高中数学课时检测30蝗制苏教版必修第一册

弧度制

[A级基础巩固]

1.（2021•常州高一月考）学校操场上的铅球投掷落球区是一个半径为10米的扇形，并

且沿着扇形的弧是长度为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（）

A.0.6

D.600

解析：选A根据条件得，扇形半径为10,弧长为6,所以圆心角为卷=0.6rad.

2.（2021•山东烟台高一月考）已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为2cm2,

则该扇形的周长为（）

A.6cm

C.12cm

解析：选A设扇形的半径为Rcm,则弧长1=Rcm,又因为扇形的面积为2cm',所

以/#=2,解得R=2cm,

故扇形的周长为6cm.故选A.

3.《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专

著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田儿何？"（一步=

1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）

A.135平方米B.270平方米

C.540平方米D.1080平方米

1I24

解析：选B根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S=]“=1X45X5=270（平

方米）.

4.已知扇形的周长为12cm,圆心角为4rad,则此扇形的弧长为（）

A.4cmB.6cm

C.8cmD.10cm

解析：选C由题意，设扇形所在圆的半径为R,则扇形的弧长为1=4R,所以7+27?

=4斤+246仁12,解得42,所以扇形的弧长为/=4X2=8（cm）.

5.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳

索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行两步恰竿c

齐，五尺板高离地……”某教师根据这首词设计一题：如图，已知48，/,/J

CD1.1,AE=AC,CFLAE,徵=5,BE=2,FC=3小,则弧应的长为()

BD

A.nB.45n

A/3

C.2JTD.手“

解析：选C由题意产十(3m)2=力/+(5—2),解得CQ3,

一一.五几

所以/业/=7",ZFAC=­

63f

H

所以弧比的长为W"X6=2n.

11JI

6.-105°化为弧度为，一―化为角度为

兀7

解析：-1050=-105X—=-n,

ioU1Z

1111

—n=­JiX°=660°.

Jo

7

答案：一/口660°

7.弧长为3n,圆心角为135°的扇形的半径为.,面积为

3JIi

解析：因为135°=—d1==，所以扇形的半径为一7^=4,面积为5义3"><4=6

loU46JiZ

K—K

4

答案：46n

8.若角。的终边与角方的终边关于直线片x对称，且4")，则。=

解析：如图所示，设角《的终边为的，的关于直线y=x对称的射线

O

为10B,则以如为终边且在。到2人之间的角为?，

故以仍为终边的角的集合为卜|。=2h+李Aezk

一/、।兀1311

.••H46-4"⑵"+y<4n一・.一不r代

,:kRZ,:.k=-2,-1,0,1.

11n5nn7n

・・t-

33，3'3,

11n5nn7n

答案:

33，3，3

fn冗.Uaf告,ne

9.集合A=r"一2B=

£尸=|/7ezujp£=〃n+1~,/?ek求力与8的关系.

解：法一：集合48中角的终边，如图所示.

所以6A.

mi

法二：aa=Fn^L={o\a=kn,AGZ)U5aa=An+—,kG

c2/731,[2兀

£B=~^~,〃q={£|£=24n，4eZ}uj££=24冗±-^-,kQ

比较集合48的元素知,8中的元素都是力中的元素，但力中元素。=(24+1)JT(AeZ)

不是6中的元素，所以6A.

10.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.

解：设扇形的半径为r,弧长为/,

圆心角为。.则2r+/=4.

根据扇形面积公式s=%,得1=6

/2r+/=4,

r=l,

解得

1=2,

…12

所以°=；=I=2.

故所求圆心角的弧度数为2.

[B级综合运用]

11.(多选)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中''方田”章给出计算

弧田面积所用的经验公式为弧田面积弦X矢+矢》，弧田(如图所示)由圆弧和其所对弦

所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心

角为厚，半径等于4米的弧田.下列说法正确的是()

A.“弦”/8=4小米，“矢”<7)=2米

B.按照经验公式计算弧田面积为(4/+2)平方米

C.按照弓形的面积计算弧田的实际面积为（等一2镉）平方米

D.按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据:小七

1.73,n七3.14）

解析：选ABD由题意可得/力如=与，如=4米，在口△/如中，可得/月浙一■,Z

OO

DAO=-r.如=4力g〈X4=2（米），可得“矢""=4—2=2（米），由力片力加ing=4X坐

Ozz3z

=2镉（米），可得“弦”46=24?=4/（米），所以弧田面积斗弦X矢+矢2）=*44X

2+冷=4m+2（平方米）.实际面积=上等义42—贤4W><2=等—4业平方米），等

一六向一44一2七0.9（平方米）.综上可知A、B、I）正确，C错误.

12.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮材带着从动轮N转动（如图

所示），设主动轮"的直径为150mm,从动轮"的直径为300mm,若主

动轮M顺时针旋转方，则从动轮“逆时针旋转（）

解析：选B设从动轮"逆时针旋转erad,由题意，知主动轮材与从动轮"转动的弧

长相等，所以等x£~=^X0,解得。=去故选B.

13.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的

绝对值为;若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的

弧度数的绝对值为

解析：设圆半径为r,这段弧所对圆心角的弧度数为0,则圆外切正三角形的边长为

24八|。|=*=2/；又圆内接正方形的边长为圆弧长为4mr,|

=4y[2.

答案：4^2

14.某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由‘、

D*

以点。为圆心的两个同心圆弧和线段4。，比■围成的.设圆弧自而所

在圆的半径分别为八，△（单位：米），圆心角为，（单位：弧度）.

（1）若9八=3,々=6,求花坛的面积；

（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60

元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段］。的长度为多少

时，花坛的面积最大？

解：（1）花坛的面积S=Jx6°xq"一1X32X-Y=|JI（平方米）.

LiJ乙J乙

（2）弧功的长为，。米，弧近的长为夏。米，线段曲的长为5一n）米.

由题意知60•2（^2—力）+90（ri。+力夕）=1200,

即4（乃一为）+35。+力夕）=40（*）.

则花坛的面积。）（及一打）.

404

由（*）式知，及e+n夕=丁一可（々一，），

oo

记r2-ri=x,则0〈水10,

所以S=I与-方，x=-'（x—5>+芋，xG（0,10）,

当x=5时，S取得最大值，即4〃=5米时，花坛的面积最大.

［C级拓展探究］

15.如图，一长为4dm,宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第

四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为小，试求点4走过的路程及走过的弧所