高中数学专项练习：函数与导数解答题

函数与导数解答题

1、已知函数f(x)=(2x2—kx+k)•ex

(I)当M为何值时，/(x)无极值；(II)试确定实数&的值，使/(x)的极小值为0

解：(I)v/'(x)=(4x-k)e-x+(.2x2-kx+k)(-l)e-x

=[-2x2+(4+k)x-2k]e-x^-2(x--)(x-2)e-x...........3分

2

.•.k=4时，r(x)=-(x-2)2e-xW0,.\/(x)在R上单调递减,

所以，f(x)无极值........................6分

(II)当女。4时，令/(x)=—2(x—g)(x—2)**=0,得玉=3，》2=2

k

(1)k<4时，一<2,有

2

X、k_(|，2)2

(/-8,5k)(2,+oo)

2

0+0

/,(X)--

极小值极大值

f(x)T

令于q=0,得2x(g)2-Axg+k=0,即k=0................9分

(2)k>4时，->2,有X2W)k_k

2(-8,2)

2(5什)

令/⑵=0,得k=8所以，<00>00<0

f,M

由(1)(2)知，k=0或8

极小值极大值

f(x)JTJ

时，/(X)有极小值0

2、已知函数/(x)=ax+Inx(aeR).

(I)若。=2,求曲线y=/(x)在x=l处切线的斜率；

(11)求/。)的单调区间；

(III)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x«(0,+8),均存在々e[0,1],使得

/(Xi)<g02)，求。的取值范围.

解：(1)由已知-&)=2+』(*>0),...........2分

/⑴=2+1=3.

故曲线y=/(x)在X=1处切线的斜率为3.4分

(II)f'(x)=a+—=aX+-(x>0).............5分

XX

①当aNO时，由于x>0,故ax+l>0,/'(x)>0

所以，的单调递增区间为(0,+8).............6分

②当a<0时，山/")=0,得x=-：.

在区间(0,-3上，/'(X)>0,在区间(-L+8)上f(x)<0,

aa

所以，函数〃x)的单调递增区间为(0,-3,单调递减区间为(-1,+8).

aa

............7分

(III)由已知，转化为/(BmaxVgC^max.............8分

g(X)max=2............9分

由(H)知，当a20时，/(X)在(0,+-)上单调递增，值域为R,故不符合题意.

(或者举出反例：存在/(e3)=ae3+3>2,故不符合题意.)............10分

当a<0时，/(x)在(0,-3上单调递增，在(-L+-)上单调递减，

aa

故/(x)的极大值即为最大值，/(--)=-1+ln(—)=-1-ln(-a),.....11分

a-a

所以2>—1—ln(—a),

解得a<_4.............12分

e-

3、设函数/(x)=x—aei。

(l)求函数/(x)单调区间；

(ID若/(x)W0对xeR恒成立，求a的取值范围；

(III)对任意n的个正整数4,电…,。“记A="+—+

n

a

(1)求证：~7-eA(i=l，2,…")(2)求证：A冽4生…4

A

解：⑴fXx)=l-ae'-'............1分

当时，/'(x)>0,/(x)在R上是增函数........2分

当a>0时，令/'(x)=0得x=1—Ina................3分

若x<l—lna则/'(x)>0,从而/(x)在区间(一^/一皿/上是增函数

若x>l-lna则/'(x)<0,从而/(X)在区间(1一Ina,+8)上是减函数

综上可知：当aWO时，/(x)在区间(—8,+8)上是增函数。当。>0时，在区间

(―g,l-lna)上是增函数，f(x)在区间(1—Ina,+-)上是减函数.......4分

(II)由(I)可知：当aWO时，/(x)W0不恒成立.......5分

又当。>0时，/(x)在点x=l-Ina处取最大值，

且/(I一Ina)-\-\x\a-ae~'na=-lna............6分

令-Ina<0得a>1

故若/(x)W0对xeR恒成立，则a的取值范围是[1,+-)……7分

(III)证明：(1)由(II)知：当。=1时恒有/。)=无一"TW0成立

即x<ex'l

aJ

:.—<eA............9分

A

a，—-ia-,--ia--i

(2)由(1)知：—<eA；—<eA；...；—<eA

AAA

把以上〃个式子相乘得“生…％w'=1

A"

H

.•・A>a[a2--arl

故A2%出・••g................12

4、已知函数f(X)=q/-号V+x+b,其中。力eR.

(I)若曲线y=/(x)在点P(2,/(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;

(II)当。>0时，讨论函数/(x)的单调性.

解：(I)/'(x)=ax2_(a+i)x+i,-------1分

由导数的几何意义得1r(2)=5,于是a=3.----------3分

由切点P(2,/(2))在直线y=5%—4上可知2+。=6,解得。=4.5分

所以函数/(元)的解析式为/(%)=/_2/+X+4.------6分

(II)f\x)=ax2-(6Z+l)x+1=6Z(X--)(x-1),----------7分

a

当0<。<1时，->1,函数/(X)在区间(-8,1)及(_L,+8)上为增函数；

aa

在区间(1,')上为减函数；-----------------------------------9分

a

当0=1时，1=1,函数/(X)在区间(―8,+8)上为增函数；----------10分

a

当。>1时，-<1,函数/(X)在区间(一8,3及(1,+8)上为增函数：

aa

在区间('，1)上为减函数.----------------12分

a

命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨

论的数学思想。

5、已知函数/(x)=(ax2-2x+l>ef(aeR,e为自然对数的底数).

(I)当时，求函数“X)的极值；

(II)若函数/(x)在卜1,1］上单调递减，求a的取值范围.

解:(I)当a=l时,f(x)=(x2-2x+l)-e-x,

广(x)=(2x-2)-er-(x2-2x+l)-e-x=-(x-l)(x-3)-e-x..........2分

当x变化时，/(x),/'(x)的变化情况如下表：

(-8,1)

X1(1,3)3(3-8)

fXx)

——0+0—

极小极大

/(x)递减递增递减

值值

所以，当a=l时，函数/(x)的极小值为/(1)=0,极大值为/(3)=4"3..........5分

(II)于'(x)=(2ax—2),e'—(ax~—2.x+1),e'=—e''-2ax—2x+3]

令g(x)=ax2-2(。+l)x+3

①若a=0,则g(x)=—2x+3,在(一1,1)内，g(x)>0,即/'(x)<0,函数/(x)在区

间［一1,1］上单调递减............7分

②若a>0,则g(x)=ax2-2(a+l)x+3,其图象是开口向上的抛物线，对称轴为

当且仅当g⑴20,即0<aWl时，在(一1,1)内g(x)>0,/(x)<0,

函数/(%)在区间［―1,1］上单调递减.............9分

③若。<0,则g(x)=ax2-2(a+l)x+3,其图象是开口向下的抛物线，

当且仅当,即-：Wa<0时，在(一1,1)内g(x)>0,f\x)<0,

函数/(x)在区间上单调递减...................11分

综上所述，函数/")在区间［—1,1］上单调递减时，a的取值范围是—.…12分

6、已知函数/(x)=(/-3x+3)•e",设r>-2,f(-2)-m,f(t)-n.

(I)试确定，的取值范围，使得函数”x)在［-2,f］上为单调函数；

(II)试判断〃的大小并说明理由；

(DI)求证：对于任意的/>-2,总存在x°w(-2j),满足/詈=：。-1)2,并确定这样

的X。的个数.

解：(I)因为/'。)=(》2-31：+3>/+(2%—3>，=武工一1>靖--------1分

由/'(》)>0=》>1或》<0；由/'(x)<0=0<x<l,

所以/(x)在(一8,0),(1,+8)上递增，在(0,1)上递减--------3分

要使/(x)在［一2,“上为单调函数，则一2<fW0-------4分

(II)因为/(x)在(-8,0),(1,+8)上递增，在(0,1)上递减，

.../(X)在x=l处有极小值e-------5分

13

又/(一2)==<e,

e

/(x)在［―2,+oo)上的最小值为/(—2)-------7分

从而当^>一2时,/(一2)</«),即〃?<〃--------8分

(in)证：又•.•£^2=2”一ip,

ex°e*3

Xi/-/=g(，-if，

22

令g(X)=--X-§(f-1)2，从而问题转化为证明方程g(x)=/一X—§(f-1)2=0

在(-2,r)上有解，并讨论解的个数--------9分

22

g(-2)=6-§Q-l)2=_§Q+2)(f-4),

2i

g(f)=f(f-1)—§(f-l)2=§(f+2)(f-l),------------10分

①当，>4或—2<f<l时,g(—2>g(f)<0,

所以g(x)=0在(-2,f)上有解，且只有一解----------11分

2

②当1<f<4时,g(—2)>OiLg(f)>0,但由于g(0)=-§(f—I)?<0,

所以g(x)=0在(-2,f)上有解，且有两解------------12分

③当t=1时,g(x)=x2-x=0=>x=0或x=1,故g(x)=0在(一2/)上有且只有一■解；

当f=4时,g(x)=f-x-6=0=>x=-2或x=3,

所以8(幻=0在(—2,4)上也有且只有一解------------13分

2

综上所述，对于任意的t>-2，总存在x0e(—2/)，满足手)=|(/-1),

且当年4或-2<fWl时，有唯一的x0适合题意；

当l<f<4时,有两个小适合题意.--------14分

2

(说明:第(3)题也可以令9(x)=x2—x,xe(-2/),然后分情况证明］(f—1)2在其值域

内)

7、已知函数/(x)=lnx—ax2+(q—2)x.

(I)若)(X)在X=1处取得极值，求。的值；

(II)求函数y=/(x)在出2,例上的最大值.

解：(I)•••/(x)=lnx—ax2+(q-2)x,.•.函数的定义域为(0,+8).i分

-1__1_2izx~+(o—2)x_(2x—l)(izx+1)..

f\zx)=一一2ax+(a-2)=-------------------—=----------------.3分

XXX

・・♦/(X)在冗=1处取得极值，

即广⑴=_(2-1)(〃+1)=0,

.•.〃=—1.5分

当。=一1时，在(；,1)内/'(x)<0,在(1,+8)内/'(x)>0,

,x=1是函数y=/(x)的极小值点./.a=-1.6分

(II),：a2<a,/.0<a<1.7分

41_2以2+(a-2)x_(2x-l)(ax+l)

j(X)=2QX+(q-2)=---------------=--------------

xxx

•/x£(0,4-co),/.6fX+1>0,

.•./(x)在(0,；)上单调递增；在g,+8)上单调递减，9分

①当时，/(x)在［片,。］单调递增，

二/max(X)=/(&)=Ina-a'+t?-2a；10分

1

a>-nr

②当［2,即L<a<3n寸，/(x)在(/一)单调递增，在(士。)单调递减,

12222

a2<—

2

•'1=n2-4+—=4-1-n2；11分

1/y

③当一</,即时;/(x)在［/，0单调递减，

，工伽(“)=/(。2)=21n4-/+/-2/.12分

综上所述，当0<awg时，函数y=/(x)在上的最大值是

In〃—o'+—2〃；

1J?

当万<a<—时，函数y=/(x)在上的最大值是1―1—In2；

B

当〃-时，函数y=/(x)在伍2,〃］上的最大值是

2In。—o'+/—2/.13分

8、已知函数/*)=(〃/-%)lnx-^ax24-x.(aeR).

(I)当。=0时，求曲线y=/(x)在(ej(e))处的切线方程(e=2.718...);

(II)求函数f(x)的单调区间.

解：(I)当。=0时，f(x)=x-x\nx,f*(x)=-Inx,2分

所以〃e)=0,f\e)=-\,..................4分

所以曲线卜=/(x)在(e,/(e))处的切线方程为了二-x+e...................5分

(11)函数/(x)的定义域为(0,2)

f'(x)=(ax2—x)—+(lax-1)Inx-ax+1=(lax-1)Inx,..............6分

x

①当a40时，2ax-l<0,在(0,1)上/>'(x)>0,在(l,+8)上/(x)<0

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上递减：............................8分

②当0<。<1时，在(0,1)和(，,+oo)上/,(x)>0,S(1,—)±/'(%)<0

22a2a

所以/(x)在(0,1)和(工,一)上单调递增，在(1,口~)上递减；................10分

2a2a

③当a时，在(0,8)上，(x)对且仅有了'⑴=0,

所以/(x)在(0,+oo)上单调递增；......................12分

④当时，在(0,工)和(1,+8)上/")>0,在(-?-[)上八x)<0

22a2a

所以/(x)在(0,—)和(1,+8)上单调递增，在(―,1)上递减..............14分

2a2a

9、已知函数/(x)=(l—q)e、(x>0),其中e为自然对数的底数.

x

(I)当。=2时，求曲线y=/(x)在(1,/(I))处的切线与坐标轴围成的面积；

(II)若函数/(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e)

求a的值.

2

m/T、.X—ax+ax

解：(I)f(x)=----------e\3分

当a=2忖，f\x)=x2-2^+2er,

x~

广⑴=­p—xe1=e,/(l)=-e,

所以曲线y=/(x)在(1J⑴)处的切线方程为了=*一26,5分

切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0),(0,—2e),6分

所以，所求面积为工x2xk2e|=2e.7分

(II)因为函数/*)存在个极大值点和一个极小值点，

所以，方程产-6+。=0在(0,+8)内存在两个不等实根，8分

e△=-4a>0,八

则19分

a>0.

所以a>4.10分

设士,》2为函数/(x)的极大值点和极小值点，

则xt+x2=a,xtx2=a,11分

5

因为,f(xl)f(x2)=e,

所以，士N.e』x上二区e-=e‘，12分

王々

a5

即中)XXa—a，e=e,

2+/+4Q,+2_e5,+"e"=e,

XjX2a

解得，〃=5,此时/(幻有两个极值点，

所以。=5.14分

3

10、已知函数/(x)=ax3--(cz+2)x2+6x-3.

(1)当。=1时，求函数/(%)的极小值；

(2)试讨论曲线y=/(x)与x轴的公共点的个数。

22.(本小题满分12分)

(I)函数的定义域为(-1,+8)........................................................................1分

・・

・/,(7r)\=2［(r+l)--1-1］=2x、(r+2/),

x+1r+1

由/'(力>0，得*>0;由广〃)<0，得一................3分

f(*)的递增区间是(0,+8>递减区间是(-1,0).............................4

分

(II),/由/(x)=2伞+2)=0,得产0,产-2(舍去)

X+1

由(I)知f(*)在［1—1,0］上递减，在［0,上递增.

又/(l-l)=X+2./(e-l)=e'-2,且/-2>l+2.

eee-

•••当xed-Le-l］时，f(x)的最大值为区-2.

故当时，不等式f(*)<而恒成立..........................8分

(III)方程/(1)=/+1+。，x-+1-2ln(l+x)=0.

记g*)=/-。+1-21n(l+x),

2x-1

x+l

由g'(x)>0,得X>1或KT(舍去).由g'(x)<0,W-1<X<1.

/.g(x)在［o,1］上递减,在［1,2］上递增.........................10分

为使方程/(x)=x2+x+”在区间［0,2］上恰好有两个相异的实根，

fg(0)20,

只须g(x)=0在［0,1］和(1,2］上各有一个实数根,于是有<0

OV/qU，

g(2)>0.

,/2-21n2<3-21n3,........................11分

/.实数a的取值范围是2-21n2<a<3-21n3...................12分

11、已知函数/(x)=",g(x)=ox+l(a是不为零的常数且aeR)。

(1)讨论函数/(x)=/(x)-g(x)的单调性；

(2)当a=—1时，方程/(》)W(月=，在区间［—1,1］上有两个解，求实数，的取值范围；

(3)是否存在正整数N,使得当“eN+且”〉N时，不等式

+++…+恒成立，若存在，找出一个满足条

件的N,并证明；若不存在，说明理由。

解：(1)因为尸(x)=(ax+l)e”,

所以F=aex+(qx+l)/=+1+工］,................］分

当a>0时，F'(x)>O<^x>-l--,

a

所以尸(x)在区间(—8,—1-3上是减函数，在区间(T—L+8)上是增函数；……3分

aa

当a<0时，F'(x)<O<=>x>-l--,

a

所以F(x)在区间(—8,—1—1)上是增函数，在区间(—1—工,+8)上是减函数；……5分

aa

(2)当a=—1时:由(1)知道/(x)在区间(—8,0)上是增函数，在区间(0,+8)上是减

函数，所以当x=0时取得极大值/(0)=1,................7分

2

又F(-l)=-,F(l)=0,方程/(x)•g(x)=t在区间［—1,1］上有两个解，

e

实数，的取值范围是亡2』)；.........................................9分

当时,

11111

—I-----1-------1-------F+■■•+---------------F--------------+••

23424021+12402,+2・+击)

11

>-+++-••+=-x4022=2011

242

所以:14分

12、设函数/(x)-ax-(a+1)ln(x+l)(a>-1).

(1)求/(x)的单调区间;

(2)当。>0时,设/(X)的最小值为g(a),若g⑷<f恒成立，求实数t的取值范围。

(I)解：f\x)=a-C，~-(x>—1),---------------1分

x+1x+1

当a=0时，f'(x)=—<0,

x+\

所以函数/(X)的减区间为(-1,―),无增区间；

，1、

a(x——)

当时，f'(x)=-----J

x+1

若a>0,由f\x)>>—,ill/'(光)<0得一l<x<L,

aa

所以函数f(x)的减区间为(一1,L),增区间为(-,+oo)；

aa

/1、

ia(x—)

若一1<4<0,此时一<一1,所以//(x)=-------全<0,

ax+1

所以函数/(X)的减区间为(-1,+8),无增区间;

综上，当-1<aWO时，函数/(x)的减区间为(-1,+8),无增区间,

当a>0时，函数/(x)的减区间为(一1一)，增区间为(工,+8).--6分

aa

(II)解：由([)得，g(a)=/(-)=l-(a+l)ln(-+l),------------7分

aa

因为a>0,所以g(a)<f=史°-」<0=L-(i+_L)]n(l+L)-」<0,

aaaaaa

令h(x)=x-(l+x)ln(l+x)-tx(x>0),则h(x)<0恒成立,

由于//(x)=-ln(l+x)-f,

当£20时，hXx)<0,故函数/2(x)在(0,+8)上是减函数，

所以/2(幻</2(0)=0成立；------------10分

当f<0时，若/(元)>0得

故函数爪工)在(0,£一'-1)上是增函数，

即对/2(x)>/i(0)=0,与题意不符；

综上，£20为所求.------------12分

13^设函数f(x)=其中。>0,b,cER.

(i)若r(g)=o,求函数f(x)的单调增区间；

(2)求证:当OWxW1时,|广(九)|Wmax{广(0),广⑴}.(注：max{a,b}表示a,b中的

最大值)

解：⑴由广(3=0,得。=氏.......................................1分

故/(x)=ax3—2ax2+ax+c.

z2

S/(x)=a(3x-4x+l)=0,得x产g,x2=l............................2分

列表：

1(g,1)

X(-8，1)1(1,+8)

3

f\x)+0-0+

fM增极大值减极小值增

由表可得，函数")的单调增区间是S，'及(…8).................4分

(2)f\x)=3ax2-2(a+b)x+b=3a(x-a—^)2一"」1———.

3〃3a

①当空^21,或七时，则广(工)在［0,1］上是单调函数，

3a3a

所以「⑴W/'(x)W/'(0),或广(O)Wr(x)W/'(l),且广(0)+广⑴=a>0.

所以I广(x)|Wmax{广(0),广⑴}......................................8分

②当0〈交叱<1,即-a<b<2a,贝iJ-三士生二W/'(x)Wmax{f'(O)J，l)}.

3a3a

⑴当-a<b<4时，则0<a+bW名.

22

22

所以广⑴_a+b-ab=2/-y-2而=3--3+4>［标>0

3a3a3a4

所以|/'(x)|Wmax{/'(0)J'⑴}...................................12分

(ii)当3Vb<2a时，则3-@)(6-2。)<0,即一vo.

222

所以二处一比才>/一“二匕>0,即广(0)>£±比0.

3a3a3a3。

所以|/'(x)|Wmax{/'(0)J'⑴}.

综上所述：当OWxWl时，|广(x)|Wmax{广(0),广⑴}.................16分

14、已知函数/(x)=plnx+(p-l*+1

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)当p=l时，/(x)《依恒成立，求实数左的取值范围；

(ID)证明：ln(〃+l)<l+,+'+-+■!■(/7eN*).

23n

解：(I)/(X)的定义域为(0,+8),/6)=£+2(〃一1卜=止心二^“D分

XX

当P>1时，/'W>0,故〃x）在（0,+8）单调递增;

当p<0时，/'（%）<0,故/（x）在（0,+8）单调递减；.........4分

当0Vp<l时，令尸（x）=0,解得x=

则当X€时,/'(x)>0；时,/,（X）<0.

故/(x)在0,单调递增，在单调递减.6分

P=114.InX

(II)因为x>0,所以当时，/(x)WAx恒成立+上吐

X

令/?*)=1+皿工,

则&W8分

X1m

一InX

因为"(幻=「^,由〃(幻=0得x=l,

x

且当xe(0,1)时，/z'(x)>0；当xe(l,+8)时，A'(x)<0.

所以〃(%)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减.所以/l(X)max=〃(D=l，故左■……1。分

(III)由(H)知当女=1时，有当时，/(x)<xBPlnx<x-l,

人〃+1el〃+11口…/1、11

令x=----,则In----<—,即ln(〃4-l)-ln«<—12分

nnnn

21

所以ln±<LIn—<—,…，In----<—

1122nn

J.ri4/n12[3]〃+l[11

相加传In—FIn—F,•,In----<1d---F,•—

12n2n

而ln2+ln'+…ln"^=ln]2.3…”1]=E(〃+1)

12nU2nJ

所以ln(n+1)<1+—+—H---h—,N*)稔凯............14分

23n

15、已知/(x)是二次函数，/'(x)是它的导函数，且对任意的xeR,

广(幻=/(了+1)+/恒成立.

(I)求/(x)的解析表达式;

(H)设f>0,曲线C：了二门外在点打八八力处的切线为/,/与坐标轴围成的三

角形面积为S(f).求S⑺的最小值.

解：(I)设/(x)=4/+bx+c贝(J/'(x)=2ax+/?,...(2分)

/(x+1)=a(x++b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c.

由已知，得2ax+b=(a+l)x2+(2a+b)x+a+b+c,

a+1=0

<2a+b=2a,解之，得。=-1,。=0,c=l,

a+h+c=h

；・/(x)=-x2+1...........(4分)

2

(H)由(1)得，P(t,l-t)f切线/的斜率％=/()=—2r,

・・・切线l的方程为y—(1一产)=-2t(x一。，即y=—2〃+f2+1...................仿分)

厂+1

从而/与x轴的交点为A(--------,0),/与y轴的交点为8(0,产9+1),

2t

(t~+I)2

：.S(t)=-~~—(其中f>0)...................(8分)

At

(〃+1)(后+1)(收-1)

・・s(f)=-------------------------