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文档简介
高中数学双曲线经典例题分类指导
例题定义类
1,已知Fl(5,0),F2(5,0),一曲线上的动点P到Fl,F2距离之差为6,则双曲线的方
程为点拨:一要注意是否满足2a|F1F2|,二要注意是一支还是两支
2
|PF1|PF2|610
32
P的轨迹是双曲线的右支.其方程为
9
y
2
16
l(x0)
2双曲线的渐近线为yx,则离心率为
点拨:当焦点在x轴.卜.时,
ba
32
,e
2
;当焦点在y轴上时,
ab
32
,e
3
3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时
听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的
距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关
各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.
[解析]如图,以接报中心为原点0,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标
系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,
1020)
设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC,故P在AC的垂直
平分线PO上,P0的方程为丫=一乂,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|一
PA|=34034=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
xa
22
yb
22
1上,
依题意得a=680,c=1020,
b
2
ca
22
1020
x
22
2
680
y
22
5340
2
2
1
故双曲线方程为
6805340
用y=-x代入上式,得x680
x680
5,y680
5,V|PB|>|PA|,
5,680
5),故PO680
5,即P(680
答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680m处.【名师指引】解应用题的关键
是将实际问题转换为“数学模型”4设P为双曲线x
()
B.12
C.123
D.24
2
y
2
12
1上的一点Fl、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面
积为
A.63
解析:a1,b,c
,由|PF1|:PF2|3:2①
X|PF1|PF2|2a2,②由①、②解得PF1|6,|PF24.
图2
|PF1|PF2|52,|F1F252,222
PF1F2为直角三角形,
1
212SPF1F2|PF1||PF2|6412.故选B。
5如图2所示,F为双曲线C:x2
916
焦点,双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3关于y轴对称,y21的左
则P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是()
A.9B.16C.18D.27
[解析]P1FP6FP2FP5FP3FP4F6,选C
X
a226.P是双曲线yb221(a0,b0)左支上的一点,Fl、F2分别是左、右焦点,且
焦距为2c,则PF1F2的内切圆的
圆心的横坐标为()
(A)a(B)b(C)c(D)abc[解析]收PF1F2的内切圆的圆心的横
坐标为xO,由圆的切线性质知,PF2PF1|cxO|x0(c)|2axOa
x2
7,若椭圆my2
n1mn0与双曲线x2
ay2
bF2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1「|PF21(ab0)有相同的焦点Fl,
的值是()
A.maB.1
2maC.m22aD.ma
PF1PF21
2双曲线的实半轴为PF1PF2122
4PF1PF24maPF1PF2ma,故选A.2
求双曲线的标准方程
1已知双曲线C与双曲线x2
16—y2
4=1有公共焦点,且过点(32,2).求双曲线C的方程.
【解题思路】运用方程思想,列关于a,b,c的方程组[解析]解法一:设双曲线方程为x
a22—yb
a22二L由题意易求c=25.2又双曲线过点(32,2),/.(32)
2-4b2=l.
XVa2+b2=(25)2,Aa2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为
x
2
12
x
2
y
2
8
=1.一
y
2
解法二:设双曲线方程为
16k4k
=1,
x
2
将点(32,2)代入得k=4,所以双曲线方程为2.已知双曲线的渐近线方程是y
2
2
12
y
2
8
=1.
x2
,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为;
[解析]设双曲线方程为X4y,当。时,化为
X
2
y
2
4
1,2
54
1020,
当。时,化为
y
2
4
y
2
1,2
54
1020,
综上,双曲线方程为
x
2
20
y
2
5
1或
y
2
5
X
2
20
1
3y0的双曲线方程为.
2
3.以抛物线y83x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x
222
[解析]抛物线y83x的焦点F为(23,0),设双曲线方程为x3y
43
(23)9,双曲线方
2
程为
x
2
9
y
2
3
1
4.已知点火3,0),N(3,0),B(l,0),动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切
的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为A.x
2
y
2
8y
2
1(x1)B.x
2
y
2
8y
2
1(x1)
C.x
2
8
1(x>0)D.x
2
10
l(x1)
[解析]PMPNBMBN2,P点的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为2的双曲线的右
支,选B与渐近线有关的问题1若双曲线
xa
22
yb
22
l(aO,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为()
A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素,沟通a,b,c的关系
[解析]焦点到渐近线的距离等于实轴长,故b2a,e
2
ca
22
1
ba
22
5,所以e5
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过a,b,c的比例关系可以求离
心率,也可以求渐近线方程2.双曲线
x
2
4
y
2
9
1的渐近线方程是()A.y
[解析]选C23xB.y49xC.y32xD.y94x
3.焦点为(0,6),且与双曲线
A.x2x22
yx221有相同的渐近线的双曲线方程是()y2
12y2
241B.y2
12241C.24x2
121D.x2
24y2
121
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B
4,过点(L3)且渐近线为y1
2x的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为x2
4yk
35
421点(1,3)代入:k1
49
2.代入(1):x2
4y235
44y
35
2
2x2351即为所求.【评注】在双曲线xay
b221中,令xa22yb220xay
b0即为其渐近线.根据这一点,可以简洁地设待求双曲线为
x
a22yb22k,而无须考虑其实、虚轴的位置.
5设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦,求证它的两端点与实轴任一顶点的连线
成直角.
【证明】如图设等轴双曲线方程为xya
2221,CY直线CD:y=m.代入(1)
\jx2+m2
:X.故有:
yr+///'.
Cm,D
V-v"+ni2
m.ABX
取双曲线右顶点Ba,0.那么:
Fl2
\lx+in
BCa,m,BD
y1x2+m2
a,m
2222BCBDaamm0,BCBD.
即NCBD=90°.
同理可证:ZCAD=90°.
几何
1设P为双曲线x2y2
121上的一点,Fl,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|3:2,则△PF1F2的
面积为()
A
V
,B.12
c.D.24【解析
6
而
】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:al,bc.设;
PF13r,PF22r.PF1PF22a2,r2.
于是PF16,PF24.PF1
2
PF2
2
52F1F2,
2
故知△PF1F2是直角三角形,NF1PF2=90°.
ASPFF
1
2
12
PF1PF2
12
6412.选B.
求弦
1双曲线x
2
y
2
,则此弦所在的直线方程为()1的一弦中点为(2,1)
A.y2x1B.y2x2C.y2x3D.y2x3【解析】设弦的两端分别为
Axl,yl,Bx2,y2.则有:
xl2yl2lyly2xlx22222
xxyy0.212122
xxyyxy1121222
•・•弦中点为(2,1),・・・
xlx24yly22
.故直线的斜率k
yly2xlx2
xlx2yly2
2.
则所求直线方程为:y12x2y2x3,故选C.
“设而不求”具体含义是:在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要
有可能,可以用虚设代替而不必真地去求它,但是,“设而不求”的手段应当慎用.不问
条件是否成熟就滥用,也会出漏子.请看:2在双曲线x
2
y
2
2
1上,是否存在被点M(1,1)平分的弦?如果存在,求弦所在的直线方程;如不存
在,请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段,会有如下解法:【正解】在上述解法的基
础上应当加以验证.由
2y2
12x22
2x2x122x4x302
y2x1
2
这里16240,故方程(2)无实根,也就是所求直线不合条件.
止匕外,上述解法还疏忽了一点:只有当xlx2时才可能求出k=2.若xlx2,必有
yly20.说明这时直线与双曲线只有一个公共点,仍不符合题设条件.
结论;不存在符合题设条件的直线.
换远(压轴题)
1如图,点F为双曲线C的左焦点,左港线1交x轴于点Q,点P是1上的一点,已知
PQl|FQ|1,且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.
(I)求双曲线C的标准方程;
(II)若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点,设FBFA,当
[6,)时,求直线m的斜率k的取值范围.
m
【分析】第(I)问中,线段PF的中点M的坐标是主要变量,其它都是辅助变量.注意
到
点M是直角三角形斜边的中点,所以利用中点公式是设参消参的主攻方向
第(H)中,直线m的斜率k是主要变量,其它包括X都是辅助变量.斜率k的几何
意义是有关直线倾斜角0的正切,所以设置直线m的参数方程,而后将参数人用。的
三角式表示,是一个不错的选择.
22【解析】(I)设所求双曲线为:
xa
2
yb
2
1.其左焦点为F(-Co0)
;左准线:xa
2
c
2
2
由|PQ|b得P(
a
2
c
,1);由「FQ|1c
a
2
c
1
b
c1bc.1
2
2
2
FP的中点为M
c2
al
ca
21
c
.代入双曲线方程:
2
4c2
a
2
4c
1
c2
a
2
2
a2c4c2
a2
c2
a
2
a2
cb4
a2
c
2
根据(1)与(2)ca2b2
,c
a
2
2
2
c
12.所求双曲线方程为xy2.
(II)设直线x2tcosm的参数方程为:
代入x2y
2
2得:
ytsin
2tcostsin2t2cos2
4tcos20
3
当
cos20时,16cos2
82cos2
180
,方程(3)总有相异二实根,
4cost那么tlt2
cos2
1,t2.4.
t21t2
cos2
已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点,,FB与FA同向,
故FB22
FAt2
lt2t0,.于是:tlt2tltt2121
tlt2t2It2tlt22
.注意到
1
2
在[6,)上是增函数,
tlt2
t26
ltlt21t2
6
t
495
lt2
6
(4)代入(5):64
cos
2
os2492
cos2
48cos
c
4922
cos1
50cos2
49
2
sec2
502
149
tan
149
k
17
或k
7
・・•双曲线x2
y2
2的渐近线斜率为1,故直线m与双曲线C的左右两支分别交必须
k1,1.综合得直线m的斜率k的取值范围是k
11,1
7,17.
/I|
设为
练习题
1已知中心在原点,顶点Al、A2在x轴上,离心率e=
213
的双曲线过点P(6,(1)(2)动直线1经过AAIPAZ的重心G,与
双曲线交于不同的两点M、N是否存在直线1,使G平分线段MN,证明你的结论
解如图,设双曲线方程为
xa
22
yb
22
=1由已知得
6a
22
6b
22
1,e
2
aba
2
22
213
,解得a2=9,b2所以所求
双曲线方程为
x
2
9
y
2
12
(2)P、Al、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),,其重心G的坐标为(2,2)
假设存在直线1,使G(2,2)平分线段MN,设M(xl,yl),N(x2,y2)
22
xlx24yy2124412x19yl108
,1,・・・kl=JI的方程为22
3x1x29312x29y2108yly24
12x29y2108
4y=(x—2)+2,由,消去丫,整理得*2—4乂+28=0,・・4刁6—4328〈0,・・・所求直线1
43y(x2)
3
2.一知双曲线x
2
y
2
2
1,问过点A(1,1)能否作直线1,使1与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的
中点?若存在,求出直
线1的方程,若不存在,说明理由。
错解设符合题意的直线1存在,并设P(xl,x2)、Q(x2,y2)
2
2yl
1(1)xl
12
(2)得(xlx2)(xlx2)(yly2)(yly2)(3)因为A(1,D为线段PQ的中点,所
以则(1)2
2y22
x21(2)2
xlx22(4)1
(yly2)将⑷、⑸代入(3)得xlx2
2yly22(5)
若xlx2,则直线1的斜率k
yly2xlx2
2所以符合题设条件的直线1存在。其方程为2xy10剖析在(3)式成立的前提
下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线
进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。应在上述解题的基础上,再由
y2x1
22
得2x4x30根据
80,说明所求直线不存在。2y
1x2
3已知点N(l,2),过点N的直线交双曲线x
1于A、B两点,且0N
(0AOB)(1)求直线AB的方程;(2)若过N的
直线1交双曲线于C、D两点,且CDAB0,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什
么?解:(1)设直线AB:yk(x1)2代入x
1得(2k)x2k(2k)x(2k)20(*)
令A(xl,yl),B(x2,y2),则xl、x2是方程的两根.'.2k0且xlx2
2k(2k)2k2
VON
12
(OAOB),N是AB的中点J
xlx2
2
1
・・・k(2k)k22k=1.・.AB方程为:y=x+1
(2)将k=1代入方程(*)得x22x3Ox1或x3由yx1得yl0,
y24AA(1,0),B(3,4)VCDAB0
/.CD垂直平分ABACD所在直线方程为
2
y(x1)2B|Jy3x代入双曲线方程整理得x6x110令C(x3,y3),
D(x4,y4)及CD中点M(xO,yO)则
x3x46,x3x411,.".xO
x3x4
2
3,yO6
ICD=4,|MC||MD|-A、B、C、D四点共圆4.已知椭圆
12
ICD2|MA|MB2,即A、B、C、D至ijM总巨离相等
x
22
3m
y
22
5n
1和双曲线
x
22
2m
y
22
若直线1与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为
3n3
(1)求双曲线的渐近线方程(2)直线1过焦点且垂直于x轴,1有公共的焦点,,
求双曲线的方程
22
22
4
2
[解析](1)依题意,有3nl5n2m3n,即m
2222
8n,即双曲线方程为
2
X
16n
y
3n
1,故双曲线的渐近线方程是
x
22
16n
y
22
3n
0,即y
341619
34
x,,
3c2
12
3c2
(2)设渐近线yx与直线l:xc交于A、B,则|AB,b
22
,SOAB
c
34
,解得c1即ab1,
22
又
ba
34
,a
2
2
319
双曲线的方程为
19x16
19y3
22
1yb
22
5.已知F1,F2是双曲线
xa
1的左,右焦点,点Px,y是双曲线右支上的一个动点,且PF1的最小值为8,双曲线
的一条渐近
线方程为y
43
x.求双曲线的方程;
[解析]PF
1
exaeaaac,当且仅当xa时取等号,
PFlca.ca8①.双曲线
xa
22
yb
22
1的一条渐进线方程为y
43
x
ba
43
②,又
c
2
ab③
2
22
由①②③得a3,b4,c5,所以所求双曲线方程为6.已知中心在原点的双曲线C的右
焦点为2,
瓜
0,右顶点为(I)求双曲线C的方程(II)若直线l:ykx
9
y
2
16
1
石
0.
与双曲线恒有两个不同的交点A和B且0A0B2(其中。为原点),求k的取值范围
22
解(1)设双曲线方程为
xa
yb
221
由已知得ac2,再由ab2,得b1
2222
故双曲线C
记
PF,-PFZ
的方程为
X
2
3
y1.
2
(2)将ykx代入
x
2
2
y1得(13k)x90
2
2
3
13k20
由直线1与双曲线交与不同的两点得
2
36(13)36(1k)0
22
即k
2
13
且k
2
1.①设AxA,yA,B(xA,yB),,则
xAyB
13k
2
,xAyB
913k
2
,由OAOB2得xAxByAyB2,
(kDxAxB
2
2
而xAxByAyBxAxB(kxAkxb(xAxB)2
(k1)
2
913k
2
k
13k
2
2
3k73k1
13
2
于是
3k73k1
13
2
2
2,即
3k93k1
2
2
0解此不等式得k3.②
2
由①+②得
k1
2
故的取值范围为(1,
33
7已知双曲线C:
xa
22
yb
22
l(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,点P是双曲线C
上的一点,PF1PF20,且
(1)求双曲线的离心率e;
27
(2
后
)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于
莅
P1,P2两点,若0P1OP2,2PP1PP20,求双曲线C
4
的方程.
(1
PF\
r2r,丁
记
PF1PF2Ae
ca2c2a
5.
5r,
(2)由(1
e12,从而双曲线的渐近线方程为y2x,2
依题意,可设P(x,y),Pl(xl,2xl),P2(x2,2x2),由0P10P2xlx24x1x2
274
,得xlx2
94
.①
2x1x2x2x1x23x03
由2PpiPP20,得,解得.
4x2x3y012y4x12x2
3
・・,点P(x,y)在双曲线
xa
22
yb
22
(2x1x2)(4x12x2)
122
9a9b
98
a.②
2
22
1,
又b2a,上式化简得xlx2
由①②,得a2,从而得b22.故双曲线C的方程为
x
2
2
y
2
8
1.
8.已知动圆与圆Cl:(x+5)2+y2=49和圆C2:(x-5)2+y2=l都外切,(1)求动圆圆心P
的轨迹方程。
解:(1)从已知条件可以确定圆Cl、C2的圆心与半径。
两圆外切可得:两圆半径和=圆心距
动圆半径r,依题意有7+r=PC1|,l+r=PC2|,
两式相减得:|PCl|-|PC2|=6<|ClC2|o
由双曲线定义得:点P的轨迹是以Cl、C2
2
9
2
16
1(x23)
(2)若动圆P与圆C2内切,与圆Cl外切,则动圆圆心P的轨迹是(双曲线右支)
若动圆P与圆C1内切,与圆C2外切,则动圆圆心P的轨迹是(双曲线左支)若把圆
C1的半径改为1,那么动圆P的轨迹是。(两定圆连心线的垂直平分线)
18.已知直线yax1与双曲线3xy1交于A、B点。(1)求a的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(3)是否存在这样的实数a,
使A、B两点关于直线y
请求出a的值;若不存在,说明理由。
yax122解:(1)由2消去y,得(3a)x2ax20(1)2
3xy1
3a20
依题意即
6且a3(2)
x对称?若存在,
xx(3)1223a
(2)设A(xl,yl),B(x2,y2),则
XX2(4)1223a;以AB为直径的圆过原点,OAOB,xlx2yly20
但yly2a2xlx2a(xlx2)1由(3)(4),xlx2
2
2a3a
2
,xlx2
23a
2
J(a1)
23a
2
a
2a3a
2
10解得a1且满足(2)
12
12
(3)假设存在实数a,使A、B关于ya
12
x对称,则直线yax1与yx垂直
1,即a2直线1的方程为y2x1
将a2代入(3)得xlx24
・・・AB中点的横坐标为2纵坐标为y2213但AB中点(2,3)不在直线
y9.⑴椭圆C:
xa
22
12
x±,即不存在实数a,使A、B关于直线y
3
12
x对称。
yb
22
1(a>b>0)上的点A(l,2)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,
当直线PM、PN的斜率都存
在并记为kPM、kPN时,那么kPM质,并加以证明。
解:(1)
X
4
2
2
22
kPN
X
是与点P位置无关的定值。试对双曲线a
2
2
yb
1写出具有类似特性的性
y
3
1
x
4
2
(2)设中点为(x,y),Fl(-1,0)K(-2-x,-y)在
y
2
3
1上
(x2)
4
2
y
2
3
1
(3)设M(xl,yl),N(-xl,-yl),P(xo,yo),xoWxl
贝ijyob(a1)ylb(a1)
2
2
22x1
2
22x1
2
kPMkPN
2
2
yOylxOxl
yOylxOxl
yOylxOxl
2
22
2
b
2
22x01(
2a22x0xlx
)
a
22
为定值.
10.已知双曲线方程为2xy2与点P(l,2),
(1)求过点P(1,2)的直线1的斜率k的取值范围,使直线与双曲线
有一个交点,两个交点,没有交点。(2)过点P(1,2)的直线交双曲线于A、B两
点,若P为弦AB的中点,
求直线AB的方程;
(3)是否存在直线1,使Q(1,1)为1被双曲线所截弦的中点?若存在,
求出直线1的方程;若不存在,请说明理由。
解:(1)当直线1的斜率不存在时,1的方程为x=l,与曲线C有一个交点.当1的斜率
存在时,设直线1的方程为y—2=k(x—1),代入C的方程,并整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)(i)当2—k2=0,即k=±2时,方程(*)有一个
根,1与C有一个交点(ii)当2—k#0,即k六±2时
△=[2(k—2k)]—4(2—k)(一k+4k-6)=16(3-2k)①当△=0,即3—2k=0,k=②当△>
0,即kV与C有两个交点.
③当△V0,即k>
3232
32
2
2
2
2
2
时,方程()有一个实根,1与C有一个交点.
32
*
,又k#±2,故当kV—2或一2Vk<2或2<k〈时,方程(*)有两不等实根,1
时,方程()无解,1与C无交点.
32
*
综上知:当k二±2,或k=当2VkV当k>
32
32
,或k不存在时,1与C只有一个交点;
,或一2VkV2,或kV—2时,1与C有两个交点;
时,1与C没有交点.
(2)假设以P为中点的弦为AB,且A(xl,yl),B(x2,y2),则2x12—yl2=2,2x22—y22=2
两式相减得:2(x1—x2)(xl+x2)=(yl
—y2)(yl+y2)
又・.・xl+x2=2,yl+y2=4A2(xl-x2)=yl-yl即kAB二
yly2xlx2
=1
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与有交点,所以以P为中点的弦为:yx1.
(3)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(xl,yl),B(x2,y2),则2x12—yl2=2,2x22
—y22=2两式相减得:2(xl-x2)(xl+x2)=(yl-y2)(yl+y2)
X*/xl+x2=2,yl+y2=2.\2(xl—x2)=yl—yl即kAB二
yly2xlx2
=2
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点
的弦不存在.11已知中心在原点,顶点Al、A2在x轴上,离心率e二
213
的双曲线过点P(6,(2)动直线1经过△
A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N是否存在直线1,使G平分线段MN
解(1)如图,设双曲线方程为
xa
y
22
yb
22
=1由」知得
6a
22
6b
22
1,e
2
aba
2
22
213
,解得a2=9,b2所以所求双曲线方程为
x
22
9
12
(2)P、Al、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),,其重心G的坐标为(2,2)
假设存在直线L使G(2,2)平分线段MN,设M(xl,yl),N(设,y2则有
22
xlx24yly2124412x19yl108
,,・・・kl=・・.l的方程为22
3x1x29312x29y2108yly24
12x29y2108
4y=(x-2)+2,由,消去y,整理得x2—4x・・・A=16—4328V0,J所求直线14
3y(x2)
3
12已知双曲线x
2
y
2
2
1,问过点A(1,1)能否作直线1,使1
与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线1的方程,若不
存在,说明理由。
错解设符合题意的直线1存在,并设P(xl,x2)、Q(x2,y2)
22yl1(1)xl12(yly2)(yly2)(3)因为A(1,1)为线段PQ的中点,所以
则(1)(2)得(xlx2)(xlx2)22y2x221(2)2
xlx22(4)lxx(yly2)将(4)、(5)代入(3)得122yy2(5)21
若xlx2,则直线1的斜率kyly2
xlx22所以符合题设条件的直线1存在。其方程为2xy10剖析在(3)式成立
的前提
下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线
进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。应在上述解题的基础上,再由
y2x122得2x4x30根据80,说明所求直线不存在。
2y1x2
1.解:(1)易知b
x32b23,又F(l,0)c1a2b2c24
椭圆C的方程为4y2
3
21(2)F(l,0),k(a,0)先探索,当m=0时,直线LJ_ox轴,则ABED为矩形,
由对称性知,AE与BD相交于
a1
22FK中点N,且N(,0)
猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点N(
2a1222,0)证明:设A(xl,yl),B(x2,y2),E(a,y2),D(a,yl),当m变化时首先AE过定
点Nxmy1222222222即(abm)y2mbyb(la)0..・.8分
2222bxayab04ab(amb1)0又KANyla1
2222222(a1)y21a22,KENmyl
a12
而KANKEN(yl
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