新人教版高中数学选择性必修第二册综合测评卷（含答案）

全书综合测评

(满分:15()分;时间:12()分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.已知等差数列⑶｝的公差40,且a3+a6+a9=18,若an=6,则n为()

A.12B.8C.6D.4

2.已知函数f(x)=alnx+2f(e)=2,则a的值为()

A.-lB.lC.2eD.e2

3.在等比数列｛%｝中,a2+a3=l,a4+a5=2,则a6+a7=()

A.2B.2V2

C.4D.4V2

4.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织,日自倍，五日织五

尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布,每天织出的布都是前一天的2倍，已知

她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3

天所织布的尺数为()

A.-B.-C.-D.-

313142

5.在等差数列｛期｝中，首项aA0,公差dWO,前n项和为Sn(n《N*),且满足S3=S15,则Sn

的最大项为()

A.S7B.SgC.S9D.S10

6.已知函数f(x)=e'(cosx+sinx),记f(x)是f(x)的导函数,将满足f(x)=O的所有正数

X从小到大排成数列｛Xn｝,nWN*,则f(xn)=()

A.(-l)ne-(n+l)"B.(-l)n+1en,t

C.GDLD.(-l)n+le(n+1)Jt

7.设奇函数f(x)在R上存在导函数f(x),且在(0,+8)上f(x)<x2,若

f(l-m)-f(m)2，(l-m)3-n?],则实数m的取值范围为()

C.(-8，TD,[1,+°O)

8.已知定义在R上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-l)的图象关于直线x=l对称，且当

xG(-oo,0)时，有f(x)+xf(x)<0(f(x)是函数f(x)的导函数)成立.若a=(sinJ•f(sin0,

b=(ln2)•f(ln2),c=(】og《)•f(log[),则a,b,c的大小关系是(深度解析)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,

有选错的得0分)

9.设等差数列｛aj的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,已知S|6>O,SI7<(),则下列结

论正确的是()

A.ai>0,d<()

B.as+a9>0

C.S8与S9均为工的最大值

D.a9<0

10.已知函数f(x)=e2nx-2,则下列说法正确的是()

A.f(x)有且仅有一个极值点

B.f(x)有零点

C.若f(x)的极小值点为xo,则0<f(x0)<i

D.若f(x)的极小值点为xo,则如f(x0)<l

11.已知数列⑶｝为等差数列a=1,且@2加热是一个等比数列中的相邻三项，记

壮=2应厮。力0,1),则｛悦｝的前n项和Sn可以是()

A.n

B.nq

「q+nqn+1-nqn-qn

■

口q+nqn+2-nqn+1-qn+1

12.已知f(x)=ex•X：则下列结论正确的是()

A.f(x)在R上单调递增

1

B.f(log52)<f(eW)<f(lnit)

C.方程f(x)=-l有实数根

D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根

三'填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答

案填在题中横线上)

13.在等差数列｛aj中，已知a3=4,a6=l(),则ai0-a7=.

14.已知数列｛aj的前n项和为Sn,若ai=l,an+i=3Sn(n@N*),则比=.

15.已知函数f(x)=xg(x),曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线方程是x-y-l=0,则曲线

y=g(x)在点(l,g(l))处的切线方程是.

16.已知函数f(x)=(4-x?)(x2+ax+b)的图象关于直线x=l对称，则a+b=,f(x)

的最大值为.(第一空2分,第二空3分)

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)在等差数列｛aj中,a2=3,a5=6.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设bn=」一,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

anan+l

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(x-l)-|eax2,a<0.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极小值；

(3)求函数f(x)的零点个数.

19.(本小题满分12分)已知数列｛a"是首项为正数的等差数列，数列［—一)的前n项

和为

2n+l

(1)求数列｛an｝的通项公式;

⑵设bn=(an+l)-2和,求数列｛bn｝的前n项和Tn.

20.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年

年初有资金2000万元,将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资

金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元,

并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an

万元.

⑴用d表示ai,a2,并写出an+i与an的关系式；

(2)若公司希望经过m(m23)年使企业的剩余资金为4()0()万元，试确定企业每年上

缴资金d的值(用m表示).

21.(本小题满分12分)如图,有一块半径为20米,圆心角NAOB=m的扇形展示台，该

展示台分为四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中

NAOC=NBOD).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、

朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米1紫龙卧雪30

元/米2,朱砂红霜40元/米2.

⑴设NCODM,试建立日效益总量y关于0的函数关系式；

(2)试探求9为何值时，日效益总量达到最大值.

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的

切线在y轴上的截距为In3-|.

⑴求a的值；

(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-募Y(X>。)的单调性;

⑶设ai=-an+i=f(an),求证:n一<--2<0(n22).

52an

答案全解全析

一、单项选择题

1.C由a3+a6+a9=18,得3a6=18,；冏=6,

又an=6,/.an=a6,XdWO,；.｛aj为单调数列,，n=6.故选C.

2.C由f(x)=alnx+2得，f(x)=*

...f(e)=2=2,解得a=2e.故选C.

e

3.C设等比数列｛%｝的公比为q,

则也厘陋也贮2=2,

/.a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2x2=4.

故选C.

4.B设该女子每天分别织布的尺数构成数列｛a0｝,则数列｛斯｝为等比数歹！J,设其首项

为由,公比为q,前n项和为Sn.则q=2S=5,

•••5=喈2解得山哈

•,间=袅<22=与故选B.

5.C由S3=Si5得,如+@5+…+ai5=0,

6(a9+aio)=O,BPa9+aio=O.

又ai>O,/.a9>O,aio<O,

，Sn的最大项为S9.故选C.

6.Cf(x)=-e-x(cosx+sinx)+ex(-sinx+cosx)=-2exsinx.

令f(x)=0,得-2e-'sinx=0,解得x=k&k®Z,从而xn=rut,nN*,f(xn)=(-l)ne-吗因为

学平=-e%所以数列｛f(Xn)｝是公比为-仃的等比数列,其首项f(x,)=(-l),e-lt=-e-".

f(%n)

其通项公式为f(Xn)=(-l)ne吗故选C.

7.D由f(1-m)-f(m)^~[(1-m)3-m3]W,32f(m)-1m3,构造函数

g(X)=f(X)+x3,则g<X)=f(X)-x2<0.故g(X)在(0,+QO)上单调递减,由函数f(X)为奇函数可

得g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，

因此原不等式可化为1-mWm,解得故选D.

8.A由函数y=f(x-l)的图象关于直线x=l对称知,f(x)是偶函数，设g(x)=x•f(x),则

g(x)是奇函数，且当x<()时,g，(x)=f(x)+x•f(x)<0,即g(x)是减函数,当x>()时,g(x)也

是减函数.

又0<singq<ln2<logi^=2,

.,.g(sin0>g(ln2)>g(logd).

即(sing)f(sin；)>(ln2)f(ln2)乂log4)f(log《).

...a>b>c.

故选A.

解题模板构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中，掌握一些基本的大小关

系可帮助解题，如本题中，当0<x<1时,sinx<x,ln2>111粕=；等

二'多项选择题

9.ABD•.§6/69；%6)>0,

/.a8+a9=ai+ai6>0,/.B正确.

17(a+a)

又Si7n117■=17a9<0,:.a9<0,

2

:.as>0,：•d=a9-ag<0,/.ai>0,:・A、D正确.

易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,・•・C错误.故选ABD.

10.AC由题意得,f(x)的定义域为(0,+⑼，且f(x)=ex+,设h(x)=f(x),则h'(x)=ex+^>0,

Jh(x)在(0,+8)上单调递增，

又hQ^=e2-2=Ve-2<0,h(1)=e'-1>0,

・・・h(x)存在唯一零点，设为Xo,

当OVXVXo时,f(x)v(),f(x)单调递减，

当X>Xo时，f(x)>0,f(x)单调递增，

・・・f(x)有唯一极小值点Xo,・・・A正确.

令琳(。飞祀-三祝得心。一，

X0X0

/.xo=ln—="lnXQ.

出

1

.•・f(xo)=e"o-lnxo-2=—+xo-2

x0

22•%o-2=O(当且仅当x()=l时等号成立)，又［<xo<l,

.•.f(Xo)>O,即［f(X)］min>0,

，f(x)无零点,；.B错误.

由f(xo)=-I-XO-2,-<XO<1,

XQZ

可设g(x)=：+x-2,贝I」g"(x)=-^+l.

当沁<1时,g'(x)<o,；.g(x)在&i)上单调递减.

...g(i)<g(x)<g(m，即o<f(xO)<i，

，C正确,D错误.故选AC.

11.BD设等差数列｛a0｝的公差为d,由题意得W=a2a8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),

.,"刁=0,解得d=0或d=L

当d=0时,an=ai=l,

an

/.bn=anq=q,

•••｛1｝的前n项和为nq,B正确.

当d=l时,an=n,

/.bn=n•qn(qWO,l).

2n

/.Sn=1xq+2xq+•--+nq,

2nn+l

/.qSn=1xq+**-+(n-1)q+n•q,

・2nn+lq(l-q")n+lQ-Qn+1+nQn+2-riQn+1

2n1n1

..(I-q)Sn=q+q+,•,+q-nq=-^--nq=---------------.

n4.nnn+2nnn+1nn+1

又q#l,...Sn=qq〃%，D正确.故选BD.

12.BCDf(x)=ex•x3,

f(x)=ex(x'+3x2).

令f(x)=O,得x=0或x=-3.

当x<-3时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当x>-3时，f(x)NO,f(x)单调递增,A错误.

iI

又0<log52VLeKelvin兀，

1

••.f(log52)<f(ei)<f(ln©,B正确.

•••f(0)=0,f(-3)=e-3•(-3)3=-(|)3<-l,

.,.f(x)=-l有实数根,C正确.

设f(x)=kx,显然x=0是方程的根，

当xWO时,k=^^=ex•x2,设g(x)=e',x?,贝!|g'(x)=x(x+2)ex,

令g'(x)=O,得x=0或x=-2.当x发生变化时£(x),g(x)的变化情况如下表:

X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+8)

g'(x)+0-0+

/4

g(x)0/

ez

画出y=g(x)的大致图象,如图,

，当0<kq时,g(x)=k有3个实数根,...D正确.故选BCD.

三、填空题

13.答案6

解析设等差数列｛an｝的公差为d.则3d=洪处=6,解得d=2.

所以aio-a7=3d=6.

14.答案768

解析由an+l=3Sn,得Sn+l-Sn=3Sn,即S*=4Sn,又S尸街=1,所以数列｛SJ是首项为1,

n544

公比为4的等比数列，所以Sn=4”,所以a6=S6-S5M-4=3x4=768.

15.答案x-y-l=O

解析f(x)=xg(x),，f(x)=g(x)+xg'(x).

,/曲线y=f(x)在(1,f(l))处的切线方程是x-y-l=O,

.fl-/(l)-l=O,.f/(l)=O,

,,(r⑴=i,,,i/1(i)=i.

.7(l)=lXg(l)=O,襟得.(1)=°，

•1r(i)=gCi)+ixg'(D=i"Tg'(i)=L

则曲线y=g(x)在(l,g(l))处的切线方程为y-O=lx(x-l),BPx-y-l=O,

即切线方程为x-y-l=O.

16.答案-4;16

解析由4-x2-0可得x=2或x=-2,即2,-2是函数f(x)的零点，

•••f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=l对称，且(2,0),(-2,0)关于x=l对称的点分

别为(0,0),(4,0),.•.0,4也是函数f(x)的零点，

/.0,4是x2+ax+b=0的根,.,.b=0,a=-4,...a+b=-4,

/.f(x)=(4-x2)(x2-4x),Jf(x)=-4(x-1)(x2-2x-4),

令f(x)=0,得x=l或x=l-V5或x=l+V5.

当xAl+前或1-V5<X<1,f(x)<(),f(x)单调递减，

当1。<1+逐或*<1-西时，f(x)>0,f(x)单调递增.

又当X-00时，f(x)<0,f(l+V^)=f(l-V^=16,...f(x)的最大值为16.

四,解答题

17.解析⑴设等差数列面｝的首项为ai,公差为d.

,.飞2=3抱5=6,

•••｝汽3解得竹=上(2分)

(%+4d=6,(d=L

/.an=ai+(n-1)d=n+1.(4分)

-i-111

(2)由(1)知an=n+l,；.bn=-----=7——(6分)

(7i+l)(7i+2)n+1TI+2

:1

，Sn=b|+b->++bn=---+---+…+——(8分)

2334n+1n+2v/

(10分)

2n+22(n+2)'7

18.解析⑴由已知得，f(x)的定义域为R,

f(x)=ex(x-l)+ex-eax=x(ex-ea),f(())=0.

又f(0)=-l,.•.切点坐标为(0,-1).

曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y=-l.(4分)

(2)由(1)知f(x)=x(ex-ea).

令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

当x发生变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：

X(-00,a)a(a,0)0(0,+oo)

f(x)+0-0+

f(x)/极大值极小值/

，f(x)在(-8⑶,(0,+8)上单调递增，在(a,0)上单调递减.

，f(x)在x=0处取得极小值，且极小值为f(0)=-l.(8分)

(3)由(2)知f(x)的极大值为f(a)=ea(a-l)-ieaa2=(a-l-1a2)ea<0(a<0),

f(0)=-l<0,f(2)=e2-2ea.

Va<0,/.0<ea<l,/.f(2)>0.

，函数f(x)的零点个数为1.(12分)

19.解析(1)设等差数列面｝的首项为ai,公差为d,

令n=l,得二一=；,所以a〕a2=3.①(1分)

令n=2,得+^—=：,

。2a35

所以a2a3=15.②(3分)

由①②得a尸l,d=2,所以an=2n-l.(5分)

2nn

(2)由(1)知bn=2n•2-'=n•4,

n

所以Tn=l,41+2•42+…+n•4,

所以叫=1•42+—+(n-l)•4n+n•4n+1,(7分)

两式相减，得-3Tn=4i+42+…+45•4n+l(9分)

=4(i2n•4n+1=—•4n+l--,(H分)

7

1-433八

所以Tn=等•4用+产*二”+；(12分)

20.解析(1)由题意得ai=2000(l+50%)-d=30()()-d,a2=ai(l+50%)-d=|ai-d=4

500-jd,(2分)

an+i=an(l+50%)-d=|an-d.(5分)

(2)由(1)得an=|an-i-d=|•(|a加2-d)-d=(|)•an.2-|d-d=-=Q)ard[

吟(沪…+(茅](7分)

ri-1/o\n-1zo\n-1

©(3000-d)-2d•(I)-1需)(3000-3d)+2d.(9分)

由题意知am=4000,所以(第(3000-3d)+2d=4000,

解得d=^-±一

(1)-1

j喈/⑴分)

故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m》3)年企业的剩余

资金为4000万元.(12分)

2110

21.解析⑴依题意得,NAOC日-吟*(2分)

贝°y=M*)x202x40x2+9202xsin0x5O+(|x0x2O2-|x2O2xsin9)x30

=16OOOxQ-0+10OOOsin0+60009-6OOOsin0

^16ooon+4OOOsine-20009,0〈吟.(6分)

⑵由⑴得y，=4OOOcos9-2000,

令y'=0,得cos0=1,

又0＜。＜拳所以吟,(8分)

当0＜崎时,y，＞0,当3吟时,广0,(10分)

所以是函数的极大值点，且唯一；

所以当时，日效益总量达到最大值.(12分)

22.解析⑴由f(x)=ln(2x+a),

得畋)=康，因此F)=京C分)

又因为f(l)=ln(2+a),

所以曲线y=f(x)在点(1,f(l)处的切线方程为y-ln(2+a)^(x-l),

即y=5-x+ln(2+a)-总(2分)

2+a2+a

由题意得,ln(2+a)-£=ln3-|,

易得a=l,符合上式.(3分)

令(p(a)=ln(2+a)--^-(a>0),

则炉伯尸土扁R>°，

所以(p(a)为单调递增函数，故a=l是唯一解.(4分)

(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+l)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+l)-^(x>0),

贝Ug<x)=二一一2二上<(),

S')2X+12X+1

所以g(x)=f(x)-2x(x>0)为单调递减函数.(6分)