高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）专题强化训练四 直线和圆的高频解答题必刷题(附答案)

专题强化训练四：直线和圆的高频解答题必刷题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知圆与x轴交于A，B两点，P是该圆上任意一点，AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点.(1)若弦AP长为2，求直线PB的方程；(2)以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，求此时圆C的方程.2．（2022·江苏·海门中学高二期末）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切．(1)求圆的方程；(2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2022·山东菏泽·高二期末）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．(1)求圆Q的方程；(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值．4．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知圆关于直线对称，且圆心C在轴上.(1)求圆C的方程；(2)直线与圆C交于A、B两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.5．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）已知O：与圆C：相交.(1)求正数a的取值范围；(2)若圆C与圆O的公共弦所在直线的方程是，求圆C的半径.6．（2022·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．7．（2022·贵州·遵义四中高二期末）已知直线l：x-y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．(1)求该圆的方程；(2)若直线x+my-1=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=，求m的值．8．（2022·全国·高二单元测试）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：，l为经过点M的一条动直线．(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．9．（2021·河北唐山·高二期中）已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）．(1)若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程；(2)过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．10．（2022·福建·莆田一中高二期末）平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上.(1)求圆的方程；(2)圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由.11．（2022·福建省永春第一中学高二期末）已知点和直线.(1)求以为圆心，且与直线相切的圆的方程；(2)过直线上一点作圆的切线，其中为切点，求四边形PAMB的面积的最小值.12．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知圆C的圆心在直线上，且过点，．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线交于A，B两点，______，求m的值．从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：圆上一点P到直线的最大距离为；条件③：．13．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）在平面直角坐标系中，圆C：，直线l：．(1)若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标；(2)若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值．14．（2022·江苏泰州·高二期末）已知圆.(1)若直线与圆相交于两点，弦的中点为，求直线的方程；(2)若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程.15．（2022·湖南郴州·高二期末）已知圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，半径为3，圆M被直线截得的弦长为4.(1)求圆M的方程；(2)设P是直线上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.16．（2022·四川内江·高二期末（文））已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．(1)求圆的标准方程；(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．17．（2022·湖北·武汉市第十一中学高二期末）在一次重大军事联合演习中，以点为中心的海里以内海域被设为警戒区域，任何船只不得经过该区域．已知点正北方向海里处有一个雷达观测站，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东，且与点相距海里的位置，经过小时又测得该船已行驶到位于点北偏东，且与点相距海里的位置．(1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；(2)该船能否不改变方向继续直线航行？请说明理由．18．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知直线的方程为，圆：.(1)若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；(2)当圆心到直线的距离最大时，任取直线上一点，过作圆的切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值.19．（2022·全国·高二单元测试）已知圆，直线，当时，直线l与圆O恰好相切．(1)求圆O的方程；(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得，求实数k的取值范围．20．（2022·湖北·高二期末）已知圆C：，直线l恒过点(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.21．（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知圆.(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.22．（2022·重庆·高二期末）已知点，直线，圆.(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．23．（2022·河北石家庄·高二期末）已知三个条件①圆心在直线上；②圆的半径为2；③圆过点在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)已知圆过点且圆心在轴上，且满足条件________，求圆的方程；(2)在（1）的条件下，直线与圆交于、两点，求弦长的最小值及相应的值．24．（2022·全国·高二单元测试）在以下这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．①圆经过点；②圆心在直线上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数．已知圆M经过点且_____．(1)求圆M的方程；(2)求以为中点的弦所在的直线方程．25．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知直线，圆.(1)证明：直线l与圆C相交；(2)设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.参考答案：1．(1)或；(2).【分析】（1）根据圆的直径的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；（2）根据题意，结合基本不等式和圆的标准方程进行求解即可.(1)在方程中，令，解得，或，因为AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点，所以，圆心在x轴上，所以，因为，，所以有，当P在x轴上方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：，当P在x轴下方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：，因此直线PB的方程为或；(2)由（1）知：，，所以设直线的斜率为，因此直线的斜率为，于是直线的方程为：，令，，即直线的方程为：，令，，即，因为同号，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，于是有以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，此时最小，当时，和，中点坐标为：，半径为，所以圆的方程为：，同理当时，和，中点坐标为：，半径为，所以圆的方程为：，综上所述：圆C的方程为.2．(1)(2)存在，或【分析】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案；（2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解.(1)解：因为圆与轴的交点分别为，，所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心，又圆与直线，都相切，所以，解得，所以圆心，半径，所以圆的方程为；(2)解：假设圆上存在点满足，则，即①，又，即②，联立①②可得或，所以存在点或满足.3．(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求出点坐标，然后根据圆心到直线的距离公式及的值求出半径即可求得圆的方程.（2）设出直线方程，联立圆和直线方程利用韦达定理来求解.（1）解：点关于直线的对称点Q为由Q到直线的距离，所以所以圆的方程为．（2）当直线CD斜率不存在时，，所以．当直线CD斜率存在时，设为k，则直线为，记，联立，得所以，．．综上，为定值5．4．(1)(2)或【分析】（1）根据题意得到等量关系，求出，，进而求出圆的方程；（2）结合第一问求出的圆心和半径，及题干条件得到圆心到直线的距离为，列出方程，求出的值，进而得到直线方程(1)由题意得：直线过圆心，即，且，解得：，，所以圆C的方程为；(2)的圆心为，半径为2，由题意得：，圆心到直线的距离为，即，解得：或，所以直线的方程为：或.5．(1)；(2)1.【分析】（1）根据两圆相交的性质进行求解即可；（2）根据两圆相交弦的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.(1)圆C的标准方程是，因为圆C与圆O相交，所以，即，解得，所以正数a的取值范围是；(2)将圆O与圆C的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程是，即，所以，解得.所以圆C的标准方程是，所以圆C的半径是1.6．(1)(2)【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.（1）∵，∴BC边的中点D的坐标为，∴中线AD的斜率为，∴中线AD的直线方程为：，即（2）设△ABC的外接圆O的方程为，∵A、B、C三点在圆上，∴解得：∴外接圆O的方程为，即，其中圆心O为，半径,又圆心O到直线l的距离为,∴被截得的弦长的一半为,∴被截得的弦长为.7．(1)(2)0【分析】（1）设出圆心坐标，利用题干条件得到方程，求出，从而求出该圆的方程；（2）利用点到直线距离公式及垂径定理进行求解.(1)设圆心为，，则由题意得：，解得：或（舍去），故该圆的方程为(2)圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：8．(1)证明见解析(2)任选一条件，面积皆为【分析】（1）方法一：求出直线l的方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线l的距离，与半径比较得到结论；方法二：观察到点D在圆C上，求出直线l的斜率及直线的斜率，得到直线l与直线垂直，从而证明出相切；（2）选择①：得到直线l过圆心C（2，3），求出直线l的方程，得到D到直线l的距离及的长，从而求出面积；选择②：求出直线l的方程，观察到圆心C（2，3）在直线l上，得到D到直线l的距离及的长，从而求出面积；（1）方法一：若直线l经过点D，则直线l的方程为，即2x－y－6＝0．由题意，圆C的圆心为C（2，3），半径，则圆心C（2，3）到直线l的距离为，所以直线l与圆C相切．方法二：由D（4，2）满足C：，可知点D在圆C上，圆心为C（2，3）．若直线l经过点D，则直线l的斜率，又，所以，所以l⊥CD．所以直线l与圆C相切．（2）选择条件①：若直线l平分圆C，则直线l过圆心C（2，3），直线l的方程为，即3x＋y－9＝0．，点D（4，2）到直线l的距离，所以．选择条件②：若直线l的斜率为－3，则直线l的方程为，即3x＋y－9＝0，此时圆心C（2，3）在直线l上，则，点D（4，2）到直线l的距离，所以．9．(1)(2)是，【分析】（1）法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是，再根据中点的性质表达出，，代入化简求解即可法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆求解即可（2）设直线l的方程为y＝kx，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可(1)法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是．由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点，所以，于是有，．

①因为点P在圆上运动，所以点P的坐标满足圆的方程，即．②把①代入②得．整理，得＝4．这就是点M的轨迹E的方程．法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4．(2)∵l过原点O且不与y轴重合，∴可设直线l的方程为y＝kx．联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0，依题意知是上方程的两根，则＝＝．则＝＝＝故是定值．10．(1)；(2)存在，直线方程为或.【分析】（1）利用待定系数法即求；（2）利用直线与圆的位置关系可得，然后利用菱形的性质可得圆心到直线的距离，即得.(1)曲线与轴的交点为，与轴的交点为，，设圆的方程为，则，解得.∴圆的方程为；(2)∵圆与直线交于，两点，圆化为，圆心坐标为，半径为.∴圆心到直线的距离，解得.假设存在点，使得四边形为菱形，则与互相平分，∴圆心到直线的距离，即，解得，经验证满足条件.∴存在点，使得四边形为菱形，此时的直线方程为或.11．(1)(2)【分析】（1）利用到直线的距离求得半径，由此求得圆的方程.（2）结合到直线的距离来求得四边形面积的最小值.(1)圆的半径，圆的方程为.(2)由四边形的面积知，当时，面积最小.此时...12．(1)(2)【分析】（1）根据圆心在过点，的线段的中垂线上，同时圆心圆心在直线上，可求出圆心的坐标，进而求得半径，最后求出其标准方程；（2）选①利用用垂径定理可求得答案，选②根据圆上一点P到直线的最大距离为可求得答案，选③先利用向量的数量积可求得，解法就和选①时相同.（1）由题意可知，圆心在点的中垂线上，该中垂线的方程为，于是，由，解得圆心，圆C的半径所以，圆C的方程为；（2）①，因为，，所以圆心C到直线l的距离，则，解得，②，圆上一点P到直线的最大距离为，可知圆心C到直线l的距离．则，解得，③，因为，所以，得，又，所以圆心C到直线l的距离，则，解得．13．(1)或(2)3.【分析】（1）设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；（2）由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得|AC|＝可得圆心到直线的距离为，可得m的值．(1)解：设切点为，则有，解得：或x0=−2+1y0=−2，所以切点的坐标为或(2)解：圆C：的圆心（1，0），半径r＝2，设，由题意可得，由四边形APCQ为正方形，可得|AC|＝，即，由题意直线l⊥AC，圆C：（x﹣1）2+y2＝4，则圆心（1，0）到直线的距离，可得，m＞0，解得m＝3.14．(1)（或(2)或【分析】(1)由条件可得，由此可求直线的斜率，由点斜式求直线的方程；(2)由条件可求到直线的距离，利用待定系数法求直线的方程.(1)圆，得圆心，半径，直线的斜率：，设直线的斜率为，有，解得.所求直线的方程为：.（或(2)直线m被圆C截得的弦EF为直径的圆经过圆心C，∴圆心C到直线的距离为.设直线方䄇为，则解得或直线的方程为：或15．(1)；(2)证明见解析，定点和.【分析】(1)根据给定条件设出圆心坐标，再结合点到直线距离公式计算作答.(2)设点，求出圆的方程，结合方程求出其定点.(1)因圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，设圆心，且，圆心到直线的距离为，又由解得，从而，而，解得，所以圆M的方程为.(2)由(1)知：，设点，，设动圆上任意一点当与点P，M都不重合时，，有，当与点P，M之一重合时，对应为零向量，也成立，，，，化简得：，由，解得或，所以以MP为直径的圆必过定点和.【点睛】方法点睛：待定系数法求圆的方程，由题设条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．16．(1)；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心，设圆的半径为，可得出，根据已知条件可得出关于实数的方程，求出的值，可得出的值，进而可得出圆的标准方程；（2）分析可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，由可求得的取值范围，列出韦达定理，分析可得，可求得点的坐标，由已知可得出，求出的值，检验即可得出结论.(1)解：设圆心，设圆的半径为，则，由题意可得，由勾股定理可得，则，由题意可得，解得，则，因此，圆的标准方程为.(2)解：若直线的斜率不存在，此时直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，联立，可得，，解得或，由韦达定理可得，，则，因为四边形为平行四边形，则，因为，则，则，解得，因为或，因此，不存直线，使得直线与恰好平行.17．(1)海里/小时；(2)该船要改变航行方向，理由见解析.【分析】（1）设一个单位为海里，建立以为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，计算出，即可求得该船的行驶速度；（2）求出直线的方程，计算出点到直线的距离，可得出结论.(1)解：设一个单位为海里，建立以为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则坐标平面中，，且，，则、、，，所以，所以、两地的距离为海里，所以该船行驶的速度为海里/小时.(2)解：直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，所以直线会与以为圆心，以个单位长为半径的圆相交，因此该船要改变航行方向，否则会进入警戒区域．18．(1)或(2)【分析】（1）首先求出圆的圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，即可建立方程求解；（2）求出直线过定点，当时，圆心到直线的距离最大，求出直线的方程，然后当最小时，四边形面积最小，求出答案即可.(1)将圆化成标准方程得，圆心到直线的距离，弦长，则，即得或，则直线的方程为或.(2)直线可以变形为，则直线过定点，圆心到直线的距离，当且仅当时取等号，此时得，此时直线的方程为.又，当最小时，四边形面积最小，，此时.19．(1)(2)【分析】（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径可求解.（2）分直线l与圆有公共点和无公共点两种情况讨论，再结合，则点P在以MN为直径的圆上，由两圆有公共点即可求解.（1）当时．圆心O到直线l的距离为，则r＝2，所以圆O的方程为．（2）圆心O到直线l的距离①当直线l与圆O有公共点，即，解得，若点P与点M（或N）重合，则满足，符合题意．②当直线l与圆O无公共点，即，解得或，由，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为，则圆Q的方程为，又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径，圆O的半径，则，只需点O到直线l的距离，所以或．综上，实数k的取值范围为．20．(1)或(2)或【分析】(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.（1）由题意可知，圆C的圆心为，半径，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，化为一般式：，若直线l与圆相切，则，即，解得，：，即l：，综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，直线l的方程为，即，设圆心到直线l的距离为d，则，由垂径定理可得，，即，整理得，，解得或，则直线l的方程为或21．(1)y=1；(2)x+y-2=0；(3).【分析】(1)将圆的一般方程化为圆的标准方程，结合图形即可求出结果；(2)根据题意可知直线过圆心，利用直线的两点式方程计算即可得出结果；(3)设圆E的圆心E（a，1），根据题意可得圆E的半径为，结合圆与圆的位置关系和两点距离公式计算求出，进而得出圆的标准方程.(1)圆，即，其圆心为，半径为1.因为点（2，1）在圆上，如图，所以切线方程为y=1；(2)由题意得，圆的直径为2，所以直线过圆心，由直线的两点式方程，得，即直线的方程为x+y-2=0；(3)因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1），由圆E与y轴相切，得R=a()又圆E与圆相外切，所以，由两点距离公式得，所以，解得，所以圆心，，所以圆E的方程为.22．(1)3(2)实数的值为和【分析】（1）由直线垂直，斜率乘积为可得值；（2）求出加以到直线的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值．(1)圆，，，，，，(2)圆半径为，设圆心到直线的距离为，则又由点到直线距离公式得：化简得：，解得：或