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文档简介
全书综合测评
(满分:15()分;时间:12()分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.已知等差数列⑶}的公差40,且a3+a6+a9=18,若an=6,则n为()
A.12B.8C.6D.4
2.已知函数f(x)=alnx+2f(e)=2,则a的值为()
A.-lB.lC.2eD.e2
3.在等比数列{%}中,a2+a3=l,a4+a5=2,则a6+a7=()
A.2B.2V2
C.4D.4V2
4.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五
尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织出的布都是前一天的2倍,已知
她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,该女子第3
天所织布的尺数为()
A.-B.-C.-D.-
313142
5.在等差数列{期}中,首项aA0,公差dWO,前n项和为Sn(n《N*),且满足S3=S15,则Sn
的最大项为()
A.S7B.SgC.S9D.S10
6.已知函数f(x)=e'(cosx+sinx),记f(x)是f(x)的导函数,将满足f(x)=O的所有正数
X从小到大排成数列{Xn},nWN*,则f(xn)=()
A.(-l)ne-(n+l)"B.(-l)n+1en,t
C.GDLD.(-l)n+le(n+1)Jt
7.设奇函数f(x)在R上存在导函数f(x),且在(0,+8)上f(x)<x2,若
f(l-m)-f(m)2,(l-m)3-n?],则实数m的取值范围为()
C.(-8,TD,[1,+°O)
8.已知定义在R上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-l)的图象关于直线x=l对称,且当
xG(-oo,0)时,有f(x)+xf(x)<0(f(x)是函数f(x)的导函数)成立.若a=(sinJ•f(sin0,
b=(ln2)•f(ln2),c=(】og《)•f(log[),则a,b,c的大小关系是(深度解析)
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>a>bD.a>c>b
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,
有选错的得0分)
9.设等差数列{aj的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,已知S|6>O,SI7<(),则下列结
论正确的是()
A.ai>0,d<()
B.as+a9>0
C.S8与S9均为工的最大值
D.a9<0
10.已知函数f(x)=e2nx-2,则下列说法正确的是()
A.f(x)有且仅有一个极值点
B.f(x)有零点
C.若f(x)的极小值点为xo,则0<f(x0)<i
D.若f(x)的极小值点为xo,则如f(x0)<l
11.已知数列⑶}为等差数列a=1,且@2加热是一个等比数列中的相邻三项,记
壮=2应厮。力0,1),则{悦}的前n项和Sn可以是()
A.n
B.nq
「q+nqn+1-nqn-qn
■
口q+nqn+2-nqn+1-qn+1
12.已知f(x)=ex•X:则下列结论正确的是()
A.f(x)在R上单调递增
1
B.f(log52)<f(eW)<f(lnit)
C.方程f(x)=-l有实数根
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根
三'填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.在等差数列{aj中,已知a3=4,a6=l(),则ai0-a7=.
14.已知数列{aj的前n项和为Sn,若ai=l,an+i=3Sn(n@N*),则比=.
15.已知函数f(x)=xg(x),曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线方程是x-y-l=0,则曲线
y=g(x)在点(l,g(l))处的切线方程是.
16.已知函数f(x)=(4-x?)(x2+ax+b)的图象关于直线x=l对称,则a+b=,f(x)
的最大值为.(第一空2分,第二空3分)
四'解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在等差数列{aj中,a2=3,a5=6.
(1)求数列{aj的通项公式;
(2)设bn=」一,求数列{bn}的前n项和Sn.
anan+l
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(x-l)-|eax2,a<0.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极小值;
(3)求函数f(x)的零点个数.
19.(本小题满分12分)已知数列{a"是首项为正数的等差数列,数列[—一)的前n项
和为
2n+l
(1)求数列{an}的通项公式;
⑵设bn=(an+l)-2和,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年
年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资
金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,
并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an
万元.
⑴用d表示ai,a2,并写出an+i与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m23)年使企业的剩余资金为4()0()万元,试确定企业每年上
缴资金d的值(用m表示).
21.(本小题满分12分)如图,有一块半径为20米,圆心角NAOB=m的扇形展示台,该
展示台分为四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中
NAOC=NBOD).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、
朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米1紫龙卧雪30
元/米2,朱砂红霜40元/米2.
⑴设NCODM,试建立日效益总量y关于0的函数关系式;
(2)试探求9为何值时,日效益总量达到最大值.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的
切线在y轴上的截距为In3-|.
⑴求a的值;
(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-募Y(X>。)的单调性;
⑶设ai=-an+i=f(an),求证:n一<--2<0(n22).
52an
答案全解全析
一、单项选择题
1.C由a3+a6+a9=18,得3a6=18,;冏=6,
又an=6,/.an=a6,XdWO,;.{aj为单调数列,,n=6.故选C.
2.C由f(x)=alnx+2得,f(x)=*
...f(e)=2=2,解得a=2e.故选C.
e
3.C设等比数列{%}的公比为q,
则也厘陋也贮2=2,
/.a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2x2=4.
故选C.
4.B设该女子每天分别织布的尺数构成数列{a0},则数列{斯}为等比数歹!J,设其首项
为由,公比为q,前n项和为Sn.则q=2S=5,
•••5=喈2解得山哈
•,间=袅<22=与故选B.
5.C由S3=Si5得,如+@5+…+ai5=0,
6(a9+aio)=O,BPa9+aio=O.
又ai>O,/.a9>O,aio<O,
,Sn的最大项为S9.故选C.
6.Cf(x)=-e-x(cosx+sinx)+ex(-sinx+cosx)=-2exsinx.
令f(x)=0,得-2e-'sinx=0,解得x=k&k®Z,从而xn=rut,nN*,f(xn)=(-l)ne-吗因为
学平=-e%所以数列{f(Xn)}是公比为-仃的等比数列,其首项f(x,)=(-l),e-lt=-e-".
f(%n)
其通项公式为f(Xn)=(-l)ne吗故选C.
7.D由f(1-m)-f(m)^~[(1-m)3-m3]W,32f(m)-1m3,构造函数
g(X)=f(X)+x3,则g<X)=f(X)-x2<0.故g(X)在(0,+QO)上单调递减,由函数f(X)为奇函数可
得g(x)为奇函数,故g(x)在R上单调递减,
因此原不等式可化为1-mWm,解得故选D.
8.A由函数y=f(x-l)的图象关于直线x=l对称知,f(x)是偶函数,设g(x)=x•f(x),则
g(x)是奇函数,且当x<()时,g,(x)=f(x)+x•f(x)<0,即g(x)是减函数,当x>()时,g(x)也
是减函数.
又0<singq<ln2<logi^=2,
.,.g(sin0>g(ln2)>g(logd).
即(sing)f(sin;)>(ln2)f(ln2)乂log4)f(log《).
...a>b>c.
故选A.
解题模板构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中,掌握一些基本的大小关
系可帮助解题,如本题中,当0<x<1时,sinx<x,ln2>111粕=;等
二'多项选择题
9.ABD•.§6/69;%6)>0,
/.a8+a9=ai+ai6>0,/.B正确.
17(a+a)
又Si7n117■=17a9<0,:.a9<0,
2
:.as>0,:•d=a9-ag<0,/.ai>0,:・A、D正确.
易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,・•・C错误.故选ABD.
10.AC由题意得,f(x)的定义域为(0,+⑼,且f(x)=ex+,设h(x)=f(x),则h'(x)=ex+^>0,
Jh(x)在(0,+8)上单调递增,
又hQ^=e2-2=Ve-2<0,h(1)=e'-1>0,
・・・h(x)存在唯一零点,设为Xo,
当OVXVXo时,f(x)v(),f(x)单调递减,
当X>Xo时,f(x)>0,f(x)单调递增,
・・・f(x)有唯一极小值点Xo,・・・A正确.
令琳(。飞祀-三祝得心。一,
X0X0
/.xo=ln—="lnXQ.
出
1
.•・f(xo)=e"o-lnxo-2=—+xo-2
x0
22•%o-2=O(当且仅当x()=l时等号成立),又[<xo<l,
.•.f(Xo)>O,即[f(X)]min>0,
,f(x)无零点,;.B错误.
由f(xo)=-I-XO-2,-<XO<1,
XQZ
可设g(x)=:+x-2,贝I」g"(x)=-^+l.
当沁<1时,g'(x)<o,;.g(x)在&i)上单调递减.
...g(i)<g(x)<g(m,即o<f(xO)<i,
,C正确,D错误.故选AC.
11.BD设等差数列{a0}的公差为d,由题意得W=a2a8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),
.,"刁=0,解得d=0或d=L
当d=0时,an=ai=l,
an
/.bn=anq=q,
•••{1}的前n项和为nq,B正确.
当d=l时,an=n,
/.bn=n•qn(qWO,l).
2n
/.Sn=1xq+2xq+•--+nq,
2nn+l
/.qSn=1xq+**-+(n-1)q+n•q,
・2nn+lq(l-q")n+lQ-Qn+1+nQn+2-riQn+1
2n1n1
..(I-q)Sn=q+q+,•,+q-nq=-^--nq=---------------.
n4.nnn+2nnn+1nn+1
又q#l,...Sn=qq〃%,D正确.故选BD.
12.BCDf(x)=ex•x3,
f(x)=ex(x'+3x2).
令f(x)=O,得x=0或x=-3.
当x<-3时,f(x)<0,f(x)单调递减,
当x>-3时,f(x)NO,f(x)单调递增,A错误.
iI
又0<log52VLeKelvin兀,
1
••.f(log52)<f(ei)<f(ln©,B正确.
•••f(0)=0,f(-3)=e-3•(-3)3=-(|)3<-l,
.,.f(x)=-l有实数根,C正确.
设f(x)=kx,显然x=0是方程的根,
当xWO时,k=^^=ex•x2,设g(x)=e',x?,贝!|g'(x)=x(x+2)ex,
令g'(x)=O,得x=0或x=-2.当x发生变化时£(x),g(x)的变化情况如下表:
X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+8)
g'(x)+0-0+
/4
g(x)0/
ez
画出y=g(x)的大致图象,如图,
,当0<kq时,g(x)=k有3个实数根,...D正确.故选BCD.
三、填空题
13.答案6
解析设等差数列{an}的公差为d.则3d=洪处=6,解得d=2.
所以aio-a7=3d=6.
14.答案768
解析由an+l=3Sn,得Sn+l-Sn=3Sn,即S*=4Sn,又S尸街=1,所以数列{SJ是首项为1,
n544
公比为4的等比数列,所以Sn=4”,所以a6=S6-S5M-4=3x4=768.
15.答案x-y-l=O
解析f(x)=xg(x),,f(x)=g(x)+xg'(x).
,/曲线y=f(x)在(1,f(l))处的切线方程是x-y-l=O,
.fl-/(l)-l=O,.f/(l)=O,
,,(r⑴=i,,,i/1(i)=i.
.7(l)=lXg(l)=O,襟得.(1)=°,
•1r(i)=gCi)+ixg'(D=i"Tg'(i)=L
则曲线y=g(x)在(l,g(l))处的切线方程为y-O=lx(x-l),BPx-y-l=O,
即切线方程为x-y-l=O.
16.答案-4;16
解析由4-x2-0可得x=2或x=-2,即2,-2是函数f(x)的零点,
•••f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=l对称,且(2,0),(-2,0)关于x=l对称的点分
别为(0,0),(4,0),.•.0,4也是函数f(x)的零点,
/.0,4是x2+ax+b=0的根,.,.b=0,a=-4,...a+b=-4,
/.f(x)=(4-x2)(x2-4x),Jf(x)=-4(x-1)(x2-2x-4),
令f(x)=0,得x=l或x=l-V5或x=l+V5.
当xAl+前或1-V5<X<1,f(x)<(),f(x)单调递减,
当1。<1+逐或*<1-西时,f(x)>0,f(x)单调递增.
又当X-00时,f(x)<0,f(l+V^)=f(l-V^=16,...f(x)的最大值为16.
四,解答题
17.解析⑴设等差数列面}的首项为ai,公差为d.
,.飞2=3抱5=6,
•••}汽3解得竹=上(2分)
(%+4d=6,(d=L
/.an=ai+(n-1)d=n+1.(4分)
-i-111
(2)由(1)知an=n+l,;.bn=-----=7——(6分)
(7i+l)(7i+2)n+1TI+2
:1
,Sn=b|+b->++bn=---+---+…+——(8分)
2334n+1n+2v/
(10分)
2n+22(n+2)'7
18.解析⑴由已知得,f(x)的定义域为R,
f(x)=ex(x-l)+ex-eax=x(ex-ea),f(())=0.
又f(0)=-l,.•.切点坐标为(0,-1).
曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y=-l.(4分)
(2)由(1)知f(x)=x(ex-ea).
令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).
当x发生变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:
X(-00,a)a(a,0)0(0,+oo)
f(x)+0-0+
f(x)/极大值极小值/
,f(x)在(-8⑶,(0,+8)上单调递增,在(a,0)上单调递减.
,f(x)在x=0处取得极小值,且极小值为f(0)=-l.(8分)
(3)由(2)知f(x)的极大值为f(a)=ea(a-l)-ieaa2=(a-l-1a2)ea<0(a<0),
f(0)=-l<0,f(2)=e2-2ea.
Va<0,/.0<ea<l,/.f(2)>0.
,函数f(x)的零点个数为1.(12分)
19.解析(1)设等差数列面}的首项为ai,公差为d,
令n=l,得二一=;,所以a〕a2=3.①(1分)
令n=2,得+^—=:,
。2a35
所以a2a3=15.②(3分)
由①②得a尸l,d=2,所以an=2n-l.(5分)
2nn
(2)由(1)知bn=2n•2-'=n•4,
n
所以Tn=l,41+2•42+…+n•4,
所以叫=1•42+—+(n-l)•4n+n•4n+1,(7分)
两式相减,得-3Tn=4i+42+…+45•4n+l(9分)
=4(i2n•4n+1=—•4n+l--,(H分)
7
1-433八
所以Tn=等•4用+产*二”+;(12分)
20.解析(1)由题意得ai=2000(l+50%)-d=30()()-d,a2=ai(l+50%)-d=|ai-d=4
500-jd,(2分)
an+i=an(l+50%)-d=|an-d.(5分)
(2)由(1)得an=|an-i-d=|•(|a加2-d)-d=(|)•an.2-|d-d=-=Q)ard[
吟(沪…+(茅](7分)
ri-1/o\n-1zo\n-1
©(3000-d)-2d•(I)-1需)(3000-3d)+2d.(9分)
由题意知am=4000,所以(第(3000-3d)+2d=4000,
解得d=^-±一
(1)-1
j喈/⑴分)
故该企业每年上缴资金d的值为万元时,经过m(m》3)年企业的剩余
资金为4000万元.(12分)
2110
21.解析⑴依题意得,NAOC日-吟*(2分)
贝°y=M*)x202x40x2+9202xsin0x5O+(|x0x2O2-|x2O2xsin9)x30
=16OOOxQ-0+10OOOsin0+60009-6OOOsin0
^16ooon+4OOOsine-20009,0〈吟.(6分)
⑵由⑴得y,=4OOOcos9-2000,
令y'=0,得cos0=1,
又0<。<拳所以吟,(8分)
当0<崎时,y,>0,当3吟时,广0,(10分)
所以是函数的极大值点,且唯一;
所以当时,日效益总量达到最大值.(12分)
22.解析⑴由f(x)=ln(2x+a),
得畋)=康,因此F)=京C分)
又因为f(l)=ln(2+a),
所以曲线y=f(x)在点(1,f(l)处的切线方程为y-ln(2+a)^(x-l),
即y=5-x+ln(2+a)-总(2分)
2+a2+a
由题意得,ln(2+a)-£=ln3-|,
易得a=l,符合上式.(3分)
令(p(a)=ln(2+a)--^-(a>0),
则炉伯尸土扁R>°,
所以(p(a)为单调递增函数,故a=l是唯一解.(4分)
(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+l)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+l)-^(x>0),
贝Ug<x)=二一一2二上<(),
S')2X+12X+1
所以g(x)=f(x)-2x(x>0)为单调递减函数.(6分)
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