}2)=3y/2ar—6\/3r2,
又r=1,a=4>/6,所以SAPAB—SMEF=244—6x/5=
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72g.
故答案为72次.
1
19.答案:
解析:
本题考查异面直线所成角的求解,涉及勾股定理及余弦定理的应用,属于难题.
构造正四面体4BCO中,中心P到各顶点连线所夹的角相等,则乙4PD就为所求的角,由此能求出
这个角的余弦值.
解:如图,正四面体ABCQ中,中心P到各顶点连线所夹的角相等,则NAPD就为所求的角,
设正四面体A8C。的棱长为小作4E_1_面88,垂足为E,作BF_LCD,交CZ)于F,则PW4E,EeBF,
连结AF,
则BF=小2一(乎=,a,BE=1BF=ga,AE=Ja2-=y
设.=PB=r,则PE=9-r,
则N=wa)?+(当a—r)2,解得r=华a,
PA2+PD2-AD2
所以cos乙4Po=
2PAPD
所以这个角的余弦值为-a
故答案为-
20.答案:1+V3
解析:
本题考查空间点与直线的距离的求法,考查空间想象能力以及转化思想的应用.
直线BC与动点。的空间关系:点。是以BC为直径的球面上的点,最大距离为力到球心的距离+半
径.
解:由题意,直线与动点。的空间关系:点。是以BC为直径的球面上的点,
所以。到。的距离为四面体上以8C为直径的球面上的点到D的距离,
由正四面体(所有棱长都相等的三棱锥MBCD的棱长为2,
则。到BC中点的距离为百,
最大距离为。到球心的距离+半径=遍+1.
O到点D的距离的最大值为1+V3>
故答案为1+VT
21.答案:67r
解析:
本题考查平面图形折叠中的线面关系以及球体,考查空间想象能力、转化与化归能力、运算求解能
力,属于中档题.
由题意,可得8c=2,AD=BD=CD=6,通过计算判断8。_LC。,再由4。1BO,AD1CD,
可知以A,D,B,C为顶点构造正方体,该正方体的外接球就是三棱锥4-BCD的外接球,求出正
方体对角线长可得球的半径,再由球的表面积公式可得.
解:沿折登后使△ABC成等边三角形,即折叠后BC=2,
易得AD=BD=CD=遮,
222
而+CD2=(72)+(V2)=4=BC,所以BO1CD,
又4D1CD,.••以A,D,B,C为顶点构造正方体,
则该正方体的外接球就是三棱锥力-BCD的外接球,
设三棱锥4-BC。的外接球的半径为R,
则(2R)2=DA2+DB2+DC2=(V2)2+(V2)2+(V2)2=6,
解得R2=|,
所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4nR2=4兀x|=6兀.
故答案为67r.
22.答案:3V2—V6
解析:
本题考查棱锥的结构特征以及棱锥的体积,属于较难题;
由题意得正四面体488的高为4声,外接球的半径为3布,由题意得正棱锥E-BCD的表面积5=
36(3+73),
体积/_BCD=72vL设正三棱锥E-BCD的内切球的半径为r,由[sr=72或,得r=3近一历;
即可求解.
解:•••棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E-BCD的底面重合,
由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,
••・多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球,且其外接球的直径为AE,
由题意得正四面体ABCD的高为4痣,
设正四面体ABC。的外接球半径为R,
则/?2=(4①—R)2+(4^6)2,解得R=3V6,
设正三棱锥E-BCD的高为h,
,:AE=6y/6=4V6+h,
h=2V6,
•••底面△BC。的边长为12,
•••EB=EC=ED=J(2峋2+(4⑹2=g五,
则正三棱锥E-BCD的三条侧棱两两垂直,
由题意得正棱锥E-BCD的表面积S=36(3+V3).
体积/_8CD=|X|X6V2X6V2X6V2=72V2,
设正三棱锥E-BCD的内切球的半径为r,
由5s-r=72V2,得r=3V2—V6.
故答案为3位-连.
23.答案:白
48
解析:
本题主要考查了三棱锥的体积,属于中档题.
利用等体积法进行转化,结合棱锥的体积公式求解.
解:如下图,
在正方体4BCC中,可以证得0通JL平面为CCB1,
又CEu平面&DCB1,
所以1CE,
在平面0EC中,DrE1CE,FM1CE,
所以FM〃O】E,
又尸为CE的中点,所以M为DiC的中点,
所以%-DEF=2^M-DCE=4KDJ-DCE
VcDDA=XX1X1X1=
=;K;-DED1=--^T63^-
故答案为L
48
24.答案:207r
解析:
本题考查求三棱锥的外接球的表面积,考查学生的计算能力,确定球的半径是关键,属于中档题.
由题意,等边三角形的高为3,设球心到底面的距离为x,则"=22+/=12+(3一乃2,求出招
可得r,即可求出该三棱锥的外接球的表面积.
解:由题意,如图,
可得等边三角形的高为3,
设球心为O,半径为r,设球心到底面ABC的距离为x,
则N=22+x2=12+(3-x)2,
所以x=l,所以「=而,
所以该三棱锥的外接球的表面积为4仃2=207r.
故答案为207T.
25.答案:②④
解析:
本题主要考查棱柱、棱锥的知识,解答本题的关键是知道设出图①的水高,和几何体的高,计算水
的体积,容易判断①、④的正误;对于②,当容器侧面水平放置时,P点在长方体中截面上,根据
体积判断它是正确的.根据当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,计算水的体积和实际不符,是错
误的.
解:设正四棱柱底面边长为江图①水的高度电儿何体的高为心,
22
图②中水的体积为川八]—bh2=b(/ii-殳),
所以182/^=82(刈―%),所以九IMGB,故①错误,④正确;
对于②,当容器侧面水平放置时,P点在长方体中截面上,又水占容器内空间的一半,所以水面也
恰好经过尸点,故②正确。
对于③,假设③正确,当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,经计算得水的体积为fl匕2九2>|/电,
矛盾,故③不正确。
故选②④.
26.答案:V2-1
解析:
本题考查了多面体(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征,以及几何体的内切切球的半径的求法.
解:过点P作P01平面ABC于点£>,连接AO并延长交BC于点E,连接PE,
♦.,△4BC是正三角形,
•••4E是8c边上的高和中线,。为△力BC的中心,
vAB=2V3.
S△ABC=3V3,DE=1,PE=V2.
5表=3x1x2V3xV2+3V3=3V6+3A/3,
•••PO=1,.•.三棱锥的体积V=|x3V3x1=V3,
设球的半径为r,以球心。为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥,贝b=
3V6+3V3
故答案为四—1.
27.答案:(
解析:
本题考查了正四面体的性质、勾股定理、正三角形的性质、长方体的体对角线与其外接球的直径之
间的关系,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.
要满足一高为隹的长方体能在该正四面体内任意转动,则长方体的体对角线长不超过正四面体的内
6
切球的直径.利用正四面体的性质可得内切球的半径,利用长方体的体对角线与内切球的直径的关
系、基本不等式的性质即可得出.
解:设正四面体S-力BC如图所示,
可得它的内切球的球心。必定在高线S”上,
延长A,交BC于点。,则。为BC的中点,连接SZ),
则内切球切于点E,连接A0.
是正三角形ABC的中心,
AH:HD=2:1,
•:RtAOAHsRt△DSH,
~=可得。4=3。"=SO,
OHDH
因此,SH=40H,可得内切球的半径R=OH=1SH.
4
•••正四面体棱长为1,
•••Rt中,
SD=y/SH2+HD2
1V3。
=J(4R)o2+qX^)2
-_-V3,
2
解得R2=A.
24
要满足一高为立的长方体能在该正四面体内任意转动,
6
则长方体的对角线长不超过正四面体的内切球的直径,
设该长方体的长和宽分别为X,必
该长方体的长和宽形成的长方形面积为S.
・,・4产>(f)2+/+y2,
•••x2+y2<卷,
x2+y2
・・・Sxy<S京当且仅当x=y时取等号),
2
故答案为A.
24
28.答案:90°
8V14
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