2022年湖南省高考数学考前押题（文）试卷（含解析）

制南瑞龙考教学考鼎抻发(O被基

一、单选题

1.已知tan(a+?)=3,则cos2。=()

3341

A.--B.-C.-D.-

5553

2.已知数列｛%｝满足：4=4=1，an+2=an+an+i(n^N+),现从数列｛4｝的前2020

项中随机抽取1项，则该项不能被3整除的概率是()

1123

A.-B.-C.一D.一

4334

3.设复数z匕1,则|z|=()

i

A.亚B.gC.2D.1

4.已知全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={0,l,2},集合B={-2,-1,0,1},则集合

&A)nB=()

A.{0,1}B.{-2,2}C.{-2,-1}D.{-2,0,2}

5.已知平面向量1,5的夹角为60°,\a\=2,无(万一25)=—1,则忖=()

53C

A.—B.-C.1D.2

22

6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为22,则A可取的最小正整数为()

n=1,S=1

S=2S

n=n（n+l）

//

CM）

A.41B.6C.7D.42

7.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包

含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数匕棱数E及面数F

满足等式V-E+F=2,这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的

公式之一,现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体,

它是由，/块黑色正五边形面料和32-加块白色正六边形面料构成的.则，"=（）

A.20B.18C.14D.12

X2+1,x>0

8.设函数/。）=1332，。=/（0-7-5）,8=/（0.8«5）,

-X3——X2+2X+1,X<0''\'

132

c=/（log075）,则mb,c的大小关系是（）

A.b>c>aB.a>c>hC.c>a>hD.a>b>c

9.已知底面半径为3的圆锥SO的体积为12乃.若球q在圆锥SO内，则球。1的表面积的

最大值为（）

9万32万

A.9兀B.——D.127

2~3~

10.在棱长为1的正方体ABC。—中，E为4。的中点，过点A.C.E的截面

与平面的交线为相，则异面直线与CG所成角的正切值为（）

A/5B3近c丘D加

424

11.已知a、b、c分别是DASC1内角A、B、C的对边，sinA+sinS=3sinC.

acos3+0cosA=2,则DABC面积的最大值是()

A.2B.2V2c.3D.2G

]nx

12.若不等式2x+2alnx—2+—之0对于任意工恒成立，则。的取值范围是

x

()

3

A.[0,+oo)B.[--,+00)C.(0,-Ko)D.f-l,+oo)

二、填空题

13.记等比数列｛《,｝的前〃项和为S“，若3=!，则”=.

36,a2

14.已知函数/(x)=(x2+ax)lnx的一个极值点为1,则函数y=/(x)的最小值为

71

15.如图，在DABC中，AB=BC=\,ZABD=~,tan/CBD=7,则30=.

16.过双曲线「：二一二=l(a>0)的右焦点F作斜率为k的直线交双曲线的右支于M.N

a~3a~

|PF|

两点，弦用N的垂直平分线交x轴于点尸，则上U=.

三、解答题

17.桥牌是一种高雅、文明、竞技性很强的智力性游戏.近年来，在中国桥牌协会“桥牌进

校园'’活动的号召下，全国各地中小学纷纷积极加入到青少年桥牌推广的大营中.为了了解

学生对桥牌这项运动的兴趣，某校从高一学生中随机抽取了200名学生进行调查，经统计男

生与女生的人数之比为2：3,男生中有50人对桥牌有兴趣，女生中有20人对桥牌不感兴

趣.

(1)完成2x2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校高一学生对桥牌是否感兴趣与

性别有关”？

感兴趣不感兴趣合计

男50——

女—20—

合计——200

(2)从被调查的对桥牌有兴趣的学生中利用分层抽样抽取6名学生，再从6名学生中抽取

2名学生作为桥牌搭档参加双人赛.求抽到一名男生与一名女生的概率.

n(ad-bc)2

附：参考公式K?,其中〃=a+/7+c+d.

(〃+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

临界值表:

尸心K。)0.1500.1000.0500.0250.010

K。2.0722.7063.8415.0246.635

18.已知数列｛4｝的前〃项和S,=2a“一3〃(〃eN)等差数列｛"｝的前〃项和为G.，

且Gg=90,乙+为=6.

(1)求｛4｝、｛2｝的通项公式；

也2,〃为奇数f)

⑵设3，求数列｛%｝的前2〃项和七.

也,，〃为偶数

19.已知直三棱柱A8C—4月百中，NB4c=90°,且A6=AC=A4,,点D,E,F分

别为A/CC,,BC中点.

（1）求证：DF〃平面ACC/；

（2）若AB=2,求三棱锥E—"＞下的体积

20.已知点。（2夜,1）在抛物线x2=2py上，过点M（0,4）的直线与抛物线交于A,3两点，

又过A,B两点分作抛物线的切线，两条切线交于尸点.记直线以、P3的斜率分别为年和

k2.

（1）求占•占的值;

⑵**而，小方，求四边形以EG面积的最小值.

1,1

21.已知f(x)=(x—l)cosx+—x—9x+1

（1）求/（幻20的解集;

21

(2)求证，x^\nx+cosx>—.

2

1

x=a+—t

2

22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为\(/为参数，asR).在

…一r争

以坐标原点为极点、“轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线。的极坐标方程为

cos2。+2

（i）若点A（I,JG）在直线/上，求线/的直角坐标方程和曲线c的直角坐标方程；

（2）己知。＜0,点尸在直线/上，点Q在曲线C上，且IPQI的最小值为如，求〃的值.

2

23.已知函数/(x)=|x+l|+|2x—l|,A为不等式〃x)<3的解集.

(1)求集合4

111OOZ-»

(2)已知/(x)min=m，若a、b、c为正实数，且—I---1---——m,求证：—H----1—21.

a2b3c3993

答案

1.B

【详解】

(左、tana+1〜

tana+—=----------=3,

I4)1-tana

解得tan«=—,

2

ccos2a-sin2(z1-tan2a「(7)3

cos2a=----------；—=--------；—=---------=-,

sina+cos'a1+tan-a]+(1/5

故选：B.

2.D

【详解】

根据题意,数列的项依次为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,....

则第一项被3整除的余数为1,第二项被3整除的余数为1,则第三项被3整除的余数为2,

故其第四项可以被3整除.

同理，第五项被3整除的余数为1,第六项被3整除的余数为1,则第七项被3整除的余数

为2,故其第八项可以被3整除.

依此类推，分析可得数列中第4”项(”21且〃eZ)可以被3整除.

数列的前2020项中，有505项可以被3整数，

5053

故从数列的前2020项中随机抽取1项，不能被3整除的概率P=1-

20204

故选：D.

3.D

【详解】

因为z=(/严。_匕！,

（1+）

Z2

-1+Z

-1

所以|z1=1.

故选：D..

4.C

【详解】

因为全集。={-2,-1,0,1,2},集合A={0,l,2},

所以6A={—2,—1},又因为8={—1,0,1},

所以我/卜8={-2,-1}.

故选：C.

5.A

【详解】

'：a,5的夹角为60°,I初=2,a-(a-2b)=-l,

a-(a-2h)=a2-2a-h=4-2\h\=-l,

.•.一闻=；5.

故选：A.

6.C

【详解】

第一次进入循环后：5=3,〃=2,

第二次进入循环后：S=8,〃=6,

第三次进入循环后：5=22,〃=42,

因为该程序运行后输出的结果为22,

所以”=42,满足条件〃2左，n=6,不满足“2%,

所以正整数4的最小值为7.

故选：C

7.D

【详解】

依题意，设足球顶点数忆棱数E及面数F,

则F=m+32—m=32,

人^八山h5xm+6x(32-m)192-m

每条棱被两个面公用，故棱数E=-------------------------=-----------

22

—…ej八e一5x7n+6x(32-m)192-/n

母个顶点3条棱公用，故顶点数丫=-----------------=-------

33

st192-m192-m个

所以由丫一£+尸=2,得ZF1-----------------+32=2,

32

解得m=12.

故选：D.

8.D.

【详解】

当了20时，易知/*)=1+1是增函数，

1,3,

当x<0时，f(x)=-x—x~+2,x+1,

32

则/，(％)=兀2-3》+2=(工一1)(%-2)>0恒成立，

所以八用是增函数，又/(0)=1,

所以f(x)在R上是增函数，

又logo,s<0,0<0.845<0.7/5

05

log075<O.8<0.77

55

.•./(log0.75)</(0.8^)</(0.7^)

a>b>c.

故选：D.

9.A

【详解】

如图所示：

圆锥S。的轴截面为等腰「SAB,

因为底面半径为3,

所以底面积为乃产=9万，

又因为圆锥S。的体积为12万，

3V

所以圆锥的高为S0=」=4,母线长为S4=5,

7tr~

若球。1的体积最大时，则球。।的轴截面是S钻的内切圆,

所以ssA6=gA8.S°二；・(SA+S8+A8)・r,

3

解得：r=-,

2

3

所以球。1的表面积的最大值为4万(])2=9万.

故选：A.

10.D

【详解】

如图所示:

平面ACE可以延展为平面ACERO,。1分别为上下底面中心，G=EFC\B}D},

O=ACC\BD,

平面ACEFA平面BDD.B,=GO=m,

'：OOJICC、,

/.NG。。为异面直线〃八CC,所成角.

VE,F分别为AQ,GA的中点，

；.G为DQi的中点,

•••GO,)

14

亚

…。q—V邛.

故选：D.

11.B

【详解】

:QCOS3+〃COSA=2,

**•aa'i+J+i=2，

2ac2bc

c=2,

*.*sinA+sin8=3sinC

Q+Z?=3c=6,

即|C4|+|啰=6>|M|=2,

，点C的轨迹是以A,8为焦点的椭圆，其中长半轴长3,短半轴长20，

以AB为x轴，以线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，

其方程为三+金=1,如图所示：

98

y

X22

则问题转化为点C在椭圆上+二v二1上运动求焦点三角形的面积问题.

98

当点C在短轴端点时，口45。的面积取得最大值，最大值为2&.

故选：B.

12.B

【详解】

InX

令/(%)=2x+2alnx-2+——-,xe［l,+oo),

x

「，,、八2。1-lnx2x24-2ox+l-lnx

所以广。)=2+—+——=-------；--------，

XXX

令/z(x)=2幺+2ox+l-lnx,

(x)=4x+2a-L易知”在［1,48)上递增，

X

3

当a2-巳时，/(幻>〃'(1)=2a+3N0恒成立，

2

所以//(工)在［1,内)上递增；

所以/z(x)>/z(l)=2cz+3>0恒成立，

即/'。)>0在口,内)上恒成立，

所以广(X)在［1,~)上递增，

所以/(x)»/(l)=O成立.

当a〈一二时，若l<x<—*—时，则2a+l<—2x,

22

因为O(x)=lnx-x+1,

(p\x)=--\<0在U,+X>)恒成立,

所以9(X)在口,+0。)上递减;

所以9(x)W0(l)=0恒成立,

即lnx<x—1,所以一Inx=In—<—1,

xx

所以+(-l-2x)x+l+—-1=--x<0,

即/'(x)<0,所以在［1,一受1)上递减，

所以/(x)W/(l)=O,不成立,

3

综上：u2—.

2

故选：B

13.16

【详解】

S.1

根据题意，等比数列｛%｝中，显然4片1,

36

,31

故^=号=。7=3'

所以夕3=8,

解得4=2.

故%=q4=16.

«2

故答案为：16..

14.0

【详解】

因为/(x)=(x2+ox)lnx,

所以r(x)=(2x+〃)lnx+x+a,

因为函数/(x)=(%2+以)In尤的一个极值点为1,

所以/'(l)=l+a=O,故a=—l,

/./(x)=(x2-x)lnx=x(x-l)lnx,

/z(x)=(2x-l)ln^+x-l,

设夕(x)=lnx-x+l,

d(x)=/l,

当0cx<1时，/(x)>0,当x>l时，e'(x)<0,

所以当x=l时，9(x)取得最大值。(D=0,

所以°(x)W0(l)=O恒成立，

即lnx<x—1,

当0cx<1时，/'(x)<(2x-l)(x-l)+x-l=2x(x-l)<0,

当x>l时，/f(x)>(2x-l)lnx+lnx=2(x—l)lnx>0

所以当x=l时，/(x)取得最小值，最小值为了⑴=0

故答案为：0.

156

3

【详解】

•••tanNCBD=7，

4

NCBD+cosNCBD)=-

又•^/\ABC=SgBD+S&BCD,

-1.24_1V27

2522750

解得BO=注.

3

故答案为：交

3

16.1

【详解】

设，MN:x=“y+c,c=2a,k--

Im

I22

___y_.

联立3/一,得（/一/根2）,2一处2cmy一"=0,

x=my-\-c

故：i=能力；

2b~cm

线段MN的中点（Ji。

a2-b2m2a1-b2m2

b2cm1Ia2c

则中垂线方程为:

a2-b2m2m、a2-b~nr

令y=（）,得多

82c（1+/叫

所以IP户1=

a1-b2m2\a2-b2m2\

|PF|c,

故-----=—=1

IMN|2a

故答案为：1

17.

【详解】

（1）因为抽取了200名学生进行调查，经统计男生与女生的人数之比为2：3,

则男生80人，女生120人，

又因为男生中有50人对桥牌有兴趣，

所以不感兴趣的有30人，

又因为女生中有20人对桥牌不感兴趣,

所以感兴趣的有100人，

将数据填入表格里

感兴趣不感兴趣合计

男503080

女10020120

合计15050200

*日的主坟如班,2200(50x20-100x30)2100,,,,,<

根据表格数据：k-=——-------------------=——»6.635；

80x120x150x509

故有99%的把握认为对“桥牌是否感兴趣与性别有关”.

(2)因为分层抽样抽取6名学生，男生与女生的人数之比为2：3,

所以男生抽2人，女生抽4人，

男生分别记为mb,女生分别记为C,D,E,F.

可知所有的可能情况为：

(a,b),(a,C),(a,D),(a,E),(a,F),也C),(b,D),(b,E),{b,F),(C,D),

(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种，

其中一名男生与一名女生的结果有：(a,C),(a,E),(a,F),(b,C),(b,D),

(b,E),(瓦尸)共8种.

Q

故所求的概率为0=行.

I2

2，，+l2

18.(1)。“=3・2"-3也=2〃-2(2)7；n=y2+2n-1

【详解】

(1)由题意知，当〃N2时，由5“=2a”一

得S"_[=2an_t—3(n—1),

两式相减，得a“=2a,i+3,

ci+3

・・・4+3=2(为T+3),即一^~^=2

+3

当"=1时，S=a[=2。]-3,得a1=3,

当〃=2时，§2=4+生=22—6,得。2=9,

所以数列｛为+3｝是以6为首项，2为公比的等比数列,

所以为+3=6•2"T,。“=6.2"T-3=3•2”-3,

又：也｝为等差数列，Go=90,伉+仇=6,

fl0fe+45J=90

所以,z，解得，d=2,a=0,

+3d=6

数列也｝的通项公式为么=2〃—2.

经,伪奇数=叩为奇数

(2)由(1)知，cn4，”为偶数12〃-2,”为偶数

二T2n=Cj+c2+c3+c4+...+c2n_]+c2n,

=21+2+23+6+...+22fl-1+(4n-2),

=(2'+23+...+22n-,)+[2+6+...+(4/7-2)],

_2-22"-1-22n-[2+(4n-2)]

=-------------o--------h--------------------------，

1-22

=--22n+1+2/72--.

33

19.(1)见解析(2)VE_ADF=—

【详解】

(1)如图所示：

连接AB,AC,在直三棱柱ABC—45G中，

侧面45片A是平行四边形，”

•.•平行四边形对角线互相平分，。是Ad中点，

二。是AB中点，

又尸是8c中点，"AC,

•.•。尸二平面ACGA,4。匚平面4。64，

二。尸//平面ACG4.

(2)口至。为等腰直角三角形，ZBAC^90°,AB=AC,

是BC中点，AELBC，

直三棱柱ABC-4与£中，B耳1.平面ABC,AEu平面ABC,

/.BB{1AF,:BCf]BBi=B,

/.4尸，平面8。。£,

VE尸u平面BCG四，

/.AF1EF.

又；BF=+BF2=y/6,

EF^Ed+CP=5B[E=ylB[C；+CF=3,

/.B.F1+EF1=B^E1,

AB[F工EF.

又•••4/0旦尸=尸，

/.EV，平面耳Ab.

/.£；尸，平面45£

=

^E-ADF§'EF-SAI)F,

又EF=®SADF^SABiF=-AF-BF^，

”_1RV3_l

**VE-ADF-§•V3,-2--2,

20.(1)k「k=-2(2)SPAEC=96y/2

【详解】

(1)由题意设/的方程为丁=依+4,

因为点C(2夜,1)在抛物线x2=2py1.,

•**P=4,

•••抛物线的方程为f=8y.

y=fcv+4

联立《，，得x—8"—32=0.

x=8y

A=(-8*)2-4X(-32)>0,

设4(石,y),3(%2,%)，则32=一32.

设直线孙，PB的斜率分别为匕，k2,

2

对y=上求导得y=—,

8'4

从PB>2444x416

（2）如图所示:

2

直线尸8的方程为,一半=亍。一々），②

联立①②，得点P的坐标为（±±*,3），

28

由（1）得芯+%=弘，%%2=一32,

：.P（4k,-4）,

于是|A31=y/\+k2k一*21=a+12］（内+々）2_41.工2=8V1+FVF+2，

4（+2）

点P到直线AB的距离d=f,

V1+F

2

•••SPAB=耳|d=I642+2（k+2）=16（二+2）-

48%

当k<0时，S)A8<°，当攵>0时，S'APAB>0,

所以Z=0时，的面积取得最小值32血.

又叫百+而，丽=；所，

AAE//-PG,且AE=」PG

22

所以A8GE是平行四边形，

所以SPAEG=3sPAB=96V5•

21.(1){x|x=0或xNl}(2)见解析.

【详解】

1,1,

(1),**f(X)=(X—1)COSXH--X---X—X+1

1

=(x-l)cosx+—x29(x-l)-(x-1)

(1、

(x-1),cosx+—x~~1

令g(x)=COSX+—X2-l

则g'(x)=—sinx+x,g"(x)=1—cos%.

由于g”(x)20恒成立

g'(x)=-sinx+x在R上递增.

又g'(0)=0,.♦.当x〉0时，g'(x)>0，当x<0时，g'(x)<0.

故g(x)在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增.

•••g(x)而n=g⑼=0，即g(x)20在R上恒成立.

故〃x)zo的解集是{x|x=0或X21}.

cosx>l-ix2,

(2)由(1)知当了>0时

2

所以要证Ylnx+cosx〉,，只需证Jinx+>1,

222

只需证：ZVlnx+l—f20，只需证：21nxH—r—10.

x

令〃(x)=21nx+4-1,

厂

则如),一=2-吁+1)

XXX

令〃'(x)>0,则％>1,令/?'(%)<0,则0<x<l,

故Mx)在(0,1)上递减，在(1,4W)上递增.

•••=%⑴=0，即h(x)>0在(0,+oo)上恒成立

故命题得证.

2

22.(1)直线/的直角坐标方程瓜+y-26=0曲线C的直角坐标方程犬+1_=1(2)

a——V2

【详解】

1

x=a+—t

(1)因为直线/的参数方程为(2厂(t为参数),

y=\[3a--t

V2

消去参数得：y-Gj—G，