高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）2.3 直线的交点坐标与距离公式(附答案)

2.3直线的交点坐标与距离公式【考点梳理】考点一：两条直线的交点坐标1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行考点二：两点间的距离公式（1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).考点三：两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【题型归纳】题型一：直线的交点坐标1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏·高二单元测试）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（

）A．无论，，如何，方程组总有解B．无论，，如何，方程组总有唯一解C．存在，，，方程组无解D．存在，，，方程组无穷多解3．（2022·山东滨州·高二期末）直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．题型二：由直线交点个数求参数4．（2020·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知直线l过定点，且与以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2020·重庆市暨华中学校高二阶段练习）已知两定点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．或6．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，若直线与线段相交，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：直线交点系方程及其应用7．（2022·全国·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高二课时练习）若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（

）A． B．C． D．9．（2021·江苏·高二专题练习）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0题型五：两点间的距离公式应用10．（2021·福建三明·高二期中）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（

）A． B． C． D．11．（2021·河北唐山·高二期中）已知三顶点为、、，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形12．（2021·全国·高二）直线上与点的距离等于的点的坐标是（

）A． B．C．或 D．或题型六：两点间的距离公式求函数最值问题13．（2021·全国·高二专题练习）函数y＝的最小值是（

）A．0 B． C．13 D．不存在14．（2022·全国·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C．4 D．815．（2021·全国·高二期中）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型七：点到直线的距离问题16．（2022·江苏·高二专题练习）点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（

）．A．或 B．或C． D．17．（2018·安徽·铜陵一中高二期中）设m，，若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则的面积S的最小值为A． B．2 C．3 D．418．（2021·河北·张家口市第一中学高二阶段练习）已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（

）A． B． C．8 D．题型七：点、直线的对称问题19．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（

）A． B． C． D．21．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（

）A． B． C．4 D．5题型八：两条平行直线间的距离22．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．23．（2022·全国·高二专题练习）已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（

）A．25或－5 B．25 C．5 D．21或－924．（2022·全国·高二专题练习）已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型九：直线距离和平行的综合问题25．（2021·重庆市天星桥中学高二阶段练习）已知直线和的交点为．（1）若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；（2）若直线经过点且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求的面积（其中O为坐标原点）．26．（2021·江苏·高二专题练习）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为.(1)求顶点的坐标；(2)求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程.27．（2022·全国·高二）已知直线方程为.（1）证明：直线恒过定点；（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.【双基达标】一、单选题28．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2022·江苏·高二专题练习）直线关于对称直线，直线的方程是（

）A． B．C． D．30．（2022·全国·高二课时练习）已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（

）A．5 B．6 C． D．31．（2021·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（

）A． B． C． D．32．（2022·全国·高二课时练习）已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或333．（2022·全国·高二单元测试）的顶点A，B的坐标分别为．(1)求线段AB的中垂线在x轴上的截距；(2)若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标．34．（2022·全国·高二专题练习）已知两直线l1与l2，直线l1经过点（0，3），直线l2过点（4，0），且l1∥l2．(1)若l1与l2距离为4，求两直线的方程；(2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【高分突破】35．（2022·江苏·高二专题练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．或36．（2022·全国·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．37．（2022·全国·高二课时练习）已知平面上一点，若直线上存在点这使，则称该直线为“切割型直线”.给出直线：①；②；③，其中是“切割型直线”的是（

）A．②③ B．① C．①② D．①③38．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．39．（2022·江西抚州·高二期末）已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（

）A．或 B．或 C．或 D．或40．（2022·江苏·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A． B． C． D．41．（2022·青海海东·高二期末（理））数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（

）A． B． C． D．42．（2022·山东淄博·高二期末）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．43．（2022·四川南充·高二期末（理））设，其中.则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．二、多选题44．（2022·江苏·高二阶段练习）下列说法错误的是（

）A．点到直线的距离为B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为45．（2022·江苏·高二单元测试）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（

）A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则46．（2022·江苏·高二）下列说法中，正确的有（

）A．点斜式可以表示任何直线B．直线在轴上的截距为C．直线关于对称的直线方程是D．点到直线的的最大距离为47．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）下列结论正确的有（

）A．已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是B．点关于的对称点为C．直线方向向量为，则此直线倾斜角为D．若直线与直线平行，则且两条直线间距离为48．（2022·江苏南京·高二期末）下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离为B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8.D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为.49．（2021·重庆市两江中学校高二阶段练习）下列说法错误的有（

）A．直线的斜率不存在B．直线到直线的距离为C．方程与方程可表示同一条直线D．直线

与y轴交于一点

，其中截距

50．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线，，则（

）A．若，则 B．若，则C．当时，与相交，交点为 D．当时，不经过第三象限三、填空题51．（2022·全国·高二课时练习）直线关于直线对称的直线的方程为______．52．（2022·全国·高二课时练习）过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为______．53．（2022·全国·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______．54．（2022·全国·高二课时练习）若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________．55．（2022·全国·高二专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________．56．（2022·全国·高二课时练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为____．解答题57．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知△ABC的顶点A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）.(1)求边BC上的高AD所在直线的方程；(2)求边BC上的中线AM所在直线的方程；(3)求△ABC的面积.58．（2022·全国·高二专题练习）已知直线，点．(1)求点关于直线的对称点；(2)求直线，关于点的对称直线的方程．59．（2022·江苏·高二专题练习）直线经过两条直线和的交点，且_____．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线平行，②直线在轴上的截距为．(1)求直线的方程；(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．60．（2022·江苏·高二单元测试）直线，相交于点，其中.(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.【答案详解】1．D【分析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程【详解】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，由，得，即和的交点为，因为直线过点，所以，得，所以所求直线方程为，故选：D2．B【分析】通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可.【详解】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，所以,即,并且，.所以得：即,所以方程组有唯一解.故选：B3．B【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故选：B.4．A【解析】根据图象以及斜率公式确定直线l的斜率k的取值范围.【详解】如图，要使直线l以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则或,因为，所以直线l的斜率k的取值范围是；故选：A【点睛】本题考查斜率公式以及直线交点，考查基本分析判断求解能力，属基础题.5．D【分析】根据题意，画出图形，求出PM，PN的斜率，再利用数形结合求解.【详解】如图所示：，因为直线过且与线段相交，所以的斜率的取值范围是或.故选：D【点睛】本题主要考查直线的斜率和直线相交问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．D【分析】确定直线过定点，只要求出直线的斜率，由图形可得结论．【详解】直线恒过点，直线斜率，直线斜率，结合图象可得k的取值范围是.故选：D．7．A【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；又两条直线垂直，故可得，即整理得解得，当且仅当时取得最大值.故选：A.8．A【分析】直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，进而得出线段的中垂线方程．【详解】解：直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，线段的中垂线方程是，化为：．故选．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．A【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】解得因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0故选A【点睛】本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.10．D【分析】由题联立得，再根据距离公式求解即可.【详解】解：联立方程，解得，所以，所以故选：D11．B【分析】由向量的坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.【详解】由已知，，，∴，即，∴是直角三角形.故选：B.12．C【分析】设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案.【详解】设所求点的坐标为，有，且，两式联立解得或.故选：C13．B【分析】把函数表达式化简为，利用两点间的距离公式即可求得.【详解】解析：原函数可化为，y可看成点到点和的距离之和，如图，则y＝|PA|＋|PB|，∵P是x轴上的动点，A，B是两个定点，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝，∴当P，A，B三点共线时，ymin＝，故选：B.【点晴】此题关键是整理函数表达式，找到它的几何意义，要注意距离公式的变形应用.14．B【解析】函数表示点到点和的距离之和，画出图像，根据对称得到最小值.【详解】表示点到点和的距离之和，如图所示：点是关于轴的对称点，故最小值为此时，取故选：【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为两点间距离是解题的关键.15．C【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解.【详解】可看成点到点的距离的平方，点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上，问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小.注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称，观察图象知点P到直线的距离最短，，最短距离为，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题，属于中档题.16．A【分析】利用点到直线的距离求解.【详解】解：因为点到直线和直线的距离相等，所以，化简得：或，故选：A17．C【解析】由距离公式可得，面积为，由基本不等式可得答案．【详解】解：由坐标原点到直线的距离为，可得，化简可得，令，可得，令，可得，故的面积，当且仅当时，取等号，故选：C．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属于中档题．18．C【解析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积.【详解】直线的方程为，即.由解得.设，直线的方程分别为，即，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以，，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得，解得（），所以.所以到直线的距离为，而，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.19．A【分析】先求得两点的坐标，求得关于对称点的坐标，根据三点共线求得的最大值.【详解】依题意可知，关于直线的对称点为，，即求的最大值，，当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，也即的最大值是.故选：A20．B【分析】设对称点为，由与点所在的直线垂直于且中点在直线上列方程组即可求解.【详解】设对称点为，由题意可得，解得，即对称点为，故选：B.21．B【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】作出点A关于直线的对称点，连接，交直线于点，则即为光线经过路程的最小值，且，此即光线从A到B所经过的距离为.故选：B．22．D【分析】先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可.【详解】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.故选：D.23．A【分析】根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为直线：与：平行，所以有，因为两条平行直线：与：间的距离为3，所以，或，当时，；当时，，故选：A24．B【分析】先求得直线AB和CD之间的距离，再求直线l与CD所在直线的距离即可解决.【详解】梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，则有△与△相似，相似比为，则，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的又AB和CD所在直线的距离为，则直线l与CD所在直线的距离为2故选：B25．（1）；（2）30【分析】（1）先求出交点P的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；（2）先求出A、B两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得的面积．【详解】解：（1）由，解得：，可得直线和的交点为，由于直线l3的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为，即；（2）由题意知：直线m的斜率存在且不为零，设直线m的斜率为k，则直线m的方程为，由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，且为线段AB的中点，故：，，解得，故，故的面积为.26．（1）（2）或【分析】（1）首先确定直线的斜率，从而得到直线的方程；因为点是直线与的交点，联立两条直线可求得点坐标；（2）设，利用中点坐标公式表示出；根据在直线上，在直线上，可构造方程组，求得点坐标；根据截距相等，可分为截距为和不为两种情况来分别求解出直线方程.【详解】（1）由已知得：直线的方程为：，即：由，解得：的坐标为（2）设，则则，解得：直线在轴、轴上的截距相等当直线经过原点时，设直线的方程为把点代入，得：，解得：此时直线的方程为：当直线不经过原点时，设直线的方程为把点代入，得：，解得：此时直线的方程为直线的方程为：或【点睛】本题考查直线交点、直线方程的求解问题，易错点是在已知截距相等的情况下，忽略截距为零的情况，造成丢根.27．（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.【分析】（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）易知当定点与连线垂直时，点到直线距离最大；求出方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得；利用两点间距离公式可求得最大值；（3）利用直线方程可坐标，并确定的取值范围，利用表示出，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得的值，由此可得直线方程.【详解】（1）由直线方程整理可得：，由得：，直线恒过定点；（2）由（1）知：直线恒过定点，则当与直线垂直时，点到直线距离最大，又所在直线方程为：，即，当与直线垂直时，，解得：；则最大值；（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令得：，即；令得：，即；又位于轴的负半轴，，解得：；，令，则，，，，，则当，即时，，，此时直线的方程为：.28．B【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，由已知条件列出不等式组，求解即可．【详解】将两直线方程组成方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以解得故选：B29．C【分析】根据题意可知直线与直线交于点，求出原点关于直线对称的对称点B，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】如图，直线与直线交于点，直线过原点，因为直线与直线l关于直线对称，所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即.故选：C30．C【分析】根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解.【详解】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点.故选：C【点睛】31．C【分析】先求出点关于轴的对称点为，再计算即为所求.【详解】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.故选：C.32．D【分析】方法一：根据点到线的距离公式求解即可，方法二：数形结合分析可得直线或AB的中点在直线l上，再分别计算即可.【详解】方法一

由题意得，即，所以或，解得或．方法二

因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3．故选：D33．(1)-3；(2)【分析】（1）求出AB的中点和直线AB的斜率，再求出线段AB中垂线的斜率，即可得到答案；（2）求出AB边上的高所在直线的斜率，得到AB边上的高所在直线的方程，同理可得AC边上的高所在直线的方程，两条方程联立即可得到答案（1）∵△ABC的顶点A，B的坐标分别为，∴AB的中点是，直线AB的斜率是，∵线段AB中垂线与线段AB垂直，∴线段AB中垂线的斜率是，∴线段AB的中垂线方程是，即x－3y＋3＝0，令y＝0，得x＝－3，即线段AB的中垂线在x轴上的截距为-3；（2）∵，∴AB边上的高所在直线的斜率为，∵，∴AB边上的高所在直线的方程为，即x－3y=0，∵，∴AC边上的高所在直线的斜率为，∵，∴AC边上的高所在直线的方程为，即2x＋3y-19=0，联立x－3y=0和2x＋3y-19=0，得，，∴△ABC垂心的坐标为34．(1)l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4(2)最大距离为5；l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0【分析】（1）分两类讨论：①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，写出两条直线的方程，由点到直线的距离公式求出斜率k即可，②若l1、l2的斜率都不存在，则l1：x＝0，l2：x＝4，然后验证距离是否等于4即可．（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条直线的垂直关系求出斜率，再根据点斜式或斜截式写直线的方程即可．（1）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，由斜截式得l1的方程y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，由点斜式得l2的方程y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，在直线l1上取点A（0，3），则点A到直线l2的距离为d4，化简得16k2+24k+9＝16k2+16，解得k，∴l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0．②若l1、l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件，综上所述，两条直线的方程为l1：7x﹣24y+72＝0，l2：7x﹣24y﹣28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4．（2）当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2的距离最大，两点连线的直线的斜率为，∴直线l1与l2的斜率均为，此时，最大距离为5，l1：4x﹣3y+9＝0，l2：4x﹣3y﹣16＝0．35．B【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可.【详解】直线化为，则两直线之间的距离，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：B.36．A【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．故选：A．37．A【分析】根据点到直线的距离判断各直线.【详解】设点到直线的距离为，①，即，，故直线上不存在到点的距离等于的点，不是“切割型直线”；②，所以在直线上可以找到两个不同的点，使到点的距离等于，是“切割型直线”；③，即，，故直线上存在一个点，使到点的距离等于，是“切割型直线”；故选：A.38．C【分析】根据题意得坐标原点到直线距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点到直线的距离为，由题意得坐标原点到直线距离，，所以，解得所以k的取值范围为.故选：C.39．C【分析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.【详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：C40．D【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.【详解】如图，设关于直线对称的点为，则有，可得，可得，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，故选：D.41．B【分析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即．故选：B.42．B【分析】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.【详解】由题意可知：直线的方程为，直线的方程为，如图：设关于直线的对称点为，则,解得，故，同理可求关于直线的对称点为,连接,交于N，而MN方程为y=2,联立得N点坐标为，连接，分别交于,方程为：，和直线方程联立，解得H点坐标为,PN的方程为x=2,和直线方程联立解得，连接,则之间即为动点D点的变动范围，而,故FD斜率的取值范围是，故选B.43．B【分析】将问题转化为动点到点距离之和最小求解.【详解】解：设，则表示：，又直线AB与y轴相交于点，所以，所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9，故选：B44．ACD【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断；对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可.【详解】对于A，点到直线的距离为，故A错误；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确；故选：ACD.45．AB【分析】画出图像，逐一分析，即可.【详解】解：如图所示，当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对，当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对，当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误，当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误，故选：AB.46．BD【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A；直接令求解直线在轴上的截距判断B；结合关于直线对称的点的关系求解判断C；结合直线过定点求解即可判断D.【详解】解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；对于B选项，令得，所以直线在轴上的截距为，正确；对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于对称的直线方程是，故错误；对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确.故选：BD47．BCD【分析】按照题意，作图，分析其中的几何关系，用代数式表达出来即可.【详解】选项A，作图如下：直线l过定点，若与线段AB相交，则，，直线l的斜率，故A错误；选项B，点与点的中点坐标为在直线上，并且两点连线的斜率，与直线的斜率乘积为-1，故B正确；选项C，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又,倾斜角为，故C正确；选项D，由两直线平行可得，则，此时，即，所以两平行线的距离，故D正确；故选：BCD.48．AB【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算可判断；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，将直线令和令求得，再根据三角形的面积公式计算可判断；对于D，分直线过原点和直线不过原点时，分别设直线的方程，代入已知点求解即可.【详解】解：对于A，点到直线的距离为，故A正确；对于B，任意一条直线都有倾斜角，但垂直于x轴的直线无斜率，故B正确；对于C，直线，令得，令得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C不正确；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线，当直线过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点得，此时方程为，故D不正确；故选：AB.49．BCD【分析】根据直线的斜率，平行线间的距离、直线方程的知识确定正确答案.【详解】A选项，直线的倾斜角为，斜率不存在，A选项正确.B选项，，所以直线到直线的距离为，B选项错误.C选项，不满足方程，满足方程，所以C选项错误.D选项，就是截距，可正，可负，可为0，不是，所以D选项错误.故选：BCD50．BD【分析】利用直线与直线垂直判断A，利用直线与直线平行判断B，利用直线与直线相交判断C，利用直线与坐标轴的交点判断D．【详解】解：直线，，对于A，若，则，解得，故A错误；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，当时，直线，，与相交，交点为，故C错误；对于D，当时，，不过第三象限；当时，时，，当时，，不经过第三象限．综上，当时，不经过第三象限，故D正确．故选：BD．51．【分析】解：设直线上任意一点，关于直线对称的对称点为，利用代入法求解.【详解】解：设直线上任意一点，关于直线对称的对称点为，则，所以，代入，得，即，故答案为：.52．【分析】求出两直线交点坐标，再根据所求直线与直线垂直，确定所求直线斜率，再利用点斜式即可得到答案.【详解】根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为，又所求直线与直线垂直，则所求直线