高中数学-高中数学选修2教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.1椭圆及其标准方程（1）

一、教学目标

重点：椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线

方程.

难点：椭圆标准方程的建立和推导.

知识点：椭圆定义及标准方程.

能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索

能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求

曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题

的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价

转化的数学思想方法.

教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规

律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生

探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.

自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自

主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并

在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；

2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的

反思，获得求曲线方程的一般方法.

考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题

易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”

上容易出错.

拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.

二、引入新课

【创设情景】

材料：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实

物和图片，让学生从感性上认识椭圆.

【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生

从感性上认识椭圆.让学生感受现实，激发学生的学习兴趣.

思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢？

思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的

轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么

呢？

【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研

究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生

用上一章所学，来研究椭圆.

动手实验：将课前准备的绳子和图钉分发给学生，让学生按小组动手

画椭圆:

实验一、将绳子的两个端点固定在同一个点处；笔尖视为动点，你

可以得到什么图形？

实验二、将绳子的两个端点分开，固定在两个点处（两点距离小于绳

长）；笔尖视为动点，你能得到什么图形？

实验三、将绳子的两个端点的距离逐渐拉大；笔尖视为动点，你可以

得到什么图形?

由小组实验并讨论实验结果，进而总结出椭圆定义.

【设计意图】由学生亲自动手，主动参与得到椭圆图形的过程，既让

学生有些成就感，还能感受轨迹的形成过程，由教师引导得到椭圆的

定义，提高学生观察和总结能力.

三、探究新知

（一）归纳定义

通过师生共同总结归纳，形成椭圆概念

椭圆定义：在平面内，到两个定点"、K的距离之和

等于常数（大于山用）的点的轨迹叫做椭圆.

这两个定点6、K叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注意：“和”，“常数”及“常数”的范围（常数大于|五石|）

思考：焦点为耳巴的椭圆上任一点“，有什么性质？

设椭圆上任一点为M,则有附用+四可=2a（2a>2c=|6闾）

当|M£|+|岫|>|百不时，”点的轨迹为椭圆；

当用+6|=|£工|时，/点的轨迹为线段6居；

当|M£|+IgKI百马|时，M点的轨迹不存在.

【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学

生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的

表达能力.

（二）椭圆标准方程的推导

复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情

况做一总结）

（1）建系、设点；（2）写出点的集合；（3）列式；（4）化简；（5）

证明.

思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？

由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的

“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方

程，进行比较。

常遇到的建系方法如下：（供教师参考）

方案一：把6、8建在X轴上，以及、工的中点为原点；

方案二：把6、入建在龙轴上，以耳为原点；

方案三：把巴、工建在X轴上，以6、K与X轴的左交点为原点；

方案四：把£、鸟建在y轴上，以6、A的中点为原点；

【设计意图】积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自

然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老

师强加给的方法.

通过师生分析对比，选择方案一比较简洁：（师生共同求解椭圆

0x

方程)

(1)建系：以片,用所在直线为X轴，以线段8F2的垂直

平分线为y轴，建立直角坐标系。

设点：设"(x,y)是椭圆上任意一点，为了使斗鸟的

坐标简单及化简过程不那么繁杂，设鸟|=2c(c>0),则

耳(-C,O),F2(C,O)

设M与两定点耳,F2的距离的和等于为

(2)写点的集合：由椭圆的定义，椭圆就是集合

P^{M\\MF,\+\MF2\=2a}

(3)列式：|"用+|"名|=2〃J(x+cl+J+J-4+J?=2a,

(4)化简：教师引导学生思考:我们怎么化简两个带根式的式子？对

于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢？(通过分析对比，最后

选择移项平方)J(x+c)2+y=2a-J(x-c)?+，

两边平方，得：(x+c)2+y2=4/-4a^(x-c)2++(x-c)2+y2

即a2-cx=a^(x-c)2+y2

两边平方,得：a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

整理,得：(«2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

22

两边同除以/(4-c?),得二+TT=1①

a~a~-c~

由椭圆的定义知，a>c所以/_02>0

注:教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来,体会化

简的技巧.

思考1：请同学观察右图，你能从中找出表示a,c,77^7的线段吗?

由图可知，|P周=归周=a,|0周=|0闾=c,|P0|=y/a2-c2,

令。=|尸。即/-c2=〃S>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2

22

整理成：=+2=1(4>6>0)②

a-b

【设计意图】通过思考可以让学生进一步明确。，上C的几何意义，加

深对椭圆定义及标准方程的理解.

⑸证明：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程

②，以方程②的解(x,y)为坐标的点到椭圆的两个焦点片(-c,0),尸2(c,0)的

距离之和为2a,即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方

程的关系知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.

22

方程=+3=1("〉"0)叫做椭圆的标准方程，焦点在X轴上，焦点是

ab~

匹(-gO)"，。)，。=，-/

思考2：如果以片,尸2所在直线为y轴，线段G鸟的垂直平分线为X轴，.

建立直角坐标系，焦点是6(0,-c),工(0，。)，椭圆的方程又如何呢？Zp

如果不想重复上述繁琐的化简过程，我们将如何做呢？—LA-

分析：由|加耳|+|加5|=2。且J(x+c)2+y2+J(x-c)2+:=2a,

变为：+(y+c)2+“2+(y-=2a,即变量x与y互换位置;所以

222X2

]+%=l(a>〃>0)变为为+会=1("〃>0)

即：椭圆的标准方程

!焦点在x轴：：：焦点在y轴：

!22

'y2x2'

!p-+p-=l(^>^>0)

CTb-1

!焦点是£(一c,0),&(c,0)!焦点是耳(0,—c),K(0,c)：

L._____J

注：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。

【设计意图】椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师跟踪

指导.再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程

中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化

归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算.

四、理解新知

1.椭圆的标准方程:

22

1)—7-+-^-T-=1(«>h>Q)焦点在x轴上，焦点是

ab~

222

耳(-c,0),F2(c,0),c=a-b

V+一

(2)L庐=1(。>。>0)焦点在y轴上，焦点是

耳(0,-c),工(0,c),c2=a2-b2

2.归纳概括，椭圆方程特征

(1)椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

(2)a>A>0不可少，体会a,仇c的几何意义;

(3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

(4)椭圆标准方程中三个参数aec关系：a2=b2+c2.

【设计意图】通过将两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的

理解掌握，特别是焦点位置，三个参数的关系，为求解椭圆的相关问

题打下基础.

五、运用新知

22

例1.已知椭圆的方程为：工+匕=1,贝!,b=，c=，

焦点坐标分别是=，焦距等于=;若CD

为过左焦点K的弦，则AKC。的周长为=.

分析:根据椭圆的标准方程,先确定参数。也

|CF1|+|CF2|=2a

|DF1|+|DF2|=2a

学生口答:=3,焦点坐标分别是=

(-3,0),(3,0),焦距等于=6；bF,CD的周长为=20

变式1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)a=4,6=l;焦点在x轴上；

(2)a=4,c=VB;焦点在y轴上.

例2.已知椭圆的两个两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且椭圆经过

点(|,-|),求它的标准方程.

分析:要求椭圆的标准方程,关键先确定参数a,b,c,本题已知c=2,结

22

合〃=/02及标准方程］+方=1(。＞。＞0),进一步确定a,Z?.

教师板书例题求解过程:

法1：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

22

»1340)

由椭圆定义知：2a=J(1-+2)2+(~~)2+((-2)2+(-学=2屈

所以：a=V10又因为c=2,所以〃2=々2-c?-10-4=6

22

因此，所求椭圆的标准方程为I+J=l

思考与探究:是否还有其他方法解决此类型问题

法2:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

22

—r+=1(。>b>0)

a1b2

因为椭圆经过点(|,-｝且b2=a2-c2=a2-4所以：

所以解方程得：/=]()万=6因此，所求椭圆的标准方程为

r2..2

工+匕=1

106

22

注:本题多以方法二为主,如：已知椭圆J+t=l(a>8>0)的左、右焦

ab

点分别为"、尸2,椭圆上一点(石，日)到两焦点”、鸟的距离的和等于

4,求椭圆的标准方程及焦点坐标.本题再用方法一解决显着比较麻

烦了.

方法小结:求椭圆标准方程的步骤

(1)“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上；

(2)“定量”即确定的具体数值；

(3)求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法及定义法.

【设计意图】培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯，同一个题

目有不同的解法，我们可以从中选择简捷、自然的的解题思路.本

题突出椭圆定义的应用和待定系数法的解题方法.

六、课堂小结

1.知识：本节课学习了椭圆的定义及标准方程，应注意以下几点：

⑴椭圆的定义中。也C皆为正值，(=6+c2,其中2c是椭圆焦距;

(2)要注意特征量a也c的几何意义，它们确定椭圆的形状.

(3)焦点的位置由椭圆的标准方程中的分母大小或焦点坐标来

决定;求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确定代入哪个方

程解题.

2.思想：曲线与方程的轨迹思想，方程的思想、分类讨论的思想、

待定系数法.

【设计意图】通过椭圆的教学，加强对学生学习方法的指导，让学生

进一步巩固所学知识,与前面的学习目标呼应，同时应加强对学生在数学

知识与思想方法的指导.

七、布置作业

必做题：

1.动点P到两个定点£(-4,0),鸟(4,0)的距离之和为8,则P点的轨迹

为()

A椭圆A线段£鸟C直线6与。.不能确定

22

2.如果椭圆工+匕=1上一点P到焦点片的距离等于6,则点P到另

10036

一个焦点F2的距离等于.

3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)a=4,b=\?焦点在x轴上；

(2)a=4,c=V15,焦点在y轴上；

(3)a+b=l(),c=2VL

必做题答案：

1.B.

2.14

222222

3.(1)—+/=1(2)汇+/=1⑶工+21=1或X+工=i

16-1636163616

选做题：

22

1.已知椭圆的方程为土+匕=1,则。=,b=,c=,焦点

45

坐标为,焦距等于;若曲线上一点尸到焦点

K的距离为3,则点p到另一个焦点F2的距离等于，则A耳的

的周长为。

22

2.已知经过椭圆工+工=1的右焦点工作垂直于x轴的直线AB,交椭

圆于A5两点，£是椭圆的左焦点.

(1)求A4耳B的周长；

(2)如果A8不垂直于x轴，4\耳8的周长有变化吗？为什么？

选做题答案：1.6,2,1,(0,-1)和(0,1),2,2亚-3,275+2

2.(1)20;(2)周长不变化，定值20.

【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习，加强学生

的应用意识.同时由于此题难度不太大，对基础中下的学生还可起到

激发信心的作用，拓展智能.

八、教后反思

1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学

生借助于生活中的实际问题及动手实验归纳出椭圆的定义，在此基础

上进一步探讨椭圆的标准方程，理解。也c的几何意义及焦点位置的决

定因素.在教学中通过例题的讲述,变式训练的加强，作业的巩固大部

分同学基本上掌握椭圆的定义及求解标准方程等相关问题.

2.本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾：想让学生了解

的内容过多，而对学生的估计不足，使得在教学过程中，未能充分发挥

学生的主观能动作用，其次由于课堂容量较大，在课堂上没有充分暴

露学生的思维过程.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时

灵活掌握，但必须做好定义的探究及标准方程的推导.

九、板书设计

2.2.1椭圆及其标准方程

一、引入新课例2:

二、探究新知五、课堂小结

1.椭圆的定义1.知识：

2.椭圆的标准方程2.思想：

三、理解新知：六、布置作业

四、运用新知必做题：1.2.3.

例1:选做题：1.2.

变式训练1：

《椭圆及其标准方程》学情分析

学生是学习的主体，教师只有全面了解学生，关注学生的需求,

才能在教学上做到有的放矢，游刃有余。

本节课授课班级为普通理科班,一部分学生本身自制力差，学习

习惯不好，学习兴趣不浓。不愿思考问题，上课开小差，依赖老师讲

解，依赖同学的帮助，作业抄袭等等不良现象。少部分学生有主动学

习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，和老师常交流。

我认为改变学生应该首先抓学生的学习习惯。帮助学生培养良好

的学习习惯和学习方法。让学生先认识数学的重要性，数学会提高大

家对问题思维能力，分析判断能力，解决问题的能力。再教学生怎样

学习数学，一次慢慢提高数学学习能力。激发学习兴趣，养成自主学

习的习惯和方法。

其次加强基础知识教学。了解到学生目前的学习情况，大部分学

生对初中的相关知识掌握不好，加强基础知识学习。多表扬、多鼓励。

对于课堂上踊跃发言和积极进步的学生要及时表扬。并鼓励其他同学

向他学习，增加自信心。

《椭圆及其标准方程》效果分析

对于这节课的效果，我做以下分析，本节成功方面有：

一、学生为主体

教学中每一步都充分激发了学生的内部动机，有利于在新旧知识

的联结点上展开教育。因而注意在关键处提出一些问题，且内容恰当,

难易适度，并富于思考性，易调动学生思维的积极性。让学生主动探

索出解决问题的一般规律，同时注意培养学生的归纳思维能力。

二、教师为主导

本节教师的导，学生的尝试，都能遵循学生的认识规律。通过教

师的引导学生积极、主动地获的知识。以旧拓新，激发兴趣，启迪思

维，引导学生自己探索知识，正确处理教与学的关系。如探索椭圆的

标准方程时，给学生充分的时间去动手化简（只要是根式化简），发

现问题并解决问题。又如在得到焦点在X轴上的椭圆的标准方程的基

础上，我们通过图像的变换让学生观察并得到焦点在y轴上的椭圆的

标准方程。学生可以根据以有的知识，尝试结论，并验证结论，最后

总结规律。完成学习要求。

三、练习为主线

习题的多样性,为学生设计多层次习题，让所有学生尝试思维情

景，让学生看有所思，练有所想。

本节课的不足之处也有很多，主要有以下几点：

一、让学生更多的参与进来。如根式化简过程，板书直接留给

学生，让学生上黑板来完成。

二、习题设计再多样化,，让所有学生都有所收获.

三、加强基本功练习，普通话，板书。教姿，教态，改变自己

的随意性。

教材分析

1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线和方程”

理论解决具体的二次曲线的又一次实例。从知识上说，它是对前面所

学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是

进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、

抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上说,

把椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线和圆分离独编一章，则椭圆的

重要性就尤为突出。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节

的重点。

2.本节课采用“启发式，探究式”的教学方法，以问题解决为

中心，注重学生学习过程，关注学生在教学活动中所表现出来的情感

与态度，立足以学生的发现为主，教师引导为辅，着眼培养学生的思

维能力和分析问题、解决问题的能力。同时通过动态演示的直观性、

形象性增进学生对数学本质的理解、提高教学效率。

《椭圆及其标准方程》评测练习

必做题：

2.动点P到两个定点6(-4,0),6(4,0)的距离之和为8,则P点的轨迹

为()

A椭圆线段耳工C直线耳入。.不能确定

2.如果椭圆工+匕=1上一点P到焦点冗的距离等于6,则点P到另

100361

一个焦点F2的距离等于.

3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)〃=4力=1,焦点在x轴上;

(2)a=4,c=V15,焦点在y轴上;

(3)a+b=10,c=25/5.

必做题答案：

4.B.

5.14

22

22X22

6.(1)—+/=](2)匕+f=i—4--y

16163616

选做题:

22

1.已知椭圆的方程为土+匕=1,贝h=—,b=—,c=—，焦点

45

坐标为，焦距等于;若曲线上一点P到