高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)重难点专题02：直线与双曲线的位置关系(原卷版+解析)

重难点专题02：直线与双曲线的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与双曲线的位置关系；双曲线的弦长；双曲线的焦点弦；双曲线的中点弦；双曲线中的参数范围及最值；双曲线中的定点定值问题；双曲线中的定直线问题；双曲线中的向量问题

3.课堂知识小结4.考点巩固提升知识归纳1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b，双曲线联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC.若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。相交弦AB的弦长或考点1：直线与双曲线的位置关系例1．若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧】由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围【变式训练】【变式1】．直线与双曲线的交点坐标为______．【变式2】．直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.【变式3】．若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.考点2：双曲线的弦长例2．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．（1）求的方程；（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．【方法技巧】（1）由焦距可以设出焦点坐标，利用双曲线的定义求出实轴的长度，进而可得双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，消去，写出韦达定理，由得出直线的纵截距，再利用弦长公式求解即可．【变式训练】【变式1】．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为（

）A．3 B．9 C．12 D．16【变式2】．过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．考点3：双曲线的焦点弦例3（多选）．设为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：为双曲线C的一条渐近线，则（

）A． B．弦PQ长的最小值为6C．存在点P，使得 D．点P到直线m：距离的最小值为1【方法技巧】根据双曲线的渐近线即可求出b，根据焦点弦中通径最短即可判断B，根据焦点弦的范围可判断C，根据渐近线的性质可判断D.【变式训练】【变式1】．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，过的直线l与C的左右两支分别交于A，B两点，且，则A． B．3 C．4 D．【变式2】．分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（

）A．2 B． C．4 D．考点4：双曲线的中点弦例4．直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【方法技巧】根据给定条件，利用“点差法”求出l的斜率，再验证作答.【变式训练】【变式1】．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【变式2】．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.(1)求C的方程；(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.考点5：双曲线中的参数范围及最值例5．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（

）A．0 B． C．1 D．2【方法技巧】首先根据题意得到的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支，从而得到曲线.再根据双曲线的性质求长度最小值即可.【变式训练】【变式1】．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【变式2】．（2022·上海·高考真题）已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________考点6：双曲线中的定点定值问题例6．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．【方法技巧】设，，得到，两式作差，结合斜率公式，即可求解.【变式训练】【变式1】．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.【变式2】．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．考点7：双曲线中的定直线问题1．（2022·全国·模拟预测（理））过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（

）A．1 B． C． D．2【方法技巧】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.【变式训练】【变式1】．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.考点8：双曲线中的向量问题例8．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为_________．【变式训练】【变式1】．过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（

）A．1 B． C． D．2【变式2】．已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【变式3】．设，分别是双曲线的左､右焦点，过作的一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D． 重难点专题02：直线与双曲线的位置关系备注：资料包含：1.基础知识归纳；2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与双曲线的位置关系；双曲线的弦长；双曲线的焦点弦；双曲线的中点弦；双曲线中的参数范围及最值；双曲线中的定点定值问题；双曲线中的定直线问题；双曲线中的向量问题

3.课堂知识小结4.考点巩固提升知识归纳1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b，双曲线联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。相交弦AB的弦长或考点1：直线与双曲线的位置关系例1．若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，设交点，联立可得，由题意可得解得：，故选：D．【方法技巧】由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围【变式训练】【变式1】．直线与双曲线的交点坐标为______．【答案】，【分析】利用题目中的两个曲线方程进行联立，求出交点坐标【详解】由，消得即，解得或代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，故答案为：，【变式2】．直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.【答案】【分析】确定双曲线的渐近线的斜率，由于过原点，要使得与双曲线没有交点，需满足k大于或等于的斜率，可得答案.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为直线过原点且与双曲线没有交点，故需满足，故答案为：【变式3】．若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.【答案】【分析】联立方程，根据方程根的个数即可求解.【详解】由，消可得，当或，解得或，故答案为：考点2：双曲线的弦长例2．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．（1）求的方程；（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．【答案】（1）

；（2）．【详解】（1）由已知，设焦点坐标为，则，又，解得，故双曲线的方程为：；（2）设直线，与双曲线的方程联立可得：设，则，，，，，解得，因此．【方法技巧】（1）由焦距可以设出焦点坐标，利用双曲线的定义求出实轴的长度，进而可得双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，消去，写出韦达定理，由得出直线的纵截距，再利用弦长公式求解即可．【变式训练】【变式1】．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为（

）A．3 B．9 C．12 D．16【答案】B【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【变式2】．过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．【答案】【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，所以．故答案为：【点睛】若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．考点3：双曲线的焦点弦例3（多选）．设为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：为双曲线C的一条渐近线，则（

）A． B．弦PQ长的最小值为6C．存在点P，使得 D．点P到直线m：距离的最小值为1【答案】AB【详解】由题知，a＝1，渐近线，c＝2，故A正确；|PQ|为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，，故B正确；根据双曲线定义知，∴当P为双曲线右顶点时，取最小值3，但此时与双曲线的右支没有两个交点，故C错误；∵直线m和双曲线的渐近线平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.故选：AB.【方法技巧】根据双曲线的渐近线即可求出b，根据焦点弦中通径最短即可判断B，根据焦点弦的范围可判断C，根据渐近线的性质可判断D.【变式训练】【变式1】．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，过的直线l与C的左右两支分别交于A，B两点，且，则A． B．3 C．4 D．【答案】C【详解】设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2.又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4.选C【变式2】．分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由双曲线的定义可得，，结合已知条件可得，然后在直角三角形中利用勾股定理可求得答案【详解】解：由双曲线的定义可得，，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，由，得，所以，得，故选：C考点4：双曲线的中点弦例4．直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】设点，，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C【方法技巧】根据给定条件，利用“点差法”求出l的斜率，再验证作答.【变式训练】【变式1】．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令由，整理得则，则，由，可得则有，即，则双曲线的离心率故选：D【变式2】．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为.(1)求C的方程；(2)经过点的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由渐近线方程及焦点坐标、双曲线参数关系求出双曲线参数，即可得C的方程；（2）设，，直线l的斜率为k，由点在双曲线上及中点坐标，结合点差法求斜率，注意验证是否满足题设，应用点斜式写出直线方程.(1)双曲线C的渐近线方程为，则，且，解得，.所以C的方程为.(2)设，，直线l的斜率为k，则，两式相减，得，即，所以，即.直线l的方程为，即.经检验，直线与双曲线C有两个交点，满足条件，所以，直线l的方程为.考点5：双曲线中的参数范围及最值例5．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【点睛】椭圆，，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C【方法技巧】首先根据题意得到的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支，从而得到曲线.再根据双曲线的性质求长度最小值即可.【变式训练】【变式1】．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.【变式2】．（2022·上海·高考真题）已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________【答案】【详解】设点，则，则或为锐角，如下图所示：设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点，由题意可知，，则，解得.故答案为：.考点6：双曲线中的定点定值问题例6．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．【答案】证明见解析【详解】设，，则，可得，，点和点P在双曲线上，则有，两式作差得，可得，即．【方法技巧】设，，得到，两式作差，结合斜率公式，即可求解.【变式训练】【变式1】．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.【答案】证明见解析.【分析】当直线ON垂直于x轴时，直接可求出，从而可求出O到直线MN的距离，当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx（），则直线OM的方程为y＝－x，然后分别与C2，C1方程联立方程组可表示出|ON|2，|OM|2，从而可求出O到直线MN的距离【详解】当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为，当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx（），则直线OM的方程为y＝－x，由得所以|ON|2＝，由，得，所以|OM|2＝，设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以＝＋＝＝3，即d＝.综上，O到直线MN的距离是定值.【变式2】．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得，再结合，可求出，从而可求出双曲线的方程，（2）设直线AB的方程为，，将直线方程代入双曲线方程消去化简，利用根与系数的关系，表示直线PA，PB的方程，从而可求出点M，N的坐标，再由化简计算可求出的关系，从而可证得结论（1）设双曲线C的方程为（），由题意知，因为，所以解得∴双曲线C的方程为（2）设直线AB的方程为，，由，整理得，则，，得，直线PA方程为令，则M（0，），同理N（0，）.由，可得，∴0，0，∴，∴，∴，∴∴，∴当时，此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能∴，直线AB方程为恒过定点考点7：双曲线中的定直线问题1．（2022·全国·模拟预测（理））过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A解：由题意得：由双曲线的方程，可知，过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为联立，得：联立，得：则，，整理得：，解得：故选：A【方法技巧】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.【变式训练】【变式1】．已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1）或；（2）证明见解析.【解析】