高中数学高考导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1./-3/+2在区间［—1,1］上的最大值是2

2.已知函数y=在、=2处有极大值，则常数c=6;

3.函数＞=1+3*一工3有极小值一1，极大值3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1.曲线y=4x—/在点（T，—3）处的切线方程是y=x-2

2.若曲线在p点处的切线平行于直线3x-y=0,则p点的坐标为（1,0）

3.若曲线y=d的一■条切线/与直线x+4y_8=0垂直，贝”的方程为4x-y-3=0

4.求下列直线的方程：

（1）曲线y=x3+』+i在p（T,1）处的切线；㈡）曲线＞过点p（，5）的切线；

解.（］）,•,点在曲线y=4+/+1上，/.y1=3x2+2xk=y，k=_］=3—2=1

所以切线方程为〉T=x+l'即x-y+2=。

（2）显然点P（3,5）不在曲线上，所以可设切点为4和先），则＞。=端①又函数的导数为=2x,

所以过A（x。，）'。）点的切线的斜率为，='k"=2xo,又切线过A（xo，）b）、p（3,5）点，所以有

2.0=血=卜；或上。工

%-3②，由①②联立方程组得，设°=1〔即=-5,即切点为（1,1）时，切线斜率为

&=2.0=2;；当切点为（5,25）忖，切线斜率为的=2与=10：所以所求的切线有两条，方程分

别为y_1=2（x.1）或y-25=10（x-5）,即y=2x-1或丫=lO.r-25

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1.已知函数/（X）"-法+',过曲线y=/（X）上的点尸（1,/（1））的切线方程为丫=3*+1

(I)若函数/(X)在x=-2处有极值，求/(X)的表达式；

(H)在(I)的条件下，求函数>=/*)在［-3,1］上的最大值；

(HD若函数>在区间［―2,1］上单调递增，求实数b的取值范围

解.(1)由/(X)=x+"2+》x+c,求导数=3x2+2ax+b.

过y=/(x)上点P(1J⑴)的切线方程为：

y-/(I)=yz(l)(x-1),即y_(a+力+c+1)=(3+2〃+h)(x-1).

而过y=/(x)上P［1J⑴］的切线方程为y=3x+l.

j3+2a+b=3即!2a+b=0①

故［a-c=-3'［d-c=-3@

•；y=/(x)在x=—2时有极值,故/A—2)=0,:.-4a+b=-\2③

由①②③得a=2,b=-4,c=5..J(x)=/+2/-4x+5.

(2)/'(X)=+4x-4=(3x-2)(x+2).

2

-34戈<一2时,/彳幻>0;当一2w工<一时,/'(幻<0;

当3

2

当§<xM1时/(*)>0."⑴极大=/(-2)=13乂/⑴=4,../(X)在.3,

1］上最大值是13。

(3)y=f(x)在［-2,1］上单调递增，又广(x)=3,+2ax+b,由①知2a+b=o。

依题意广(X)在［一2,1］上恒有广(x)2o,BP3x2-bx+b>0.

x=g21时,/'(©mm=广⑴=3-h+b>0,.-.h>6

①当6

X="一2时，广(x)min=r(一2)=12+2b+b2o,.・.6e0

②当6；

-2<-^<时，/(x)*=生以>0,则0<b<6.

③当b12

综上所述，参数b的取值范围是［°，+8)

2.已知三次函数八x)=r+ad+bx+c在工=1和x=-l时取极值，且八-2)=-4.

（1）求函数的表达式;

（2）求函数>=八））的单调区间和极值；

⑶若函数8（幻=小-机）+4机5>0）在区间1机-3,"］上的值域为［-4,16］,试求机、〃应满足

的条件.

解：⑴-"）=3/+2ax+b,

由题意得，LT是3x2+2“x+b=0的两个根，解得，。=0,b=-3.

再由/（-2）=-4可得c=-2.fM=*3_3x-2.

（2）f'a）=3/-3=3（x+l）a-1）,

当x<_］时，fXx）>0.当x=_］时，f（x）=0,

当—1<X<1时，/（x）<0,当工=1时，/（x）=0.

当X>1时，广（x）>°..•.函数/（X）在区间（f，T］上是增函数；

在区间［T」］上是减函数；在区间工+8）上是增函数.

函数”X）的极大值是〃T）=0,极小值是/⑴=T.

（3）函数的图象是由『（X）的图象向右平移机个单位，向上平移4加个单位得到的，

所以，函数”X）在区间［T〃-团上的值域为I-4肛16-4m］（m>0）.

而/（-3）=-20,...-4-4机=-20,即加=4.

于是，函数"X）在区间J'〃-4］上的值域为［-20,0］

令/。）=°得x=-l或x=2.由/（X）的单调性知，T刑"-42,即3釉？6

综上所述，机、”应满足的条件是：川=4,且3别”6.

3.设函数/1（x）=x=-a）（x—b）

（1）若/*）的图象与直线5x-y-8=°相切，切点横坐标为2,且/（X）在x=l处取极值，

求实数的值；

(2)当b=l时，试证明：不论a取何实数，函数/(X)总有两个不同的极值点.

解：⑴(无)=3/-2(a+b)x+ab.

由题意/'(2)=5J'(l)=0,代入上式，解之得:a=l,b=l.

(2)当b=l时,令/'(x)=0得方程3x2-2(a+l)x+a=0.

因△=4(。2—a+1)〉0,故方程有两个不同实根的，々.

不妨设&<“2,由/(%)=3(%_2)(工一*2)可判断/0)的符号如下：

当XVX]时，/'(x)>o；当X]<X<%2时，f(X)V0•当X>工2时'f(")>0

因此的是极大值点，£是极小值点.，当b=l时，不论a取何实数，函数/(外总有两个不同的

极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

y='x3-4x+l的图像为

2.函数-3A)

3,方程24一6,+7=°在(0,2)内根的个数为(B)

A、0B、1C、2D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

/(x)=--x3+lax2-3。21+"0<a<1.

1.设函数3

(1)求函数/(X)的单调区间、极值.

(2)若当苫€［。+1,"+2］时，恒有1广(％)区。，试确定a的取值范围.

解.⑴f\x)--x2+4ax-3«2_-(x-3a)(x-a)令/'(x)=0得玉=3a

列表如下：

x(-°°,a)a(a,3a)3a(3a,+°°)

-0+0

/W极小极大

.../(幻在(a,3a)上单调递增，在(-8,a)和(3a,+<»)上单调递减

x="时，九小⑴口一小3,.3a时，/极小⑴功

(2)/‘。)=一炉+4。苫-3a2...0<a<i,...对称轴x=2a<a+l,

"x)在［a+i,a+2］上单调递减

.£心=一(。+1)2+4。伍+1)-3a2=2。一1/京=一5+2)?+4。(a+2)-3/=4。-4

••，

依题。<=>।fMaxI-a,"min隆。即12〃-1Ka,14a-4Ka

44

-<a<\JI)

解得5，又°<a<l.・.a的取值范围是5

2

2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=—3与x=l时都取得极值(1)求a、b的值与函

数f(x)的单调区间

(2)若对x£(—1,2),不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围。

解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b

2124「八1

———a十b-0一

由f，(3)=93,fz(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2

fz(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-l),函数f(x)的单调区间如下表:

X1(1,+8)

222

(一8,-3)_3(-3,1)

f'(x)+0—0+

f(x)T极大值1极小值?

22

所以函数f(x)的递增区间是(一8,—3)与(1,+-),递减区间是(一3,1)

222

(2)f(x)=x3—2x2—2x+c,xe(—1,2],当x=-3时，f(x)=27+c

为极大值，而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。

要使f(x)<c2(xe(-1,2))恒成立，只需c2>f(2)=2+c,解得c<-l或c>2

题型六：利用导数研究方程的根

也

1.已知平面向量3=(6，-1).石=(5,2).

(1)若存在不同时为零的实数k和t,使】=Z+(t2—3)石，歹=-3+2，

试求函数关系式k=f(t)；

(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)—k=O的解的情况.

解：⑴•.。上)，Qp[«+(t2-3)•(-k«+t^)=O.

整理后得-kJ+[t-k(t2-3)]a%+(t2-3)•万=0

1

一一一2—2―

■:a,b=o,a=4,b=".•.上式化为-4k+t(t2-3)=0,BPk=4t(t2-3)

(2)讨论方程Wt(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=Wt(t2-3)与直线y=k的交点个

数.

33

于是f'(t)=4(t2-l)=4(t+l)(t-l).

令f'(t)=0,解得tl=T,t2=l.当t变化时，f'(t)、f(t)的变化情况如下表:

t(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)

fz(t)+0-0+

F(t)/极大值X极小值/

当t=-i时，f(t)有极大值，f(t)极大值=5.

当t=l时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-5

］_

函数f(t)=^t(t2-3)的图象如图13—2—1所示，

可观察出：

(1)当k>万或k<—2时,方程f(t)-k=0有且只有一解;

(2)当k=2或k=-2时,方程f(t)-k=0有两解;

(3)当一2<k<5时，方程f(t)-k=o有三解.

题型七：导数与不等式的综合

1设a>0函数/Xx)=x3-ax在［1,+8)上是单调函数.

(1)求实数a的取值范围；

(2)设与,1,且/(/(/))=x。，求证：“尤。)=尤。,

解：(1)<=/(幻=3__。，若/(外在［1，+°。)上是单调递减函数，则须<<°，即。>31,这

样的实数a不存在.故/(X)在「+8)上不可能是单调递减函数.

若/(幻在［1,+8)上是单调递增函数，则3/,

由于xe［1,+8),故3x~23.从而o〈aW3.

(2)方法1、可知"X)在：+8)上只能为单调增函数.若尤。)，则

f(Xo)<f(〃Xo))=Xo矛盾,若］.八"。)<%。，财(〃*。))</(/)，即/<((%)矛盾,故

只有了(/)=%成立.

方法2：设/(/)=“，则/'(w)=Xo,.•.焉一以0=〃，"3一加=》0，两式相减得

32

(%o-w)-a(x0-u)=w-x0/.(x0-U)(XQ+xou4-u+1-a)=Oj・，/2口］

22

/.xl+xQu+〃>3,又0<a<3.•・x；+xou+w+1-a>0

f(x)=(x2+—)(无+〃)

2.已知。为实数，函数2

(1)若函数/(X)的图象上有与X轴平行的切线，求。的取值范围

⑵若尸(一1)=°,(I)求函数"X)的单调区间

(H)证明对任意的玉、(一1，°),不等式-16恒成立

32333

vf(x)=x+—x+—a/.f*(x)=3x?+2ax+—

解：22,，2

函数/(X)的图象有与x轴平行的切线，.•./<x)=0有实数解

.•.A=4«2-4X3X->0a>-(-oo,--V2]U[-V2,+oo)

2,2,所以a的取值范围是22

39931

工、,/、3—2Q4——0a=—f(x)=3x2—xH—=3(xH—)(x+1)

・・・/(T)=0,24,222

,,1x>—f(x)<0,—I<x<—

由/r*)x>°n，x<T或2；由，2

•••/（X）的单调递增区间是：单调减区间为

易知小）的最大值为"7）.，小）的极小值为八彳）吟，又了⑼彳

〃

M=-2-7-=-4-9-

・••/（X）在上的最大值8,最小值16

27495

/1八、I/(x.)-/(x)\<M-m=---------=—

二对任意如ZbTO),恒有-281616

题型八：导数在实际中的应用

1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3nl的正六

棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点0到底面中心外的阳富为幺小时-加像的侏和第4■?

解：设001为xm,贝ijl<x<4

由题设可得正六棱锥底面边长为：,3?-(x-l)2=’8+23-1,(单位：机)

6,——■•(心z2•(8+2x-x-),

故底面正六边形的面积为：4V8+2X—厂)=2,(单位：〃广)

V(x)=+2x一x?)d(x-1)+1]=^^(16+12x—/)3

帐篷的体积为：232(单位：m)

V'(x)=—(12-3x2)

求导得2。

令V'(x)=O,解得x=-2(不合题意，舍去)，x=2,

当l<x<2时，V'(x)>0,V(x)为增函数；

当2Vx<4时,V1(x)<0,V(x)为减函数。

.•.当x=2时，V(x)最大。

答：当001为2加时、帐篷的体积最大，最大体积为166fl?。

2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量>(升)关于行驶速度》(千米/

1,3

y=------x3——x+8(0<x<120).

小时)的函数解析式可以表示为：12800080

已知甲、乙两地相距100千米。

(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

122=25

解：(I)当》=40时-，汽车从甲地到乙地行驶了40.小时，

13

(-----X403——x40+8)x2.5=175

要耗没12800080(升)。

100

(II)当速度为X千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了X小时，设耗油量为“(X)升,

依题意得3)=(康人磊+8).岑=陋-竺(0<E2。),

—x2+

1280x4

x3-8O3

(0<x<120).

640x2640/

令人'(x)=0,得x=80.

当xe(0,80)时，〃’(x)<0,//(x)是减函数；

当xe(80,120)时，力'(x)>°，〃(x)是增函数。

.♦.当x=80时，%(x)取到极小值“(8°)=1L25.

因为以幻在(°」20］上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80

千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合

［=(且」)范=d，乌.

1.设平面向量2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k,使

x-a+(t2=-sa+防，月一xJLy,

(1)求函数关系式s=/0)；

(2)若函数S=/«)在1+8)上是单调函数，求k的取值范围。

Xx±y,x>y=0,得

［a+(广—女)。］(—sci+tb)-Of

即一s/+f(J-k)b-(t-st2+sk)a-^=0o

/.-5+(r2-k)r=0,故s=/(，)=/_也

m/(力=3产一左月/(力在［1,+8)上是单调函数,

则在卜上)上有加

222

|(|/^)>0=>3/-k>Q=>k<3t^k<(3t)min=&W3；

由/G)W0n3/一改《On女

因为在tel+8)上3〃是增函数，所以不存在k,使％23/在［1,+8)上恒成立。故女的取值范

围是上《3。

导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1.〃0=/_3/+2在区间［T,l］上的最大值是2

2.已知函数y=〃x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数。=6;

3.函数丫=1+3・4有极小值-1，极大值3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1.曲线/=4》一/在点（T,—3）处的切线方程是y=x-2

2.若曲线”x）=d-x在p点处的切线平行于直线3x-y=0,则p点的坐标为（1,0）

3.若曲线的一条切线/与直线x+4y_8=0垂直，贝”的方程为4x—y-3=0

4.求下列直线的方程：

（1）曲线y=x3+,+i在p（T,1）处的切线；q）曲线>过点p（3,5）的切线；

2

解.（［）,・,点在曲线y=4+/+i上，Ayf-3X+2x.•・k=y，1=_］=3—2=1

所以切线方程为〉T=x+l'即x->'+2=°

（2）显然点P（3,5）不在曲线上,所以可设切点为4X。，,'。），则用=端①又函数的导数为=2x,

所以过A（x。，）’。）点的切线的斜率为'"'k"=2xo,又切线过A（xo，），°）、p（3,5）点，所以有

2,0=£||x0=l^fx0=5

*。-3②，由①②联立方程组得，1>，O=I〔均=-5,即切点为（1,1）时，切线斜率为

&=2.0=2;；当切点为（5,25）时，切线斜率为的=2X（）=10：所以所求的切线有两条，方程分

别为>-1=2*-1）或y-25=10（x—5）,即V=2x—1或y=10x-25

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1.已知函数/0）=犬+++以+，,过曲线丁=/（%）上的点尸（1,"1））的切线方程为丫=3*+1

(I)若函数/(X)在x=-2处有极值，求/(X)的表达式；

(H)在(I)的条件下，求函数>=/*)在［-3,1］上的最大值；

(HI)若函数)'=/(为在区间［-2,1］上单调递增，求实数b的取值范围

解.(1)由/(X)=x+"2+》x+c,求导数=3x2+2ax+b.

过y=/(x)上点P(1J⑴)的切线方程为：

y-/(I)=yz(l)(x-1),即y_(a+力+c+1)=(3+2〃+h)(x-1).

而过y=/(x)上P［1J⑴］的切线方程为y=3x+l.

13+2〃+。=3即2a+b=0

故=-3Q-C=-3②

•；y=/(x)在x=—2时有极值,故/A—2)=0,:.-4a+b=-\2③

32

由①②③得a=2,b=-4,c=5:J(x)=x+2x-4x+5.

(2)/'(X)=+4x-4=(3x-2)(x+2).

2

-34戈<一2时,/彳幻>0;当一2w工<一时,/'(幻<0;

当3

2

当§<x41时/(x)>0..・J(x)极大=/(-2)=13乂/⑴=4,.\/(x)在一3,

1］上最大值是13。

(3)y=f(x)在［-2,1］上单调递增，又广(x)=3,+2ax+b,由①知2a+b=o。

依题意广(方)在［一2,i］上恒有广(x)2o,即3/-阮+610.

x=§2时,/'(X)min=fXl')=3-b+b>0,.-.b>6

①当6

X="—2时，/(x)min=r(-2)=12+2匕+b2o,.-"e0

②当6；

-2<^<1时>0,则0<b<6.

③当b12

综上所述，参数b的取值范围是［°，+8)

2.已知三次函数八幻=/+"2+以+°在工=1和工=_1时取极值，且〃-2)=-4.

（1）求函数>=/（））的表达式；

（2）求函数y=/Q）的单调区间和极值；

（3）若函数8。）=/（工_刈+4〃7（机>0）在区间的_3,"］上的值域为［-4,16］,试求机、鼠应满足

的条件.

解：⑴-（幻=3/+2ax+b,

由题意得，LT是3x2+2“x+b=0的两个根，解得，«=0'b=-3.

再由/（-2）=-4可得。=-2./（x）=*3-3x-2.

（2）f'（x）=3X2-3=3（x+l）（x-l）,

当x<T时，f'（x）>0；当》=_］时，f\x）=0,

当一1<%<1时，/'（x）<0；当工=1时，/'（/）=0；

当X>1时，r（x）>°..•.函数/（X）在区间（-°°，T］上是增函数；

在区间［-L1］上是减函数；在区间工+8）上是增函数.

函数“X）的极大值是/（T）=0,极小值是/⑴=7.

（3）函数8（幻的图象是由『（X）的图象向右平移团个单位，向上平移4，"个单位得到的，

所以，函数"X）在区间IT"-何上的值域为I-械,16-4词（m>0）.

而/（-3）=-20,...-4-4机=-20,即机=4.

于是，函数/*）在区间J'"-4］上的值域为［-20,0］

令/（x）=0得x=-l或x=2.由/（X）的单调性知，T刑"-42,即3釉？6

综上所述，机、”应满足的条件是：川=4,且3别”6.

3.设函数，（x）=x=-a）（x—b）.

（1）若/（X）的图象与直线5x-y-8=°相切，切点横坐标为2,且/（X）在》=1处取极值，

求实数a，"的值；

(2)当b=l时，试证明：不论a取何实数，函数/(X)总有两个不同的极值点.

解：⑴(无)=3/-2(a+b)x+ab.

由题意/‘(2)=5,/'(1)二°,代入上式，解之得:a=l,b=l.

(2)当b=l时,令/'(x)=0得方程3x2-2(a+l)x+a=0.

因△=4(a2—a+1)>0,故方程有两个不同实根的，々.

不妨设为<“2,由/口)=3(%_2)(工一*2)可判断/0)的符号如下：

当X<X|时，/'(x)>0：当/时，/'(x)<0；当x>%2时，/'(x)>0

因此的是极大值点，“2是极小值点.，当b=l时，不论a取何实数，函数/(外总有两个不同的

极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

y='x3-4x+l的图像为

2.函数-3A)

方程在内根的个数为

3.283-6«+7=0(0,2)(B)

A、0B、1C、2D、3

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

/(x)=——x3+2ax2-3〃一+"0<a<1.

1.设函数3

(1)求函数/(X)的单调区间、极值.

(2)若当xe［a+l,"+2］时，恒有I广(x)l〈a,试确定a的取值范围.

解：(1)/'(X)=_尤2+4QX-3Q2二一(1一3〃)(％一〃)，令/'(x)=0得玉=a，Z=3。

列表如下：

x(-°°,a)a(a,3a)3a(3a,+°°)

广(x)-0+0

f(x)极小极大

.・.)(x)在(a,3a)上单调递增，在(-8,a)和(3a,+8)上单调递减

4

x=“时，为小⑴="一丁3，.3。时，九小(幻"

22

(2)f'M^-x+4ax-3a..0<a<lf对称轴x=2a<a+l,

/(X)在［a+1,a+2］上单调递减

,fix=—(〃+1)2+4a(a+V)-3a2=2a—l——(a+2)2+4Q(Q+2)—3/=4〃一4

••，

依题"'(x)仁ao।篇xKa,।篇&a即I2a-ll〈a,14a-4Ka

44

-<a<\［-,1)

解得5，又°<。<1...a的取值范围是5

2

2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=—3与x=l时都取得极值(1)求a、b的值与函

数f(x)的单调区间

(2)若对x£(—1,2),不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围。

解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b

2124「_八1

———a十b-0一

由f，(3)=93,fz(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2

fz(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-l),函数f(x)的单调区间如下表:

X1(1,+8)

222

(一8,-3)_3(-3,1)

f'(x)+0—0+

f(x)T极大值1极小值?

22

所以函数f(X)的递增区间是(一8,—3)与(1,+-),递减区间是(一3,1)

!222

(2)f(x)=x3—2x2—2x+c,xe(—1,2],当x=—3时，f(x)=27+c

为极大值，而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。

要使f(x)<c2(xe(-1,2))恒成立，只需c2>f(2)=2+c,解得c<-l或c>2

题型六：利用导数研究方程的根

]_也

1.已知平面向量3=(6,-1).加=(5,2).

(1)若存在不同时为零的实数k和t,使工Z+(t2—3)万，歹=-3+2，

试求函数关系式k=f(t)；

(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)—k=O的解的情况.

解：⑴•.。上)'，BP[«+(t2-3)•(-k«+t^)=O.

整理后得-kJ+[t-k(t2-3)]a%+(t2-3)•万=0

1

一一一2—2―

■:a,b=o,a=4,b=".•.上式化为-4k+t(t2-3)=0,BPk=4t(t2-3)

(2)讨论方程Wt(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个

数.

33

于是f'(t)=4(t2-l)=4(t+l)(t-l).

令f'(t)=0,解得tl=T,t2=l.当t变化时，f'(t)、f(t)的变化情况如下表:

t(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)

fz(t)+0-0+

F(t)/极大值X极小值/

2

当t=-i时，f(t)有极大值，f(t)极大值=5.

1

当t=i时，f（t）有极小值，f（t）极小值=-2

函数f（t）=^t（t2-3）的图象如图13—2—1所示，

可观察出：

（1）当k＞万或k＜—5时,方程f（t）-k=0有且只有一解;

2]_

⑵当k=5或k=-5时,方程f（t）-k=o有两解;

（3）当一5＜k＜2时，方程f（t）-k=O有三解.

题型七：导数与不等式的综合

].设a＞0,函数f（X）=X3-ax在口,+~）上是单调函数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）设与,1,且/（/（x°））=x。，求证：/（尤。）=%.

解：（1）y'=/'（x）=3x2—a,若/（X）在[l,+oo）上是单调递减函数，则须了＜0,即。＞31,这

样的实数a不存在.故/（X）在「+8）上不可能是单调递减函数.

若/（幻在[1，+8）上是单调递增函数，则aw3.，

由于xe[1,+8）,故3厂23.从而o〈aW3.

（2）方法1、可知"X）在：+8）上只能为单调增函数.若lW/（/（x。），则

f（Xo）＜/（f（Xo））=Xo矛盾,若1，贝犷（，（/））＜八%），即/＜（（演））矛盾,故

只有了（"。）="。成立.

方法2：设/（/）=“，则/（"）=x。，.•.焉一叫）=〃,〃3_a〃=xo，两式相减得

32

（XQ-w）-a（x0-w）=w-x0/.（x0-M）（XQ+xow+u+l-a）=0,vx0心]

XQ+XQII4-w-23,又0<a43XQ+XQU+〃~+l—。>0

、3

/（x）=（x2+—）（x+〃）

2.已知。为实数，函数2

（1）若函数/（X）的图象上有与X轴平行的切线，求。的取值范围

（2）若尸（-1）=°,（I）求函数/（X）的单调区间

(H)证明对任意的玉、々'(一1，°),不等式'216恒成立

4,333

,/f(x)=x+〃r+—x+—〃/.f*(x)=3x-?+2ax+—

解：22,2

函数/(X)的图象有与x轴平行的切线，°有实数解

/.A=4a2-4x3x->0a2>-V2]U[-V2,+oo)

2,2,所以a的取值范围是22

39931

八八*,•3—2,614—=0a=—f(x)=3%24---Xd—=3(xH—)(x4-1)

•・・/(T)=0,24,222

由尸(x)>0,x<—l或2；由，2

"（X）的单调递增区间是，’1），（2，+OO）.单调减区间为（L5）

易知/*）的最大值为8,/（X）的极小值为

49

〃卫m-一

“（X）在［T°］上的最大值8,最小值16

27495

u/1八、"(X])一/(12)l<M一加=-------=—

・••对任意办'工2€(一1，°),恒有-81616

题型八：导数在实际中的应用

1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3nl的正六

棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点0到底面中心外的雨布为幺小时-加律的侏和晶大？

解：设001为xm,则l<x<4

由题设可得正六棱锥底面边长为：,32-(x-l)2=j8+2x--,(单位：机)

6—(----r、2^-(8+2x-x2)2

故底面正六边形的面积为：4V8+2X—X)=2,(单位：〃?一)

V(x)=+2x-x?)日(x-1)+1]=^^(16+12x—/)3

帐篷的体积为：232(单位：m)

J3、

V'(x)=—(12-3x2)

求导得2。

令V'(x)=°,解得x=-2(不合题意，舍去)，x=2,

当l<x<2时，V'(x)>0,V(x)为增函数；

当2<x<4时，V,(x)<0,V(x)为减函数。

.•.当x=2时，V(x)最大。

答：当001为2〃？时;帐篷的体积最大，最大体积为16g"/。

2.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量>(升)关于行驶速度x(千米/

1,3

y=------x----x+8(0<xW120).

小时)的函数解析式可以表示为：.12800080

已知甲、乙两地相距100千米。

(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

叽2.5

解：(I)当》=40时-，汽车从甲地到乙地行驶了40.小时，

I3

(------x403--x40+8)x2.5=17.5

要耗没12800080(升)。

100

(II)当速度为X千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了X小时，设耗油量为"(X)升,

2)=(，八，+8)曾=1/+物一竺(0<xW]2O),

依题意得12800080x1280x4

x3-8O3

(0<x<120).

640x2640公

令h'(x)=0,得x=80.

当尤e(0,80)时，〃。)<°，力。)是减函数；

当xw(80,120)时,〃'(x)>0，A(x)是增函数。

.♦.当x=80时，人(％)取到极小值“(8°)=1L25.

因为力(x)在(0,120］上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80

千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合

【也,)了=").

1.设平面向量2222若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k,使

x=a+(t2-k)b,y=-sa+也，且xJLy,

(i)求函数关系式s=/«)；

(2)若函数S=/«)在［1，+8)上是单调函数，求k的取值范围。

又x_Ly,x,2二0,得

+(广——set+tb)-0,

即一sJ+f(『—k3-Ct-st24-sk)a-b=0o

/.-54-(r2-k)t=0,故s=/(，)=/-也

(2)广(力=3〃一左月/(力在［1,+8)上是单调函数，

则在［L+00)上有广⑴‘°或广

22

-k>0=>k<3t=>k<(3t)min=>k<3；

由广⑴W0=>3『-&

因为在161+8)上3,2是增函数，所以不存在k,使％23/在1,+8)上恒成立。故女的取值范

围是女<3。

导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1./⑶=1-3》2+2在区间［T,l］上的最大值是2

2.已知函数尸〃x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则常数c=6；

3.函数y=1+3x-x3有极小值一1，极大值