高中数学 双曲线 经典例题 分类指导

高中数学双曲线经典例题分类指导

例题定义类

1,已知Fl(5,0),F2(5,0),一曲线上的动点P到Fl,F2距离之差为6,则双曲线的方

程为点拨：一要注意是否满足2a|F1F2|,二要注意是一支还是两支

2

|PF1|PF2|610

32

P的轨迹是双曲线的右支.其方程为

9

y

2

16

l(x0)

2双曲线的渐近线为yx,则离心率为

点拨：当焦点在x轴.卜.时，

ba

32

,e

2

；当焦点在y轴上时，

ab

32

，e

3

3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时

听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的

距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关

各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.

［解析］如图，以接报中心为原点0,正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标

系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,

1020)

设P(x,y)为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC,故P在AC的垂直

平分线PO上，P0的方程为丫=一乂，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|一

PA|=34034=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线

xa

22

yb

22

1上，

依题意得a=680,c=1020,

b

2

ca

22

1020

x

22

2

680

y

22

5340

2

2

1

故双曲线方程为

6805340

用y=-x代入上式，得x680

x680

5,y680

5,V|PB|>|PA|,

5,680

5)，故PO680

5,即P(680

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680m处.【名师指引】解应用题的关键

是将实际问题转换为“数学模型”4设P为双曲线x

()

B.12

C.123

D.24

2

y

2

12

1上的一点Fl、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2,则△PF1F2的面

积为

A.63

解析：a1,b,c

，由|PF1|:PF2|3:2①

X|PF1|PF2|2a2,②由①、②解得PF1|6,|PF24.

图2

|PF1|PF2|52,|F1F252,222

PF1F2为直角三角形，

1

212SPF1F2|PF1||PF2|6412.故选B。

5如图2所示，F为双曲线C:x2

916

焦点，双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3关于y轴对称，y21的左

则P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是()

A.9B.16C.18D.27

［解析］P1FP6FP2FP5FP3FP4F6,选C

X

a226.P是双曲线yb221(a0,b0)左支上的一点，Fl、F2分别是左、右焦点，且

焦距为2c,则PF1F2的内切圆的

圆心的横坐标为()

(A)a(B)b(C)c(D)abc［解析］收PF1F2的内切圆的圆心的横

坐标为xO,由圆的切线性质知，PF2PF1|cxO|x0(c)|2axOa

x2

7,若椭圆my2

n1mn0与双曲线x2

ay2

bF2,P是两条曲线的一个交点，则|PF1「|PF21(ab0)有相同的焦点Fl,

的值是()

A.maB.1

2maC.m22aD.ma

PF1PF21

2双曲线的实半轴为PF1PF2122

4PF1PF24maPF1PF2ma,故选A.2

求双曲线的标准方程

1已知双曲线C与双曲线x2

16—y2

4=1有公共焦点，且过点(32,2).求双曲线C的方程.

【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组［解析］解法一：设双曲线方程为x

a22—yb

a22二L由题意易求c=25.2又双曲线过点(32,2),/.(32)

2-4b2=l.

XVa2+b2=(25)2,Aa2=12,b2=8.

故所求双曲线的方程为

x

2

12

x

2

y

2

8

=1.一

y

2

解法二：设双曲线方程为

16k4k

=1,

x

2

将点(32,2)代入得k=4,所以双曲线方程为2.已知双曲线的渐近线方程是y

2

2

12

y

2

8

=1.

x2

,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为；

［解析］设双曲线方程为X4y，当。时，化为

X

2

y

2

4

1,2

54

1020,

当。时，化为

y

2

4

y

2

1,2

54

1020,

综上，双曲线方程为

x

2

20

y

2

5

1或

y

2

5

X

2

20

1

3y0的双曲线方程为.

2

3.以抛物线y83x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x

222

［解析］抛物线y83x的焦点F为(23,0),设双曲线方程为x3y

43

(23)9,双曲线方

2

程为

x

2

9

y

2

3

1

4.已知点火3,0),N(3,0),B(l,0),动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切

的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为A.x

2

y

2

8y

2

1(x1)B.x

2

y

2

8y

2

1(x1)

C.x

2

8

1(x>0)D.x

2

10

l(x1)

［解析］PMPNBMBN2,P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右

支，选B与渐近线有关的问题1若双曲线

xa

22

yb

22

l（aO,b0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）

A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a,b,c的关系

［解析］焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b2a,e

2

ca

22

1

ba

22

5,所以e5

【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a,b,c的比例关系可以求离

心率,也可以求渐近线方程2.双曲线

x

2

4

y

2

9

1的渐近线方程是（）A.y

［解析］选C23xB.y49xC.y32xD.y94x

3.焦点为（0,6）,且与双曲线

A.x2x22

yx221有相同的渐近线的双曲线方程是（）y2

12y2

241B.y2

12241C.24x2

121D.x2

24y2

121

［解析］从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B

4,过点（L3）且渐近线为y1

2x的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为x2

4yk

35

421点（1,3）代入：k1

49

2.代入（1）：x2

4y235

44y

35

2

2x2351即为所求.【评注】在双曲线xay

b221中，令xa22yb220xay

b0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为

x

a22yb22k,而无须考虑其实、虚轴的位置.

5设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线

成直角.

【证明】如图设等轴双曲线方程为xya

2221,CY直线CD：y=m.代入（1）

\jx2+m2

：X.故有：

yr+///'.

Cm,D

V-v"+ni2

m.ABX

取双曲线右顶点Ba,0.那么：

Fl2

\lx+in

BCa,m,BD

y1x2+m2

a,m

2222BCBDaamm0,BCBD.

即NCBD=90°.

同理可证：ZCAD=90°.

几何

1设P为双曲线x2y2

121上的一点，Fl,F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|3:2,则△PF1F2的

面积为()

A

V

,B.12

c.D.24【解析

6

而

】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：al,bc.设；

PF13r,PF22r.PF1PF22a2,r2.

于是PF16,PF24.PF1

2

PF2

2

52F1F2,

2

故知△PF1F2是直角三角形，NF1PF2=90°.

ASPFF

1

2

12

PF1PF2

12

6412.选B.

求弦

1双曲线x

2

y

2

,则此弦所在的直线方程为（）1的一弦中点为（2,1）

A.y2x1B.y2x2C.y2x3D.y2x3【解析】设弦的两端分别为

Axl,yl,Bx2,y2.则有：

xl2yl2lyly2xlx22222

xxyy0.212122

xxyyxy1121222

•・•弦中点为（2,1）,・・・

xlx24yly22

.故直线的斜率k

yly2xlx2

xlx2yly2

2.

则所求直线方程为：y12x2y2x3,故选C.

“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要

有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它,但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问

条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2在双曲线x

2

y

2

2

1上，是否存在被点M（1,1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存

在，请说明理由.

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基

础上应当加以验证.由

2y2

12x22

2x2x122x4x302

y2x1

2

这里16240,故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

止匕外，上述解法还疏忽了一点：只有当xlx2时才可能求出k=2.若xlx2,必有

yly20.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线.

换远（压轴题）

1如图，点F为双曲线C的左焦点，左港线1交x轴于点Q,点P是1上的一点，已知

PQl|FQ|1,且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.

（I）求双曲线C的标准方程；

（II）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设FBFA,当

[6,）时，求直线m的斜率k的取值范围.

m

【分析】第（I）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意

到

点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向

第（H）中，直线m的斜率k是主要变量，其它包括X都是辅助变量.斜率k的几何

意义是有关直线倾斜角0的正切，所以设置直线m的参数方程，而后将参数人用。的

三角式表示，是一个不错的选择.

22【解析】（I）设所求双曲线为：

xa

2

yb

2

1.其左焦点为F(-Co0)

；左准线：xa

2

c

2

2

由|PQ|b得P(

a

2

c

,1);由「FQ|1c

a

2

c

1

b

c1bc.1

2

2

2

FP的中点为M

c2

al

ca

21

c

.代入双曲线方程:

2

4c2

a

2

4c

1

c2

a

2

2

a2c4c2

a2

c2

a

2

a2

cb4

a2

c

2

根据（1）与（2）ca2b2

，c

a

2

2

2

c

12.所求双曲线方程为xy2.

（II）设直线x2tcosm的参数方程为:

代入x2y

2

2得：

ytsin

2tcostsin2t2cos2

4tcos20

3

当

cos20时，16cos2

82cos2

180

,方程（3）总有相异二实根，

4cost那么tlt2

cos2

1,t2.4.

t21t2

cos2

已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，，FB与FA同向,

故FB22

FAt2

lt2t0,.于是：tlt2tltt2121

tlt2t2It2tlt22

.注意到

1

2

在[6,)上是增函数,

tlt2

t26

ltlt21t2

6

t

495

lt2

6

(4)代入(5)：64

cos

2

os2492

cos2

48cos

c

4922

cos1

50cos2

49

2

sec2

502

149

tan

149

k

17

或k

7

・・•双曲线x2

y2

2的渐近线斜率为1,故直线m与双曲线C的左右两支分别交必须

k1,1.综合得直线m的斜率k的取值范围是k

11,1

7,17.

/I|

设为

练习题

1已知中心在原点，顶点Al、A2在x轴上,离心率e=

213

的双曲线过点P(6,(1)(2)动直线1经过AAIPAZ的重心G,与

双曲线交于不同的两点M、N是否存在直线1,使G平分线段MN,证明你的结论

解如图，设双曲线方程为

xa

22

yb

22

=1由已知得

6a

22

6b

22

1,e

2

aba

2

22

213

，解得a2=9,b2所以所求

双曲线方程为

x

2

9

y

2

12

(2)P、Al、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0)，，其重心G的坐标为(2,2)

假设存在直线1,使G(2,2)平分线段MN,设M(xl,yl),N(x2,y2)

22

xlx24yy2124412x19yl108

,1,・・・kl=JI的方程为22

3x1x29312x29y2108yly24

12x29y2108

4y=(x—2)+2,由，消去丫,整理得*2—4乂+28=0,・・4刁6—4328〈0,・・・所求直线1

43y(x2)

3

2.一知双曲线x

2

y

2

2

1,问过点A(1,1)能否作直线1,使1与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的

中点？若存在，求出直

线1的方程，若不存在，说明理由。

错解设符合题意的直线1存在,并设P(xl,x2)、Q(x2,y2)

2

2yl

1(1)xl

12

(2)得(xlx2)(xlx2)(yly2)(yly2)(3)因为A(1,D为线段PQ的中点，所

以则(1)2

2y22

x21(2)2

xlx22(4)1

(yly2)将⑷、⑸代入(3)得xlx2

2yly22(5)

若xlx2,则直线1的斜率k

yly2xlx2

2所以符合题设条件的直线1存在。其方程为2xy10剖析在(3)式成立的前提

下，由(4)、(5)两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线

进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由

y2x1

22

得2x4x30根据

80,说明所求直线不存在。2y

1x2

3已知点N(l,2),过点N的直线交双曲线x

1于A、B两点，且0N

(0AOB)(1)求直线AB的方程；(2)若过N的

直线1交双曲线于C、D两点，且CDAB0,那么A、B、C、D四点是否共圆？为什

么？解：(1)设直线AB：yk(x1)2代入x

1得(2k)x2k(2k)x(2k)20(*)

令A(xl,yl),B(x2,y2),则xl、x2是方程的两根.'.2k0且xlx2

2k(2k)2k2

VON

12

(OAOB)，N是AB的中点J

xlx2

2

1

・・・k(2k)k22k=1.・.AB方程为：y=x+1

(2)将k=1代入方程(*)得x22x3Ox1或x3由yx1得yl0,

y24AA(1,0),B(3,4)VCDAB0

/.CD垂直平分ABACD所在直线方程为

2

y(x1)2B|Jy3x代入双曲线方程整理得x6x110令C(x3,y3),

D(x4,y4)及CD中点M(xO,yO)则

x3x46,x3x411,.".xO

x3x4

2

3,yO6

ICD=4,|MC||MD|-A、B、C、D四点共圆4.已知椭圆

12

ICD2|MA|MB2,即A、B、C、D至ijM总巨离相等

x

22

3m

y

22

5n

1和双曲线

x

22

2m

y

22

若直线1与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为

3n3

（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线1过焦点且垂直于x轴，1有公共的焦点，，

求双曲线的方程

22

22

4

2

［解析］（1）依题意，有3nl5n2m3n,即m

2222

8n,即双曲线方程为

2

X

16n

y

3n

1,故双曲线的渐近线方程是

x

22

16n

y

22

3n

0,即y

341619

34

x,,

3c2

12

3c2

(2)设渐近线yx与直线l:xc交于A、B,则|AB,b

22

,SOAB

c

34

，解得c1即ab1,

22

又

ba

34

,a

2

2

319

双曲线的方程为

19x16

19y3

22

1yb

22

5.已知F1,F2是双曲线

xa

1的左，右焦点，点Px,y是双曲线右支上的一个动点，且PF1的最小值为8,双曲线

的一条渐近

线方程为y

43

x.求双曲线的方程；

［解析］PF

1

exaeaaac,当且仅当xa时取等号，

PFlca.ca8①.双曲线

xa

22

yb

22

1的一条渐进线方程为y

43

x

ba

43

②，又

c

2

ab③

2

22

由①②③得a3,b4,c5,所以所求双曲线方程为6.已知中心在原点的双曲线C的右

焦点为2,

瓜

0，右顶点为（I）求双曲线C的方程（II）若直线l:ykx

9

y

2

16

1

石

0.

与双曲线恒有两个不同的交点A和B且0A0B2（其中。为原点），求k的取值范围

22

解（1）设双曲线方程为

xa

yb

221

由已知得ac2,再由ab2,得b1

2222

故双曲线C

记

PF,-PFZ

的方程为

X

2

3

y1.

2

(2)将ykx代入

x

2

2

y1得(13k)x90

2

2

3

13k20

由直线1与双曲线交与不同的两点得

2

36(13)36(1k)0

22

即k

2

13

且k

2

1.①设AxA,yA,B(xA,yB),,则

xAyB

13k

2

,xAyB

913k

2

，由OAOB2得xAxByAyB2,

(kDxAxB

2

2

而xAxByAyBxAxB(kxAkxb(xAxB)2

(k1)

2

913k

2

k

13k

2

2

3k73k1

13

2

于是

3k73k1

13

2

2

2,即

3k93k1

2

2

0解此不等式得k3.②

2

由①+②得

k1

2

故的取值范围为(1,

33

7已知双曲线C：

xa

22

yb

22

l(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,点P是双曲线C

上的一点，PF1PF20,且

(1)求双曲线的离心率e；

27

(2

后

)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于

莅

P1,P2两点，若0P1OP2,2PP1PP20,求双曲线C

4

的方程.

(1

PF\

r2r,丁

记

PF1PF2Ae

ca2c2a

5.

5r,

(2)由(1

e12,从而双曲线的渐近线方程为y2x,2

依题意，可设P(x,y),Pl(xl,2xl),P2(x2,2x2),由0P10P2xlx24x1x2

274

,得xlx2

94

.①

2x1x2x2x1x23x03

由2PpiPP20,得，解得.

4x2x3y012y4x12x2

3

・・,点P(x,y)在双曲线

xa

22

yb

22

(2x1x2)(4x12x2)

122

9a9b

98

a.②

2

22

1,

又b2a,上式化简得xlx2

由①②，得a2,从而得b22.故双曲线C的方程为

x

2

2

y

2

8

1.

8.已知动圆与圆Cl:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=l都外切，(1)求动圆圆心P

的轨迹方程。

解：(1)从已知条件可以确定圆Cl、C2的圆心与半径。

两圆外切可得：两圆半径和=圆心距

动圆半径r,依题意有7+r=PC1|,l+r=PC2|,

两式相减得：|PCl|-|PC2|=6<|ClC2|o

由双曲线定义得：点P的轨迹是以Cl、C2

2

9

2

16

1(x23)

（2）若动圆P与圆C2内切，与圆Cl外切，则动圆圆心P的轨迹是（双曲线右支）

若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是（双曲线左支）若把圆

C1的半径改为1,那么动圆P的轨迹是。（两定圆连心线的垂直平分线）

18.已知直线yax1与双曲线3xy1交于A、B点。（1）求a的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；（3）是否存在这样的实数a,

使A、B两点关于直线y

请求出a的值；若不存在，说明理由。

yax122解：（1）由2消去y,得（3a）x2ax20（1）2

3xy1

3a20

依题意即

6且a3(2)

x对称？若存在,

xx(3)1223a

(2)设A(xl,yl),B(x2,y2),则

XX2(4)1223a;以AB为直径的圆过原点，OAOB，xlx2yly20

但yly2a2xlx2a(xlx2)1由(3)(4),xlx2

2

2a3a

2

,xlx2

23a

2

J(a1)

23a

2

a

2a3a

2

10解得a1且满足(2)

12

12

(3)假设存在实数a,使A、B关于ya

12

x对称，则直线yax1与yx垂直

1,即a2直线1的方程为y2x1

将a2代入(3)得xlx24

・・・AB中点的横坐标为2纵坐标为y2213但AB中点(2,3)不在直线

y9.⑴椭圆C:

xa

22

12

x±,即不存在实数a,使A、B关于直线y

3

12

x对称。

yb

22

1(a>b>0)上的点A(l,2)到两焦点的距离之和为4,

求椭圆的方程；

(2)设K是(1)中椭圆上的动点，F1是左焦点，求线段F1K的中点的轨迹方程；

(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点,

当直线PM、PN的斜率都存

在并记为kPM、kPN时，那么kPM质，并加以证明。

解：(1)

X

4

2

2

22

kPN

X

是与点P位置无关的定值。试对双曲线a

2

2

yb

1写出具有类似特性的性

y

3

1

x

4

2

(2)设中点为(x,y),Fl(-1,0)K(-2-x,-y)在

y

2

3

1上

(x2)

4

2

y

2

3

1

(3)设M(xl,yl),N(-xl,-yl),P(xo,yo),xoWxl

贝ijyob(a1)ylb(a1)

2

2

22x1

2

22x1

2

kPMkPN

2

2

yOylxOxl

yOylxOxl

yOylxOxl

2

22

2

b

2

22x01(

2a22x0xlx

)

a

22

为定值.

10.已知双曲线方程为2xy2与点P(l,2),

(1)求过点P(1,2)的直线1的斜率k的取值范围，使直线与双曲线

有一个交点，两个交点，没有交点。(2)过点P(1,2)的直线交双曲线于A、B两

点，若P为弦AB的中点，

求直线AB的方程；

(3)是否存在直线1,使Q(1,1)为1被双曲线所截弦的中点？若存在，

求出直线1的方程；若不存在，请说明理由。

解：(1)当直线1的斜率不存在时，1的方程为x=l,与曲线C有一个交点.当1的斜率

存在时，设直线1的方程为y—2=k(x—1),代入C的方程，并整理得

(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)(i)当2—k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个

根，1与C有一个交点(ii)当2—k#0,即k六±2时

△=[2(k—2k)]—4(2—k)(一k+4k-6)=16(3-2k)①当△=0,即3—2k=0,k=②当△>

0,即kV与C有两个交点.

③当△V0,即k>

3232

32

2

2

2

2

2

时，方程()有一个实根，1与C有一个交点.

32

*

，又k#±2,故当kV—2或一2Vk<2或2<k〈时，方程(*)有两不等实根，1

时，方程()无解，1与C无交点.

32

*

综上知：当k二±2,或k=当2VkV当k>

32

32

,或k不存在时，1与C只有一个交点；

，或一2VkV2,或kV—2时，1与C有两个交点；

时，1与C没有交点.

(2)假设以P为中点的弦为AB,且A(xl,yl),B(x2,y2),则2x12—yl2=2,2x22—y22=2

两式相减得:2(x1—x2)(xl+x2)=(yl

—y2)(yl+y2)

又・.・xl+x2=2,yl+y2=4A2(xl-x2)=yl-yl即kAB二

yly2xlx2

=1

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：yx1.

(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且A(xl,yl),B(x2,y2),则2x12—yl2=2,2x22

—y22=2两式相减得:2(xl-x2)(xl+x2)=(yl-y2)(yl+y2)

X*/xl+x2=2,yl+y2=2.\2(xl—x2)=yl—yl即kAB二

yly2xlx2

=2

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点

的弦不存在.11已知中心在原点，顶点Al、A2在x轴上，离心率e二

213

的双曲线过点P(6,(2)动直线1经过△

A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N是否存在直线1,使G平分线段MN

解(1)如图，设双曲线方程为

xa

y

22

yb

22

=1由」知得

6a

22

6b

22

1,e

2

aba

2

22

213

,解得a2=9,b2所以所求双曲线方程为

x

22

9

12

(2)P、Al、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),，其重心G的坐标为(2,2)

假设存在直线L使G(2,2)平分线段MN,设M(xl,yl),N(设,y2则有

22

xlx24yly2124412x19yl108

,,・・・kl=・・.l的方程为22

3x1x29312x29y2108yly24

12x29y2108

4y=(x-2)+2,由，消去y,整理得x2—4x・・・A=16—4328V0,J所求直线14

3y(x2)

3

12已知双曲线x

2

y

2

2

1,问过点A(1,1)能否作直线1,使1

与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线1的方程，若不

存在，说明理由。

错解设符合题意的直线1存在，并设P(xl,x2)、Q(x2,y2)

22yl1(1)xl12(yly2)(yly2)(3)因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以

则(1)(2)得(xlx2)(xlx2)22y2x221(2)2

xlx22(4)lxx(yly2)将(4)、(5)代入(3)得122yy2(5)21

若xlx2,则直线1的斜率kyly2

xlx22所以符合题设条件的直线1存在。其方程为2xy10剖析在(3)式成立

的前提

下，由(4)、(5)两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线

进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由

y2x122得2x4x30根据80,说明所求直线不存在。

2y1x2

1.解：(1)易知b

x32b23,又F(l,0)c1a2b2c24

椭圆C的方程为4y2

3

21(2)F(l,0),k(a,0)先探索，当m=0时，直线LJ_ox轴，则ABED为矩形，

由对称性知，AE与BD相交于

a1

22FK中点N，且N(,0)

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(

2a1222,0)证明：设A(xl,yl),B(x2,y2),E(a,y2),D(a,yl),当m变化时首先AE过定

点Nxmy1222222222即(abm)y2mbyb(la)0..・.8分

2222bxayab04ab(amb1)0又KANyla1

2222222(a1)y21a22,KENmyl

a12

而KANKEN(yl